أنظمة الفرميون السببية

نظام فرميوني سببي ذو بُعد دوراني${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$هو ثلاثي${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$أين

• ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$هو فضاء هيلبرت معقد .
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي مجموعة جميع المؤثرات الخطية ذاتية الترافق ذات الرتبة المحدودة على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$والتي (مع احتساب التعددية ) تحتوي على أكثر من${\displaystyle n}$إيجابي وعلى الأكثر${\displaystyle n}$القيم الذاتية السالبة.
• ${\displaystyle \rho }$هو مقياس على${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

الإجراء${\displaystyle \rho }$ويُشار إليه باسم المقياس العالمي .

كما سيتبين لاحقًا، فإن هذا التعريف غني بما يكفي لتشفير نظائر البنى الرياضية اللازمة لصياغة النظريات الفيزيائية. وعلى وجه الخصوص، يُنتج نظام الفرميونات السببي زمكانًا بالإضافة إلى بنى إضافية تُعمم كائنات مثل ^{السبينورات} والمقياس والانحناء . علاوة على ذلك، فهو يشمل كائنات كمومية مثل الدوال الموجية وحالة فوك الفرميونية . [ ^{7 ]}

استنادًا إلى صياغة لاغرانج لنظرية المجال الكلاسيكية، يتم وصف الديناميكيات على نظام فرميوني سببي بواسطة مبدأ تبايني محدد على النحو التالي.

بالنظر إلى فضاء هيلبرت${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$وبُعد الدوران${\displaystyle n}$المجموعة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يتم تعريفها كما سبق. ثم لأي${\displaystyle x,y\in {\mathcal {F}}}$المنتج${\displaystyle xy}$هو عامل برتبة قصوى${\displaystyle 2n}$ليس بالضرورة أن يكون ذاتي الترافق لأنه بشكل عام${\displaystyle (xy)^{*}=yx\neq xy}$نرمز إلى القيم الذاتية غير التافهة للمؤثر${\displaystyle xy}$(حساب التعددات الجبرية ) بواسطة

${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }.}$

علاوة على ذلك، الوزن الطيفي${\displaystyle |.|}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle |xy|=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|\quad {\text{and}}\quad {\big |}(xy)^{2}{\big |}=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|^{2}{\,}.}$

يتم تقديم لاغرانج بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)={\big |}(xy)^{2}{\big |}-{\frac {1}{2n}}{\,}|xy|^{2}={\frac {1}{4n}}\sum _{i,j=1}^{2n}{\big (}|\lambda _{i}^{xy}|-|\lambda _{j}^{xy}|{\big )}^{2}\geq 0{\,}.}$

يُعرَّف الفعل السببي بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}{\mathcal {L}}(x,y){\,}d\rho (x){\,}d\rho (y){\,}.}$

مبدأ الفعل السببي هو التقليل${\displaystyle {\mathcal {S}}}$في ظل اختلافات${\displaystyle \rho }$ضمن فئة مقاييس بوريل (الإيجابية) في ظل القيود التالية:

• قيد التقييد:${\displaystyle \iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}|xy|^{2}{\,}d\rho (x){\,}d\rho (y)\leq C}$لبعض الثوابت الموجبة${\displaystyle C}$.
• قيد التتبع:${\displaystyle \;\;\;\int _{\mathcal {F}}{\text{tr}}(x){\,}d\rho (x)}$يتم تثبيته.
• الحجم الإجمالي${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$يتم الحفاظ عليه.

هنا على${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathrm {L} }({\mathcal {H}})}$ينظر المرء في الطوبولوجيا الناتجة عن${\displaystyle \sup }$المعيار - على المؤثرات الخطية المحدودة على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

تمنع القيود القيم الصغرى التافهة وتضمن وجودها، شريطة أن${\displaystyle {\mathcal {H}}}$هو ذو أبعاد محدودة. ^{[ 8 ]} هذا المبدأ التبايني منطقي أيضًا في حالة أن الحجم الكلي${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$يصبح لانهائيًا إذا أخذنا في الاعتبار التغيرات${\displaystyle \delta \rho }$ذات تباين محدود مع${\displaystyle (\delta \rho )({\mathcal {F}})=0}$.

ل${\displaystyle x,y\in M}$، نرمز إلى القيم الذاتية غير التافهة للمؤثر${\displaystyle xy}$(حساب التعددات الجبرية ) بواسطة${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }}$النقاط${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$تُعرَّف المناطق بأنها منفصلة فضائياً إذا كانت جميعها${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$لهما نفس القيمة المطلقة. وهما منفصلان زمنيًا إذا كان${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$لا تمتلك جميعها نفس القيمة المطلقة، وجميعها أعداد حقيقية. في جميع الحالات الأخرى، تكون النقاط${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$منفصلة بشكل يشبه الضوء .

يتكامل مفهوم السببية هذا مع "سببية" الفعل السببي المذكور أعلاه، بمعنى أنه إذا كانت نقطتان في الزمكان${\displaystyle x,y\in M}$إذا كانت منفصلة مثل الفضاء، فإن لاغرانجيان${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)}$يتلاشى. وهذا يتوافق مع المفهوم الفيزيائي للسببية الذي ينص على أن نقاط الزمكان المنفصلة مكانيًا لا تتفاعل. هذا البناء السببي هو سبب مفهوم "السببية" في نظام الفرميون السببي والفعل السببي.

يترك${\displaystyle \pi _{x}}$يرمز إلى الإسقاط المتعامد على الفضاء الفرعي${\displaystyle S_{x}:=x({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {H}}}$ثم إشارة الدالة

${\displaystyle i{\text{Tr}}{\big (}x\,y\,\pi _{x}\,\pi _{y}-y\,x\,\pi _{y}\,\pi _{x})}$

يميز هذا المفهوم بين المستقبل والماضي . وعلى عكس بنية المجموعة المرتبة جزئيًا ، فإن العلاقة "يقع في مستقبل" ليست متعدية بشكل عام. ولكنها تصبح متعدية على المستوى الكلي في الأمثلة النموذجية. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

لكل${\displaystyle x\in M}$يتم تعريف فضاء الدوران بواسطة${\displaystyle S_{x}=x({\mathcal {H}})}$؛ إنه فضاء جزئي من${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ذات أبعاد على الأكثر${\displaystyle 2n}$. الضرب القياسي للدوران${\displaystyle {\prec }\cdot |\cdot {\succ }_{x}}$محدد بواسطة

${\displaystyle {\prec }u|v{\succ }_{x}=-{\langle }u|xv{\rangle }_{\mathcal {H}}\qquad {\text{for all }}u,v\in S_{x}}$

هو ناتج ضرب داخلي غير محدد على${\displaystyle S_{x}}$التوقيع​${\displaystyle (p,q)}$مع${\displaystyle p,q\leq n}$.

دالة موجية${\displaystyle \psi }$هو رسم خرائط

${\displaystyle \psi {\,}:{\,}M\rightarrow {\mathcal {H}}\qquad {\text{with}}\qquad \psi (x)\in S_{x}\quad {\text{for all }}x\in M{\,}.}$

على الدوال الموجية التي يكون معيارها${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$محدد بواسطة

${\displaystyle {|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^{2}=\int _{M}\left\langle \psi (x){\bigg |}\,|x|\,\psi (x)\right\rangle _{\mathcal {H}}{\,}d\rho (x)}$

محدود (حيث${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$هي القيمة المطلقة للمؤثر المتناظر${\displaystyle x}$يمكن تعريف الضرب الداخلي

${\displaystyle {\mathopen {<}}\psi |\phi {\mathclose {>}}=\int _{M}{\prec }\psi (x)|\phi (x){\succ }_{x}{\,}d\rho (x){\,}.}$

بالإضافة إلى الطوبولوجيا الناتجة عن المعيار${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$، فيحصل المرء على فضاء كرين${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathopen {<}}\cdot |\cdot {\mathclose {>}})}$.

إلى أي متجه${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$يمكننا ربط الدالة الموجية

${\displaystyle \psi ^{u}(x):=\pi _{x}u}$

(أين${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$(وهو مرة أخرى الإسقاط المتعامد على فضاء الدوران). وهذا يؤدي إلى ظهور عائلة مميزة من الدوال الموجية، والتي يشار إليها باسم الدوال الموجية للحالات المشغولة .

نواة جهاز الإسقاط الفرميوني${\displaystyle P(x,y)}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle P(x,y)=\pi _{x}\,y|_{S_{y}}{\,}:{\,}S_{y}\rightarrow S_{x}}$

(أين${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$وهي مرة أخرى الإسقاط المتعامد على فضاء الدوران، و${\displaystyle |_{S_{y}}}$يشير إلى التقييد على${\displaystyle S_{y}}$). جهاز الإسقاط الفرميوني${\displaystyle P}$هو المشغل

${\displaystyle P{\,}:{\,}{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}{\,},\qquad (P\psi )(x)=\int _{M}P(x,y)\,\psi (y)\,d\rho (y){\,},}$

والتي لها مجال تعريف كثيف معطى بواسطة جميع المتجهات${\displaystyle \psi \in {\mathcal {K}}}$استيفاء الشروط

${\displaystyle \phi$ :=\int _{M}x\,\psi (x)\,d\rho (x){\,}\in {\,}{\mathcal {H}}\quad {\text{and}}\quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}<\infty {\,}.}

ونتيجة لمبدأ الفعل السببي، فإن نواة المسقط الفرميوني لها خصائص تطبيع إضافية ^{[ 9 ]} تبرر اسم المسقط .

باعتبارها مؤثرًا من فضاء دوراني إلى آخر، فإن نواة المسقط الفرميوني تعطي علاقات بين نقاط الزمكان المختلفة. ويمكن استخدام هذه الحقيقة لإدخال اتصال دوراني

${\displaystyle D_{x,y}\,:\,S_{y}\rightarrow S_{x}\quad {\text{unitary}}\,.}$

الفكرة الأساسية هي أخذ تحليل قطبي لـ${\displaystyle P(x,y)}$يصبح البناء أكثر تعقيدًا نظرًا لأن اتصال الدوران يجب أن يُحدث اتصالًا متريًا مُقابلًا.

${\displaystyle \nabla _{x,y}\,:\,T_{y}\rightarrow T_{x}\quad {\text{isometric}}\,,}$

حيث الفضاء المماسي${\displaystyle T_{x}}$هي فضاء فرعي محدد من المؤثرات الخطية على${\displaystyle S_{x}}$مزودة بمقياس لورنتزي. يُعرَّف انحناء الدوران بأنه هولونوميا اتصال الدوران.

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(x,y,z)=D_{x,y}\,D_{y,z}\,D_{z,x}\,:\,S_{x}\rightarrow S_{x}\,.}$

وبالمثل، يؤدي الاتصال المتري إلى انحناء متري . وتؤدي هذه البنى الهندسية إلى اقتراح لهندسة الكم . ^{[ 5 ]}

مُصغِّر${\displaystyle \rho }$إن الفعل السببي يحقق معادلات أويلر-لاغرانج المناظرة . ^{[ 10 ]} وينصون على أن الدالة ${\displaystyle \ell _{\kappa }}$محدد بواسطة

${\displaystyle \ell _{\kappa }(x):=\int _{M}{\big (}{\mathcal {L}}_{\kappa }(x,y)+\kappa \,|xy|^{2}{\big )}\,d\rho (y)\,-\,{\mathfrak {s}}}$

(مع معاملين لاغرانج)${\displaystyle \kappa }$و${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$يختفي ويكون ضئيلاً على دعم${\displaystyle \rho }$،

${\displaystyle \ell _{\kappa }|_{M}\equiv \inf _{x\in {\mathcal {F}}}\ell _{\kappa }(x)=0\,.}$

لأغراض التحليل، من الملائم إدخال النفاثات${\displaystyle {\mathfrak {u}}:=(a,u)}$تتكون من دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle a}$على${\displaystyle M}$وحقل متجه${\displaystyle u}$ على${\displaystyle T{\mathcal {F}}}$على امتداد${\displaystyle M}$، وللدلالة على الجمع بين الضرب والاشتقاق الاتجاهي بواسطة${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}g(x):=a(x)\,g(x)+{\big (}D_{u}g{\big )}(x)}$ثم إن معادلات أويلر-لاغرانج تستلزم أن معادلات أويلر-لاغرانج الضعيفة

${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}\ell |_{M}=0}$

انتظر أي طائرة اختبار${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$.

تتولد عائلات حلول معادلات أويلر-لاغرانج بشكل متناهي الصغر بواسطة نفاثة${\displaystyle {\mathfrak {v}}}$والتي تحقق معادلات المجال الخطية

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle |_{M}=0\,,}$

يجب استيفاء جميع متطلبات طائرات الاختبار${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$، حيث لابلاس${\displaystyle \Delta }$يتم تعريفها بواسطة  

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle (x):=\nabla _{\mathfrak {u}}{\bigg (}\int _{M}{\big (}\nabla _{1,{\mathfrak {v}}}+\nabla _{2,{\mathfrak {v}}}{\big )}{\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y)-\nabla _{\mathfrak {v}}{\mathfrak {s}}{\bigg )}\,.}$

تصف معادلات أويلر-لاغرانج ديناميكيات نظام الفرميون السببي، في حين يتم وصف الاضطرابات الصغيرة للنظام بواسطة معادلات المجال الخطية.

في سياق أنظمة الفرميونات السببية، تُعبَّر التكاملات المكانية بما يُسمى تكاملات الطبقة السطحية . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} وبشكل عام، فإن تكامل الطبقة السطحية هو تكامل مزدوج على الصورة التالية:

${\displaystyle \int _{\Omega }{\bigg (}\int _{M\setminus \Omega }\cdots {\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y){\bigg )}\,d\rho (x)\,,}$

حيث يتم دمج متغير واحد على مجموعة فرعية${\displaystyle \Omega \subset M}$والمتغير الآخر يتم حسابه على مكمل المتغير الآخر.${\displaystyle \Omega }$من الممكن التعبير عن قوانين الحفظ المعتادة للشحنة والطاقة، وما إلى ذلك، بدلالة تكاملات الطبقة السطحية. وتُعدّ قوانين الحفظ المقابلة نتيجةً لمعادلات أويلر-لاغرانج لمبدأ الفعل السببي ومعادلات المجال الخطية. أما بالنسبة للتطبيقات، فإن أهم تكاملات الطبقة السطحية هي تكامل التيار .${\displaystyle \gamma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {v}})}$، الشكل التبسيطي${\displaystyle \sigma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}})}$، الناتج الداخلي للطبقة السطحية${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}}\rangle _{\rho }^{\Omega }}$والتكامل غير الخطي للطبقة السطحية${\displaystyle \gamma ^{\Omega }({\tilde {\rho }},\rho )}$.

استنادًا إلى قوانين الحفظ لتكاملات الطبقة السطحية المذكورة أعلاه، يمكن إعادة صياغة ديناميكيات نظام فرميوني سببي، كما هو موضح بمعادلات أويلر-لاغرانج الموافقة لمبدأ الفعل السببي، كديناميكيات خطية تحافظ على المعيار في فضاء فوك البوزوني المُكوَّن من حلول معادلات المجال الخطية. ^{[ 4 ]} في ما يُسمى بالتقريب الهولومورفي ، يحترم التطور الزمني البنية المعقدة، مما يؤدي إلى تطور زمني وحدوي في فضاء فوك البوزوني.

لو${\displaystyle {\mathcal {H}}}$له أبعاد محدودة${\displaystyle f}$، اختيار أساس متعامد${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{f}}$ل${\displaystyle {\mathcal {H}}}$وأخذ الضرب الخارجي للدوال الموجية المقابلة

${\displaystyle {\big (}\psi ^{u_{1}}\wedge \cdots \wedge \psi ^{u_{f}}{\big )}(x_{1},\ldots ,x_{f})}$

يعطي حالة من${\displaystyle f}$فضاء فوك الفرميوني ذو الجسيمات . وبسبب التناظر المضاد الكلي، تعتمد هذه الحالة على اختيار أساس${\displaystyle {\mathcal {H}}}$فقط بعامل طور. ^{[ 12 ]} يفسر هذا التوافق سبب تفسير المتجهات في فضاء الجسيمات على أنها فرميونات . كما أنه يبرر تسمية النظام الفرميوني السببي .

بدءاً من أي مشعب دوران لورنتزي زائدي عالمي${\displaystyle ({\hat {M}},g)}$مع حزمة سبينور${\displaystyle S{\hat {M}}}$يمكن للمرء أن يدخل في إطار أنظمة الفرميون السببية عن طريق اختيار${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\langle }.|.{\rangle }_{\mathcal {H}})}$باعتبارها فضاءً جزئياً من فضاء حلول معادلة ديراك . تعريف ما يسمى بمؤثر الارتباط المحلي${\displaystyle F(p)}$ل${\displaystyle p\in {\hat {M}}}$بواسطة

${\displaystyle {\langle }\psi |F(p)\phi {\rangle }_{\mathcal {H}}=-{\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$

(أين${\displaystyle {\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$المنتج الداخلي الموجود على الألياف${\displaystyle S_{p}{\hat {M}}}$) وإدخال المقياس العالمي كدفعة أمامية لمقياس الحجم على${\displaystyle {\hat {M}}}$،

${\displaystyle \rho =F_{*}d\mu {\,},}$

نحصل بذلك على نظام فرميوني سببي. ولكي تكون عوامل الارتباط المحلية محددة جيدًا،${\displaystyle {\mathcal {H}}}$يجب أن تتكون من أقسام متصلة، مما يجعل من الضروري عادةً إدخال تنظيم على المستوى المجهري${\displaystyle \varepsilon }$في الحد${\displaystyle \varepsilon \searrow 0}$تنتقل جميع البنى الجوهرية في نظام الفرميونات السببية (مثل البنية السببية والاتصال والانحناء) إلى البنى المقابلة لها في مشعب الدوران اللورنتزي. ^{[ 5 ]} وبالتالي، فإن هندسة الزمكان مشفرة بالكامل في أنظمة الفرميونات السببية المقابلة.

تتمتع معادلات أويلر-لاغرانج، التي تتوافق مع مبدأ الفعل السببي، بنهاية محددة جيدًا إذا كانت الزمكانات${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho }$تنتقل أنظمة الفرميونات السببية إلى فضاء مينكوفسكي . وبشكل أكثر تحديدًا، يتم النظر في سلسلة من أنظمة الفرميونات السببية (على سبيل المثال مع${\displaystyle {\mathcal {H}}}$لضمان وجود حالة فوك الفرميونية، بالإضافة إلى مُصغِّرات الفعل السببي، يتم استخدام نموذج ذي أبعاد محدودة، بحيث تنتقل الدوال الموجية المقابلة إلى تكوين من بحار ديراك المتفاعلة التي تتضمن حالات جسيمية إضافية أو "ثقوبًا" في هذه البحار. تُعرف هذه العملية باسم حد الاستمرارية ، وتُعطي معادلات فعّالة لها بنية معادلة ديراك مقترنة بمعادلات المجال الكلاسيكية . على سبيل المثال، بالنسبة لنموذج مُبسَّط يتضمن ثلاثة جسيمات فرميونية أولية في بُعد اللف المغزلي الثاني، نحصل على تفاعل عبر مجال قياس محوري كلاسيكي.${\displaystyle A}$^{[ 2 ]} موصوفة بمعادلاتديراكويانغميلز

${\displaystyle {\begin{aligned}(i\partial \!\!\!/\ +\gamma ^{5}A\!\!\!/\ -m)\psi &=0\\C_{0}(\partial _{j}^{k}A^{j}-\Box A^{k})-C_{2}A^{k}&=12\pi ^{2}{\bar {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{k}\psi \,.\end{aligned}}}$

بأخذ الحد غير النسبي لمعادلة ديراك، نحصل على معادلة باولي أو معادلة شرودنغر ، مما يعطي التوافق مع ميكانيكا الكم .${\displaystyle C_{0}}$و${\displaystyle C_{2}}$يعتمد ذلك على التنظيم ويحدد ثابت الاقتران بالإضافة إلى كتلة السكون.

وبالمثل، بالنسبة لنظام يتضمن نيوترينوات في بُعد الدوران 4، يحصل المرء فعليًا على كتلة هائلة${\displaystyle SU(2)}$^{[ 2 ]} يمكن وصف تكوين الفرميون للنموذج القياسي في بُعد اللف المغزلي 16. ^{[ 1 ]}

بالنسبة للنظام المذكور للتو والذي يتضمن النيوترينوات، ^{[ 2 ]} فإن حد الاستمرارية ينتج أيضًا معادلات مجال أينشتاين المقترنة بمتجهات ديراك الدورانية،

${\displaystyle R_{jk}-{\frac {1}{2}}\,R\,g_{jk}+\Lambda \,g_{jk}=\kappa \,T_{jk}[\Psi ,A]\,,}$

حتى تصحيحات من رتبة أعلى في موتر الانحناء. هنا الثابت الكوني${\displaystyle \Lambda }$غير محدد، و${\displaystyle T_{jk}}$يرمز إلى موتر الطاقة والزخم للسبينورات و${\displaystyle SU(2)}$مجال القياس. ثابت الجاذبية${\displaystyle \kappa }$يعتمد ذلك على طول عملية التنظيم.

انطلاقًا من نظام المعادلات المترابطة المُستنتج في حالة التقارب المستمر، وبالتوسع بدلالة قوى ثابت الاقتران، نحصل على تكاملات تُقابل مخططات فاينمان على مستوى الشجرة. تنشأ مخططات الحلقات الفرميونية نتيجةً للتفاعل مع حالات البحر، بينما تظهر مخططات الحلقات البوزونية عند حساب المتوسطات على بنية الزمكان المجهرية (غير الملساء عمومًا) لنظام فرميوني سببي (ما يُسمى بالخلط المجهري ). ^{[ 3 ]} لا يزال التحليل التفصيلي والمقارنة مع نظرية الحقل الكمومي القياسية قيد التطوير. ^{[ 4 ]}