سبينور

هناك أساسًا إطاران للنظر إلى مفهوم السبينور: وجهة النظر النظرية التمثيلية ووجهة النظر الهندسية .

توفر لغة جبر كليفورد ^{[ 2 ]} (والتي تسمى أحيانًا الجبر الهندسي ) صورة كاملة لتمثيلات الدوران لجميع مجموعات الدوران، والعلاقات المختلفة بين هذه التمثيلات، من خلال تصنيف جبر كليفورد . وهي تغني إلى حد كبير عن الحاجة إلى عمليات بناء مخصصة .

بتفصيلٍ أكثر، ليكن V فضاءً متجهيًا عقديًا محدود الأبعاد ذو شكل ثنائي خطي متناظر غير منعدم g . جبر كليفورد Cℓ( V , g ) هو الجبر المُوَلَّد بواسطة V الخاضع لعلاقة التبادل المضاد xy + yx = 2g ( x , y ) . وهو نسخة مجردة من الجبر المُوَلَّد بواسطة مصفوفات غاما أو باولي . إذا كان V = ℂⁿ بالشكل القياسي g(x, y) = xᵀy = x₁y₁ + ... ⁺ xₙyₙ ، يُكتب Cℓⁿ ( ℂ ) لهذا الجبر ^{الكليفوردي} _؛ ولأن كل _شكل ثنائي خطي متناظر _{غير منعدم على فضاء متجهي عقدي يُكافئ الشكل القياسي} ، يُستخدم هذا الترميز _غالبًا عندما يكون بُعد _ℂ ( V ) = n . إذا كان n = 2k عددًا زوجيًا، فإن _Cℓn ( ℂ) ^متماثل ، بشكل غير قياسي، مع Mat( ^2k , ℂ) ، وبالتالي يمتلك وحدة نمطية غير قابلة للاختزال وحيدة Δ ذات بُعد 2k . أما إذا كان n = 2k + 1 عددًا فرديًا، فإن Cℓn ₍ ℂ) متماثل مع Mat( ^2k , ℂ) ⊕ Mat( ^2k , ℂ) ، وبالتالي يمتلك وحدتين نمطيتين غير متكافئتين غير قابلتين للاختزال، كل منهما ذات بُعد 2k. يُضمَّن جبر لي so(V, g) في الجزء الزوجي من جبر كليفورد ^، المزود بقوس التبديل، ومن ثم يؤثر على هاتين الوحدتين النمطيتين. عندما يكون n عددًا فرديًا، فإن وحدتي كليفورد غير القابلتين للاختزال تقتصران على تمثيلات غير قابلة للاختزال متماثلة لـ so ( V , g ) ؛ يُسمى هذا التمثيل بالتمثيل الدوراني ويُرمز له غالبًا بالرمز Δ . عندما يكون n زوجيًا، تظل وحدة كليفورد غير القابلة للاختزال Δ غير قابلة للاختزال بالنسبة لجبر كليفورد الكامل، ولكن عند تقييدها بجبر كليفورد الزوجي، أو ما يعادله بمجموعة الدوران، فإنها تنقسم إلى $${\displaystyle \Delta =\Delta _{+}\oplus \Delta _{-},}$$ حيث Δ ₊ و Δ ₋ هما تمثيلات Weyl، أو نصف الدوران.

التمثيلات غير القابلة للاختزال على الأعداد الحقيقية في حالة كون V فضاء متجه حقيقي أكثر تعقيدًا بكثير، ويُحال القارئ إلى مقالة جبر كليفورد لمزيد من التفاصيل.

تشكل السبينورات فضاءً متجهيًا ، عادةً على الأعداد المركبة ، مزودًا بتمثيل زمري خطي لزمرة الدوران لا يمر عبر تمثيل زمرة الدوران (انظر الرسم التوضيحي). زمرة الدوران هي زمرة الدوران التي تحافظ على فئة التماثل. السبينورات ضرورية لترميز المعلومات الأساسية حول طوبولوجيا زمرة الدوران لأن هذه الزمرة ليست بسيطة الاتصال ، ولكن زمرة الدوران بسيطة الاتصال هي غطاؤها المزدوج . لذا، لكل دوران عنصران من زمرة الدوران يمثلانه. لا تستطيع المتجهات الهندسية والموترات الأخرى التمييز بين هذين العنصرين، لكنها تُنتج إشارات متعاكسة عند تأثيرها على أي سبينور ضمن التمثيل. باعتبار عناصر زمرة الدوران فئات تماثل لعائلات دوران ذات مُعامل واحد، يُمثل كل دوران بفئتين تماثليتين متميزتين من المسارات المؤدية إلى العنصر المحايد. إذا تم تصور عائلة دورانات ذات مُعامل واحد كشريط في الفضاء، حيث يكون مُعامل طول القوس لهذا الشريط هو المُعامل (إطاره المماسي، والعمودي، والعمودي الثنائي يُعطي الدوران فعليًا)، فإن هاتين الفئتين المتباينتين من التماثل تُصوَّران في حالتي لغز حزام الخدعة (أعلاه). فضاء السبينورات هو فضاء متجهي مساعد يُمكن إنشاؤه صراحةً في الإحداثيات، ولكنه في النهاية لا يوجد إلا حتى التشاكل، إذ لا يوجد بناء "طبيعي" له لا يعتمد على خيارات اعتباطية مثل أنظمة الإحداثيات. يُمكن ربط مفهوم السبينورات، ككائن رياضي مساعد، بأي فضاء متجهي مُجهز بصيغة تربيعية مثل الفضاء الإقليدي مع جداءه النقطي القياسي ، أو فضاء مينكوفسكي مع مقياس لورنتز الخاص به . في الحالة الأخيرة، تشمل "الدورانات" تعزيزات لورنتز ، ولكن بخلاف ذلك، فإن النظرية متشابهة إلى حد كبير.

في الفيزياء، يُعرف حقل السبينور بأنه حقل تقع قيمه ضمن تمثيل سبينوري. في فضاء مينكوفسكي ، أو بشكل أعم على فضاء زمكاني يسمح ببنية سبينورية ، تُشكَّل حزمة سبينور مرتبطة بحزمة السبينور الرئيسية وتمثيل سبينوري مُختار؛ وحقول السبينور هي مقاطع من هذه الحزمة. في الزمكان المسطح، يمكن تبسيط هذه الحزمة، لذا غالبًا ما تُكتب حقول السبينور ببساطة كدوال ذات قيم سبينورية على الزمكان.

أكثر حقول السبينور شيوعًا في الفيزياء النسبية هي حقول سبينور ديراك ، وويل ، وماجورانا . سبينور ديراك هو مقطع من حزمة السبينور المركبة الكاملة. في الأبعاد الزوجية، عندما ينقسم تمثيل السبينور إلى نصفين كيراليين، تُسمى مقاطع هذين الحدين بسبينورات ويل . أما سبينور ماجورانا فهو سبينور يحقق شرطًا واقعيًا، عندما يسمح تمثيل السبينور ذي الصلة بذلك.

تدخل حقول السبينور إلى الفيزياء من خلال معادلات مثل معادلة ديراك ومعادلة فايل ، وهما معادلتان تفاضليتان من الدرجة الأولى على حزمة السبينور. تصف هذه المعادلات الحقول النسبية ذات اللف المغزلي 1/2، وتلعب دورًا محوريًا في نظرية الحقل الكمومي والهندسة التفاضلية. لمزيد من التفاصيل، انظر: سبينور ديراك ، سبينور فايل ، سبينور ماجورانا ، وحزمة السبينور .

يُعدّ بناء السبينورات أحد أهم التطبيقات الرياضية، إذ يُتيح إمكانية بناء تمثيلات خطية صريحة لجبر لي للمجموعات المتعامدة الخاصة ، وبالتالي تمثيلات السبينورات للمجموعات نفسها. وعلى مستوى أعمق، وُجد أن السبينورات تُشكّل جوهر مناهج نظرية مؤشر أتياس-سينجر ، وتُوفّر على وجه الخصوص بنىً لتمثيلات السلاسل المنفصلة للمجموعات شبه البسيطة .

تتميز تمثيلات الدوران لجبر لي المتعامد الخاص عن تمثيلات الموتر المُعطاة بواسطة بناء فايل بالأوزان . فبينما تكون أوزان تمثيلات الموتر عبارة عن تراكيب خطية صحيحة لجذور جبر لي، فإن أوزان تمثيلات الدوران هي تراكيب خطية نصف صحيحة منها. يمكن الاطلاع على تفاصيل أكثر في مقال تمثيل الدوران .

يمكن وصف السبينور، بعبارات بسيطة، بأنه "متجهات فضاء ترتبط تحويلاتها بطريقة معينة بالدوران في الفضاء الفيزيائي". ^{[ 3 ]} بعبارة أخرى:

توفر السبينورات تمثيلاً خطياً لمجموعة الدورانات في الفضاء بأي عدد${\displaystyle n}$من الأبعاد، كل سبينور له${\displaystyle 2^{\nu }}$المكونات حيث${\displaystyle n=2\nu +1}$أو${\displaystyle 2\nu }$[ ^{4 ]​}

تم صياغة عدة طرق لتوضيح التشبيهات اليومية من حيث خدعة الصفيحة ، والتانغلويدات ، وأمثلة أخرى على تشابك التوجيه .

ومع ذلك، يُعتبر هذا المفهوم عموماً صعب الفهم للغاية، كما يتضح من تصريح مايكل عطية الذي رواه كاتب سيرة ديراك، غراهام فارميلو:

لا أحد يفهم السبينورات فهماً كاملاً. فجبرها مفهومٌ شكلياً، لكن دلالتها العامة غامضة. وهي تصف، بمعنى ما، "الجذر التربيعي" للهندسة، وكما استغرق فهم الجذر التربيعي للعدد -1 قروناً، فقد ينطبق الأمر نفسه على السبينورات. ^{[ 5 ]}

جبر كليفورد Cℓ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) مبني على أساس وحدة عددية واحدة، 1، ومتجهي وحدة متعامدين، σ ₁ و σ ₂ ، ووحدة واحدة كاذبة i = σ ₁ σ ₂ . من التعريفات أعلاه، يتضح أن ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = 1 و ( σ ₁ σ ₂ )( σ ₁ σ ₂ ) = − σ ₁ σ ₁ σ ₂ σ ₂ = −1 .

الجبر الجزئي الزوجي Cℓ ⁰ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$، الممتدة بواسطة عناصر أساسية متدرجة زوجية من Cℓ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$تحدد فضاءات السبينورات من خلال تمثيلاتها. وهي تتكون من تراكيب خطية حقيقية لـ 1 و σ1 _{σ2 .} كجبر حقيقي، Cℓ ⁰ 2,0 ₍${\displaystyle \mathbb {R} }$) متماثل مع حقل الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$ونتيجة لذلك، فإنه يسمح بعملية اقتران (مماثلة للاقتران المركب )، والتي تسمى أحيانًا عكس عنصر كليفورد، والمُعرَّف بواسطة $${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}}$$ والتي يمكن كتابتها، وفقًا لعلاقات كليفورد $${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}.}$$

تأثير عنصر كليفورد الزوجي γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) على المتجهات، التي تعتبر عناصر من الدرجة 1 من Cℓ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$يتم تحديد ), عن طريق تحويل متجه عام u = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ إلى المتجه $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},}$$ أين${\displaystyle \gamma ^{*}}$هو مرافق لـ${\displaystyle \gamma }$ويكون الناتج ضرب كليفورد. في هذه الحالة، يكون السبينور ^{[ e ]} عددًا مركبًا عاديًا. تأثير${\displaystyle \gamma }$على سبينور${\displaystyle \phi }$يُعطى ذلك من خلال الضرب المركب العادي: $${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi .}$$

من السمات المهمة لهذا التعريف التمييز بين المتجهات العادية والسبينورات، ويتجلى ذلك في كيفية تأثير العناصر ذات الدرجات الزوجية على كل منهما بطرق مختلفة. وبشكل عام، يكشف فحص سريع لعلاقات كليفورد أن العناصر ذات الدرجات الزوجية تتبادل مرافقاتها مع المتجهات العادية. $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}$$

من ناحية أخرى، بالمقارنة مع تأثيره على السبينورات${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }$، فعل${\displaystyle \gamma }$يظهر تأثيره على المتجهات العادية كمربع تأثيره على السبينورات.

لنأخذ على سبيل المثال دلالة ذلك على الدوران المستوي. يُقابل تدوير متجه بزاوية θ ^{المعادلة γ²} = exp( θ σ₁ _σ₂ ) ، وبالتالي يكون التأثير المقابل على السبينورات عبر المعادلة γ = ± exp( θ _σ₁ σ₂ _{/ 2} ) . عمومًا، وبسبب التفرع اللوغاريتمي ، يستحيل اختيار إشارة بطريقة متسقة. لذا، فإن تمثيل الدوران المستوي على السبينورات ثنائي القيمة.

في تطبيقات السبينورات ثنائية الأبعاد، يشيع استغلال حقيقة أن جبر العناصر ذات الدرجات الزوجية (أي حلقة الأعداد المركبة) مطابق لفضاء السبينورات. لذا، وبسبب سوء استخدام المصطلحات ، غالبًا ما يُخلط بينهما. فيُمكن حينها الحديث عن "تأثير السبينور على متجه". في السياق العام، تكون هذه العبارات بلا معنى. لكن في البعدين 2 و3 (كما هو الحال في تطبيقات رسومات الحاسوب ، على سبيل المثال ) تصبح ذات معنى.

جبر كليفورد Cℓ _3,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) تم بناؤه على أساس وحدة عددية واحدة، 1، وثلاثة متجهات وحدة متعامدة، σ ₁ و σ ₂ و σ ₃ ، والمثبتات الثلاثية للوحدات σ ₁ σ ₂ و σ ₂ σ ₃ و σ ₃ σ ₁ والعددية الكاذبة i = σ ₁ σ ₂ σ ₃ . من السهل توضيح أن ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = ( σ ₃ ) ² = 1 و ( σ ₁ σ ₂ ) ² = ( σ ₂ σ ₃ ) ² = ( σ ₃ σ ₁ ) ² = ( σ ₁ σ ₂ σ ₃ ) ² = −1 .

يتكون الجبر الفرعي للعناصر ذات الدرجات الزوجية من عمليات التمدد القياسي، $${\displaystyle u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,}$$ ودوران المتجهات $${\displaystyle u'=\gamma u\gamma ^{*},}$$ أين

$${\displaystyle \left.{\begin{aligned}\gamma &=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\{a_{1}\sigma _{2}\sigma _{3}+a_{2}\sigma _{3}\sigma _{1}+a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-iv\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}\right\}}$$

1

يتوافق مع دوران متجه بزاوية θ حول محور محدد بواسطة متجه وحدة v = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ + a ₃ σ ₃ .

كحالة خاصة، من السهل ملاحظة أنه إذا كانت v = σ ₃ ، فإن هذا يُعيد إنتاج دوران σ ₁ σ ₂ الذي تم تناوله في القسم السابق؛ وأن هذا الدوران يُبقي معاملات المتجهات في اتجاه σ ₃ ثابتة، لأن

$${\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}$$

المتجهات الثنائية σ ₂ σ ₃ ، σ ₃ σ ₁ و σ ₁ σ ₂ هي في الواقع رباعيات هاميلتون i و j و k ، التي تم اكتشافها في عام 1843:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}}$$

مع تحديد العناصر ذات الدرجات الزوجية مع الجبر${\displaystyle \mathbb {H} }$بالنسبة للأعداد الرباعية، كما هو الحال في البعدين، فإن التمثيل الوحيد لجبر العناصر ذات الدرجات الزوجية هو على نفسها. ^{[ و ]} وبالتالي فإن السبينورات (الحقيقية ^{[ ز ]} ) في ثلاثة أبعاد هي أعداد رباعية، ويتم إعطاء تأثير عنصر ذي درجة زوجية على سبينور عن طريق الضرب الرباعي العادي.

لاحظ أن التعبير (1) لدوران متجه بزاوية θ ، يُقسم الزاوية الظاهرة في γ على اثنين . وبالتالي، فإن دوران السبينور γ ( ψ ) = γψ (الضرب الرباعي العادي) سيُدير السبينور ψ بزاوية تساوي نصف قياس زاوية دوران المتجه المقابل. مرة أخرى، فإن مسألة تحويل دوران متجه إلى دوران سبينور ذات قيمتين: التعبير (1) مع (180° + θ /2) بدلًا من θ /2 سيُنتج نفس دوران المتجه، ولكن معكوس دوران السبينور.

أصبح تمثيل الدورانات في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام المصفوفة الدورانية/الكواترنيون شائعًا بشكل متزايد في هندسة الحاسوب والتطبيقات الأخرى، وذلك بسبب الإيجاز الملحوظ لمصفوفة الدوران المقابلة، والبساطة التي يمكن بها ضربها معًا لحساب التأثير المشترك للدوران المتتالي حول محاور مختلفة.

بالنظر إلى الفضاء المتجه V والشكل التربيعي g، يمكن تعريف تمثيل مصفوفة صريح لجبر كليفورد Cℓ( V , g ) على النحو التالي. اختر أساسًا متعامدًا معايرًا e ¹ ... e ⁿ لـ V ie g ( e ^μ e ^ν ) = η ^μν حيث η ^μμ = ±1 و η ^μν = 0 لـ μ ≠ ν . دع ك = ⌊ ن /2⌋ . أصلح مجموعة من المصفوفات 2 ^k × 2 ^k γ ¹ ... γ ⁿ بحيث تكون γ ^μ γ ^ν + γ ^ν γ ^μ = 2 η ^μν 1 (أي إصلاح اتفاقية لمصفوفات جاما ). ثم يمتد التخصيص e ^μ → γ ^μ بشكل فريد إلى تشاكل جبري Cℓ( V , g ) → Mat(2 ^k , ℂ) عن طريق إرسال الحد الأحادي e ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ e ^{μ _k} في جبر كليفورد إلى حاصل ضرب γ ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ γ ^{μ _k} من المصفوفات والتمديد الخطي. الفضاء${\displaystyle \Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}}$الفضاء الذي تؤثر عليه مصفوفات غاما هو فضاء من السبينورات. مع ذلك، يلزم بناء هذه المصفوفات بشكل صريح. في البعد الثالث، يؤدي تعريف مصفوفات غاما على أنها مصفوفات سيغما باولي إلى ظهور السبينورات ثنائية المكونات المألوفة المستخدمة في ميكانيكا الكم غير النسبية . وبالمثل، يؤدي استخدام مصفوفات غاما ديراك 4 × 4 إلى ظهور سبينورات ديراك رباعية المكونات المستخدمة في نظرية الحقل الكمومي النسبية ثلاثية الأبعاد (3+1) . عمومًا، لتعريف مصفوفات غاما من النوع المطلوب، يمكن استخدام مصفوفات فايل-براور .

في هذا البناء، يعتمد تمثيل جبر كليفورد Cℓ( V , g ) ، وجبر لي so ( V , g ) ، ومجموعة الدوران Spin( V , g ) ، على اختيار الأساس المتعامد واختيار مصفوفات غاما. قد يُسبب هذا التباسًا في الاصطلاحات، لكن الثوابت، كالآثار، مستقلة عن هذه الاختيارات. وعلى وجه الخصوص، يجب أن تكون جميع الكميات القابلة للرصد الفيزيائي مستقلة عن هذه الاختيارات. في هذا البناء، يُمكن تمثيل السبينور كمتجه من 2k ^عدد مركب، ويُرمز إليه بمؤشرات السبينور (عادةً α ، β ، γ ). في الأدبيات الفيزيائية، تُستخدم هذه المؤشرات غالبًا للدلالة على السبينورات حتى عند استخدام بناء سبينور مجرد.

توجد طريقتان مختلفتان على الأقل، ولكنهما متكافئتان جوهريًا، لتعريف السبينورات بشكل مجرد. تسعى إحدى الطريقتين إلى تحديد المُثُل الدنيا للفعل الأيسر لـ Cℓ( V , g ) على نفسه. هذه المُثُل هي فضاءات جزئية من جبر كليفورد على الصورة Cℓ( V , g ) ω ، والتي تقبل الفعل الواضح لـ Cℓ( V , g ) بالضرب الأيسر: c : xω → cxω . يوجد نوعان من هذا المفهوم: إما إيجاد عنصر أولي ω يكون عنصرًا نيلبوتنتيًا في جبر كليفورد، أو عنصرًا متساوي القوة . يُعد البناء عبر العناصر النيلبوتنتية أكثر جوهرية، إذ يُمكن من خلاله إنتاج عنصر متساوي القوة. ^{[ 17 ]} وبهذه الطريقة، تُعرَّف تمثيلات السبينورات بفضاءات جزئية معينة من جبر كليفورد نفسه. أما النهج الثاني فهو إنشاء فضاء متجهي باستخدام فضاء فرعي مميز من V ، ثم تحديد تأثير جبر كليفورد خارجيًا على ذلك الفضاء المتجهي.

في كلا النهجين، يتمثل المفهوم الأساسي في مفهوم الفضاء الجزئي المتناحي W. ويعتمد كل بناء على حرية أولية في اختيار هذا الفضاء الجزئي. من الناحية الفيزيائية، يتوافق هذا مع حقيقة أنه لا يوجد بروتوكول قياس يمكنه تحديد أساس لفضاء الدوران، حتى لو تم تحديد أساس مفضل لـ V.

كما سبق، نفرض أن ( V , g ) فضاء متجهي عقدي ذو بُعد n مزود بصيغة ثنائية خطية غير متدهورة. إذا كان V فضاءً متجهيًا حقيقيًا، فإننا نستبدل V بتكوينه العقدي.${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ولنرمز بـ g إلى الشكل الثنائي الخطي المستحث على${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ليكن W فضاءً جزئيًا متناحيًا أقصى، أي فضاءً جزئيًا أقصى من V بحيث يكون g | _W = 0. إذا كان n = 2k عددًا زوجيًا، فليكن W ′ فضاءً جزئيًا متناحيًا مكملًا لـ W. إذا كان n = 2k + 1 عددًا فرديًا، فليكن W ′ فضاءً جزئيًا متناحيًا أقصى بحيث يكون W ∩ W ′ = 0 ، وليكن U المتمم المتعامد لـ W ⊕ W ′ . في كلتا الحالتين، الزوجية والفردية الأبعاد، يكون بُعد W و W ′ هو k . في الحالة الفردية الأبعاد، يكون U أحادي البعد، ويمتد بواسطة متجه الوحدة u .

بما أن W ′ متناحية الخواص، فإن ضرب عناصر W ′ داخل Cℓ( V , g ) يكون معكوسًا . لذا، فإن المتجهات في W ′ مضادة للتبادل، و Cℓ( W ′ , g | _{W ′} ) = Cℓ( W ′ , 0) هي ببساطة الجبر الخارجي Λ ^* W ′ . بالتالي، فإن حاصل الضرب من الرتبة k لـ W ′ مع نفسها، W′k ، ^أحادي البعد. ليكن ω مولدًا لـ W′k . ^بدلالة أساس w′1 , ..., w′k _{لـ W} ′ ، أحد الاحتمالات هو وضع $${\displaystyle \omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.}$$

لاحظ أن ω² = 0 (أي أن ω عنصر عديم القوة من الرتبة 2)، وعلاوة على ذلك، فإن w′ω = 0 لجميع ^w ′ ∈ W ′ . يمكن إثبات الحقائق التالية بسهولة:

1. إذا كان n = 2k ، فإن المثالي الأيسر Δ = Cℓ( V , g ) ω هو مثالي أيسر أدنى. علاوة على ذلك، ينقسم هذا المثالي إلى فضاءي دوران Δ ₊ = Cℓ (ω ^زوجي ) و Δ− ₌ Cℓ(ω ^فردي ) عند تقييده بفعل جبر كليفورد الزوجي.
2. إذا كان n = 2 k + 1 ، فإن تأثير متجه الوحدة u على المثالي الأيسر Cℓ( V , g ) ω يقسم الفضاء إلى زوج من الفضاءات الذاتية المتماثلة غير القابلة للاختزال (يرمز لكليهما بـ Δ)، والتي تتوافق مع القيم الذاتية +1 و -1 على التوالي.

لنفترض، على سبيل المثال، أن n عدد زوجي. ولنفترض أن I مثالي يساري غير صفري مُحتوى في Cℓ( V , g ) ω . سنُبين أن I يجب أن يساوي Cℓ( V , g ) ω من خلال إثبات أنه يحتوي على مُضاعف قياسي غير صفري لـ ω .

حدد أساسًا wᵢ _{للمجموعة} W وأساسًا مكملًا wᵢ _′ للمجموعة W ′ بحيث

لاحظ أن أي عنصر من I يجب أن يكون على الصورة αω ، وذلك بناءً على افتراضنا أن I ⊂ Cℓ( V , g ) ω . ليكن αω ∈ I أي عنصر من هذا القبيل. باستخدام الأساس المختار، يمكننا كتابة $${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}}$$ حيث تمثل _aᵢ₁ ... _{iᵢₚ كميات} قياسية، و _{Bᵢₖ عناصر} مساعدة في جبر كليفورد. لاحظ _الآن أن الناتج $${\displaystyle \alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .}$$ اختر أي حد أحادي غير صفري a في مفكوك α ذي درجة تجانس قصوى في العناصر w _i : $${\displaystyle a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}}$$(لا يُقصد هنا الجمع)، إذن $${\displaystyle w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega }$$ هو مضاعف قياسي غير صفري لـ ω ، كما هو مطلوب.

لاحظ أنه بالنسبة لـ n الزوجية، تُظهر هذه الحسابات أيضًا أن $${\displaystyle \Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega }$$ كفضاء متجهي. في المساواة الأخيرة، استخدمنا مجددًا أن W متناحٍ. من الناحية الفيزيائية، يُظهر هذا أن Δ يُبنى كفضاء فوك عن طريق إنشاء سبينورات باستخدام مؤثرات الإنشاء المضادة للتبادل في W التي تعمل على فراغ ω .

تشير الحسابات باستخدام بناء المثالي الأدنى إلى إمكانية تعريف تمثيل السبينور مباشرةً باستخدام الجبر الخارجي Λ ^∗ W = ⊕ _j Λ ^j W للفضاء الجزئي المتناحي W. لنفترض أن Δ = Λ ^∗ W يرمز إلى الجبر الخارجي لـ W باعتباره فضاءً متجهيًا فقط. سيكون هذا هو تمثيل السبينور، وستُسمى عناصره بالسبينورات. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

يُعرَّف تأثير جبر كليفورد على Δ أولًا بتحديد تأثير عنصر من V على Δ، ثم بإثبات أن هذا التأثير يحافظ على علاقة كليفورد، وبالتالي يمتد إلى تشاكل من جبر كليفورد الكامل إلى حلقة التشاكلات الداخلية End(Δ) وفقًا للخاصية العامة لجبر كليفورد . وتختلف التفاصيل قليلًا تبعًا لما إذا كان بُعد V زوجيًا أم فرديًا.

عندما يكون بُعد V زوجيًا، فإن V = W ⊕ W ′ حيث W ′ هو المتمم المتساوي الخواص المُختار. وبالتالي، فإن أي متجه v ∈ V يتحلل بشكل فريد إلى v = w + w ′ حيث w ∈ W و w ′ ∈ W ′ . يُعطى تأثير v على متجه الدوران بالعلاقة التالية:$${\displaystyle c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)}$$ حيث يمثل i ( w ′ ) الضرب الداخلي مع w ′ باستخدام الصيغة التربيعية غير المنحلة لتعريف V مع V ^* ، ويرمز ε ( w ) إلى الضرب الخارجي . يُطلق على هذا الفعل أحيانًا اسم ضرب كليفورد . ويمكن التحقق من ذلك. $${\displaystyle c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,}$$ وبالتالي فإن c يحترم علاقات كليفورد ويمتد إلى تماثل من جبر كليفورد إلى End(Δ).

يتحلل تمثيل الدوران Δ بشكل أكبر إلى زوج من التمثيلات المعقدة غير القابلة للاختزال لمجموعة الدوران ^{[ 20 ]} (تمثيلات نصف الدوران، أو دورانات فايل) عبر $${\displaystyle \Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.}$$

عندما يكون بُعد V فرديًا، فإن V = W ⊕ U ⊕ W ′ ، حيث U عبارة عن متجه وحدة u متعامد مع W. يُعرَّف فعل كليفورد c كما سبق على W ⊕ W ′ ، بينما يُعرَّف فعل كليفورد لمضاعفات u كما يلي:$${\displaystyle c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}}$$ كما في السابق، يتم التحقق من أن c يحترم علاقات كليفورد، وبالتالي يؤدي إلى تماثل.

إذا كان للفضاء المتجهي V بنية إضافية توفر تفكيكًا لتعقيده إلى فضاءين فرعيين متساويي الخواص، فإن تعريف السبينورات (بأي من الطريقتين) يصبح طبيعيًا.

المثال الرئيسي هو حالة كون الفضاء المتجهي الحقيقي V فضاءً متجهيًا هيرميتيًا ( V , g ) ، أي أن V مزود ببنية معقدة J تمثل تحويلًا متعامدًا بالنسبة للجداء الداخلي g على V. عندئذٍ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$تنقسم الفضاءات الذاتية ± i لـ J. هذه الفضاءات الذاتية متناحية الخواص بالنسبة لتعقيد g ، ويمكن تحديدها مع فضاء المتجهات المركب ( V , J ) ومرافقه المركب ( V , −J ) . لذلك، بالنسبة لفضاء متجهات هيرميتي ( V , g )، فإن فضاء المتجهات${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}}$(وكذلك مرافقه المعقد)${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V}$) هو فضاء سبينور للفضاء المتجهي الإقليدي الحقيقي الأساسي.

باستخدام فعل كليفورد المذكور أعلاه، ولكن مع الانكماش باستخدام الصيغة الهرميتية، يُعطي هذا البناء فضاءً سبينوريًا عند كل نقطة من مشعب هرميتي تقريبًا ، وهو السبب في أن كل مشعب شبه معقد (وخاصة كل مشعب سيمبلكتيكي ) يمتلك بنية سبين ^c . وبالمثل، فإن كل حزمة متجهات معقدة على مشعب ما تحمل بنية سبين ^c . ^{[ 21 ]}

إذا كان n = 2k زوجيًا ، فإن حاصل الضرب الموتري لـ Δ مع التمثيل المتضاد يتحلل إلى $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}}$$ ويمكن ملاحظة ذلك بوضوح من خلال النظر (في البناء الصريح) في تأثير جبر كليفورد على العناصر القابلة للتحليل αω ⊗ βω ′ . وتنتج الصيغة الأخيرة من خصائص تحويل مؤثر نجمة هودج . تجدر الإشارة إلى أنه عند التقييد بجبر كليفورد الزوجي، تكون الحدود المزدوجة Γ _p ⊕ σ Γ _p متماثلة، ولكنها ليست كذلك في ظل جبر كليفورد الكامل.

يوجد تطابق طبيعي بين Δ وتمثيله المضاد عبر الاقتران في جبر كليفورد: $${\displaystyle (\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).}$$ لذا ، فإن Δ ⊗ Δ يتحلل أيضًا بالطريقة المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، في ظل جبر كليفورد الزوجي، تتحلل تمثيلات نصف الدوران $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}}$$

بالنسبة للتمثيلات المعقدة لجبر كليفورد الحقيقي، فإن بنية الواقع المرتبطة بجبر كليفورد المعقد تنحدر إلى فضاء السبينورات (عبر البناء الصريح بدلالة المُثُل الدنيا، على سبيل المثال). وبهذه الطريقة، نحصل على المرافق المعقد Δ للتمثيل Δ، ويتضح أن التشاكل التالي صحيح: $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}}$$

تجدر الإشارة تحديدًا إلى أن تمثيل Δ لمجموعة الدوران المتعامدة هو تمثيل وحدوي . وبشكل عام، توجد تحليلات كليبيش-غوردان. $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).}$$

في التوقيع المتري ( p , q ) ، تنطبق التشاكلات التالية على تمثيلات نصف الدوران المترافقة.

• إذا كانت قيمة q زوجية، فإن${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}}$و${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.}$
• إذا كانت قيمة q فردية، فإن${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}}$و${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.}$

باستخدام هذه التشاكلات، يمكن للمرء أن يستنتج تحليلات مماثلة لمنتجات الموتر لتمثيلات نصف الدوران Δ _± ⊗ Δ _± .

إذا كان n = 2k + 1 عددًا فرديًا، فإن $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.}$$ في الحالة الحقيقية، مرة أخرى، يظل التماثل قائماً $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.}$$ وبالتالي، يوجد تحليل كليبش-غوردان (باستخدام نجمة هودج للازدواجية مرة أخرى) معطى بواسطة $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}}$$

تترتب على تحليلات كليبيش-غوردان لفضاءات السبينور العديد من النتائج بعيدة المدى. وتتعلق أهم هذه النتائج بنظرية ديراك للإلكترون، والتي من بين متطلباتها الأساسية ما يلي:

• طريقة لاعتبار حاصل ضرب اثنين من السبينورات ϕ ψ كمية قياسية. من الناحية الفيزيائية، ينبغي أن يحدد السبينور سعة احتمالية للحالة الكمومية .
• طريقة للنظر إلى حاصل ضرب ψ ϕ كمتجه. هذه سمة أساسية في نظرية ديراك، التي تربط شكلية السبينور بهندسة الفضاء الفيزيائي.
• طريقة للنظر إلى السبينور على أنه يؤثر على متجه، من خلال تعبير مثل ψv ψ . من الناحية الفيزيائية، يمثل هذا تيارًا كهربائيًا في نظرية ماكسويل الكهرومغناطيسية ، أو بشكل أعم تيار احتمالي .

أحد مصادر الالتباس هو استخدام مصطلحات "حقيقي" و "مركب" و "رباعي" بمعنيين متقاربين لكنهما ليسا متطابقين: فقد تشير إلى الحقل الأساسي لوحدة كليفورد مختارة، أو إلى نوع (يُسمى أيضًا نوع شور ) تمثيل الدوران غير القابل للاختزال. بالنسبة لمجموعة الدوران، يُعدّ المفهوم الثاني هو الأكثر فائدة.

يترك${\displaystyle S}$ليكن تمثيلًا معقدًا غير قابل للاختزال للدوران لـ${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$. ثم${\displaystyle S}$يقال إنه

• من النوع الحقيقي إذا كان هناك${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$خريطة مضادة خطية متغيرة${\displaystyle J:S\to S}$مع${\displaystyle J^{2}=+1}$;
• من النوع الرباعي (أو شبه الحقيقي ) إذا كانت هناك خريطة من هذا النوع مع${\displaystyle J^{2}=-1}$;
• من النوع المركب إذا لم توجد خريطة مضادة خطية متكافئة، أو بشكل مكافئ إذا${\displaystyle S}$ومركبه المعقد${\displaystyle {\overline {S}}}$غير متكافئين.

متى${\displaystyle S}$هي من النوع الحقيقي، مجموعة النقطة الثابتة لـ${\displaystyle J}$يُعطي شكلاً حقيقياً للتمثيل؛ وهذا هو الأصل الجبري لشروط ماجورانا . عندما${\displaystyle S}$من النوع الرباعي، يحمل التمثيل بنية رباعية ثابتة ولكن ليس بنية حقيقية ثابتة على وحدة معقدة غير قابلة للاختزال. ^{[ 23 ]}

يرجع سبب نمط mod-8 إلى أن السبينورات هي بطبيعتها وحدات لجبر كليفورد الزوجي${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}$. لو${\displaystyle S}$هو حقيقي غير قابل للاختزال${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}$-وحدة، ثم بحسب ليمّة شور جبرها التبادلي $${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}(S)}$$ هي جبر قسمة حقيقي ذو أبعاد منتهية. وبحسب نظرية فروبينيوس ، فهي بالتالي متماثلة مع واحد فقط من $${\displaystyle \mathbb {R} ,\qquad \mathbb {C} ,\qquad \mathbb {H} .}$$ هذه الاحتمالات الثلاثة هي تحديدًا الأنواع الحقيقية والمركبة والرباعية. باستخدام التعريف القياسي لجبر كليفورد الزوجي مع جبر كليفورد في بُعد أقل، بالإضافة إلى دورية بوت ، نجد أن النوع يعتمد فقط على${\displaystyle p-q{\pmod {8}}}$[ ^{24 ]​}

نوع الواقع لتمثيلات الدوران غير القابلة للاختزال

الأبعاد${\displaystyle n=p+q}$	${\displaystyle p-q{\pmod {8}}}$	تمثيل الدوران المعقد غير القابل للاختزال	يكتب	عاقبة
غريب	1، 7	${\displaystyle S}$	حقيقي	${\displaystyle S}$يقبل بنية حقيقية ثابتة
غريب	3، 5	${\displaystyle S}$	الرباعي	${\displaystyle S}$يقبل بنية رباعية ثابتة
حتى	0	${\displaystyle S^{+},S^{-}}$	حقيقي	كل تمثيل لـ Weyl يقبل بنية حقيقية؛ سبينورات ماجورانا-Weyl ممكنة
حتى	2، 6	${\displaystyle S^{+},S^{-}}$	معقد	${\displaystyle S^{-}\cong {\overline {S^{+}}}}$التمثيل الواحد لـ Weyl ليس حقيقياً ولا رباعياً
حتى	4	${\displaystyle S^{+},S^{-}}$	الرباعي	كل تمثيل من تمثيلات ويل يسمح ببنية رباعية ثابتة

وهكذا، على سبيل المثال، تكون السبينورات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد رباعية، وسبينورات فايل في الفضاء الإقليدي رباعية الأبعاد رباعية، وسبينورات فايل في التوقيع اللورنتزي${\displaystyle (3,1)}$هي مترافقة معقدة لبعضها البعض، وموجات ويل ذات توقيع منقسم${\displaystyle (1,1)}$حقيقية، وموجات ويل الإقليدية ذات الأبعاد الثمانية حقيقية.

أحد المصادر الشائعة للاختلاف الظاهر بين الجداول في الأدبيات هو أن بعض المؤلفين يصنفون الوحدات غير القابلة للاختزال لجبر كليفورد الحقيقي الكامل${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}}$بينما يصنف آخرون تمثيلات الدوران لـ${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$بما أن مجموعة الدوران تقع في جبر كليفورد الزوجي، فإن هذين الجدولين يختلفان بإزاحة خطوة واحدة في نمط mod-8.