الطفو

الطفو ( يُلفظ / ˈbɔɪənsi / ، ˈbuːjənsi / ) ، [ ^{1 ]} [ ² ] ^أو قوة الدفع الصاعدة ، هو القوة التي يبذلها سائل لمقاومة وزن جسم ^{مغمور جزئيًا أو كليًا} (والذي قد يكون أيضًا جزءًا من السائل ) . في عمود من السائل، ^يزداد الضغط مع العمق نتيجة لوزن السائل الموجود فوقه. وبالتالي ، يكون الضغط في قاع عمود السائل أكبر منه في قمته. وبالمثل، يكون الضغط في قاع جسم مغمور في سائل أكبر منه في قمته. ينتج عن فرق الضغط قوة صافية صاعدة على الجسم. يتناسب مقدار هذه القوة طرديًا مع فرق الضغط، وهو (كما يوضح مبدأ أرخميدس ) يعادل وزن السائل الذي كان سيشغل الحجم المغمور من الجسم، أي السائل المزاح .

لهذا السبب، يميل الجسم الخاضع لتأثير الجاذبية ^{[ 3 ]} والذي تبلغ كثافته المتوسطة أكثر من كثافة السائل المحيط به إلى الغرق لأن وزنه أكبر من وزن السائل الذي يزيحه. أما إذا كان الجسم أقل كثافة، فإن قوة الطفو تُبقيه طافيًا. ^{[ 4 ]}

ينطبق الطفو أيضًا على مخاليط السوائل، وهو القوة الدافعة الأكثر شيوعًا لتيارات الحمل الحراري . في هذه الحالات، يتم تعديل النموذج الرياضي ليناسب الأوساط المتصلة ، لكن المبادئ تبقى كما هي. من أمثلة التدفقات المدفوعة بالطفو الانفصال التلقائي للهواء عن الماء أو الزيت عن الماء.

الطفو هو دالة لقوة الجاذبية أو أي مصدر تسارع آخر يؤثر على الأجسام ذات الكثافات المختلفة، ولذلك يُعتبر قوة ظاهرية، تمامًا كما أن قوة الطرد المركزي هي قوة ظاهرية كدالة للقصور الذاتي. يمكن أن يوجد الطفو في بيئات خالية من الجاذبية، ولكن بدون مصدر تسارع يُنشئ إطارًا مرجعيًا غير قصوري ، لا يوجد الطفو.

مركز الطفو لجسم ما هو مركز ثقل حجم السائل المزاح.

سُمّي مبدأ أرخميدس نسبةً إلى أرخميدس السرقوسي ، الذي اكتشف هذا القانون لأول مرة عام 212 قبل الميلاد. ^{[ 5 ]} بالنسبة للأجسام، سواء كانت طافية أو غارقة، وفي الغازات وكذلك السوائل (أي الموائع )، يمكن صياغة مبدأ أرخميدس على النحو التالي من حيث القوى:

أي جسم، مغمور كليًا أو جزئيًا في سائل، يتعرض لقوة دفع تساوي وزن السائل الذي يزيحه الجسم.

—مع التوضيحات التالية: بالنسبة لجسم غارق، يكون حجم السائل المزاح هو حجم الجسم، وبالنسبة لجسم طافٍ على سائل، يكون وزن السائل المزاح هو وزن الجسم. ^{[ 6 ]}

رياضياً نلاحظ.

${\displaystyle \mathbf {F_{B}} =-\mathbf {F_{g}} =-\rho V{\textbf {g}}}$

أين${\displaystyle \mathbf {g} }$هو التسارع الجاذبي المحلي،${\displaystyle \rho }$كثافة السائل، و${\displaystyle V}$الحجم المزاح؛ تنشأ الإشارة السالبة لأن قوة الطفو تعمل في الاتجاه المعاكس لوزن الجسم. لا يأخذ مبدأ أرخميدس في الاعتبار التوتر السطحي (الخاصية الشعرية) المؤثر على الجسم، ^{[ 7 ]} ولكن هذه القوة الإضافية تُغير فقط كمية السائل المزاح والتوزيع المكاني للإزاحة ، لذا فإن المبدأ${\displaystyle \mathbf {F_{B}} =-\mathbf {F_{g}} }$لا يزال ساري المفعول.

من المهم ملاحظة أن كثافة الجسم تُعرَّف بأنها كتلته لكل وحدة حجم.

${\displaystyle \rho ={\frac {M}{V}}}$

إذا كان الجسم مغمورًا بالكامل، وافترضنا أن محصلة القوى المؤثرة عليه في الاتجاه الرأسي تساوي صفرًا، فإن حجم الإزاحة في هذه الحالة يساوي حجم الجسم نفسه.

${\displaystyle F_{\text{net}}=0=F_{B}-F_{g}=\rho _{\text{fluid}}Vg-\rho _{\text{obj}}Vg\implies \rho _{\text{fluid}}=\rho _{\text{obj}}}$

هذا يعني أن الأجسام ذات الكثافة الأكبر من كثافة السائل ستغرق، بينما الأجسام ذات الكثافة الأقل ستطفو. مثال: إذا أسقط شخص قطعة خشب في الماء، فإن قوة الطفو ستبقيها طافية.

من التطبيقات الشائعة لمبدأ أرخميدس الوزن الهيدروستاتيكي . لنفترض أننا نستطيع قياس قوة الشد في كتلة معلقة بواسطة مسبار قوة. بافتراض مبدأ أرخميدس، عندما تكون الكتلة مغمورة في السائل وتكون محصلة القوى صفرًا،

${\displaystyle F_{\text{net}}=0=F_{B}+F_{T}-F_{g}=\rho _{\text{fluid}}Vg+F_{T}-mg}$

${\displaystyle \implies V={\frac {mg-F_{T}}{\rho _{\text{fluid}}g}}}$

تذكر أن تعريف حالات الكثافة

${\displaystyle \rho _{\text{obj}}={\frac {m}{V}}={\frac {mg\rho _{\text{fluid}}}{mg-F_{T}}}}$

وبالتالي، يمكن حساب كثافة الجسم المغمور بالنسبة لكثافة السائل بسهولة دون قياس أي أحجام. فيما يلي، يمكننا الإشارة إلى نسبة الكثافات.

${\displaystyle {\frac {\rho _{\text{obj}}}{\rho _{\text{fluid}}}}={\frac {F_{g}}{F_{g}-F_{\text{app}}}}\,}$

المعادلة المستخدمة لحساب الضغط داخل سائل في حالة توازن هي:

${\displaystyle \mathbf {f} +\operatorname {div} \,\sigma =0}$

حيث f هي كثافة القوة التي يؤثر بها مجال خارجي على السائل، و σ هو موتر إجهاد كوشي . في هذه الحالة، يكون موتر الإجهاد متناسبًا مع موتر الوحدة.

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}.\,}$

هنا ، δ _ij هي دالة كرونكر دلتا . وباستخدامها، تصبح المعادلة أعلاه كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla p.\,}$

بافتراض أن مجال القوة الخارجي محافظ، أي أنه يمكن كتابته على أنه التدرج السالب لدالة ذات قيمة عددية معينة:

${\displaystyle \mathbf {f} =-\nabla \Phi .\,}$

ثم:

${\displaystyle \nabla (p+\Phi )=0\Longrightarrow p+\Phi ={\text{constant}}.\,}$

لذا، فإن شكل السطح المفتوح للسائل يساوي مستوى تساوي الجهد لحقل القوة المحافظة الخارجية المؤثرة. لنفترض أن المحور z يشير إلى الأسفل. في هذه الحالة، يكون الحقل هو الجاذبية، وبالتالي فإن Φ  =  − ρ _f gz حيث g هو تسارع الجاذبية، و ρ _f هي كثافة كتلة السائل. بافتراض أن الضغط يساوي صفرًا عند السطح، حيث z يساوي صفرًا، فإن الثابت يساوي صفرًا، وبالتالي فإن الضغط داخل السائل، عندما يخضع للجاذبية، هو

${\displaystyle p=\rho _{f}gz.\,}$

لذا، يزداد الضغط مع العمق تحت سطح السائل، حيث يرمز z إلى المسافة من سطح السائل إلى داخله. أي جسم ذي عمق رأسي غير صفري سيكون له ضغط مختلف على قمته وقاعدته، ويكون الضغط على القاع أكبر. هذا الاختلاف في الضغط هو ما يُسبب قوة الطفو إلى الأعلى.

يمكن الآن حساب قوة الطفو المؤثرة على جسم ما بسهولة، نظرًا لمعرفة الضغط الداخلي للسائل. ويمكن حساب هذه القوة بتكامل موتر الإجهاد على سطح الجسم الملامس للسائل.

${\displaystyle \mathbf {B} =\oint \sigma \,d\mathbf {A} .}$

يمكن تحويل التكامل السطحي إلى تكامل حجمي بمساعدة نظرية جاوس :

${\displaystyle \mathbf {B} =\int \operatorname {div} \sigma \,dV=-\int \mathbf {f} \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \int \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} V}$

حيث V هو مقياس الحجم الملامس للسائل، أي حجم الجزء المغمور من الجسم، لأن السائل لا يمارس قوة على الجزء من الجسم الموجود خارجه.

يمكن فهم مقدار قوة الطفو بشكل أفضل من خلال الحجة التالية. لنفترض وجود جسم ذي شكل وحجم V محاط بسائل. القوة التي يؤثر بها السائل على الجسم داخله تساوي وزن السائل بحجم مساوٍ لحجم الجسم. وتُطبَّق هذه القوة في اتجاه معاكس لقوة الجاذبية، أي أن مقدارها:

${\displaystyle B=\rho _{f}V_{\text{disp}}\,g,\,}$

حيث ρ _f هي كثافة السائل، و V _disp هو حجم الجسم السائل المزاح، و g هو تسارع الجاذبية في الموقع المعني.

إذا استُبدل هذا الحجم من السائل بجسم صلب له نفس الشكل تمامًا، فإن القوة التي يؤثر بها السائل عليه ستكون هي نفسها تمامًا كما ذُكر أعلاه. بعبارة أخرى، فإن "قوة الطفو" المؤثرة على جسم مغمور تكون موجهة في الاتجاه المعاكس للجاذبية، وتساوي في مقدارها قوة الطفو.

${\displaystyle B=\rho _{f}Vg.\,}$

على الرغم من صحة الاشتقاق المذكور أعلاه لمبدأ أرخميدس، إلا أن ورقة بحثية حديثة للفيزيائي البرازيلي فابيو إم إس ليما تقدم منهجًا أكثر عمومية لتقييم قوة الطفو التي يؤثر بها أي سائل (حتى غير المتجانس) على جسم ذي شكل عشوائي. ^{[ 8 ]} ومن المثير للاهتمام أن هذه الطريقة تؤدي إلى التنبؤ بأن قوة الطفو المؤثرة على كتلة مستطيلة تلامس قاع وعاء تتجه نحو الأسفل! وقد تم تأكيد هذه القوة تجريبيًا. ^{[ 9 ]}

يجب أن تكون محصلة القوى المؤثرة على الجسم صفرًا لكي تكون الحالة من حالات سكون الموائع بحيث ينطبق مبدأ أرخميدس، وبالتالي فهي مجموع قوة الطفو ووزن الجسم.

${\displaystyle F_{\text{net}}=0=mg-\rho _{f}V_{\text{disp}}g\,}$

إذا تجاوزت قوة الطفو لجسم (غير مقيد وغير مزود بقوة دفع) وزنه، فإنه يميل إلى الارتفاع. أما الجسم الذي يتجاوز وزنه قوة طفوه، فإنه يميل إلى الغرق. لا يمكن حساب القوة الصاعدة المؤثرة على جسم مغمور خلال فترة تسارعه باستخدام مبدأ أرخميدس وحده؛ بل من الضروري مراعاة ديناميكيات الجسم التي تتضمن قوة الطفو. بمجرد أن يغرق الجسم بالكامل في قاع السائل أو يرتفع إلى السطح ويستقر، يمكن تطبيق مبدأ أرخميدس وحده. بالنسبة للجسم الطافي، يزيح الحجم المغمور فقط الماء. أما بالنسبة للجسم الغارق، فإن الحجم بأكمله يزيح الماء، وستكون هناك قوة رد فعل إضافية من القاع الصلب.

لكي يُستخدم مبدأ أرخميدس وحده، يجب أن يكون الجسم المعني في حالة توازن (يجب أن يكون مجموع القوى المؤثرة على الجسم صفرًا)، لذلك؛

${\displaystyle mg=\rho _{f}V_{\text{disp}}g,\,}$

وبالتالي

${\displaystyle m=\rho _{f}V_{\text{disp}}.\,}$

مما يدل على أن العمق الذي سيغوص إليه الجسم العائم، وحجم السائل الذي سيزيحه، مستقل عن مجال الجاذبية بغض النظر عن الموقع الجغرافي.

( ملاحظة: إذا كان السائل المعني هو مياه البحر ، فلن تكون له نفس الكثافة ( ρ ) في كل موقع، لأن الكثافة تعتمد على درجة الحرارة والملوحة . لهذا السبب، قد تعرض السفينة خط بليمسول . )

قد تتدخل قوى أخرى غير الطفو والجاذبية. يحدث هذا إذا كان الجسم مقيدًا أو إذا غرق في القاع الصلب. يحتاج الجسم الذي يميل إلى الطفو إلى قوة شد (T) ليظل مغمورًا بالكامل. أما الجسم الذي يميل إلى الغرق، فسيخضع في النهاية لقوة رد فعل (N) من القاع الصلب. يمكن أن تكون قوة رد الفعل هذه هي قوة الشد في ميزان زنبركي يقيس وزنه في السائل، وهي التي تُعرّف الوزن الظاهري.

إذا كان الجسم سيطفو لولا ذلك، فإن قوة الشد اللازمة لتقييده وهو مغمور بالكامل هي:

${\displaystyle T=\rho _{f}Vg-mg.\,}$

عندما يستقر جسم غارق على أرضية صلبة، فإنه يتعرض لقوة عمودية مقدارها:

${\displaystyle N=mg-\rho _{f}Vg.\,}$

هناك صيغة أخرى لحساب قوة الطفو لجسم ما، وهي إيجاد وزنه الظاهري في الهواء (بالنيوتن)، ووزنه الظاهري في الماء (بالنيوتن). ولإيجاد قوة الطفو المؤثرة على الجسم في الهواء، باستخدام هذه المعلومات، تُطبَّق الصيغة التالية:

قوة الطفو = وزن الجسم في الفراغ - وزن الجسم المغمور في السائل

سيتم قياس النتيجة النهائية بالنيوتن.

كثافة الهواء ضئيلة للغاية مقارنة بمعظم المواد الصلبة والسائلة. ولهذا السبب، فإن وزن الجسم في الهواء يُقارب وزنه الحقيقي في الفراغ. يُهمل تأثير طفو الهواء لمعظم الأجسام أثناء القياس في الهواء لأن الخطأ الناتج عنه عادةً ما يكون ضئيلاً (أقل من 0.1% في الغالب، باستثناء الأجسام ذات الكثافة المتوسطة المنخفضة جدًا، مثل البالون أو الرغوة الخفيفة).

نموذج مبسط

يمكن تلخيص شرح مبسط لتكامل الضغط على منطقة التلامس على النحو التالي:

تخيل مكعبًا مغمورًا في سائل وسطحه العلوي أفقي.

الجوانب متطابقة في المساحة، ولها نفس توزيع العمق، وبالتالي فإن لها نفس توزيع الضغط، وبالتالي نفس القوة الكلية الناتجة عن الضغط الهيدروستاتيكي، والتي تُمارس بشكل عمودي على مستوى سطح كل جانب.

يوجد زوجان من الأضلاع المتقابلة، وبالتالي فإن القوى الأفقية الناتجة تتوازن في كلا الاتجاهين المتعامدين، وتكون القوة الناتجة صفرًا.

القوة المؤثرة لأعلى على المكعب هي الضغط الواقع على سطحه السفلي، مُكاملًا على مساحته. وبما أن السطح يقع على عمق ثابت، فإن الضغط ثابت أيضًا. لذا، فإن تكامل الضغط على مساحة السطح السفلي الأفقي للمكعب يساوي الضغط الهيدروستاتيكي عند ذلك العمق مضروبًا في مساحة السطح السفلي.

وبالمثل، فإن القوة المؤثرة لأسفل على المكعب هي الضغط على سطحه العلوي مُكاملًا على مساحته. وبما أن السطح يقع على عمق ثابت، فإن الضغط ثابت أيضًا. لذا، فإن تكامل الضغط على مساحة السطح العلوي الأفقي للمكعب يساوي الضغط الهيدروستاتيكي عند ذلك العمق مضروبًا في مساحة السطح العلوي.

بما أن هذا مكعب، فإن السطحين العلوي والسفلي متطابقان في الشكل والمساحة، وفرق الضغط بين الجزء العلوي والسفلي من المكعب يتناسب طرديًا مع فرق العمق، وفرق القوة الناتج يساوي تمامًا وزن السائل الذي كان سيشغل حجم المكعب في غيابه.

وهذا يعني أن القوة المحصلة لأعلى على المكعب تساوي وزن السائل الذي يمكن أن يتناسب مع حجم المكعب، والقوة المحصلة لأسفل على المكعب هي وزنه، في حالة عدم وجود قوى خارجية.

هذا التشبيه صالح للاختلافات في حجم المكعب.

إذا وُضع مكعبان متجاورين بحيث يكون وجه كل منهما متلامسًا، فإن الضغوط والقوى الناتجة على الجوانب أو الأجزاء المتلامسة منهما تكون متوازنة ويمكن إهمالها، لأن أسطح التلامس متساوية في الشكل والحجم وتوزيع الضغط، وبالتالي فإن قوة الطفو لمكعبين متلامسين تساوي مجموع قوى الطفو لكل مكعب. ويمكن تعميم هذا القياس على أي عدد من المكعبات.

يمكن تقريب أي جسم، مهما كان شكله، كمجموعة من المكعبات المتلامسة، وكلما صغر حجم المكعب، زادت دقة التقريب. أما الحالة الحدية للمكعبات متناهية الصغر فهي التكافؤ التام.

لا تنفي الأسطح المائلة التشبيه حيث يمكن تقسيم القوة الناتجة إلى مكونات متعامدة والتعامل مع كل منها بنفس الطريقة.

الاستقرار الساكن

يكون الجسم الطافي مستقرًا إذا كان يميل إلى استعادة وضعه الأصلي بعد إزاحة طفيفة. فعلى سبيل المثال، تتمتع الأجسام الطافية عمومًا باستقرار رأسي، إذ إذا دُفع الجسم لأسفل قليلًا، فإن ذلك يُولّد قوة طفو أكبر، والتي، في حال عدم توازنها مع قوة الوزن، تدفع الجسم إلى الأعلى.

يُعدّ الاستقرار الدوراني ذا أهمية بالغة للسفن العائمة. فمع إزاحة زاوية صغيرة، قد تعود السفينة إلى موضعها الأصلي (مستقرة)، أو تبتعد عن موضعها الأصلي (غير مستقرة)، أو تبقى في مكانها (محايدة).

يعتمد استقرار الجسم الدوراني على خطوط عمل القوى المؤثرة عليه. تؤثر قوة الطفو الصاعدة على الجسم من خلال مركز الطفو، وهو مركز ثقل حجم السائل المزاح. أما قوة الوزن فتؤثر على الجسم من خلال مركز ثقله . ويكون الجسم الطافي مستقرًا إذا كان مركز ثقله أسفل مركز الطفو، لأن أي إزاحة زاوية ستُحدث حينها عزمًا مُعيدًا للاستقرار .

إن استقرار جسم طافٍ على السطح أمر معقد، وقد يظل مستقرًا حتى لو كان مركز ثقله أعلى من مركز طفوه، شريطة أن يتحرك مركز الطفو، عند إزاحته عن وضع التوازن، إلى نفس الجانب الذي يتحرك فيه مركز الثقل، مما يُولّد عزمًا موجبًا لإعادة التوازن. في هذه الحالة، يُقال إن للجسم الطافي ارتفاعًا ميتا-مركزيًا موجبًا . ويسري هذا الوضع عادةً ضمن نطاق من زوايا الميل، حيث لا يتحرك مركز الطفو خارج هذا النطاق بالقدر الكافي لتوليد عزم موجب لإعادة التوازن، فيصبح الجسم غير مستقر. ومن الممكن أن ينتقل مركز الطفو من موجب إلى سالب أو العكس أكثر من مرة أثناء اضطراب الميل، وتكون العديد من الأشكال مستقرة في أكثر من وضع.

الطفو خاصية لأي جسم ذي حجم مغمور في أي سائل ذي كثافة معينة في مجال جاذبية أو يخضع لتسارع. توجد ثلاث حالات ممكنة للطفو. ^{[ 10 ]}

عندما يرتفع جسم مغمور أو ينخفض ​​في سائل، يتغير الضغط الخارجي المؤثر عليه، وبما أن جميع الأجسام قابلة للانضغاط بدرجة ما، فإن حجم الجسم يتغير أيضاً. تعتمد قوة الطفو على الحجم، لذا تقل قوة الطفو للجسم عند انضغاطه وتزداد عند تمدده. كما تتغير قوة الطفو بتغير كثافة السائل الخارجي.

إذا كان انضغاط جسم في حالة اتزان أقل من انضغاط السائل المحيط به، فإن اتزان الجسم يكون مستقرًا، وأي إزاحة عن العمق المحايد تُعدّ تصحيحًا، وسيعود إلى العمق المحايد. أما إذا كان انضغاطه أكبر، فإن اتزانه يكون غير مستقر ، فيرتفع ويتمدد عند أدنى اضطراب صاعد، أو ينخفض ​​وينضغط عند أدنى اضطراب هابط.

إذا كان وزن الجسم أقل من وزن السائل المزاح عند غمره بالكامل، فإن متوسط ​​كثافة الجسم يكون أقل من كثافة السائل، وعند غمره بالكامل، يتعرض لقوة طفو أكبر من وزنه. يُسمى هذا الطفو الموجب . ^{[ 13 ]} إذا كان للسائل سطح، مثل ماء البحيرة أو البحر، فإن الجسم سيطفو ويستقر عند مستوى يُزيح فيه من السائل نفس وزن الجسم. أما إذا كان الجسم مغمورًا في السائل، مثل غواصة مغمورة أو هواء في منطاد، فسيميل إلى الارتفاع. إذا كان متوسط ​​كثافة الجسم مساويًا تمامًا لمتوسط ​​كثافة السائل، فإن قوة طفوه تساوي وزنه. سيبقى الجسم مغمورًا في السائل، لكنه لن يغرق ولن يطفو، مع أن أي اضطراب في أي اتجاه سيؤدي إلى انجرافه بعيدًا عن موضعه. يُسمى هذا الطفو المحايد . أما الجسم ذو متوسط ​​كثافة أعلى من كثافة السائل، فلن يتعرض أبدًا لقوة طفو أكبر من وزنه، وسيغرق. يُسمى هذا الطفو السالب . ستطفو السفينة حتى لو كانت مصنوعة من الفولاذ (وهو أكثر كثافة من الماء بكثير)، لأنها تحوي حجماً من الهواء (وهو أقل كثافة من الماء بكثير)، ويكون متوسط ​​كثافة الشكل الناتج أقل من كثافة الماء. ^{[ 14 ]}

• السقوط في الماء
• كتاب WH Besant (1889) Elementary Hydrostatics من كتب جوجل .
• تعريف ناسا للطفو