تحليل كليفورد

تحليل كليفورد ، الذي يستخدم جبر كليفورد نسبةً إلى ويليام كينغدون كليفورد ، هو دراسة مؤثرات ديراك ، ومؤثرات من نوع ديراك في التحليل والهندسة، بالإضافة إلى تطبيقاتها. ومن أمثلة مؤثرات ديراك، على سبيل المثال لا الحصر، مؤثر هودج-ديراك.${\displaystyle d+{\star }d{\star }}$على مشعب ريماني ، مؤثر ديراك في الفضاء الإقليدي ومعكوسه على${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$ومكافئاتها المطابقة على الكرة، ومؤثر لابلاس في الفضاء الإقليدي n ومؤثر أتياس -سينجر-ديراك على مشعب الدوران، ومؤثرات من نوع راريتا-شوينجر/شتاين-فايس، ومؤثر لابلاس المطابق، ومؤثر لابلاس الدوراني ومؤثرات ديراك على مشعبات الدوران ^C ، وأنظمة مؤثرات ديراك، ومؤثر بانيتز ، ومؤثرات ديراك على الفضاء الزائدي ، ومعادلات لابلاس الزائدي ووينشتاين.

في الفضاء الإقليدي، يكون لمؤثر ديراك الشكل التالي:

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

حيث e ₁ , ..., e _n هي أساس متعامد لـ R ⁿ ، ويعتبر R ⁿ مضمنًا في جبر كليفورد معقد ، Cl _n ( C ) بحيث يكون e _j ² = −1 .

هذا يعطي

${\displaystyle D^{2}=-\Delta _{n}}$

حيث Δ _n هو لابلاس في الفضاء الإقليدي n .

الحل الأساسي لمؤثر ديراك الإقليدي هو

${\displaystyle G(xy):={\frac {1}{\omega _{n}}}{\frac {xy}{\|xy\|^{n}}}}$

حيث ω _n هي مساحة سطح الكرة الوحدة S ^{n −1} .

لاحظ أن

${\displaystyle D{\frac {1}{(n-2)\omega _{n}\|xy\|^{n-2}}}=G(xy)}$

أين

${\displaystyle {\frac {1}{(n-2)\;\omega _{n}\;\|xy\|^{n-2}}}}$

هو الحل الأساسي لمعادلة لابلاس لـ n ≥ 3 .

أبسط مثال على مؤثر ديراك هو مؤثر كوشي-ريمان

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}}$

في المستوى المركب. في الواقع، تنطبق العديد من الخصائص الأساسية للتحليل المركب لمتغير واحد على العديد من المؤثرات من نوع ديراك من الرتبة الأولى. في الفضاء الإقليدي، يشمل ذلك نظرية كوشي ، وصيغة كوشي التكاملية ، ونظرية موريرا ، ومتسلسلة تايلور ، ومتسلسلة لوران ، ونظرية ليوفيل . في هذه الحالة، نواة كوشي هي G ( x - y ). برهان صيغة كوشي التكاملية هو نفسه كما في متغير مركب واحد، ويستفيد من حقيقة أن لكل متجه غير صفري x في الفضاء الإقليدي معكوسًا ضربيًا في جبر كليفورد، وهو

${\displaystyle -{\frac {x}{\|x\|^{2}}}\in \mathbf {R} ^{n}.}$

هذا المعكوس، مع تحديد الإشارة، هو المعكوس الكِلْفِني لـ x . تُسمى حلول معادلة ديراك الإقليدية Df = 0 (يسارًا) بالدوال أحادية التولد. الدوال أحادية التولد هي حالات خاصة من السبينورات التوافقية على مشعب الدوران .

في ثلاثة وأربعة أبعاد، يُشار أحيانًا إلى تحليل كليفورد باسم التحليل الرباعي . وعندما يكون n = 4 ، يُشار أحيانًا إلى مؤثر ديراك باسم مؤثر كوشي-ريمان-فويتر. كما تُعرف بعض جوانب تحليل كليفورد باسم التحليل الفائق التعقيد.

يُعدّ تحليل كليفورد نظيراً لتحويلات كوشي ، ونوى بيرغمان ، ونوى سيغو ، ومؤثرات بليميل ، وفضاءات هاردي ، وصيغة كيرزمان-شتاين ، وتحويل باي (أو تحويل بورلينغ-أهلفورس) . وقد وُظّفت جميع هذه التحويلات في حلّ مسائل القيم الحدية ، بما في ذلك مسائل القيم الحدية المتحركة، والتكاملات المفردة ، والتحليل التوافقي الكلاسيكي . وعلى وجه الخصوص، استُخدم تحليل كليفورد لحلّ مسألة الموجة المائية الكاملة ثلاثية الأبعاد في فضاءات سوبوليف مُحدّدة. وتعمل هذه الطريقة في جميع الأبعاد الأكبر من 2.

يُمكن تطبيق جزء كبير من تحليل كليفورد إذا استبدلنا جبر كليفورد المركب بجبر كليفورد حقيقي ، Cl _n . لكن هذا لا ينطبق عندما نحتاج إلى التعامل مع التفاعل بين مؤثر ديراك وتحويل فورييه .

عندما ننظر إلى نصف الفضاء العلوي _Rⁿ⁺ ^{ذي الحدود Rⁿ⁻¹} ، فإن امتداد ^e₁ , ... _, eₙ⁻¹ ، ^تحت تحويل فورييه، يكون _رمز ^مؤثر ديراك

${\displaystyle D_{n-1}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

هو iζ حيث

${\displaystyle \zeta =\zeta _{1}e_{1}+\cdots +\zeta _{n-1}e_{n-1}.}$

في هذا السياق، تكون صيغ بليميلج هي

${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}+G(xy)|_{\mathbf {R} ^{n-1}}}$

وتكون رموز هذه العمليات، حتى الإشارة،

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right).}$

هذه هي عوامل الإسقاط، والمعروفة أيضًا باسم العوامل المتساوية القوة التي تفني بعضها البعض، على فضاء الدوال التربيعية القابلة للتكامل التي قيمتها Cl _n ( C ) على R ^{n −1} .

لاحظ أن

${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}=\sum _{j=1}^{n-1}e_{j}R_{j}}$

حيث R _j هو جهد ريز رقم j ،

${\displaystyle {\frac {x_{j}}{\|x\|^{n}}}.}$

كرمز لـ${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}}$يكون

${\displaystyle {\frac {i\zeta }{\|\zeta \|}}}$

يمكن استنتاج ذلك بسهولة من عملية ضرب كليفورد.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}R_{j}^{2}=1.}$

إذن، عامل الالتفاف${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}}$هو تعميم طبيعي لتحويل هيلبرت إلى الفضاء الإقليدي .

لنفترض أن ^U ′ مجال في Rⁿ⁻¹ وأن g ( x ) دالة تحليلية حقيقية ذات قيم _Clⁿ ( C ) . عندئذٍ، ^تمتلك g امتداد كوشي-كوفاليفسكايا لمعادلة ديراك على جوار ما لـ U ′ في Rⁿ ^. يُعطى هذا الامتداد صراحةً بواسطة

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left(x_{n}e_{n}^{-1}D_{n-1}\right)^{j}g(x).}$

عند تطبيق هذا الامتداد على المتغير x في

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }\left({\tfrac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right)\right)}$

نحن نفهم ذلك

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }}$

هو التقييد على R ^{n −1} لـ E ₊  + E ₋ حيث E ₊ هي دالة أحادية التولد في نصف الفضاء العلوي و E ₋ هي دالة أحادية التولد في نصف الفضاء السفلي. 

توجد أيضًا نظرية بالي-وينر في الفضاء الإقليدي من الرتبة n والتي تنشأ في تحليل كليفورد.

تتمتع العديد من المؤثرات من نوع ديراك بتغاير تحت التحويل المطابق في المقياس. ينطبق هذا على مؤثر ديراك في الفضاء الإقليدي، ومؤثر ديراك على الكرة تحت تحويلات موبيوس. وبالتالي، ينطبق هذا على مؤثرات ديراك على المشعبات المسطحة مطابقةً، والمشعبات المطابقة التي هي في الوقت نفسه مشعبات دورانية .

بفرض وجود _مشعب دوراني M مع حزمة سبينور S ومقطع أملس s ( x ) في S ، فإنه بدلالة أساس متعامد محلي e1 ( x )، ...، en ( x ) للحزمة المماسية لـ M ، _{يُعرَّف} مؤثر أتياس-سينجر-ديراك المؤثر على s على النحو التالي:

${\displaystyle Ds(x)=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}s(x),}$

أين${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}}$هو اتصال الدوران ، وهو رفع اتصال ليفي-سيفيتا إلى S على M. عندما يكون M فضاءً إقليديًا من الرتبة n ، فإننا نعود إلى مؤثر ديراك الإقليدي .

انطلاقاً من مؤثر أتياس-سينجر-ديراك D، نحصل على صيغة ليشنيروفيتش.

${\displaystyle D^{2}=\Gamma ^{*}\Gamma +{\tfrac {\tau }{4}},}$

حيث τ هو الانحناء القياسي على المتشعب ، و Γ ^∗ هو المرافق لـ Γ. يُعرف المؤثر D ^{2 باسم لابلاس الدوراني.}

إذا كانت M متراصة و τ ≥ 0 و τ > 0 في مكان ما، فلا توجد سبينورات توافقية غير تافهة على المتشعب. هذه هي نظرية ليشنيروفيتش. من الواضح أن نظرية ليشنيروفيتش هي تعميم لنظرية ليوفيل من التحليل العقدي ذي المتغير الواحد. وهذا يسمح لنا بملاحظة أن المؤثر D قابل للعكس على فضاء مقاطع السبينور الملساء على هذا المتشعب .

في الحالات التي يكون فيها مؤثر أتياس-سينجر-ديراك قابلاً للعكس على فضاء مقاطع السبينور الملساء ذات الدعم المضغوط، يمكن إدخال

${\displaystyle C(x,y):=D^{-1}*\delta _{y},\qquad x\neq y\in M,}$

حيث δy هي دالة ديراك دلتا عند النقطة y . ينتج عن ذلك نواة كوشي ، وهي الحل الأساسي لمؤثر ديراك هذا. ومن هذه النواة، يمكن الحصول على _صيغة تكاملية لكوشي للسبينورات التوافقية . وباستخدام هذه النواة، ينطبق الكثير مما وُصف في القسم الأول من هذه المقالة على مؤثرات أتياس-سينجر-ديراك القابلة للعكس.

باستخدام نظرية ستوكس ، أو غير ذلك، يمكن للمرء أن يحدد كذلك أنه في ظل تغيير توافقي للمقياس، فإن عوامل ديراك المرتبطة بكل مقياس تتناسب مع بعضها البعض، وبالتالي فإن معكوساتها كذلك، إن وجدت.

كل هذا يوفر روابط محتملة لنظرية مؤشر أتياس-سينجر وجوانب أخرى من التحليل الهندسي التي تتضمن عوامل من نوع ديراك.

في تحليل كليفورد، يتم أيضًا النظر في المؤثرات التفاضلية على نصف الفضاء العلوي، أو القرص، أو القطع الزائد بالنسبة للمقياس الزائدي، أو مقياس بوانكاريه .

_{في فضاء النصف العلوي ،} يُقسّم جبر كليفورد Clₙ إلى _Clₙ₋₁ + _{Clₙ₋₁ eₙ .} بالتالي، بالنسبة لـ _a في Clₙ _{، يمكن} التعبير عن a _على الصورة b + cₙ حيث a و b في _Clₙ₋₁ . عندئذٍ، يكون لدينا مؤثرا الإسقاط P و Q المعرّفان كما يلي : P ( a ) = b و Q ( a ) = c . يُعرّف مؤثر هودج-ديراك الذي يؤثر على دالة f بالنسبة للمقياس الزائدي في فضاء النصف العلوي على النحو التالي:

${\displaystyle Mf=Df+{\frac {n-2}{x_{n}}}Q(f)}$.

في هذه الحالة

${\displaystyle M^{2}f=-\triangle _{n}P(f)+{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial P(f)}{\partial x_{n}}}-\left(\triangle _{n}Q(f)-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial Q(f)}{\partial x_{n}}}+{\frac {n-2}{x_{n}^{2}}}Q(f)\right)e_{n}}$.

المشغل

${\displaystyle \triangle _{n}-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

هو لابلاس بالنسبة لمقياس بوانكاريه بينما المؤثر الآخر هو مثال على مؤثر وينشتاين.

يكون لابلاس الزائدي ثابتًا تحت تأثيرات المجموعة المطابقة، بينما يكون مؤثر ديراك الزائدي متغيرًا تحت هذه التأثيرات.

تظهر مؤثرات راريتا-شوينغر ، المعروفة أيضًا بمؤثرات شتاين-فايس، في نظرية التمثيل لمجموعتي سبين وبين . المؤثر R k هو مؤثر تفاضلي من الرتبة الأولى متغاير توافقيًا . هنا k = 0، 1، 2، ... عندما k = 0، يكون مؤثر راريتا-شوينغر هو مؤثر ديراك. في نظرية التمثيل للمجموعة المتعامدة O( n )، من الشائع دراسة الدوال التي تأخذ قيمًا في فضاءات كثيرات الحدود التوافقية المتجانسة . عند تحسين هذه النظرية لتشمل التغطية المزدوجة Pin( n ) للمجموعة O( n )، يتم استبدال فضاءات كثيرات الحدود التوافقية المتجانسة بفضاءات k من حلول كثيرات الحدود المتجانسة لمعادلة ديراك، والمعروفة أيضًا باسم كثيرات الحدود أحادية التولد k . ندرس الدالة f ( x , u ) حيث x تنتمي إلى U ، وهي مجال في R n ، و u تتغير على R n . علاوة على ذلك، فإن f ( x , u ) هي كثيرة حدود أحادية التولد k في u . الآن ، طبّق مؤثر ديراك D ( x, u) على الدالة f(x , u ) . بما أن جبر كليفورد ليس تبديليًا، فإن هذه الدالة لم تعد أحادية التولد من الدرجة k ، بل هي متعددة حدود توافقية متجانسة في u . الآن، لكل متعددة حدود توافقية h( k) متجانسة من الدرجة k، يوجد تحليل ألمانسي-فيشر .

${\displaystyle h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x)}$

حيث p _{_k} و p _{_k- 1} هما على التوالي كثيرتا حدود أحاديتان من الدرجة k و k -1 . ليكن P إسقاط h _{_k} على p_{_k} ، عندئذٍ يُعرَّف مؤثر راريتا-شوينجر بأنه PD _{_k} ، ويُرمز له بـ R_{_k} . باستخدام مبرهنة أويلر، يمكن تحديد أن

${\displaystyle D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.}$

لذا

${\displaystyle R_{k}=\left(I+{\frac {1}{n+2k-2}}uD_{u}\right)D_{x}.}$

يوجد مجتمع بحثي نشط ومتعدد التخصصات حول جبر كليفورد والجبر الهندسي، وله تطبيقات واسعة النطاق. تشمل المؤتمرات الرئيسية في هذا المجال المؤتمر الدولي حول جبر كليفورد وتطبيقاته في الفيزياء الرياضية (ICCA)، وسلسلة مؤتمرات تطبيقات الجبر الهندسي في علوم وهندسة الحاسوب (AGACSE) . وتُعد مجلة "Advances in Applied Clifford Algebras " الصادرة عن دار نشر سبرينغر منفذًا رئيسيًا لنشر الأبحاث في هذا المجال .

• جبر كليفورد
• بنية دوران معقدة
• متعدد الشعب المطابق
• مشعب مسطح متطابق
• مُشغِّل ديراك
• مقياس بوانكاريه
• مجموعة الدوران
• بنية الدوران
• حزمة سبينور

• أهلفورس، إل في (1981)، تحويلات موبيوس في عدة أبعاد ، محاضرات أوردواي في الرياضيات، جامعة مينيسوتا، hdl : 2027/mdp.39015015619276 ، OCLC 681384835 .
• أهلفورس، ل. (1986)، "تحويلات موبيوس في R ⁿ معبر عنها من خلال مصفوفات 2 × 2 لأعداد كليفورد"، المتغيرات المركبة ، 5 ( 2-4 ): 215-224 ، doi : 10.1080/17476938608814142.
• براكس، ف.؛ ديلانج، ر.؛ سومن، ف. (1982)، تحليل كليفورد ، مذكرات بيتمان البحثية في الرياضيات، لونجمان ، ISBN 0-273-08535-2.
• بوريس، ج.؛ سومن، ف.؛ سوتشيك، ف.؛ فانلانكر، ب. (2001)، "مؤثرات من نوع راريتا-شوينجر في تحليل كليفورد"، مجلة التحليل الوظيفي ، 185 (2): 425-455 ، doi : 10.1006/jfan.2001.3781.
• كولومبو، ف.؛ ساباديني، إ .؛ سومن، ف.؛ ستروبا، د. (2004)، تحليل أنظمة ديراك والجبر الحسابي ، سلسلة التقدم في الفيزياء الرياضية، دار نشر بيركهاوزر، رقم ISBN 0-8176-4255-2.
• إيستوود، م.؛ رايان، ج. (2007)، "جوانب مؤثرات ديراك في التحليل"، مجلة ميلانو للرياضيات ، 75 (1): 91-116 ، doi : 10.1007/s00032-007-0077-5 ، S2CID 120593186 .
• فريدريش، ت. (2000)، مؤثرات ديراك في الهندسة الريمانية ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد  25، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 9780821820551.
• جيفريز، ب. (2004)، الخصائص الطيفية للمؤثرات غير التبادلية ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1843، دار نشر سبرينغر ، رقم ISBN 3-540-21923-4.
• كراوشار، آر إس (2004)، الأشكال التحليلية المعممة ذاتية الشكل في الفضاء فائق التعقيد ، سلسلة فرونتيرز إن ماثيماتيكس، دار نشر بيركهاوزر، رقم ISBN 3-7643-7059-9.
• لوسون، إتش بي؛ ميكلسون، إم-إل (1989)، هندسة الدوران ، سلسلة برينستون الرياضية، المجلد  38، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0-691-08542-0.
• ماكنتوش، أ. (1996)، "جبر كليفورد، نظرية فورييه، التكاملات المفردة، والدوال التوافقية على مجالات ليبشيتز"، في رايان، ج. (محرر)، جبر كليفورد في التحليل والمواضيع ذات الصلة ، دراسات في الرياضيات المتقدمة، مطبعة سي آر سي ، ص 33-87 ، ISBN  0-8493-8481-8.
• ميتريا، م. (1994)، التكاملات المفردة، فضاءات هاردي، ومويجات كليفورد ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1575، دار نشر سبرينغر ، رقم ISBN 0-387-57884-6.
• رو، ج. (1998)، المؤثرات الإهليلجية، والطوبولوجيا، والأساليب التقاربية ، مذكرات بيتمان البحثية في الرياضيات، المجلد  395 ، لونغمان (الطبعة الثانية  )، هارلو، ISBN 0-582-32502-1{{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط ) .
• ريان، ج. (1996)، جبر كليفورد في التحليل والمواضيع ذات الصلة ، دراسات في الرياضيات المتقدمة، مطبعة سي آر سي ، رقم ISBN 0-8493-8481-8.
• شتاين، إي إم ؛ فايس، جي. (1968)، "تعميمات لمعادلات كوشي ريمان وتمثيلات مجموعة الدوران"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 90 (1): 163-196 ، doi : 10.2307/2373431 ، JSTOR 2373431 .
• سودبيري، أ. (1979)، " التحليل الرباعي "، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 85 (2): 199-225 ، Bibcode : 1979MPCPS..85..199S ، doi : 10.1017/S0305004100055638 ، S2CID 7606387 .
• تاو، ت. (1996)، " مؤثرات الالتفاف على رسوم بيانية ليبشيتز ذات نوى توافقية"، التقدم في جبر كليفورد التطبيقي ، 6 : 207-218 ، ISSN 0188-7009 .
• وو، س. (1999)، "حسن التحديد في فضاءات سوبوليف لمسألة موجة الماء الكاملة في ثلاثة أبعاد"، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 12 (2): 445-495 ، doi : 10.1090/S0894-0347-99-00290-8.

• ملاحظات المحاضرة حول مؤثرات ديراك في التحليل والهندسة
• كالدربانك، ديفيد إم جيه (1997-12-19)، مؤثرات ديراك وتحليل كليفورد على المشعبات ذات الحدود ، الجمعية الرياضية الدنماركية، DMF-1997-12-007 PP-1997-53، مؤرشف من الأصل في 2009-08-13