التشوه (الرياضيات)

من الواضح أنه قد توجد العديد من التشوهات لأصل واحد من الدوال التحليلية. ولهذا السبب، يلزم وجود بعض أدوات تنظيمية لترتيب هذه المعلومات. تُبنى هذه الأدوات التنظيمية باستخدام علم التماثل المماسي. ^{[ 1 ]} ويتشكل هذا باستخدام حل كوزول-تيت ، مع إمكانية تعديله بإضافة مولدات إضافية للجبر غير المنتظم.${\displaystyle A}$في حالة الجبر التحليلي، تُسمى هذه الحلول حلول تيورينا نسبةً إلى عالمة الرياضيات التي درست هذه الكائنات لأول مرة، غالينا تيورينا . وهذا جبر تفاضلي متدرج تبادلي${\displaystyle (R_{\bullet },s)}$بحيث${\displaystyle R_{0}\to A}$هي دالة شاملة للجبر التحليلي، وهذه الدالة تتناسب مع متتالية تامة

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {s} R_{-2}\xrightarrow {s} R_{-1}\xrightarrow {s} R_{0}\xrightarrow {p} A\to 0}$

ثم، بأخذ وحدة التفاضل المتدرجة للمشتقات${\displaystyle ({\text{Der}}(R_{\bullet }),d)}$، يشكل تماثلها التماثل المماسي لأصل الجبر التحليلي${\displaystyle A}$يُشار إلى مجموعات التماثل هذه بالرمز التالي:${\displaystyle T^{k}(A)}$. ال${\displaystyle T^{1}(A)}$يحتوي على معلومات حول جميع التشوهات${\displaystyle A}$ويمكن حسابها بسهولة باستخدام التسلسل الدقيق

${\displaystyle 0\to T^{0}(A)\to {\text{Der}}(R_{0})\xrightarrow {d} {\text{Hom}}_{R_{0}}(I,A)\to T^{1}(A)\to 0}$

لو${\displaystyle A}$متماثل مع الجبر

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(f_{1},\ldots ,f_{m})}}}$

إذن فإن تشوهاته تساوي

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{m}}{df\cdot A^{n}}}}$

كان${\displaystyle df}$هي مصفوفة جاكوبيان لـ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$على سبيل المثال، سطح فائق معطى بواسطة${\displaystyle f}$يحتوي على تشوهات

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{n}}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}\right)}}}$

في حالة التفرد بين المنحنى المستوي${\displaystyle y^{2}-x^{3}}$هذه هي الوحدة

${\displaystyle {\frac {A^{2}}{(y,x^{2})}}}$

وبالتالي، فإن التشوهات الوحيدة تُعطى عن طريق إضافة ثوابت أو عوامل خطية، لذا فإن التشوه العام لـ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}}$يكون${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$حيث${\displaystyle a_{i}}$هي معلمات التشوه.

لطالما استخدم علماء الرياضيات الكميات المتناهية الصغر في حجج غير دقيقة في حساب التفاضل والتكامل. الفكرة هي أنه إذا نظرنا إلى كثيرات الحدود${\displaystyle F(x,\varepsilon )}$مع كمية متناهية الصغر${\displaystyle \varepsilon }$إذن، لا يهم سوى الحدود من الدرجة الأولى؛ أي يمكننا أن نعتبر

${\displaystyle F(x,\varepsilon )\equiv f(x)+\varepsilon g(x)+O(\varepsilon ^{2})}$

ومن التطبيقات البسيطة لهذا الأمر أنه يمكننا إيجاد مشتقات أحاديات الحدود باستخدام الكميات المتناهية الصغر:

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})}$

ال${\displaystyle \varepsilon }$يحتوي هذا الحد على مشتقة الحد الأحادي، مما يدل على استخدامه في حساب التفاضل والتكامل. يمكننا أيضًا تفسير هذه المعادلة على أنها الحدين الأولين من متسلسلة تايلور للحد الأحادي. يمكن جعل الكميات المتناهية الصغر دقيقة باستخدام العناصر العديمة القوة في جبر آرتن المحلي. في الحلقة${\displaystyle k[y]/(y^{2})}$نرى أن الحجج التي تستخدم الكميات المتناهية في الصغر يمكن أن تنجح. وهذا ما يبرر استخدام الترميز.${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[y]/(y^{2})}$، والتي تسمى حلقة الأعداد المزدوجة .

علاوة على ذلك، إذا أردنا دراسة الحدود ذات الرتبة الأعلى لتقريب تايلور، فيمكننا النظر في جبر آرتين.${\displaystyle k[y]/(y^{k})}$بالنسبة للمعادلة الأحادية، لنفترض أننا نريد كتابة مفكوك الرتبة الثانية، إذن

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +3x\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3}}$

تذكر أن متسلسلة تايلور (عند الصفر) يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f^{(1)}(0)}{1!}}x+{\frac {f^{(2)}(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots }$

وبالتالي، تُظهر المعادلتان السابقتان أن المشتقة الثانية لـ${\displaystyle x^{3}}$يكون${\displaystyle 6x}$.

بشكل عام، بما أننا نريد أن نأخذ في الاعتبار توسعات تايلور ذات الرتبة التعسفية في أي عدد من المتغيرات، فسوف نأخذ في الاعتبار فئة جميع جبر آرتين المحلي على حقل.

لتحفيز تعريف دالة ما قبل التشوه، ضع في اعتبارك السطح الفائق الإسقاطي فوق حقل

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)\end{matrix}}}$

إذا أردنا دراسة تشوه متناهي الصغر لهذا الفضاء، فيمكننا كتابة مربع ديكارتي.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}][\varepsilon ]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\varepsilon x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

أين${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=4}$ثم، تُعد المساحة الموجودة في الزاوية اليمنى مثالاً على التشوه المتناهي الصغر: البنية النظرية الإضافية للمخطط للعناصر العديمة القوة في${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])}$(وهي نقطة من الناحية الطوبولوجية) تسمح لنا بتنظيم هذه البيانات المتناهية الصغر. ولأننا نريد النظر في جميع التوسعات الممكنة، فسوف نجعل دالة التشوه المسبق لدينا معرفة على الكائنات على النحو التالي:

${\displaystyle F(A)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}\right\}}$

أين${\displaystyle A}$هو أرتين محلي${\displaystyle k}$-الجبر.

يُطلق على دالة ما قبل التشوه اسم دالة سلسة إذا كان لأي دالة شاملة${\displaystyle A'\to A}$إذا كان مربع أي عنصر في النواة يساوي صفرًا، فإن هناك تطبيقًا شاملاً.

${\displaystyle F(A')\to F(A)}$

ينبع هذا من السؤال التالي: بالنظر إلى تشوه

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}}$

هل يوجد امتداد لهذا الرسم البياني الديكارتي إلى الرسوم البيانية الديكارتية؟

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}&\to &{\mathfrak {X}}'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)&\to &\operatorname {Spec} (A')\end{matrix}}}$

اسم "smooth" مشتق من معيار الرفع لتشكل سلس للمخططات.

تذكر أن الفضاء المماسي للمخطط${\displaystyle X}$يمكن وصفها بأنها${\displaystyle \operatorname {Hom} }$-تعيين

${\displaystyle TX:=\operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/k}(\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]),X)}$

حيث يكون المصدر هو حلقة الأعداد الثنائية . وبما أننا ندرس الفضاء المماسي لنقطة في فضاء معياري ما، فيمكننا تعريف الفضاء المماسي لدالة التشوه (السابقة) لدينا على النحو التالي:

${\displaystyle T_{F}:=F(k[\varepsilon ]).}$

إحدى الخصائص الأولى لمعاملات المنحنيات الجبرية${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$يمكن استنتاج ذلك باستخدام نظرية التشوه الأساسية. ويمكن حساب بُعده على النحو التالي:

${\displaystyle \dim({\mathcal {M}}_{g})=\dim H^{1}(C,T_{C})}$

لمنحنى أملس عشوائي من النوع${\displaystyle g}$لأن فضاء التشوه هو الفضاء المماسي لفضاء المعاملات. وباستخدام ازدواجية سير، يكون الفضاء المماسي متماثلاً مع

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega _{C})^{\vee }\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\end{aligned}}}$

ومن ثمّ تُعطي نظرية ريمان-روخ

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})&=2(2g-2)-g+1\\&=3g-3\end{aligned}}}$

بالنسبة لمنحنيات الجنس${\displaystyle g\geq 2}$ال${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$لأن

${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C,(\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})}$

الدرجة هي

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}((\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})&=4-4g+2g-2\\&=2-2g\end{aligned}}}$

و${\displaystyle h^{0}(L)=0}$بالنسبة لحزم الخطوط ذات الدرجة السالبة. وبالتالي، فإن بُعد فضاء المعاملات هو${\displaystyle 3g-3}$.

اشتهر شيجيفومي موري بتطبيق نظرية التشوه في الهندسة الثنائية النسبية لدراسة وجود المنحنيات النسبية على المتنوعات . ^{[ 2 ]} بالنسبة لمتنوعة فانو ذات بُعد موجب، أثبت موري وجود منحنى نسبي يمر بكل نقطة. عُرفت طريقة البرهان لاحقًا باسم " انحناء موري وكسره" . وتتلخص الفكرة في البدء بمنحنى C يمر بنقطة مختارة، ثم تشويهه باستمرار حتى ينقسم إلى عدة مكونات . يؤدي استبدال C بأحد هذه المكونات إلى تقليل جنس أو درجة C. وبالتالي، بعد تكرار هذه العملية عدة مرات ، سنحصل في النهاية على منحنى من الجنس 0، أي منحنى نسبي. يتطلب وجود وخصائص تشوهات C حججًا من نظرية التشوه واختزالًا إلى خاصية موجبة .

يُعدّ علم الحساب أحد التطبيقات الرئيسية لنظرية التشوه. ويمكن استخدامها للإجابة على السؤال التالي: إذا كان لدينا مجموعة متنوعة${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}}$ما هي التوسعات الممكنة؟${\displaystyle {\mathfrak {X}}/\mathbb {Z} _{p}}$إذا كان تنوعنا منحنى، فإن التلاشي${\displaystyle H^{2}}$وهذا يعني أن كل تشوه يُحدث تنوعًا في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$أي إذا كان لدينا منحنى أملس

${\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})\end{matrix}}}$

وتشوه

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))\end{matrix}}}$

ثم يمكننا دائمًا توسيعه إلى رسم تخطيطي على الشكل التالي

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}&\to &{\mathfrak {X}}_{3}&\to \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{3}))&\to \cdots \end{matrix}}}$

وهذا يعني أنه يمكننا بناء مخطط رسمي${\displaystyle {\mathfrak {X}}=\operatorname {Spet} ({\mathfrak {X}}_{\bullet })}$مما يعطي منحنى فوق${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

تنص نظرية سير -تيت ، بشكل عام، على أن تشوهات المخطط الأبلي A تخضع لتشوهات المجموعة القابلة للقسمة على p .${\displaystyle A[p^{\infty }]}$يتكون من نقاط الالتواء ذات القوة p .

من التطبيقات الأخرى لنظرية التشوه استخدام تشوهات غالوا. فهي تتيح لنا الإجابة على السؤال التالي: إذا كان لدينا تمثيل غالوا

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {F} _{p})}$

كيف يمكننا توسيعه ليشمل تمثيلاً؟

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p}){\text{?}}}$

• بالامودوف، ف.ب.، الجزء الثالث: تشوهات الفضاءات المعقدة . المتغيرات المعقدة الجزء الرابع (مقدمة عملية للغاية)
• ملاحظات الدورة التدريبية حول نظرية التشوه (آرتين)
• دراسة نظرية تشوه المخططات
• سيرنيسي، إدواردو، تشوهات المخططات الجبرية
• هارتشورن، روبن، نظرية التشوه
• ملاحظات من دورة هارتشورن في نظرية التشوه
• معهد أبحاث العلوم الرياضية - نظرية التشوه والمعاملات في الهندسة الجبرية

• مازور، باري (2004)، "الاضطرابات والتشوهات والتغيرات (والحالات "شبه الفاشلة" في الهندسة والفيزياء ونظرية الأعداد" (ملف PDF) ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 41 (3): 307-336 ، doi : 10.1090/S0273-0979-04-01024-9 ، MR 2058289 
• أنيل، م.، لماذا تكون التشوهات متماثلة (ملف PDF)