هندسة الأعداد

هندسة الأعداد ، والمعروفة أيضًا بنظرية الأعداد الهندسية ، هي فرع من نظرية الأعداد يستخدم الهندسة لدراسة الأعداد الجبرية . عادةً، يُنظر إلى حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية على أنها شبكة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$وتوفر دراسة هذه الشبكات معلومات أساسية عن الأعداد الجبرية. ^{[ 1 ]} بدأ هيرمان مينكوفسكي ( 1896 ) هذا الخط البحثي في ​​سن السادسة والعشرين في كتابه "هندسة الأعداد" . ^{[ 2 ]} 

ترتبط هندسة الأعداد ارتباطًا وثيقًا بمجالات أخرى من الرياضيات، وخاصة التحليل الوظيفي والتقريب الديوفانتي ، وهي مشكلة إيجاد الأعداد النسبية التي تقارب كمية غير نسبية . ^{[ 3 ]}

لنفترض أن${\displaystyle \Gamma }$هي شبكة في${\displaystyle n}$فضاء إقليدي ذو أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle K}$هو جسم محدب متناظر مركزيًا. تنص نظرية مينكوفسكي ، والتي تسمى أحيانًا نظرية مينكوفسكي الأولى، على أنه إذا${\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$، ثم${\displaystyle K}$يحتوي على متجه غير صفري في${\displaystyle \Gamma }$.

الحد الأدنى المتتالي${\displaystyle \lambda _{k}}$يُعرَّف بأنه الحد الأدنى للأعداد${\displaystyle \lambda }$بحيث${\displaystyle \lambda K}$يتضمن${\displaystyle k}$متجهات مستقلة خطيًا من${\displaystyle \Gamma }$. نظرية مينكوفسكي حول القيم الدنيا المتتالية ، والتي تسمى أحيانًا نظرية مينكوفسكي الثانية ، هي تعزيز لنظريته الأولى وتنص على أن ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).}$

طبّق مينكوفسكي نتائجه على مجال نظرية الأعداد الجبرية ، وكان هذا أحد دوافع مصطلح هندسة الأعداد . يمكن تضمين حلقة الأعداد الصحيحة في حقل عددي كشبكة في فضاء ذي أبعاد أعلى. الأعداد الصحيحة الغاوسية ، وهي جميعها${\displaystyle a+ib}$مع${\displaystyle a,b}$تُشكّل حلقات الأعداد الصحيحة شبكةً في المستوى المركب . أما حلقات الأعداد الصحيحة الأخرى، فليست شبكاتٍ واضحة، مثل${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$، والتي تقع ضمن خط الأعداد الحقيقية ، ولكنها كثيفة .

كانت فكرة مينكوفسكي الأساسية هي تضمين الأعداد في فضاء ذي أبعاد أعلى، وهذا يُفسر جزئيًا سبب تسمية النظرية العامة بـ"هندسة الأعداد". ^{[ 5 ]} يمكن تضمين كل حلقة من الأعداد الصحيحة في فضاء إقليدي ذي أبعاد أعلى، حيث تُصبح شبكة. ^{[ 6 ]} وبشكل أعم، يُمكن تضمين كل مثالي كسري كشبكة. ومن ثم، تُؤدي تقديرات أحجام متجهات الشبكة وحجومها إلى حدود معيارية لحجم المثاليّات التمثيلية ضمن كل فئة مثالية . وعلى وجه الخصوص، قدمت هندسة الأعداد أول برهان على أن زمرة فئات المثاليّات منتهية ، لأن عدد العناصر في شبكة ذات معيار محدود منتهٍ، وهو ما كان يُمثل مشكلة رئيسية لم تُحل قبل عمل مينكوفسكي. وتُقدم حجج هندسية ذات صلة برهانًا بديلًا لنظرية ديريشليه للوحدة .

يتضمن تصميم مينكوفسكي حقلًا عدديًا${\displaystyle K}$في آن واحد في جميع اكتمالاتها الحقيقية والمعقدة، أي التضمينات${\displaystyle \sigma }$ل${\displaystyle K}$داخل${\displaystyle \mathbb {C} }$قد تكون هذه حقيقية، إذا${\displaystyle \sigma (K)\subset \mathbb {R} }$أو معقدة بخلاف ذلك. إذا${\displaystyle K}$لديه${\displaystyle r_{1}}$تضمينات حقيقية و${\displaystyle r_{2}}$أزواج من التضمينات المعقدة، ثم يتم تحقيق تضمين مينكوفسكي

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{r_{1}}\times \mathbb {C} ^{r_{2}}}$

تُظهر الحجج الأولية أن حلقة الأعداد الصحيحة هي زمرة أبيلية خالية من الالتواء من الرتبة${\displaystyle n}$، أين${\displaystyle n=r_{1}+2r_{2}}$هي درجة حقل الأعداد. لذلك، يتم تضمينها كشبكة تحت تضمين مينكوفسكي. على سبيل المثال${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$هناك تمثيلان حقيقيان، وهما${\displaystyle {\sqrt {2}}\to {\sqrt {2}}}$و${\displaystyle {\sqrt {2}}\to -{\sqrt {2}}}$والنقطة${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$التضمينات كنقطة${\displaystyle (a+b{\sqrt {2}},ab{\sqrt {2}})}$وبالتالي فإن الصورة هي الشبكة المتولدة بواسطة${\displaystyle (1,1)}$و${\displaystyle ({\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

ثم تُظهر نظرية مينكوفسكي أن كل فئة مثالية من${\displaystyle K}$يحتوي على مثالي متكامل معياره محدود بشكل صريح بدلالة مميز${\displaystyle K}$.

في الواقع، يدخل المميز من خلال الحجم المشترك لهذه الشبكة. المميز${\displaystyle \Delta _{K}}$هو محدد مصفوفة غرام لقاعدة تكاملية من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$فيما يتعلق بشكل الأثر${\displaystyle (\operatorname {Tr} _{K/\mathbb {Q} }}$. في ظل تضمين مينكوفسكي، يكون هذا المحدد هو مربع حجم متوازي المستطيلات الأساسي، حتى عامل يأتي من التضمينات المعقدة: $${\displaystyle \operatorname {covol} ({\mathcal {O}}_{K})=2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}.}$$ وبشكل أعم، بالنسبة للمثال الجزئي${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$،

${\displaystyle \operatorname {covol} ({\mathfrak {a}})=2^{-r_{2}}N({\mathfrak {a}}){\sqrt {|\Delta _{K}|}}.}$

وبالتالي، يقيس المميز حجم الخلية الأساسية للشبكة الحسابية المستخرجة من حلقة الأعداد الصحيحة. بتطبيق نظرية مينكوفسكي للجسم المحدب على هذه الشبكة، نحصل على عنصر غير صفري.${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {a}}}$مُرضٍ $${\displaystyle |N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )|\leq \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}\,N({\mathfrak {a}}),}$$ وهو التقدير الذي يقوم عليه حد مينكوفسكي للفئات المثالية.

من التطبيقات الأخرى لنظرية مينكوفسكي الأشكال التربيعية . يُعرّف الشكل التربيعي الموجب المحدد في n متغيرًا قطعًا ناقصًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إنّ طلب القيم الصغيرة لصيغة تربيعية على الأعداد الصحيحة يُكافئ السؤال عمّا إذا كانت قياسات هذا القطع الناقص تحتوي على نقاط شبكية صحيحة غير صفرية. ومن ثمّ، تُعطي نظرية مينكوفسكي للأجسام المحدبة حدودًا للحد الأدنى للصيغة التربيعية على الأعداد الصحيحة، بدلالة مُحدِّدها.

يُقدّم علم هندسة الأعداد أيضًا براهين هندسية لنتائج التقريب الديوفانتي . فعلى سبيل المثال، يُمكن صياغة مسألة تقريب الأعداد الحقيقية بالأعداد النسبية كمسألة إيجاد نقاط صحيحة غير صفرية في جسم محدب مناسب. ويمكن تفسير المتباينات التي تتضمن عدة صيغ خطية في متغيرات صحيحة على أنها شروط تُحدد منطقة محدبة متناظرة في الفضاء الإقليدي. ومن ثمّ تُثبت نظرية مينكوفسكي وجود حلول صحيحة تُحقق حدودًا مُحددة.

تستند هذه الطريقة إلى نتائج كلاسيكية حول التقريب المتزامن وحول القيم الصغيرة لأنظمة الأشكال الخطية، مثل نظرية التقريب لديريشليه .

في الفترة ما بين عامي 1930 و1960، أجرى العديد من علماء نظرية الأعداد (بمن فيهم لويس مورديل ، وهارولد دافنبورت، وكارل لودفيج سيجل ) أبحاثًا حول هندسة الأعداد. وفي السنوات الأخيرة، طوّر لينسترا، وبريون، وبارفينوك نظريات توافقية تُحصي نقاط الشبكة في بعض الأجسام المحدبة. ^{[ 7 ]}

نظراً لأن الأجسام المحدبة منتشرة في العديد من مجالات الرياضيات، فقد أدت هندسة الأعداد لمينكوفسكي إلى تطورات في مجالات أخرى لا ترتبط بشكل مباشر بنظرية الأعداد ونظرية الشبكة.

• ماتياس بيك، سيناء روبينز. حساب المستمر بشكل منفصل: تعداد النقاط الصحيحة في متعددات السطوح ، نصوص جامعية في الرياضيات ، سبرينغر، 2007.
• إنريكو بومبيري ؛ فالر، J. (فبراير 1983). “على ليما سيجل”. اختراعات الرياضيات . 73 (1): 11– 32. بيب كود : 1983InMat..73...11B . دوى : 10.1007/BF01393823 . S2CID 121274024 . 
• إنريكو بومبيري ووالتر غوبلر (2006). الارتفاعات في الهندسة الديوفانتية . مطبعة جامعة كامبريدج
• JWS Cassels . مقدمة في هندسة الأعداد . Springer Classics in Mathematics، Springer-Verlag 1997 (إعادة طبع لطبعات Springer-Verlag لعامي 1959 و1971).
• جون هورتون كونواي و إن جيه إيه سلون ، تعبئة الكرات، والشبكات والمجموعات ، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، الطبعة الثالثة، 1998.
• آر جيه غاردنر، التصوير المقطعي الهندسي، مطبعة جامعة كامبريدج، نيويورك، 1995. الطبعة الثانية: 2006.
• M. Grötschel ، Lovász، L. ، A. Schrijver : الخوارزميات الهندسية والتحسين التوافقي ، سبرينغر، 1988
• PM Gruber ، الهندسة المحدبة والمنفصلة، ​​Springer-Verlag، نيويورك، 2007.
• PM Gruber، JM Wills (محرران)، كتيب الهندسة المحدبة. المجلد أ. ب، نورث هولاند، أمستردام، 1993.
• هانكوك، هاريس (1939). تطوير هندسة مينكوفسكي للأعداد . ماكميلان.(أعيد نشرها عام 1964 بواسطة دار نشر دوفر.)
• إدموند هلوكا ، يوهانس شويسينجير، رودولف تاشنر. نظرية الأعداد الهندسية والتحليلية . نص عالمي. سبرينغر-فيرلاغ، 1991.
• كالتون، نايجل جيه ؛ بيك، ن. تيني؛ روبرتس، جيمس دبليو (1984)، أداة أخذ عينات من فضاء F ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن، 89، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ص.  xii+240، ISBN 0-521-27585-7، MR 0808777 
• سي جي ليكيركيركر . هندسة الأرقام . ولترز-نوردهوف، شمال هولندا، وايلي. 1969.
• الأماكن القريبة : لينسترا، إتش دبليو جونيور ؛ لوفاسز، إل. (1982). “تحليل كثيرات الحدود بمعاملات عقلانية” (PDF) . الرياضيات أنالن . 261 (4): 515-534 . دوى : 10.1007 / BF01457454 . اتش دي ال : 1887/3810 . السيد 0682664 . S2CID 5701340 .  
• لوفاس، ل .: نظرية خوارزمية للأعداد والرسوم البيانية والتحدب ، سلسلة مؤتمرات CBMS-NSF الإقليمية في الرياضيات التطبيقية 50، SIAM، فيلادلفيا، بنسلفانيا، 1986
• مالشيف، أ. ف. (2001) [1994]، "هندسة الأعداد" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• مينكوفسكي، هيرمان (1910)، Geometrie der Zahlen ، لايبزيغ وبرلين: RG Teubner، JFM 41.0239.03 ، MR 0249269 ، استرجاعها 2016/02/28  
• فولفغانغ م. شميدت . التقريب الديوفانتي . سلسلة محاضرات في الرياضيات 785. سبرينغر. (1980 [1996 مع تصحيحات طفيفة])
• شميدت، وولفغانغ م. (1996). التقريبات الديوفانتية والمعادلات الديوفانتية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  1467 (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020 . 
• رولف شنايدر، الأجسام المحدبة: نظرية برون-مينكوفسكي، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 1993.
• سيجل، كارل لودفيج (1989). محاضرات في هندسة الأعداد . سبرينغر-فيرلاغ .
• أنتوني سي. طومسون، هندسة مينكوفسكي، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 1996.
• هيرمان فايل . نظرية الاختزال للتكافؤ الحسابي. معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات 48 (1940) 126-164. doi : 10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
• هيرمان فايل. نظرية الاختزال للتكافؤ الحسابي. الجزء الثاني. معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات 51 (1942) 203-231. doi : 10.2307/1989946