الاحتمال الشرطي

لو${\displaystyle P(B)=0}$ثم وفقًا للتعريف،${\displaystyle P(A\mid B)}$غير مُعرَّف .

إن الحالة الأكثر أهمية هي حالة المتغير العشوائي Y ، المشروط بمتغير عشوائي مستمر X ينتج عنه نتيجة معينة x . الحدث${\displaystyle B=\{X=x\}}$احتمالية وجودها صفر، وبالتالي لا يمكن ربطها بأي شرط.

بدلاً من اشتراط أن تكون قيمة X هي x بالضبط ، يمكننا اشتراط أن تكون أقرب من المسافة${\displaystyle \varepsilon }$بعيدًا عن س . الحدث${\displaystyle B=\{x-\varepsilon <X<x+\varepsilon \}}$سيكون لها عمومًا احتمال غير صفري، وبالتالي يمكن اشتراطها. يمكننا بعد ذلك أخذ النهاية.

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}P(A\mid x-\varepsilon <X<x+\varepsilon ).}$

1

على سبيل المثال، إذا كان لمتغيرين عشوائيين مستمرين X و Y كثافة مشتركة${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$ثم، باستخدام قاعدة لوبيتال وقاعدة لايبنتز التكاملية ، عند التفاضل بالنسبة إلى${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\varepsilon \to 0}P(Y\in U\mid x_{0}-\varepsilon <X<x_{0}+\varepsilon )&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\int _{x_{0}-\varepsilon }^{x_{0}+\varepsilon }\int _{U}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}-\varepsilon }^{x_{0}+\varepsilon }\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}}\\[6pt]&={\frac {\int _{U}f_{X,Y}(x_{0},y)\,\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x_{0},y)\,\mathrm {d} y}}.\end{aligned}}}$

النهاية الناتجة هي توزيع الاحتمال الشرطي لـ Y بمعلومية X، وتوجد عندما يكون المقام، دالة كثافة الاحتمال${\displaystyle f_{X}(x_{0})}$، إيجابي تماماً.

من المغري تعريف الاحتمال غير المحدد${\displaystyle P(A\mid X=x)}$باستخدام النهاية ( 1 )، ولكن لا يمكن القيام بذلك بطريقة متسقة. على وجه الخصوص، من الممكن إيجاد متغيرات عشوائية X و W وقيم x و w بحيث تكون الأحداث${\displaystyle \{X=x\}}$و${\displaystyle \{W=w\}}$متطابقة، لكن النهايات الناتجة ليست كذلك:

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}P(A\mid x-\varepsilon \leq X\leq x+\varepsilon )\neq \lim _{\varepsilon \to 0}P(A\mid w-\varepsilon \leq W\leq w+\varepsilon ).}$

توضح مفارقة بوريل -كولموغوروف ذلك من خلال حجة هندسية.

ليكن X متغيرًا عشوائيًا منفصلاً ، ولنرمز إلى نتائجه المحتملة بـ V. على سبيل المثال، إذا كان X يمثل قيمة رمية نرد، فإن V هي المجموعة${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$لنفترض من أجل العرض أن X هو متغير عشوائي منفصل، بحيث يكون لكل قيمة في V احتمال غير صفري.

بالنسبة لقيمة x في V وحدث A ، فإن الاحتمال الشرطي يُعطى بالصيغة التالية:${\displaystyle P(A\mid X=x)}$. كتابة

${\displaystyle c(x,A)=P(A\mid X=x)}$

باختصار ، نرى أنها دالة لمتغيرين، x و A.

بالنسبة لقيمة ثابتة لـ A ، يمكننا تكوين المتغير العشوائي${\displaystyle Y=c(X,A)}$يمثل ذلك نتيجة لـ${\displaystyle P(A\mid X=x)}$كلما تم رصد قيمة x لـ X.

وبالتالي، يمكن اعتبار الاحتمال الشرطي لـ A بشرط X متغيرًا عشوائيًا Y بنتائج تقع في الفترة${\displaystyle [0,1]}$. من قانون الاحتمال الكلي ، فإن قيمتها المتوقعة تساوي الاحتمال غير المشروط لـ A.

الاحتمال الشرطي الجزئي ${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})}$ يتعلق الأمر باحتمالية وقوع حدث ما ${\displaystyle A}$بافتراض أن كل حدث من أحداث الشرط ${\displaystyle B_{i}}$وقد حدث ذلك إلى حد ما ${\displaystyle b_{i}}$(درجة الاعتقاد، درجة الخبرة) التي قد تختلف عن 100%. من الناحية التكرارية، يكون الاحتمال الشرطي الجزئي منطقيًا، إذا تم اختبار الشروط في تكرارات تجريبية ذات طول مناسب. ${\displaystyle n}$[ ^{10 ]} مثل ^هذا${\displaystyle n}$يمكن تعريف الاحتمالية الشرطية الجزئية المحدودة بأنها متوسط ​​حدوث الحدث المتوقع شرطيًا${\displaystyle A}$في بيئات اختبار طويلة ${\displaystyle n}$التي تلتزم بجميع مواصفات الاحتمالية ${\displaystyle B_{i}\equiv b_{i}}$، أي:

${\displaystyle P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\operatorname {E} ({\overline {A}}^{n}\mid {\overline {B}}_{1}^{n}=b_{1},\ldots ,{\overline {B}}_{m}^{n}=b_{m})}$^{[ 10 ]}

وبناءً على ذلك، يمكن تعريف الاحتمال الشرطي الجزئي على النحو التالي:

${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\lim _{n\to \infty }P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m}),}$

أين${\displaystyle b_{i}n\in \mathbb {N} }$^{[ 10 ]}

يُعدّ التكييف الشرطي لجيفري ^{[ 11 ] [ 12 ]} حالة خاصة من الاحتمال الشرطي الجزئي، حيث يجب أن تشكل أحداث الشرط تجزئة :

${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\sum _{i=1}^{m}b_{i}P(A\mid B_{i})}$

عند إرسال شفرة مورس ، توجد احتمالية معينة أن تكون النقطة أو الشرطة المُستلمة خاطئة. يُعتبر هذا غالبًا تشويشًا في إرسال الرسالة. لذا، من المهم مراعاة احتمالية استلام النقطة عند إرسالها. ويُمكن تمثيل ذلك بالمعادلة التالية:${\displaystyle P({\text{dot sent }}|{\text{ dot received}})=P({\text{dot received }}|{\text{ dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}.}$في شفرة مورس، تكون نسبة النقاط إلى الشرطات 3:4 عند الإرسال، لذا فإن احتمالات ظهور "نقطة" و"شرطة" هي${\displaystyle P({\text{dot sent}})={\frac {3}{7}}{\text{ and }}P({\text{dash sent}})={\frac {4}{7}}}$إذا افترضنا أن احتمال إرسال نقطة كشرطة هو 1/10، وأن احتمال إرسال شرطة كنقطة هو 1/10 أيضًا، فيمكن استخدام قاعدة بايز لحساب${\displaystyle P({\text{dot received}})}$.

${\displaystyle P({\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\cap {\text{dot sent}})+P({\text{dot received}}\cap {\text{dash sent}})}$

${\displaystyle P({\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\mid {\text{dot sent}})P({\text{dot sent}})+P({\text{dot received}}\mid {\text{dash sent}})P({\text{dash sent}})}$

${\displaystyle P({\text{dot received}})={\frac {9}{10}}\times {\frac {3}{7}}+{\frac {1}{10}}\times {\frac {4}{7}}={\frac {31}{70}}}$

الآن،${\displaystyle P({\text{dot sent}}\mid {\text{dot received}})}$يمكن حسابها:

${\displaystyle P({\text{dot sent}}\mid {\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\mid {\text{dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}={\frac {9}{10}}\times {\frac {\frac {3}{7}}{\frac {31}{70}}}={\frac {27}{31}}}$^{[ 14 ]}

الأحداث التابعة (نرد ذو ستة أوجه)

لنفترض تجربة رمي نرد متوازن ذي ستة أوجه، حيث تكون فضاء العينة${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6\}}$لنفترض أن الحدث A يرمز إلى وقوع عدد زوجي، لذلك${\displaystyle A=\{2,4,6\}}$ولنرمز للحدث B بظهور عدد أقل من أو يساوي 3 ، لذلك${\displaystyle B=\{1,2,3\}}$قبل توفر أي معلومات إضافية، تكون احتمالات هذه الأحداث${\displaystyle P(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}}$و${\displaystyle P(B)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}}$نقطة تقاطع الحدثين هي${\displaystyle A\cap B=\{2\}}$وبالتالي${\displaystyle P(A\cap B)={\frac {1}{6}}}$إذا كانت الأحداث مستقلة إحصائياً، فسنتوقع${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}$. لكن،${\displaystyle {\frac {1}{6}}\neq {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}}$مما يشير إلى أن الحدثين A و B ليسا مستقلين بل يعتمدان إحصائياً.

لنفترض الآن أن مراقبًا كشف عن وقوع الحدث أ ؛ أي أن النتيجة معروفة بأنها عدد زوجي. هذه المعلومة الجديدة تُقلل من فضاء العينة الفعال من${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6\}}$ل${\displaystyle A=\{2,4,6\}}$ضمن هذه المساحة العينية المُصغّرة، لا يمكن أن يحدث الحدث B إلا عندما تكون النتيجة 2 ، لذا يصبح الحدث ذو الصلة${\displaystyle A\cap B=\{2\}}$وبالتالي، فإن الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث B بشرط وقوع الحدث A هو${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}={\frac {1/6}{1/2}}={\frac {1}{3}}}$وبالتالي، يتغير احتمال وقوع الحدث B من${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ل${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$بعد تقديم المعلومات الإضافية، يُظهر هذا التغيير في الاحتمالية أن معرفة الحدث (أ) تؤثر على احتمالية وقوع الحدث (ب) ، مما يؤكد أن الحدثين مرتبطان إحصائيًا. في مثل هذه الحالات، تُقلل المعلومات الإضافية من عدم اليقين، ويمكن أن تؤثر بشكل كبير على اتخاذ القرارات الرشيدة، والتنبؤ، وسلوك المراهنة.

أحداث مستقلة (نرد ذو ثمانية أوجه)

لنفترض تجربة رمي نرد متوازن ذي ثمانية أوجه مع فضاء عينة${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}}$لنفترض أن الحدث A يمثل النتيجة الأقل من 5 ، بحيث${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$ولتكن B الحدث الذي يمثل النتيجة التي تكون إما 3 أو 4 أو 5 أو 6 ، بحيث${\displaystyle B=\{3,4,5,6\}}$في البداية، تكون احتمالات هذه الأحداث${\displaystyle P(A)={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}}$و${\displaystyle P(B)={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}}$نقطة تقاطع الحدثين هي${\displaystyle A\cap B=\{3,4\}}$وبالتالي${\displaystyle P(A\cap B)={\frac {2}{8}}={\frac {1}{4}}}$. منذ${\displaystyle P(A)P(B={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}}$، نحصل${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}$وهذا يؤكد أن الحدثين أ و ب مستقلان إحصائياً.

لنفترض الآن أن مراقبًا ما كشف عن وقوع الحدث (أ). هذه المعلومة تقلل من فضاء العينة الفعال من${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}}$ل${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$ضمن هذه المساحة العينية المُصغّرة، تكون النتائج التي تُحقق الحدث B أيضًا هي${\displaystyle A\cap B=\{3,4\}}$وبالتالي، فإن الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث B بشرط وقوع الحدث A هو${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}={\frac {1/4}{1/2}}={\frac {1}{2}}}$لاحظ أن هذا الاحتمال الشرطي يساوي الاحتمال الأصلي للحدث B ، أي${\displaystyle P(B\mid A)=P(B)}$لذا، فإن معرفة وقوع الحدث ( أ) لا تُغير من احتمالية وقوع الحدث (ب) . فالمعلومات التي يوفرها الحدث ( أ) ليس لها أي تأثير على عدم اليقين المرتبط بالحدث (ب) ، مما يُظهر الخاصية الأساسية للاستقلال الإحصائي: معرفة حدث ما لا تُغير من احتمالية وقوع الحدث الآخر.

تفسير

يمكن تفسير الاستقلال الإحصائي على أنه غياب القيمة المعلوماتية بين الأحداث. فإذا أدت معرفة حدث ما إلى تغيير احتمالية وقوع حدث آخر، فإن الحدثين يكونان مترابطين. وعلى العكس، إذا بقيت الاحتمالية دون تغيير بعد الحصول على معلومات جديدة، فإن الحدثين يكونان مستقلين.

بصورة رسمية، يكون الحدثان A و B مستقلين إذا وفقط إذا:

${\displaystyle P(B\mid A)=P(B),}$وهو ما يعادل:${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B).}$

وبهذا المعنى، فإن الاستقلال يعني أن مراقبة حدث واحد لا توفر أي معلومات إضافية حول وقوع الحدث الآخر.

بشكل عام، لا يمكن افتراض أن P ( A | B )  ≈ P ( B | A ). قد يكون هذا خطأً خفيًا، حتى بالنسبة للملمين بالإحصاء. ^{[ 17 ]} تُعطى العلاقة بين P ( A | B ) و P ( B | A ) بنظرية بايز : 

${\displaystyle {\begin{aligned}P(B\mid A)&={\frac {P(A\mid B)P(B)}{P(A)}}\\\Leftrightarrow {\frac {P(B\mid A)}{P(A\mid B)}}&={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{aligned}}}$

أي أن P ( A | B )  ≈ P ( B | A ) فقط إذا كان P ( B )/ P ( A ) ≈ 1 ، أو بشكل مكافئ ، P ( A ) ≈ P ( B ).     

بشكل عام، لا يمكن افتراض أن P ( A )  ≈ P ( A | B ). ترتبط هذه الاحتمالات من خلال قانون الاحتمال الكلي . 

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}).}$

أين الأحداث${\displaystyle (B_{n})}$تشكل تجزئة قابلة للعد من${\displaystyle \Omega }$.

قد ينشأ هذا الخطأ نتيجةً لانحياز الاختيار . ^{[ 18 ]} على سبيل المثال، في سياق دعوى طبية، لنفترض _{أن SC} هو الحدث الذي يحدث فيه مرض مزمن ( S ) نتيجةً لظرف (حالة حادة) C. ولنفترض أن H هو الحدث الذي يلتمس فيه الفرد المساعدة الطبية. لنفترض أنه في معظم الحالات، لا يتسبب C في حدوث S (وبالتالي فإن P ( SC ₎ منخفض). ولنفترض أيضًا أنه لا يتم طلب الرعاية الطبية إلا إذا حدث S بسبب C. بناءً على خبرة المرضى ، قد يستنتج الطبيب خطأً أن P ( SC ) مرتفع. الاحتمال الفعلي الذي يلاحظه الطبيب هو P ( _SC | H ₎ .

يُطلق على عدم مراعاة الاحتمالية المسبقة جزئيًا أو كليًا اسم إهمال المعدل الأساسي . أما عكس ذلك، أي عدم كفاية التعديل بناءً على الاحتمالية المسبقة، فيُسمى التحفظ .