حقل مكعب

في الرياضيات ، وتحديداً في مجال نظرية الأعداد الجبرية ، الحقل المكعب هو حقل أعداد جبري من الدرجة الثالثة.

إذا كان K امتدادًا حقليًا للأعداد النسبية Q من الدرجة [ K : Q ]  =  3، فإن K يُسمى حقلًا مكعبًا . أي حقل من هذا النوع يكون متماثلًا مع حقل من الشكل

${\displaystyle \mathbf {Q} [x]/(f(x))}$

حيث f دالة تكعيبية غير قابلة للاختزال بمعاملات تنتمي إلى Q. إذا كان لـ f ثلاثة جذور حقيقية ، يُسمى K حقلًا تكعيبيًا حقيقيًا تمامًا ، وهو مثال على الحقول الحقيقية تمامًا . أما إذا كان لـ f جذر غير حقيقي، فيُسمى K حقلًا تكعيبيًا مركبًا .

يُسمى الحقل التكعيبي K حقلاً تكعيبياً دورياً إذا احتوى على الجذور الثلاثة لكثير الحدود المولد له f . وبصورة مكافئة، يكون K حقلاً تكعيبياً دورياً إذا كان امتداداً غالوا لـ Q ، وفي هذه الحالة تكون زمرة غالوا الخاصة به على Q دورية من الرتبة الثالثة. ولا يتحقق هذا إلا إذا كان K حقيقياً تماماً. وهو أمر نادر الحدوث، بمعنى أنه إذا رُتبت مجموعة الحقول التكعيبية حسب المميز ، فإن نسبة الحقول التكعيبية الدورية تقترب من الصفر كلما اقترب حد المميز من اللانهاية. ^{[ 1 ]}

يُطلق على الحقل التكعيبي اسم الحقل التكعيبي الخالص إذا أمكن الحصول عليه عن طريق ضم الجذر التكعيبي الحقيقي${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}}$من عدد صحيح موجب خالٍ من المكعبات n إلى حقل الأعداد النسبية Q. هذه الحقول هي دائمًا حقول مكعبة مركبة لأن كل عدد موجب له جذران مكعبان مركبان غير حقيقيين.

• بضم الجذر التكعيبي الحقيقي للعدد 2 إلى الأعداد النسبية نحصل على الحقل التكعيبي${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$هذا مثال على حقل مكعب خالص، وبالتالي على حقل مكعب مركب. في الواقع، من بين جميع الحقول المكعبة الخالصة، يمتلك هذا الحقل أصغر مميز ( بالقيمة المطلقة )، وهو -108. ^{[ 2 ]}
• الحقل التكعيبي المركب الناتج عن إضافة جذر للمعادلة x³ ⁺ x² - 1 ^إلى Q ليس حقلاً نقياً. وله أصغر مميز (بالقيمة المطلقة) بين جميع الحقول التكعيبية، وهو -23. ^{[ 3 ]}
• بضم جذر المعادلة x³ ⁺ x² - ^2x - 1 إلى الحقل Q، نحصل على حقل مكعب دوري، وبالتالي حقل مكعب حقيقي تمامًا. وله أصغر مميز بين جميع الحقول المكعبة الحقيقية تمامًا، وهو 49. ^{[ 4 ]}
• الحقل الناتج عن إضافة جذر للمعادلة x³ ⁺ x² - ^3x - 1 إلى Q هو مثال على حقل مكعب حقيقي تمامًا غير دوري. مميزه هو 148، وهو أصغر مميز لحقل مكعب حقيقي تمامًا غير دوري. ^{[ 5 ]}
• لا توجد حقول دائرية مكعبة لأن درجة الحقل الدائري تساوي φ( n )، حيث φ هي دالة أويلر ، والتي تأخذ قيمًا زوجية فقط باستثناء φ(1)  =  φ(2)  =  1.

الحقل المكعب الدوري K هو إغلاق غالوا خاص به، وزمرة غالوا Gal( K / Q ) متماثلة مع الزمرة الدورية من الرتبة الثالثة. مع ذلك، أي حقل مكعب آخر K هو امتداد غير غالوا لـ Q، _وله امتداد حقل N من الدرجة الثانية كإغلاق غالوا خاص به. زمرة غالوا Gal( N / Q ) متماثلة مع الزمرة المتناظرة S³ على ثلاثة أحرف.

^يمكن كتابة مميز الحقل التكعيبي K بشكل فريد على الصورة df² ^، حيث d هو المميز الأساسي . يكون K دوريًا إذا وفقط إذا كان d = 1، وفي هذه الحالة يكون الحقل الفرعي  الوحيد لإغلاق غالوا لـ K هو Q نفسه. إذا كان d ≠ 1، فإن إغلاق غالوا N لـ K يحتوي على حقل تربيعي وحيد k مميزه d (في حالة d = 1، يُعتبر الحقل الفرعي Q أحيانًا الحقل التربيعي "المتدهور" ذو المميز 1 ^{) .} موصل N على k هو f ^، و f² هو ^المميز النسبي لـ N على K. مميز N هو d³f⁴ ^{. [ 6} ] ^[ 7 ]  

يكون الحقل K حقلاً تكعيبياً بحتاً إذا وفقط إذا كان d  =  −3. في هذه الحالة يكون الحقل التربيعي الموجود في إغلاق غالوا لـ K هو الحقل الدائري للجذور التكعيبية للوحدة . ^{[ 7 ]}

بما أن إشارة مميز حقل عددي K هي (−1) ^{r ₂} ، حيث r ₂ هو عدد الأزواج المترافقة من التضمينات المعقدة لـ K في C ، فإن مميز الحقل التكعيبي سيكون موجبًا بالضبط عندما يكون الحقل حقيقيًا تمامًا، وسالبًا إذا كان حقلًا تكعيبيًا معقدًا.

بفرض وجود عدد حقيقي N  > 0 ،  يوجد عدد محدود فقط من الحقول التكعيبية K التي يحقق مميزها D _K الشرط | D _K |  ≤ N. ^{[ 9 ]} توجد صيغ معروفة لحساب التحليل الأولي لـ D _K ، وبالتالي يمكن حسابه بشكل صريح. ^{[ 10 ]} 

على عكس الحقول التربيعية، قد تشترك عدة حقول تكعيبية غير متماثلة K₁ _، ...، _Kₘ في نفس المميز D. يُطلق على عدد هذه الحقول m اسم تعددية المميز D ^{[ 11 ]} . ومن الأمثلة البسيطة على ذلك: m = 2 عندما يكون D = -1836، 3969، و m = 3 عندما يكون D = -1228، 22356، و m = 4 عندما يكون D = -3299، 32009، و m = 6 عندما يكون D = -70956، 3054132.                   

أي حقل تكعيبي K سيكون على الصورة K  = Q (θ) لعدد θ ما، وهو جذر لكثير حدود غير قابل للاختزال 

${\displaystyle f(X)=X^{3}-aX+b}$

حيث a و b عددان صحيحان. مميز الدالة f هو Δ  =  4a³ - ^{27b² .}  إذا رمزنا لمميز K بالرمز D ، فإن الدليل i  ( θ) للدالة θ يُعرَّف بالعلاقة Δ = i (θ ) ^²D .  

^في حالة الحقل التكعيبي غير الدوري K، ^يمكن دمج صيغة المؤشر هذه مع صيغة الموصل D = f²d للحصول على تحليل لمميز كثير الحدود Δ = i (θ) ^²f²d إلى مربع حاصل ضرب i (θ) f ومميز d للحقل التربيعي k المرتبط بالحقل التكعيبي K ، حيث يكون d خاليًا من المربعات حتى عامل محتمل 2² ^أو 2³ ^. وقدّم جورجي فورونوي طريقة لفصل i (θ) و f في الجزء المربع من Δ. ^{[ 12 ]}

^يُعدّ البحث في عدد الحقول التكعيبية التي يكون مميزها أقل من حدٍّ مُعطى مجالًا بحثيًا راهنًا. لنرمز بـ N ⁺ ( X ) (أو N- ( X )) إلى عدد الحقول التكعيبية الحقيقية (أو المركبة) تمامًا التي يكون مميزها محدودًا بالقيمة المطلقة لـ X. في أوائل سبعينيات القرن العشرين، حدّد هارولد دافنبورت وهانز هايلبرون الحدّ الأول للسلوك التقاربي لـ N ^± ( X ) (أي عندما تؤول X إلى اللانهاية). ^{[ 13 ] [ 14 ]} ومن خلال تحليل باقي دالة زيتا لشينتاني ، بالإضافة إلى دراسة جداول الحقول التكعيبية التي جمعها كريم بلعباس ( بلعباس 1997 ) وبعض الطرق الاستدلالية ، افترض ديفيد ب. روبرتس صيغة تقاربية أكثر دقة: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle N^{\pm}(X)\sim {\frac {A_{\pm}}{12\zeta (3)}}X+{\frac {4\zeta ({\frac {1}{3}})B_{\pm }}{5\Gamma ({\frac {2}{3}})^{3}\zeta ({\frac {5}{3}})}}X^{\frac {5}{6}}}$

حيث A _±  =  1 أو 3، B _±  =  1 أو${\displaystyle {\sqrt {3}}}$بحسب الحالة الحقيقية أو المركبة تمامًا، فإن ζ( s ) هي دالة زيتا لريمان ، وΓ( s ) هي دالة غاما . وقد نُشرت براهين هذه الصيغة من قِبل بهارجافا، وشانكار ، وتسيمرمان (2013) باستخدام طرق تستند إلى أعمال بهارجافا السابقة، وكذلك من قِبل تانيغوتشي وثورن (2013) استنادًا إلى دالة زيتا لشينتاني.

وفقًا لنظرية ديريشليه للوحدات ، تُحدد رتبة الوحدة الخالية من الالتواء r لحقل عددي جبري K ذي r⁹ _من التضمينات الحقيقية و r² من أزواج التضمينات المركبة المترافقة بالصيغة r = r⁹ + r² - 1. وبالتالي _، فإن الحقل التكعيبي الحقيقي K الذي يحقق _r⁹ = 3 و _{r² =} 0 يمتلك وحدتين مستقلتين _{ε₁ و} ε₂ _، بينما يمتلك الحقل التكعيبي المركب K الذي يحقق r⁹ = _{r² = 1} وحدة أساسية واحدة ε₁ _. ^ويمكن حساب هذه الأنظمة الأساسية للوحدات باستخدام خوارزميات الكسور المستمرة المعممة لفورونوي [ ^{16 ]} ، والتي فسرها ديلون وفادييف هندسيًا ^{[ 17 ]} .

• Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, Introductory algebraic number theory , Cambridge University Press , 2004.
• بلاس، كريم (1997)، "خوارزمية سريعة لحساب الحقول التكعيبية"، رياضيات الحساب ، 66 (219): 1213-1237 ، doi : 10.1090/s0025-5718-97-00846-6 ، MR 1415795 
• بهارجافا، مانجول ؛ شانكار، أرول؛ تسيمرمان، جاكوب (2013)، "حول نظرية دافنبورت-هيلبرون والحدود من الرتبة الثانية"، Inventiones Mathematicae ، 193 (2): 439-499 ، arXiv : 1005.0672 ، Bibcode : 2013InMat.193..439B ، doi : 10.1007/s00222-012-0433-0 ، MR 3090184 ، S2CID 253738365  
• كوهين، هنري (1993)، دورة في نظرية الأعداد الجبرية الحاسوبية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  138، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-55640-4MR 1228206​ 
• كوهن، هارفي (1954)، "كثافة الحقول المكعبية الأبيلية"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 5 (3): 476-477 ، doi : 10.2307/2031963 ، JSTOR 2031963 ، MR 0064076  
• دافنبورت، هارولد ؛ هايلبرون، هانز (1971)، "حول كثافة المميزات للحقول التكعيبية. الجزء الثاني"، وقائع الجمعية الملكية أ ، 322 (1551): 405-420 ، رمز Bibcode : 1971RSPSA.322..405D ، doi : 10.1098/rspa.1971.0075 ، MR 0491593 ، S2CID 122814162  
• هاس، هيلموت (1930)، “Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage”، Mathematische Zeitschrift (بالألمانية)، 31 (1): 565–582 ، دوى : 10.1007 / BF01246435 ، S2CID 121649559 
• روبرتس، ديفيد ب. (2001)، "كثافة المميزات المكعبة للحقل"، رياضيات الحساب ، 70 (236): 1699-1705 ، arXiv : math/9904190 ، doi : 10.1090/s0025-5718-00-01291-6 ، MR 1836927 ، S2CID 7524750  
• تانيغوتشي، تاكاشي؛ ثورن، فرانك (2013)، "الحدود الثانوية في دوال العد للحقول التكعيبية"، مجلة ديوك الرياضية ، 162 (13): 2451-2508 ، arXiv : 1102.2914 ، doi : 10.1215/00127094-2371752 ، MR 3127806 ، S2CID 16463250  

• الوسائط المتعلقة بالحقل المكعب على ويكيميديا ​​كومنز