مميز حقل عدد جبري

في الرياضيات ، يُعدّ المُميّز لحقل الأعداد الجبرية ثابتًا عدديًا ، يُقاس، بشكل عام، بحجم ( حلقة الأعداد الصحيحة ) حقل الأعداد الجبرية. وبشكل أدق، يتناسب مع مربع حجم المجال الأساسي لحلقة الأعداد الصحيحة ، ويُحدد الأعداد الأولية المتفرعة .

المميز هو أحد الثوابت الأساسية لحقل عددي، ويظهر في العديد من الصيغ التحليلية المهمة مثل المعادلة الوظيفية لدالة زيتا ديديكيند لـ${\displaystyle K}$، وصيغة عدد الفئات التحليلية لـ${\displaystyle K}$تنص إحدى نظريات هيرميت على أن هناك عددًا محدودًا فقط من حقول الأعداد ذات المميز المحدود، إلا أن تحديد هذه الكمية لا يزال مشكلة مفتوحة ، وموضوعًا للبحث الحالي. ^{[ 1 ]}

التمييز بين${\displaystyle K}$يمكن الإشارة إليه على أنه التمييز المطلق لـ${\displaystyle K}$لتمييزه عن المميز النسبي للامتداد${\displaystyle K/L}$من حقول الأعداد. هذا الأخير هو مثالي في حلقة الأعداد الصحيحة لـ${\displaystyle L}$ومثل المميز المطلق، فإنه يشير إلى الأعداد الأولية المتفرعة في${\displaystyle K/L}$وهو تعميم للمميز المطلق يسمح بـ${\displaystyle L}$أن تكون أكبر من${\displaystyle \mathbb {Q} }$في الواقع، عندما${\displaystyle L=\mathbb {Q} }$، التمييز النسبي لـ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$هو المثل الأعلى الرئيسي لـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$الناتج عن التمييز المطلق لـ${\displaystyle K}$.

يترك${\displaystyle K}$ليكن حقل أعداد جبري، وليكن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$لتكن حلقة الأعداد الصحيحة .${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$أن تكون أساسًا لا يتجزأ من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$(أي أساس كـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-module ), ولتكن${\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}}$لتكن مجموعة تضمينات${\displaystyle K}$في الأعداد المركبة (أي تشاكلات الحلقة الحقنية )${\displaystyle K\to \mathbb {C} }$). المميز لـ${\displaystyle K}$هو مربع محدد الدالة​${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle B}$لمن${\displaystyle (i,j)}$المدخل هو${\displaystyle \sigma _{i}(b_{j})}$. رمزياً،

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

وبالمثل، الأثر من${\displaystyle K}$ل${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن استخدامها. على وجه التحديد، عرّف شكل التتبع بأنه المصفوفة التي${\displaystyle (i,j)}$المدخل هو${\displaystyle \operatorname {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$هذه المصفوفة تساوي${\displaystyle B^{T}\!B}$وبالتالي تحديد العنصر المميز لـ${\displaystyle K}$لأن محدد هذه المصفوفة يعطينا نفس النتيجة التي توصل إليها التعريف السابق.

العنصر المميز في ترتيب ما${\displaystyle K}$مع أساس متكامل${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$يتم تعريفها بنفس الطريقة.

• حقول الأعداد التربيعية : ليكن${\displaystyle d}$ليكن عددًا صحيحًا خاليًا من المربعات ؛ عندئذٍ يكون مميز${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$هو ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&{\text{if }}d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&{\text{if }}d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}$

يُطلق على العدد الصحيح الذي يظهر كمميز لحقل عددي تربيعي اسم المميز الأساسي . ^{[ 3 ]}

• الحقول الحلقية : دع${\displaystyle n>2}$ليكن عددًا صحيحًا،${\displaystyle \zeta _{n}}$ليكن جذرًا أوليًا من الرتبة n للوحدة ، وليكن${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n})}$كن${\displaystyle n}$الحقل الحلقي ذو الرتبة -th. المميز لـ${\displaystyle K_{n}}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 2 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}$

أين${\displaystyle \varphi (n)}$هي دالة أويلر ، والناتج في المقام يكون على الأعداد الأولية${\displaystyle p}$الفاصل${\displaystyle n}$.

• قواعد الطاقة: في حالة وجود الحلقة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$تمتلك مجموعة الأعداد الصحيحة الجبرية أساسًا تكامليًا للقوى ، أي يمكن كتابتها على النحو التالي:${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z} [\alpha ]}$، المميز لـ${\displaystyle K}$يساوي مميز الحد الأدنى لكثير الحدود لـ${\displaystyle \alpha }$ولرؤية ذلك، يمكن للمرء اختيار الأساس التكاملي لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$يكون

${\displaystyle b_{1}=1,b_{2}=\alpha ,b_{3}=\alpha ^{2},\dots ,b_{n}=\alpha ^{n-1}}$.

ثم المصفوفة${\displaystyle B}$في التعريف، مصفوفة فاندرموند المرتبطة بـ${\displaystyle \alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )}$، ومحددها التربيعي هو

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$،

وهذا هو تعريف مميز كثير الحدود الأدنى بالضبط.

• يترك${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$ليكن حقل الأعداد الناتج عن ضم جذر${\displaystyle \alpha }$من متعدد الحدود${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8}$هذا هو المثال الأصلي لريتشارد ديديكيند لحقل عددي لا تمتلك حلقة الأعداد الصحيحة فيه أساسًا قوى. ويُعطى الأساس الصحيح بواسطة

${\displaystyle \left\{1,\alpha ,{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2}}\right\}}$

والمميز لـ${\displaystyle K}$هو -503 . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• المميزات المتكررة: يميز مميز الحقل التربيعي هذا الحقل بشكل فريد، لكن هذا لا ينطبق عمومًا على حقول الأعداد ذات الدرجات الأعلى . على سبيل المثال، يوجد حقلان تكعيبيان غير متماثلين مميزهما 3969. ويتم الحصول عليهما بضم جذر لكثير الحدود${\displaystyle x^{3}-21x+28}$أو${\displaystyle x^{3}-21x-35}$[ ^{7 ]​}

• نظرية بريل : ^{[ 8 ]} إشارة المميز هي${\displaystyle (-1)^{r_{2}}}$أين${\displaystyle r_{2}}$هو عدد الأماكن المعقدة${\displaystyle K}$[ ^{9 ]​}
• رئيس الوزراء${\displaystyle p}$يتفرع في${\displaystyle K}$إذا وفقط إذا${\displaystyle p}$يقسم${\displaystyle \Delta _{K}}$[ ^{10 ] [ 11 ]​}
• نظرية ستيكلبرجر : ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.}$

• حد مينكوفسكي : ^{[ 13 ]} ليكن${\displaystyle n}$يشير إلى درجة الامتداد${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$و${\displaystyle r_{2}}$عدد الأماكن المعقدة${\displaystyle K}$، ثم

${\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}$

• نظرية مينكوفسكي : ^{[ 14 ]} إذا${\displaystyle K}$ليس${\displaystyle \mathbb {Q} }$، ثم${\displaystyle |\Delta _{K}|>1}$(هذا يتبع مباشرة من حد مينكوفسكي).
• نظرية هيرميت-مينكوفسكي : ^{[ 15 ]} ليكن${\displaystyle N}$ليكن عددًا صحيحًا موجبًا. يوجد عدد محدود فقط من حقول الأعداد الجبرية (حتى التشاكلات).${\displaystyle K}$مع${\displaystyle |\Delta _{K}|<N}$ومرة أخرى، هذا يتبع من حد مينكوفسكي جنبًا إلى جنب مع نظرية هيرميت (أنه لا يوجد سوى عدد محدود من حقول الأعداد الجبرية ذات المميز المحدد).

قدم ديديكيند تعريف المميز لحقل عددي جبري عام، K ، في عام 1871. ^{[ 16 ]} في هذه المرحلة، كان يعرف بالفعل العلاقة بين المميز والتفرع. ^{[ 17 ]}

تسبق نظرية هيرميت التعريف العام للمميز، حيث نشر تشارلز هيرميت برهانًا لها عام 1857. ^{[ 18 ]} وفي عام 1877، حدد ألكسندر فون بريل إشارة المميز. ^{[ 19 ]} وقد ذكر ليوبولد كرونكر نظرية مينكوفسكي لأول مرة عام 1882، ^{[ 20 ]} على الرغم من أن أول برهان لها قدمه هيرمان مينكوفسكي عام 1891. ^{[ 21 ]} وفي العام نفسه، نشر مينكوفسكي حده الخاص بالمميز. ^{[ 22 ]} وفي أواخر القرن التاسع عشر، توصل لودفيج ستيكلبرجر إلى نظريته حول باقي المميز بتردد أربعة. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

يُشار أحيانًا إلى المميز المُعرَّف أعلاه باسم المميز المطلق لـ K لتمييزه عن المميز النسبي ΔK _{/ L} لامتداد حقول الأعداد K / _L ، وهو مثالي في OL _. يُعرَّف المميز النسبي بطريقة مشابهة للميز المطلق، ولكن يجب أن يأخذ في الاعتبار أن المثاليات في OL قد لا تكون رئيسية ، وأنه قد لا توجد قاعدة OL لـ _{OK .} ليكن _{ σ₁ _, ..., σₙ _} مجموعة تضمينات K في C التي تُمثل عنصر الوحدة على L. إذا كانت b₁ , ..., bₙ أي قاعدة لـ K على L ، فليكن d ( _{b₁ ,} ..., _{bₙ )} مربع محدد المصفوفة n × n التي _يكون عنصرها ( i , j ) هو _σᵢ ( bⱼ ) . عندئذٍ، يكون المميز النسبي لـ K / L هو المثالي الناتج عن d ( b1 _, ..., bn ₎ عندما تتغير المجموعة { _b1 , ..., bn _} على جميع القواعد الصحيحة لـ K / L (أي القواعد التي _تحقق الخاصية b1 ∈ ℝK لكل i ). وبدلاً _من ذلك، يكون المميز النسبي لـ K / L هو معيار الفرق لـ K / L . [ ^{25 ] عندما} L = Q ، يكون المميز النسبي ΔK _{/ Q هو} المثالي الرئيسي لـ Z الناتج عن المميز المطلق ΔK _. في سلسلة من الحقول K / L / F ، ترتبط المميزات النسبية بالعلاقة التالية:   

${\displaystyle \Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}}$

أين${\displaystyle {\mathcal {N}}}$يشير إلى المعيار النسبي . ^{[ 26 ]}

يُعرَّف المميز الجذري لحقل عددي من الدرجة n، K، بالصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {rd} _{K}=|\Delta _{K}|^{1/n}.}$^{[ 27 ]}

تُظهر العلاقة بين المميزات النسبية في سلسلة من الحقول أن المميز الجذري لا يتغير في امتداد غير متفرع.

• عند تضمينها في${\displaystyle K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R} }$حجم المجال الأساسي لـ O _K هو${\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$(أحيانًا يتم استخدام مقياس مختلف ويكون الحجم الناتج هو${\displaystyle 2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$، حيث يمثل r ₂ عدد المنازل المركبة لـ K ).
• بسبب ظهوره في هذا المجلد، يظهر المميز أيضًا في المعادلة الوظيفية لدالة زيتا ديديكيند لـ K ، وبالتالي في صيغة عدد الفئة التحليلية، ونظرية براور-سيجل .
• المميز النسبي لـ K / L هو موصل آرتين للتمثيل المنتظم لمجموعة غالوا لـ K / L. وهذا يوفر علاقة بموصلات آرتين لخصائص مجموعة غالوا لـ K / L ، تسمى صيغة الموصل المميز . ^{[ 31 ]}

• ميلن، جيمس س. (1998)، نظرية الأعداد الجبرية ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أغسطس 2008