Darcy's law for multiphase flow

Morris Muskat et al.^[1][2] developed the governing equations for multiphase flow (one vector equation for each fluid phase) in porous media as a generalisation of Darcy's equation (or Darcy's law) for water flow in porous media. The porous media are usually sedimentary rocks such as clastic rocks (mostly sandstone) or carbonate rocks.

Nomenclature

Symbol	Description	SI Units
	subscript: phase a, vector component ${\displaystyle \sigma }$
${\displaystyle A{_{\sigma }}}$	vector component ${\displaystyle \sigma }$ of directional contact surface between two grid cells	m2
${\displaystyle \mathbf {A} }$	directional contact surface between two (usually neighboring) grid cells	m2
${\displaystyle {\mathbf {e} _{z}}{^{3}}}$	unit vector along 3rd axis (z is a reminder here: 3 is z-direction)	1
${\displaystyle g}$	acceleration of gravity	m/s2
${\displaystyle \mathbf {g} }$	acceleration of gravity with direction	m/s2
${\displaystyle \mathbf {K} }$	absolute permeability as a 3x3 tensor	m2
${\displaystyle K_{ra}}$	relative permeability of phase a= w, o, g	fraction
${\displaystyle \mathbf {K} _{ra}}$	directional relative permeability (i.e. 3x3 tensor)	fraction
${\displaystyle P_{a}}$	pressure	Pa
${\displaystyle \mathbf {q} _{a}}$	volumetric flux (Darcy velocity) through grid cell contact surface	m/s
${\displaystyle {Q_{a}}}$	volumetric flow rate through grid cell contact surface	m3/s
${\displaystyle \mathbf {v} _{a}}$	pore (fluid) flow velocity	m/s
${\displaystyle {u_{a}}^{\sigma }}$	Darcy (fluid) velocity along axis ${\displaystyle \sigma }$	m/s
${\displaystyle \mathbf {u} _{a}}$	Darcy (fluid) velocity	m/s
${\displaystyle \nabla }$	gradient operator	m−1
${\displaystyle \mu _{a}}$	dynamic viscosity	Pa ${\displaystyle \cdot }$ s
${\displaystyle \rho _{a}}$	mass density	kg/m3

${\displaystyle \mathbf {u} _{a}=-\mu _{a}^{-1}K_{ra}\mathbf {K} \cdot \left(\nabla P-\rho _{a}\mathbf {g} \right)}$ where a = w, o, g

The present fluid phases are water, oil and gas, and they are represented by the subscript a = w,o,g respectively. The gravitational acceleration with direction is represented as ${\displaystyle \mathbf {g} }$ or ${\displaystyle g\nabla z}$ or ${\displaystyle g{\mathbf {e} _{z}}{^{3}}}$. Notice that in petroleum engineering the spatial co-ordinate system is right-hand-oriented with z-axis pointing downward. The physical property that links the flow equations of the three fluid phases, is relative permeability of each fluid phase and pressure. This property of the fluid-rock system (i.e. water-oil-gas-rock system) is mainly a function of the fluid saturations, and it is linked to capillary pressure and the flowing process, implying that it is subject to hysteresis effect.

In 1940 M.C. Leverett^[3] pointed out that in order to include capillary pressure effects in the flow equation, the pressure must be phase dependent. The flow equation then becomes

${\displaystyle \mathbf {u} _{a}=-\mu _{a}^{-1}K_{ra}\mathbf {K} \cdot \left(\nabla P_{a}-\rho _{a}\mathbf {g} \right)}$ where a = w, o, g

أشار ليفرت أيضًا إلى أن الضغط الشعري يُظهر تأثيرات تخلف ملحوظة . وهذا يعني أن الضغط الشعري لعملية التصريف يختلف عن الضغط الشعري لعملية الامتصاص مع نفس أطوار السوائل. لا يُغير التخلف شكل معادلة التدفق الأساسية، ولكنه يزيد (عادةً ما يُضاعف) عدد المعادلات التكوينية للخصائص المتضمنة في التخلف.

خلال الفترة من 1951 إلى 1970، دخلت الحواسيب التجارية مجال الحسابات العلمية والهندسية ومحاكاة النماذج. وسرعان ما أصبحت محاكاة السلوك الديناميكي لمكامن النفط هدفًا لصناعة البترول، إلا أن القدرة الحاسوبية كانت ضعيفة للغاية في ذلك الوقت.

مع ضعف القدرة الحاسوبية، كانت نماذج المكامن خشنة نسبيًا، لكن توسيع نطاق المعلمات الثابتة كان بسيطًا نسبيًا وعوّض جزئيًا عن هذه الخشونة. أما مسألة توسيع نطاق منحنيات النفاذية النسبية من منحنيات الصخور المستمدة من مقياس عينة اللب (والذي يُشار إليه غالبًا بالمقياس الميكروي) إلى خلايا الشبكات الخشنة لنماذج المكامن (والذي يُسمى غالبًا بالمقياس الماكروي) فهي أكثر صعوبة، وقد أصبحت مجالًا بحثيًا هامًا لا يزال مستمرًا. إلا أن التقدم في توسيع النطاق كان بطيئًا، ولم يتضح اعتماد النفاذية النسبية على الاتجاه والحاجة إلى تمثيلها بالموتر إلا في الفترة ما بين عامي 1990 و2000، ^{[ 4 ] [ 5 ]} على الرغم من تطوير طريقة فعالة واحدة على الأقل ^{[ 6 ]} في عام 1975. ومن أمثلة توسيع النطاق هذه المكامن المائلة حيث ينفصل الماء (والغاز) رأسيًا بالنسبة للنفط بالإضافة إلى الحركة الأفقية. عادةً ما يكون الحجم الرأسي لخلية الشبكة أصغر بكثير من حجمها الأفقي، مما يُنشئ مناطق تدفق صغيرة وكبيرة على التوالي. كل هذا يتطلب منحنيات نفاذية نسبية مختلفة للاتجاهين x و z. كما أن عدم التجانس الجيولوجي في الخزانات، مثل الطبقات الرقيقة أو تراكيب النفاذية المتقاطعة في الصخور، يُسبب نفاذية نسبية اتجاهية. هذا يُشير إلى أنه في الحالة العامة، يجب تمثيل النفاذية النسبية بواسطة موتر. عندئذٍ، تُصبح معادلات التدفق كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {u} _{a}=-\mu _{a}^{-1}\mathbf {K} _{ra}\cdot \mathbf {K} \cdot \left(\nabla P_{a}-\rho _{a}\mathbf {g} \right)}$ حيث a = w، o، g

تعكس الحالة المذكورة أعلاه حقن الماء باتجاه الأسفل (أو حقن الغاز باتجاه الأعلى) أو الإنتاج عن طريق استنزاف الضغط . عند حقن الماء باتجاه الأعلى (أو الغاز باتجاه الأسفل) لفترة من الزمن، ينتج عن ذلك منحنيات نفاذية نسبية مختلفة في الاتجاهين x+ و x-. هذه ليست عملية تخلف بالمعنى التقليدي، ولا يمكن تمثيلها بواسطة موتر تقليدي. يمكن تمثيلها بواسطة عبارة شرطية (IF) في شفرة البرنامج، وتحدث في بعض برامج محاكاة المكامن التجارية. قد تكون هذه العملية (أو بالأحرى سلسلة العمليات) ناتجة عن خطة احتياطية لاستعادة الحقل، أو قد يتدفق السائل المحقون إلى تكوين صخري مكمن آخر بسبب جزء مفتوح غير متوقع من صدع أو مادة إسمنتية غير محكمة الإغلاق خلف غلاف بئر الحقن. نادرًا ما يُستخدم خيار النفاذية النسبية، ونشير فقط إلى أنه لا يُغير (الشكل التحليلي) للمعادلة الحاكمة، ولكنه يزيد (عادةً ما يُضاعف) عدد المعادلات التكوينية للخصائص المعنية.

المعادلة أعلاه هي صيغة متجهة للمعادلة العامة لتدفق الموائع في الأوساط المسامية، وهي تُعطي القارئ نظرة عامة جيدة على المصطلحات والكميات المستخدمة. قبل تحويل المعادلة التفاضلية إلى معادلات فرقية لاستخدامها في الحواسيب، يجب كتابة معادلة التدفق بصيغة المكونات. معادلة التدفق بصيغة المكونات (باستخدام اصطلاح الجمع ) هي

${\displaystyle u{_{a}}^{\sigma }=-\mu _{a}^{-1}K_{ra}{^{\sigma }}_{\beta }K{^{\beta }}_{\gamma }\left(\nabla ^{\gamma }P_{a}-\rho _{a}g{e_{z}}{^{\gamma }}\right)}$ حيث a = w، o، g  حيث${\displaystyle \sigma }$= 1، 2، 3

سرعة دارسي${\displaystyle \mathbf {u} _{a}}$لا تمثل سرعة جسيم سائل، بل التدفق الحجمي (الذي يُرمز إليه غالبًا بالرمز${\displaystyle \mathbf {q} _{a}}$) من تيار السائل. سرعة السائل في المسام${\displaystyle \mathbf {v} _{a}}$(أو ما يُسمى اختصارًا ولكن بشكل غير دقيق سرعة المسام) ترتبط بسرعة دارسي بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \mathbf {v} _{a}=\phi ^{-1}\mathbf {q} _{a}=\phi ^{-1}\mathbf {u} _{a}}$ حيث a = w، o، g

يُعد التدفق الحجمي كمية مكثفة، لذا فهو غير مناسب لوصف كمية السائل الداخلة في وحدة الزمن. المتغير المُفضّل لفهم ذلك هو الكمية الشاملة المسماة معدل التدفق الحجمي، والذي يُخبرنا بكمية السائل الخارجة من (أو الداخلة إلى) مساحة معينة في وحدة الزمن، ويرتبط بسرعة دارسي بالعلاقة التالية:

${\displaystyle Q_{a}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} _{a}}$ حيث a = w، o، g

نلاحظ أن معدل التدفق الحجمي${\displaystyle Q_{a}}$هي كمية قياسية ويتم تحديد الاتجاه بواسطة متجه العمودي على السطح (المساحة) والتدفق الحجمي (سرعة دارسي).

في نموذج الخزان، يُقسّم الحجم الهندسي إلى خلايا شبكية، وتُصبح المساحة محل الاهتمام هي مساحة التقاطع بين خليتين متجاورتين. إذا كانت هاتان الخليتان متجاورتين بالفعل، فإن المساحة هي السطح الجانبي المشترك، أما إذا كان هناك صدع يفصل بين الخليتين، فإن مساحة التقاطع عادةً ما تكون أقل من السطح الجانبي الكامل لكلتا الخليتين المتجاورتين. وبالتالي، فإن صيغة معادلة التدفق متعدد الأطوار، قبل تقسيمها واستخدامها في محاكيات الخزانات، هي كالتالي:

${\displaystyle Q_{a}=-\mu _{a}^{-1}\mathbf {A} \cdot \mathbf {K} _{ra}\cdot \mathbf {K} \cdot \left(\nabla P_{a}-\rho _{a}\mathbf {g} \right)}$ حيث a = w، o، g

في شكلها الموسع (المكون) تصبح

$// }}\يمين)}$ حيث a = w، o، g

يتم حساب الضغط الهيدروستاتيكي (الأولي) عند عمق (أو مستوى) z أعلى (أو أسفل) عمق مرجعي z _{0 بواسطة}

${\displaystyle P{_{a}}=P_{a0}+\int \limits _{z_{0}}^{z}\rho _{a}\left(z\right)g\left(z\right)dz}$ حيث a = w، o، g

عند إجراء حسابات الضغط الهيدروستاتيكي، لا يُستخدم عادةً رمز الطور، بل يتم تغيير الصيغة/الكمية وفقًا للطور المُلاحظ عند العمق الفعلي، ولكننا أدرجنا رمز الطور هنا للوضوح والاتساق. مع ذلك، عند إجراء حسابات الضغط الهيدروستاتيكي، يمكن استخدام تسارع الجاذبية الأرضية المتغير مع العمق لزيادة الدقة. إذا لم تكن هذه الدقة العالية مطلوبة، يُبقى تسارع الجاذبية الأرضية ثابتًا، ويُسمى الضغط المحسوب ضغط الطبقات العلوية . لا تتطلب محاكاة المكامن هذه الدقة العالية، لذا يُعامل تسارع الجاذبية الأرضية كثابت في هذا السياق. يُحسب الضغط الابتدائي في نموذج المكمن باستخدام صيغة ضغط الطبقات العلوية (الابتدائي) وهي:

${\displaystyle P{_{a}}=P_{a0}+g\int \limits _{z_{0}}^{z}\rho _{a}\left(z\right)dz}$ حيث a = w، o، g

لتبسيط الحدود داخل قوس معادلة التدفق، يمكننا إدخال جهد تدفق يسمى${\displaystyle \psi }$الجهد الكامن، الذي يُنطق بسي-بوتنشال، والذي يُعرَّف بواسطة

${\displaystyle \psi _{a}=P{_{a}}-g\int \limits _{z_{0}}^{z}\rho _{a}\left(z\right)dz}$ حيث a = w، o، g

يتكون من حدين هما الضغط المطلق وضغط الجاذبية. لتوفير وقت الحساب، يمكن حساب التكامل مبدئيًا وتخزينه كجدول لاستخدامه في عملية البحث في الجدول الأقل تكلفة حسابيًا. مقدمة عن${\displaystyle \psi }$يشير الاحتمال إلى أن

${\displaystyle \nabla \psi _{a}=\nabla P_{a}-\rho _{a}g\nabla z}$ حيث a = w، o، g

يُطلق على جهد الضغط (psi) أيضًا اسم "ضغط المرجع"، حيث يُمثل هذا الجهد الضغط عند أي نقطة في المكمن بعد نقله إلى مستوى المرجع/العمق z₀ _. في الأعمال الهندسية العملية، من المفيد جدًا ربط الضغوط المقاسة في الآبار بمستوى مرجعي أو رسم خريطة لتوزيع ضغوط المرجع في جميع أنحاء المكمن. بهذه الطريقة، يُمكن تحديد اتجاه حركة السوائل في المكمن بسهولة، لأن توزيع ضغط المرجع يُعادل توزيع الجهد. مثالان بسيطان يُوضحان ذلك: قد يتكون المكمن من عدة وحدات تدفق تفصل بينها طبقات صخرية صلبة. يُمكن أن يدخل السائل من مكمن أو وحدة تدفق إلى صدع عند عمق معين ويخرج منه في مكمن أو وحدة تدفق أخرى عند عمق مختلف. وبالمثل، يُمكن أن يدخل السائل إلى بئر إنتاج في وحدة تدفق ويخرج منه في وحدة تدفق أو مكمن آخر.

تصبح معادلة التدفق متعدد الأطوار للوسط المسامي الآن

${\displaystyle Q_{a}=-\mu _{a}^{-1}\mathbf {A} \cdot \mathbf {K} _{ra}\cdot \mathbf {K} \cdot \nabla \psi _{a}}$ حيث a = w، o، g

لطالما كانت معادلة التدفق متعدد الأطوار هذه نقطة انطلاق لمبرمجي البرمجيات عند تحويلها من معادلة تفاضلية إلى معادلة فرقية لكتابة برنامج محاكاة للمكامن النفطية المستخدمة في صناعة البترول. وكانت المتغيرات التابعة المجهولة تقليديًا هي ضغط النفط (في حقول النفط) والكميات الحجمية للسوائل الداخلة في العملية، ولكن يمكن إعادة كتابة مجموعة معادلات النموذج كاملةً لحلها لإيجاد ضغط النفط والكميات الكتلية أو المولية لمكونات السوائل الداخلة في العملية. ^{[ 7 ]}

المعادلات المذكورة أعلاه مكتوبة بوحدات النظام الدولي للوحدات (SI)، ونفترض أن جميع خصائص المواد مُعرّفة ضمن هذه الوحدات. ونتيجةً لذلك، لا تحتاج هذه المعادلات إلى أي ثوابت لتحويل الوحدات. يستخدم قطاع النفط مجموعة متنوعة من الوحدات، من بينها وحدتان شائعتان. إذا كنت ترغب في استخدام وحدات أخرى غير وحدات النظام الدولي للوحدات، فيجب عليك تحديد ثوابت تحويل الوحدات الصحيحة لمعادلات التدفق متعدد الأطوار.

كُتبت المعادلات أعلاه بوحدات النظام الدولي للوحدات (SI)، مع إغفال تعريف وحدة النفاذية المطلقة ( دارسي) بوحدات غير تابعة للنظام الدولي. ولذلك، لا توجد ثوابت متعلقة بالوحدات. لا تستخدم صناعة النفط وحدات النظام الدولي، بل تستخدم نسخة خاصة منها تُسمى وحدات النظام الدولي التطبيقية، أو مجموعة أخرى من الوحدات تُسمى الوحدات الميدانية، وهي وحدات أمريكية وبريطانية الأصل. لا تُدرج درجة الحرارة في المعادلات، لذا يُمكننا استخدام طريقة عامل التحويل (أو طريقة عامل الوحدة)، والتي تنص على أنه إذا كان لدينا متغير/معامل بوحدة H، فإننا نضرب هذا المتغير/المعامل بثابت تحويل C، فيحصل المتغير على الوحدة G المطلوبة. هذا يعني أننا نُطبق التحويل H*C = G، ويُؤخذ تأثير تعريف النفاذية غير التابع للنظام الدولي في عامل التحويل C للنفاذية. ينطبق التحويل H*C = G على جميع الأبعاد المكانية، لذا نركز على الحدود الرئيسية، متجاهلين الإشارات، ثم نكمل ما بين القوسين بحد الجاذبية. قبل البدء بالتحويل، نلاحظ أن كلاً من معادلة دارسي الأصلية (أحادية الطور) ومعادلات موسكات وآخرون المعممة (أو الموسعة) للتدفق متعدد الأطوار تستخدم سرعة الخزان (التدفق الحجمي) ومعدل التدفق الحجمي والكثافات. تُعطى وحدات هذه الكميات البادئة r (أو R) لتمييزها عن نظيراتها في ظروف السطح القياسية التي تُعطى البادئة s (أو S). هذا مهم بشكل خاص عند تحويل المعادلات إلى وحدات الحقل. والسبب في الخوض في تفاصيل موضوع تحويل الوحدات، الذي يبدو بسيطًا، هو أن الكثيرين يقعون في أخطاء عند إجراء تحويلات الوحدات.

الآن نحن جاهزون لبدء عملية التحويل. أولاً، نأخذ صيغة التدفق من المعادلة ونعيد كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle 1={\frac {K\nabla _{\gamma }P_{a}}{\mu _{a}u{_{a}}}}}$ حيث a = w، o، g

نريد وضع معامل التحويل المركب مع معامل النفاذية. نلاحظ هنا أن معادلتنا مكتوبة بوحدات النظام الدولي للوحدات (SI)، وأن مجموعة المتغيرات/المعاملات (التي سنشير إليها اختصارًا بالمعاملات) في الطرف الأيمن تُشكل مجموعةً لا بُعدية. الآن، نحول كل معامل ونجمع هذه التحويلات في ثابت تحويل واحد. نلاحظ أيضًا أن قائمة ثوابت التحويل (C) لدينا تبدأ من الوحدة التطبيقية وتنتهي بوحدات النظام الدولي للوحدات، وهذا أمر شائع جدًا في قوائم التحويل هذه. لذلك، نفترض أن معاملاتنا مُدخلة بالوحدات التطبيقية ونحولها (مرة أخرى) إلى وحدات النظام الدولي للوحدات.

${\displaystyle {\frac {C_{k}KC_{\nabla }\nabla ^{\gamma }C_{p}P_{a}}{C_{\mu }\mu _{a}C_{u}u{_{a}}}}=C_{f}{\frac {K\nabla ^{\gamma }P_{a}}{\mu _{a}u{_{a}}}}=\left({\frac {K\nabla ^{\gamma }P_{a}}{\mu _{a}u{_{a}}}}\right)_{SI}=1}$ حيث a = w، o، g

لاحظ أننا حذفنا النفاذية النسبية، وهي معامل لا بُعدي. يُطلق على عامل التحويل المركب هذا اسم ثابت دارسي في معادلة التدفق، وهو

${\displaystyle C_{f}={\frac {C_{k}C_{\nabla }C_{p}}{C_{\mu }C_{u}}}={\frac {C_{k}C_{\nabla }}{C_{\mu }C_{u}/C_{p}}}}$

بما أن مجموعة المعاملات لدينا عديمة الأبعاد في وحدات النظام الدولي للوحدات الأساسية، فلا نحتاج إلى تضمين وحدات النظام الدولي للوحدات في وحدات عامل التحويل المركب، كما هو موضح في الجدول الثاني. بعد ذلك، نأخذ صيغة المعدل من المعادلة ونعيد كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle 1={\frac {AK\nabla _{\gamma}P_{a}}{\mu _{a}Q{_{a}}}}}$ حيث a = w، o، g

الآن نقوم بتحويل كل معلمة وجمع هذه التحويلات في ثابت تحويل واحد.

${\displaystyle {\frac {C_{A}AC_{k}KC_{\nabla }\nabla ^{\gamma }C_{p}P_{a}}{C_{\mu }\mu _{a}C_{Q}Q{_{a}}}}=C_{r}{\frac {AK\nabla ^{\gamma }P_{a}}{\mu _{a}Q{_{a}}}}=\left({\frac {AK\nabla ^{\gamma }P_{a}}{\mu _{a}Q{_{a}}}}\right)_{SI}=1}$ حيث a = w، o، g

لاحظ أننا حذفنا النفاذية النسبية، وهي معامل لا بُعدي. يُطلق على عامل التحويل المركب هذا اسم ثابت دارسي في معادلة التدفق، وهو

${\displaystyle C_{r}={\frac {C_{A}C_{k}C_{\nabla }C_{p}}{C_{\mu }C_{Q}}}={\frac {C_{k}C_{\nabla }C_{A}}{C_{\mu }C_{Q}/C_{p}}}}$

يتطابق تدرج الضغط ومعامل الجاذبية في معادلات التدفق والمعدل، ولذلك سنناقشهما مرة واحدة فقط. المطلوب هنا هو إيجاد معامل جاذبية متوافق مع الوحدات المستخدمة ("وحدات H") لتدرج الضغط. لذا، يجب علينا وضع عامل التحويل مع معاملات الجاذبية. نكتب "الأقواس" بوحدات النظام الدولي للوحدات (SI) كما يلي:

${\displaystyle \nabla ^{\gamma }P_{a}=\rho _{a}g}$ حيث a = w، o، g

وأعد كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle 1={\frac {\rho _{a}g}{\nabla ^{\gamma }P_{a}}}}$ حيث a = w، o، g

الآن، نحول كل مُعامل ونجمع هذه التحويلات في ثابت تحويل واحد. أولًا، نلاحظ أن معادلتنا مكتوبة بوحدات النظام الدولي للوحدات (SI)، وأن مجموعة المُعاملات في الطرف الأيمن تُشكل مجموعة لا بُعدية. لذلك، نفترض أن مُعاملاتنا مُدخلة بوحدات تطبيقية، ونُحولها (مجددًا) إلى وحدات النظام الدولي للوحدات.

${\displaystyle {\frac {C_{\rho }\rho _{a}C_{g}g}{C_{\nabla }\nabla ^{\gamma }C_{p}P_{a}}}=C_{pdg}{\frac {\rho _{a}g}{\nabla ^{\gamma }P_{a}}}=\left({\frac {\rho _{a}g}{\nabla ^{\gamma }P_{a}}}\right)_{SI}=1}$ حيث a = w، o، g

وهذا يعطي عامل التحويل المركب لتحويل الاتساق كما يلي

${\displaystyle C_{pdg}={\frac {C_{\rho }C_{g}}{C_{\nabla }C_{p}}}}$

بما أن مجموعة المعلمات لدينا لا أبعاد لها في وحدات النظام الدولي للوحدات، فلا نحتاج إلى تضمين وحدات النظام الدولي للوحدات في وحدات عامل التحويل المركب كما ترون في الجدول الثاني.

هذا كل ما يتعلق بالمعادلات التحليلية، ولكن عندما يحوّل المبرمج معادلة التدفق إلى معادلة فرقية محدودة، ثم إلى خوارزمية عددية، فإنه يسعى جاهدًا لتقليل عدد العمليات الحسابية. إليك مثالًا بثابتين يمكن اختزالهما إلى ثابت واحد عن طريق الدمج.

${\displaystyle C_{cg}=C_{pdg}\cdot g}$

باستخدام وحدات الصناعة، يصبح شكل التدفق في صيغة المتجهات كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {u} _{a}=-C_{f}\mu _{a}^{-1}\mathbf {K} _{ra}\mathbf {K} \cdot \left(\nabla P_{a}-C_{pdg}\rho _{a}\mathbf {g} \right)}$ حيث a = w، o، g

وفي شكلها المكون تصبح

${\displaystyle u{_{a}}^{\sigma }=-C_{f}\mu _{a}^{-1}K_{ra}{^{\sigma }}_{\beta }K{^{\beta }}_{\gamma }\left(\nabla ^{\gamma }P_{a}-C_{pdg}\rho _{a}g{e_{z}}{^{\gamma }}\right)}$ حيث a = w، o، g  حيث${\displaystyle \sigma }$= 1، 2، 3

باستخدام وحدات الصناعة، يصبح شكل معدل معادلة التدفق في صيغة متجهة كما يلي

${\displaystyle Q_{a}=-C_{r}\mu _{a}^{-1}\mathbf {A} \cdot \mathbf {K} _{ra}\cdot \mathbf {K} \cdot \left(\nabla P_{a}-C_{pdg}\rho _{a}\mathbf {g} \right)}$ حيث a = w، o، g

وفي شكلها المكون تصبح

${\displaystyle Q{_{a}}=-C_{r}\mu _{a}^{-1}A{_{\sigma }}K_{ra}{^{\sigma }}_{\beta }K{^{\beta }}_{\gamma }\left(\nabla ^{\gamma }P_{a}-C_{pdg}\rho _{a}g{e_{z}}{^{\gamma }}\right)}$ حيث a = w، o، g

تحويلات دارسي الأساسية للبترول

رمز	أبعاد	وصف	وحدات النظام الدولي للوحدات المطبقة	تحويل	وحدات النظام الدولي للوحدات	الوحدات الميدانية	تحويل	وحدات النظام الدولي للوحدات
		الرمز السفلي: المرحلة أ	صناعة	العامل ج	الأوساط الأكاديمية	صناعة	العامل ج	الأوساط الأكاديمية
		الرمز السفلي: مكون متجهي${\displaystyle \sigma }$،${\displaystyle \gamma }$	لديك	اضرب في	للحصول على	لديك	اضرب في	للحصول على
${\displaystyle {m_{a}}}$	م	كتلة	كيلوغرام	1	كيلوغرام	رطل	4,535924E-01	كيلوغرام
${\displaystyle t}$	تي	وقت	د	8,640000E+04	s	د	8,640000E+04	s
س، ص، ع أو${\displaystyle x^{\sigma }}$	ل	الموضع (أيضًا X، Y، Z أو${\displaystyle X^{\sigma }}$إلخ.)	م	1	م	قدم	3,048000E-01	م
L أو${\displaystyle \Delta }$س،${\displaystyle \Delta }$y,${\displaystyle \Delta }$z	ل	الطول (أيضًا)${\displaystyle \Delta }$X،${\displaystyle \Delta }$Y،${\displaystyle \Delta }$Z، أو${\displaystyle \Delta x^{\sigma }}$أو${\displaystyle \Delta X^{\sigma }}$إلخ.)	م	1	م	قدم	3,048000E-01	م
${\displaystyle V_{res}}$	L 3	حجم الخزان	rm	1	rm	rb	1,589873E-01	rm
${\displaystyle {v_{a}}^{\sigma }}$	L/T	سرعة تدفق السوائل في المسام في ظروف الخزان	rm/d	1,157407E-05	rm/s	rft/d	3,527778E-06	rm/s
${\displaystyle {q_{a}}^{\sigma }}$	L/T	التدفق الحجمي (سرعة دارسي) في ظروف الخزان	rm/d	1,157407E-05	rm/s	rft/d	3,527778E-06	rm/s
${\displaystyle {u_{a}}^{\sigma }}$	L/T	سرعة دارسي (للسائل) في ظروف الخزان	rm/d	1,157407E-05	rm/s	rft/d	3,527778E-06	rm/s
${\displaystyle {Q_{o}}}$	L 3 /T	معدل التدفق الحجمي السطحي للزيت في الظروف القياسية	sm 3 /d	1,157407E-05	sm 3 /s	stb/d	1,840131E-06	sm 3 /s
${\displaystyle {Q_{g}}}$	L 3 /T	معدل التدفق الحجمي السطحي للغاز في الظروف القياسية	sm 3 /d	1,157407E-05	sm 3 /s	MSFT 3 /d	3,277413E-04	sm 3 /s
${\displaystyle {Q_{a}}}$	L 3 /T	معدل التدفق الحجمي للخزان عبر سطح التلامس	rm 3 /d	1,157407E-05	rm 3 /s	rb/d	1,840131E-06	rm 3 /s
${\displaystyle \mu _{a}}$	م/(ملازم)	اللزوجة الديناميكية	سنتي بويز	1,000000E-03	با${\displaystyle \cdot }$s	سنتي بويز	1,000000E-03	با${\displaystyle \cdot }$s
${\displaystyle A{_{\sigma }}}$	L 2	مساحة سطح التلامس بين خليتين شبكيتين أو داخل البئر	م 2	1	م 2	قدم مربع 2	9,290304E-02	م 2
${\displaystyle K_{ra}}$	1	النفاذية النسبية	جزء	1	جزء	جزء	1	جزء
${\displaystyle K^{\gamma \sigma }}$	L 2	النفاذية المطلقة	دكتوراه في الطب	9,869233E-16	م 2	دكتوراه في الطب	9,869233E-16	م 2
${\displaystyle \nabla ^{\sigma }}$	1/لتر	عامل التدرج لـ${\displaystyle \sigma }$-محور	م −1	1	م −1	قدم −1	3,280840E+00	م −1
${\displaystyle P_{a}}$	(ML/T 2 )/L 2	ضغط	حاجِز	1,000000E+05	با	رطل لكل بوصة مربعة	6,894757E+03	با
${\displaystyle \rho _{a}}$	متوسط/كبير 3	كثافة الكتلة	كجم/م 3	1	كجم/م 3	lb/rb	1,601846E+01	م/م 3
${\displaystyle du_{a}^{\sigma }/dt}$	L/T 2	تسريع	م/ث 2	1	م/ث 2	قدم/ثانية 2	3,048000E-01	م/ث 2

ثوابت تحويل البترول دارسي

رمز	أبعاد	وصف	القيمة باستخدام	وحدات النظام الدولي للوحدات المطبقة	القيمة باستخدام	الوحدات الميدانية	القيمة باستخدام	وحدات النظام الدولي للوحدات
${\displaystyle C_{f}}$	1	ثابت دارسي للتدفق الحجمي (سرعة دارسي) u	8,527017E-03	${\displaystyle {\frac {cP.rm/d/bar}{mD.m^{-1}}}}$	6,328287E-03	${\displaystyle {\frac {cP.rft/d/psi}{mD.ft^{-1}}}}$	9,869233E-09	${\displaystyle {\frac {Pa.s.rm/s/Pa}{m^{2}.m^{-1}}}}$
${\displaystyle C_{r}}$	1	ثابت دارسي لمعدل التدفق الحجمي (معدل دارسي) Q	8,527017E-03	${\displaystyle {\frac {cP.rm^{3}/d/bar}{mD.m}}}$	1,127116E-03	${\displaystyle {\frac {cP.rb/d/psi}{mD.ft}}}$	9,869233E-09	${\displaystyle {\frac {Pa.s.rm^{3}/s/Pa}{m^{2}.m}}}$
${\displaystyle C_{pdg}}$	1	ثابت التحويل لمصطلح الجاذبية	1,000000E-05	${\displaystyle {\frac {bar/m}{kg/m^{3}.m/s^{2}}}}$	2,158399E-04	${\displaystyle {\frac {psi/ft}{lb/ft^{3}.ft/s^{2}}}}$	1	${\displaystyle {\frac {Pa/m}{kg/m^{3}.m/s^{2}}}}$
${\displaystyle g}$	L/T 2	التسارع القياسي للجاذبية	9,806650E+00	م/ث 2	3,217405E+01	قدم/ثانية 2	9,806650E+00	م/ث 2
${\displaystyle C_{cg}}$	L/T 2	التحويل المدمج وتسارع ثوابت الجاذبية	9,806650E-05	${\displaystyle {\frac {bar/m}{kg/m^{3}}}}$	6,944445E-03	${\displaystyle {\frac {psi/ft}{lb/ft^{3}}}}$	9,806650E+00	${\displaystyle {\frac {Pa/m}{kg/m^{3}}}}$

يُعد تحويل الوحدات نشاطًا نادرًا إلى حد ما، حتى بالنسبة للمهنيين التقنيين، ولكن هذا هو أيضًا السبب في أن الناس ينسون كيفية القيام بذلك بشكل صحيح.