علم التماثل في جبر لي

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية التماثل في جبر لي نظريةً للتماثل في جبر لي . وقد طُرحت لأول مرة عام 1929 على يد إيلي كارتان لدراسة طوبولوجيا زمر لي والفضاءات المتجانسة ^{[ 1 ]} من خلال ربط طرق التماثل لجورج دي رام بخصائص جبر لي. ثم وُسّع نطاقها لاحقًا على يد كلود شوفالي وصموئيل إيلنبرغ ( 1948 ) ليشمل المعاملات في أي وحدة نمطية لي . ^{[ 2 ]} 

لو${\displaystyle G}$إذا كانت زمرة لي مدمجة وبسيطة الاتصال ، فإنها تُحدد بواسطة جبر لي الخاص بها، لذا ينبغي أن يكون من الممكن حساب تماثلها من جبر لي. ويمكن القيام بذلك على النحو التالي. تماثلها هو تماثل دي رام لمجموعة الأشكال التفاضلية على${\displaystyle G}$باستخدام عملية حساب المتوسط، يمكن استبدال هذا المركب بمركب الأشكال التفاضلية الثابتة من اليسار . في الوقت نفسه، تُحدد الأشكال الثابتة من اليسار بقيمها عند نقطة التطابق، بحيث يمكن تعريف فضاء الأشكال التفاضلية الثابتة من اليسار بالجبر الخارجي لجبر لي، مع تفاضل مناسب.

يُعدّ بناء هذا التفاضل على جبر خارجي منطقيًا لأي جبر لي، لذا يُستخدم لتعريف تماثل جبر لي لجميع جبر لي. وبشكل أعم، يُستخدم بناء مماثل لتعريف تماثل جبر لي بمعاملات في وحدة نمطية.

لو${\displaystyle G}$هي زمرة لي غير متراصة متصلة ببساطة ، وتماثل جبر لي لجبر لي المرتبط بها${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$لا يعيد بالضرورة إنتاج علم التماثل دي رام لـ${\displaystyle G}$والسبب في ذلك هو أن الانتقال من مجموعة جميع الأشكال التفاضلية إلى مجموعة الأشكال التفاضلية الثابتة من اليسار يستخدم عملية حساب المتوسط ​​التي لا معنى لها إلا بالنسبة للمجموعات المدمجة.

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي على حلقة تبديلية R مع جبر شامل مغلف${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ولتكن M تمثيلاً لـ​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(بمعنى آخر، أ)${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$(وحدة نمطية). بالنظر إلى R كتمثيل تافه لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، يتم تعريف مجموعات التماثل

${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}$

(انظر دالة Ext لتعريف Ext). وبشكل مكافئ، هذه هي الدوال المشتقة اليمنى لدالة الوحدة الفرعية الثابتة التامة اليسرى

${\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

وبالمثل، يمكن تعريف علم التماثل في جبر لي على النحو التالي:

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$

(انظر دالة Tor لتعريف Tor)، وهو ما يكافئ الدوال المشتقة اليسرى لدالة التغاير التام اليمنى

${\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}$

تتضمن بعض النتائج الأساسية المهمة حول علم التماثل لجبر لي ما يلي: ليمات وايتهيد ، ونظرية ويل ، ونظرية تفكيك ليفي .

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي على حقل${\displaystyle k}$، مع حركة يسارية على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-وحدة${\displaystyle M}$عناصر مجمع شيڤالي-إيلنبرغ

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},M)}$

تُسمى هذه السلاسل المشتركة من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ل${\displaystyle M}$متجانس${\displaystyle n}$-cochain من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ل${\displaystyle M}$وبالتالي فهو متناوب${\displaystyle k}$-دالة متعددة الخطية${\displaystyle f\colon \Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M}$. متى${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كان الفضاء المتجهي مُوَلَّدًا بشكل نهائي ، فإن مُركَّب شيڤالي-إيلنبرغ متماثل قانونيًا مع حاصل الضرب الموتري.${\displaystyle M\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$، أين${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$يرمز إلى الفضاء المتجهي الثنائي لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

قوس الكذب${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يحفز تطبيق النقل${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}$بالازدواجية. وهذا الأخير يكفي لتحديد الاشتقاق.${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$من مجموعة السلاسل المشتركة من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ل${\displaystyle k}$عن طريق التمديد${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}$وفقًا لقاعدة لايبنتز المتدرجة. ويترتب على ذلك من تطابق جاكوبي أن${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$يرضي${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{2}=0}$وهو في الواقع تفاضلي. في هذا السياق،${\displaystyle k}$يُنظر إليه على أنه أمر تافه${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-وحدة بينما${\displaystyle k\sim \Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_{\mathfrak {g}})}$يمكن اعتبارها ثوابت.

بشكل عام، دع${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\operatorname {End} M)}$يشير إلى الفعل الأيسر لـ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على${\displaystyle M}$واعتبره تطبيقًا${\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}\colon M\rightarrow M\otimes {\mathfrak {g}}^{*}}$التفاضلي شيڤالي-إيلنبرغ${\displaystyle d}$إذن، يكون الاشتقاق الفريد هو الذي يمتد${\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}}$و${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}$وفقًا لقاعدة لايبنتز المتدرجة ، شرط انعدام القوة${\displaystyle d^{2}=0}$يتبع ذلك من تماثل جبر لي من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ل${\displaystyle \operatorname {End} M}$وهوية جاكوبي في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

بصورة صريحة، فإن تفاضل${\displaystyle n}$-cochain${\displaystyle f}$هو${\displaystyle (n+1)}$-cochain${\displaystyle df}$مقدم من: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(df)\left(x_{1},\ldots ,x_{n+1}\right)=&\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left[x_{i},x_{j}\right],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1}\right)\,,\end{aligned}}}$

حيث تشير علامة الإقحام إلى حذف تلك الحجة.

متى${\displaystyle G}$هي زمرة لي حقيقية مع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ويمكن أيضًا تحديد مُركّب شيڤالي-إيلنبرغ بشكل قانوني مع فضاء الأشكال الثابتة من اليسار ذات القيم في${\displaystyle M}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G,M)^{G}}$يمكن اعتبار تفاضل شيڤالي-إيلنبرغ بمثابة تقييد للمشتق المتغير على حزمة الألياف التافهة.${\displaystyle G\times M\rightarrow G}$، مزودة بوصلة متغيرة${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Omega ^{1}(G,\operatorname {End} M)}$مرتبط بالحركة اليسرى${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\operatorname {End} M)}$ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على${\displaystyle M}$في الحالة الخاصة حيث${\displaystyle M=k=\mathbb {R} }$مزود بالقدرة البسيطة على القيام بـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، يتطابق التفاضلي شيڤالي-إيلنبرغ مع تقييد التفاضلي دي رام على${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G)}$إلى الفضاء الجزئي للأشكال التفاضلية الثابتة من اليسار.

مجموعة التماثل الصفرية هي (بحسب التعريف) ثوابت جبر لي التي تؤثر على الوحدة النمطية:

${\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

المجموعة الأولى من علم التماثل هي فضاء المشتقات Der بتردد فضاء المشتقات الداخلية Ider

${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,}$،

حيث يكون الاشتقاق عبارة عن خريطة${\displaystyle d}$من جبر لي إلى${\displaystyle M}$بحيث

${\displaystyle d[x,y]=xdy-ydx~}$

ويُطلق عليه اسم داخلي إذا تم تحديده بواسطة

${\displaystyle dx=xa~}$

بالنسبة للبعض${\displaystyle a}$في${\displaystyle M}$.

المجموعة الثانية من علم التماثل

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}$

هي فضاء فئات التكافؤ لامتدادات جبر لي

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

من جبر لي بواسطة الوحدة${\displaystyle M}$.

وبالمثل، أي عنصر من عناصر مجموعة التماثل المشترك${\displaystyle H^{n+1}({\mathfrak {g}};M)}$يُقدّم فئة تكافؤ من طرق توسيع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إلى "كذبة"${\displaystyle n}$-الجبر" مع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$في الصف الصفري و${\displaystyle M}$في الصف${\displaystyle n-1}$[ ^{4 ]} كذبة^​${\displaystyle n}$الجبر - هو جبر لي متماثل يحتوي على حدود غير صفرية فقط في الدرجات من 0 إلى${\displaystyle n-1}$.

• الشكلية BRST في الفيزياء النظرية.
• علم التماثل لجيلفاند-فوكس