مجموعة قابلة للقسمة

في الرياضيات ، وتحديدًا في مجال نظرية الزمر ، الزمرة القابلة للقسمة هي زمرة تبديلية يمكن فيها قسمة كل عنصر، بمعنى ما، على أعداد صحيحة موجبة، أو بتعبير أدق، كل عنصر هو مضاعف من الرتبة n لكل عدد صحيح موجب n . تُعد الزمر القابلة للقسمة مهمة في فهم بنية الزمر التبديلية، خاصةً لأنها الزمر التبديلية الأحادية .

مجموعة أبيلية${\displaystyle (G,+)}$يكون العدد قابلاً للقسمة إذا كان، لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle n}$وكل${\displaystyle g\in G}$، يوجد${\displaystyle y\in G}$بحيث${\displaystyle ny=g}$[ ^{1 ]} الشرط المكافئ هو: لأي عدد صحيح ^موجب${\displaystyle n}$،${\displaystyle nG=G}$، منذ وجود${\displaystyle y}$لكل${\displaystyle n}$و${\displaystyle g}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle nG\supseteq G}$والاتجاه الآخر${\displaystyle nG\subseteq G}$ينطبق هذا على كل مجموعة. الشرط الثالث المكافئ هو أن المجموعة الأبيلية${\displaystyle G}$يكون قابلاً للقسمة إذا وفقط إذا${\displaystyle G}$هو كائن حقني في فئة المجموعات الأبيلية ؛ ولهذا السبب، تسمى المجموعة القابلة للقسمة أحيانًا مجموعة حقنية .

المجموعة الأبيلية هي${\displaystyle p}$- قابل للقسمة على عدد أولي${\displaystyle p}$إذا لكل${\displaystyle g\in G}$، يوجد${\displaystyle y\in G}$بحيث${\displaystyle py=g}$أو بعبارة أخرى، المجموعة الأبيلية هي${\displaystyle p}$قابل للقسمة إذا وفقط إذا${\displaystyle pG=G}$.

• الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$تشكل مجموعة قابلة للقسمة تحت عملية الجمع.
• وبشكل أعم، فإن المجموعة الجمعية الأساسية لأي فضاء متجهي على${\displaystyle \mathbb {Q} }$قابل للقسمة.
• كل ناتج قسمة لمجموعة قابلة للقسمة يكون قابلاً للقسمة. وبالتالي،${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$قابل للقسمة.
• المكون الأساسي p​${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ل${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$، وهو متماثل مع المجموعة شبه الحلقية p${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}$، قابل للقسمة.
• المجموعة الضربية للأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$قابل للقسمة.
• كل مجموعة أبيلية مغلقة وجودياً (بالمعنى النظري النموذجي ) قابلة للقسمة.

• إذا كانت مجموعة قابلة للقسمة مجموعة جزئية من مجموعة تبديلية، فإنها تكون مجموعًا مباشرًا لتلك المجموعة التبديلية. ^{[ 2 ]}
• يمكن تضمين كل زمرة أبيلية في زمرة قابلة للقسمة. ^{[ 3 ]} بعبارة أخرى، تحتوي فئة الزمر الأبيلية على عدد كافٍ من العناصر المتباينة .
• الزمر القابلة للقسمة غير التافهة ليست مولدة بشكل نهائي .
• علاوة على ذلك، يمكن تضمين كل مجموعة أبيلية في مجموعة قابلة للتقسيم كمجموعة فرعية أساسية بطريقة فريدة. ^{[ 4 ]}
• تكون المجموعة الأبيلية قابلة للقسمة إذا وفقط إذا كانت قابلة للقسمة على p لكل عدد أولي p .
• يترك${\displaystyle A}$كن خاتمًا . إذا${\displaystyle T}$إذا كانت مجموعة قابلة للقسمة،${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)}$هو حقني في فئة${\displaystyle A}$- الوحدات النمطية . ^{[ 5 ]}

لتكن G زمرة قابلة للقسمة. إذن، الزمرة الجزئية الالتوائية Tor( G ) من G قابلة للقسمة. وبما أن الزمرة القابلة للقسمة هي وحدة نمطية أحادية ، فإن Tor( G ) هي مجموع مباشر لـ G.

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$

باعتبارها خارج قسمة زمرة قابلة للقسمة، فإن G /Tor( G ) قابلة للقسمة. علاوة على ذلك، فهي خالية من الالتواء . وبالتالي، فهي فضاء متجهي على Q، ومن ثم توجد مجموعة I بحيث

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$

يصعب تحديد بنية المجموعة الفرعية للالتواء، ولكن يمكن إثبات ^{[ 6 ] [ 7 ]} أنه لكل عدد أولي p يوجد${\displaystyle I_{p}}$بحيث

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$

أين${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}}$هو المكون الأساسي p لـ Tor( G ).

وبالتالي، إذا كانت P هي مجموعة الأعداد الأولية،

${\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

يتم تحديد عدد عناصر المجموعتين I و I _p لـ p ∈ P بشكل فريد بواسطة المجموعة G.  

كما ذُكر أعلاه، يمكن تضمين أي زمرة أبيلية A بشكل فريد في زمرة قابلة للقسمة D كزمرة فرعية أساسية . هذه الزمرة القابلة للقسمة D هي الغلاف الحقني لـ A ، وهذا المفهوم هو الغلاف الحقني في فئة الزمر الأبيلية.

يُقال إن الزمرة الأبيلية مُختزلة إذا كانت زمرتها الجزئية الوحيدة القابلة للقسمة هي {0}. كل زمرة أبيلية هي مجموع مباشر لزمرة جزئية قابلة للقسمة وزمرة جزئية مُختزلة. في الواقع، توجد زمرة جزئية قابلة للقسمة أكبر من أي زمرة أخرى، وهذه الزمرة الجزئية القابلة للقسمة هي مُجمِّع مباشر. ^{[ 8 ]} هذه سمة خاصة للحلقات الوراثية مثل حلقة الأعداد الصحيحة Z : المجموع المباشر للوحدات النمطية الحقنية هو حقني لأن الحلقة نوثرية ، ونواتج قسمة الوحدات النمطية الحقنية هي حقنية لأن الحلقة وراثية، لذا فإن أي وحدة نمطية جزئية مُولَّدة بواسطة وحدات نمطية حقنية تكون حقنية. والعكس هو نتيجة ( ماتليس 1958 ) : إذا كانت كل وحدة نمطية تحتوي على وحدة نمطية جزئية حقنية عظمى فريدة، فإن الحلقة تكون وراثية.

يُقدم مبرهنة أولم تصنيفًا كاملاً للمجموعات الأبيلية الدورية المختزلة القابلة للعد .

تُعمّم عدة تعريفات متميزة مفهوم الزمر القابلة للقسمة إلى وحدات قابلة للقسمة. وقد استُخدمت التعريفات التالية في الأدبيات لتعريف وحدة قابلة للقسمة M على حلقة R :

1. rM = M لجميع قيم r غير الصفرية في R. [ 9 ^{] ( يشترط} أحيانًا ألا يكون r قاسمًا للصفر، ويشترط بعض المؤلفين ^{[ 10 ]} أن تكون R مجالًا .)
2. لكل مثالي يساري رئيسي Ra ، فإن أي تشاكل من Ra إلى M يمتد إلى تشاكل من R إلى M. ^{[ 11 ] [ 12 ]} ( يُطلق على هذا النوع من الوحدات القابلة للقسمة أيضًا اسم الوحدة الحقنية الرئيسية .)
3. لكل مثالي يساري مولد نهائي L من R ، فإن أي تشاكل من L إلى M يمتد إلى تشاكل من R إلى M.

الشرطان الأخيران هما "نسختان مقيدتان" من معيار باير للوحدات النمطية الحقنية . وبما أن الوحدات النمطية اليسارية الحقنية تُمدد التشاكلات من جميع المُثُل اليسارية إلى R ، فإن الوحدات النمطية الحقنية قابلة للقسمة بوضوح بالمعنى 2 و3.

إذا كانت R مجالًا أيضًا، فإن التعريفات الثلاثة تتطابق. إذا كانت R مجالًا مثاليًا يساريًا رئيسيًا، فإن الوحدات القابلة للقسمة تتطابق مع الوحدات أحادية التباين. ^{[ 13 ]} وبالتالي، في حالة حلقة الأعداد الصحيحة Z ، وهي مجال مثالي رئيسي، فإن وحدة Z (وهي بالضبط زمرة تبديلية) تكون قابلة للقسمة إذا وفقط إذا كانت أحادية التباين.

إذا كان R مجالًا تبديليًا ، فإن وحدات R الأحادية تتطابق مع وحدات R القابلة للقسمة إذا وفقط إذا كان R مجال ديديكيند . ^{[ 13 ]}

• المفعول به الحقني
• وحدة حقنية
• مجموعة فرعية نقية

• كارتان، هنري ؛ إيلنبرغ، صموئيل (1999)، الجبر التماثلي ، معالم برينستون في الرياضيات، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، ص.  16+390، ISBN 0-691-04991-2MR 1731415​ مع ملحق بقلم ديفيد أ. بوكسباوم؛ طبعة مُعاد طباعتها من النسخة الأصلية لعام 1956
• فيجلستوك، شالوم (2006)، "القسمة دالة أحادية"، مجلة سوتشو للرياضيات ، 32 (2): 241-243 ، الرقم الدولي الموحد للدوريات 0250-3255 ، MR 2238765  
• غريفيث، فيليب أ. (1970). نظرية الزمر الأبيلية اللانهائية . محاضرات شيكاغو في الرياضيات. مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 0-226-30870-7.
• هول، مارشال الابن (1959). نظرية المجموعات . نيويورك: ماكميلان. الفصل 13.3.
• كابلانسكي، إيرفينغ (1965). مجموعات أبيلية لانهائية . مطبعة جامعة ميشيغان.
• فوكس، لازلو (1970). المجموعات الأبيلية اللانهائية المجلد 1. دار النشر الأكاديمية.
• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، المجلد  189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• سيرج لانغ (1984). الجبر، الطبعة الثانية . مينلو بارك، كاليفورنيا: أديسون-ويسلي.
• ماتليس، إيبن (1958). "الوحدات الحقنية على الحلقات النويثرية" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 8 (3): 511-528 . doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN 0030-8730 . MR 0099360 .  
• نيكلسون، دبليو كيه؛ يوسف، إم إف (2003)، حلقات شبه فروبينيوس ، سلسلة كامبريدج في الرياضيات، المجلد  158، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات  18+307، doi : 10.1017/CBO9780511546525 ، ISBN 0-521-81593-2MR 2003785​