مخطط دينكين

في مجال نظرية لي الرياضية ، يُعرف مخطط دينكين ، نسبةً إلى يوجين دينكين ، بأنه نوع من الرسوم البيانية التي تتكرر فيها بعض الحواف (مُمثلة بخط مزدوج أو ثلاثي). يُستخدم مخطط دينكين في تصنيف جبر لي شبه البسيط على الحقول المغلقة جبريًا ، وفي تصنيف زمر فايل وغيرها من زمر الانعكاس المحدودة ، وفي سياقات أخرى. وتتوافق خصائص مختلفة لمخطط دينكين (مثل احتوائه على حواف متعددة، أو تناظراته) مع سمات مهمة لجبر لي المرتبط به.

قد يكون مصطلح "مخطط دينكين" غامضًا. ففي بعض الحالات، يُفترض أن مخططات دينكين موجهة ، وفي هذه الحالة تُقابل أنظمة الجذور وجبر لي شبه البسيط، بينما في حالات أخرى يُفترض أنها غير موجهة ، وفي هذه الحالة تُقابل مجموعات ويل. في هذه المقالة، يُقصد بـ"مخطط دينكين" مخطط دينكين الموجه ، وسيتم تسمية مخططات دينكين غير الموجهة بهذا الاسم صراحةً.

تكمن الأهمية الأساسية لمخططات دينكين في قدرتها على تصنيف جبر لي شبه البسيط على الحقول المغلقة جبريًا . ويتم تصنيف جبر لي هذا عبر نظام جذوره ، الذي يمكن تمثيله بمخطط دينكين. ثم تُصنف مخططات دينكين وفقًا للقيود التي يجب أن تستوفيها، كما هو موضح أدناه.

إن إسقاط الاتجاه على حواف الرسم البياني يتوافق مع استبدال نظام الجذر بمجموعة الانعكاس المحدودة التي يولدها، والتي تسمى مجموعة ويل ، وبالتالي فإن مخططات دينكين غير الموجهة تصنف مجموعات ويل.

لديهم المراسلات التالية لجبر لي المرتبط بالمجموعات الكلاسيكية على الأعداد المركبة:

• ${\displaystyle A_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$، الجبر الخطي الخاص لـ Lie .
• ${\displaystyle B_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$، الجبر اللي المتعامد الخاص ذو الأبعاد الفردية .
• ${\displaystyle C_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$، جبر لي التبسيطي .
• ${\displaystyle D_{n}}$:${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$، جبر لي المتعامد الخاص ذو الأبعاد الزوجية (${\displaystyle n>1}$).

بالنسبة للمجموعات الاستثنائية، تتطابق أسماء جبر لي ومخطط دينكين المرتبط به.

يمكن تفسير مخططات دينكين على أنها تصنيف للعديد من الكائنات المتميزة والمرتبطة، ويتم استخدام الترميز "A _n ، B _n ، ..." للإشارة إلى جميع هذه التفسيرات، اعتمادًا على السياق؛ يمكن أن يكون هذا الغموض مربكًا.

التصنيف المركزي هو أن جبر لي البسيط له نظام جذري، يرتبط به مخطط دينكين (الموجه)؛ ويمكن الإشارة إلى كل هذه الثلاثة باسم B _n ، على سبيل المثال.

يُعدّ مخطط دينكين غير الموجّه شكلاً من أشكال مخطط كوكسيتر ، ويتوافق مع زمرة ويل، وهي زمرة الانعكاس المحدودة المرتبطة بنظام الجذور. وبالتالي، قد يشير الرمز B _n إلى المخطط غير الموجّه (نوع خاص من مخطط كوكسيتر)، أو زمرة ويل (زمرة انعكاس ملموسة)، أو زمرة كوكسيتر المجردة.

على الرغم من أن زمرة ويل متماثلة تجريديًا مع زمرة كوكسيتر، فإن أي تماثل محدد يعتمد على اختيار مرتب للجذور البسيطة. وبالمثل، فبينما تُعدّ رموز مخططات دينكين موحدة، فإن رموز مخططات كوكسيتر ورموز الزمر متنوعة، وتتفق أحيانًا مع رموز مخططات دينكين، وأحيانًا أخرى لا تتفق معها.

وأخيرًا، يُشار أحيانًا إلى الكائنات المرتبطة بنفس الترميز، مع أن هذا لا يمكن القيام به دائمًا بشكل منتظم. ومن الأمثلة على ذلك:

• الشبكة الجذرية المتولدة من النظام الجذري، كما هو الحال في _الشبكة E8 . هذا مُعرَّف بشكل طبيعي، ولكنه ليس تطابقًا تامًا – على سبيل المثال، كل من _A2 وG2 _{يُولِّدان} الشبكة السداسية .
• يمكن الإشارة إلى متعدد السطوح المرتبط - على سبيل المثال متعدد السطوح Gosset 4 _{21 - باسم "متعدد السطوح E 8} "، حيث أن رؤوسه مشتقة من نظام الجذر E ₈ ولديها مجموعة Coxeter E ₈ كمجموعة تناظر.
• شكل تربيعي مرتبط أو متعدد الشعب - على سبيل المثال، متعدد الشعب E ₈ له شكل تقاطع معطى بواسطة شبكة E ₈ .

تُستخدم هذه الرموز الأخيرة في الغالب للكائنات المرتبطة بالمخططات الاستثنائية - أما الكائنات المرتبطة بالمخططات العادية (أ، ب، ج، د) فلها أسماء تقليدية.

يُمثل المؤشر ( n ) عدد العقد في المخطط، وعدد الجذور البسيطة في الأساس، وبُعد شبكة الجذور وامتداد نظام الجذور، وعدد مولدات زمرة كوكسيتر، ورتبة جبر لي. مع ذلك، لا يُساوي n بُعد الوحدة المُعرِّفة ( التمثيل الأساسي ) لجبر لي - يجب عدم الخلط بين المؤشر في مخطط دينكين والمؤشر في جبر لي. على سبيل المثال،${\displaystyle B_{4}}$يتوافق مع${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},}$والتي تعمل بشكل طبيعي على فضاء ذي 9 أبعاد، ولكن رتبتها 4 كجبر لي.

تصنف مخططات دينكين البسيطة ، تلك التي لا تحتوي على حواف متعددة (A، D، E)، العديد من الكائنات الرياضية الأخرى؛ انظر المناقشة في تصنيف ADE .

مثال: أ _٢

على سبيل المثال، الرمز${\displaystyle A_{2}}$قد يشير إلى:

• مخطط دينكين ذو العقدتين المتصلتين، والذي يمكن تفسيره أيضًا على أنه مخطط كوكسيتر .
• نظام جذري بجذرين بسيطين عند${\displaystyle 2\pi /3}$زاوية (120 درجة).
• جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}}$من الرتبة الثانية.
• مجموعة ويل لتناظرات الجذور (انعكاسات في المستوى الفائق المتعامد مع الجذور)، متماثلة مع المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{3}}$(من الرتبة 6).
• مجموعة كوكسيتر المجردة ، المقدمة بواسطة المولدات والعلاقات،${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3}=1\right\rangle .}$

لنفترض نظامًا جذريًا ، يُفترض أنه مُختزل وكامل (أو "بلوري"). في العديد من التطبيقات، سينشأ هذا النظام الجذري من جبر لي شبه بسيط .${\displaystyle \Delta }$لتكن مجموعة من الجذور البسيطة الموجبة . ثم نرسم مخططًا من${\displaystyle \Delta }$كما يلي: ^{[ 1 ]} كوّن رسمًا بيانيًا برأس واحد لكل عنصر من عناصر${\displaystyle \Delta }$ثم أضف حوافًا بين كل زوج من الرؤوس وفقًا للطريقة التالية. إذا كانت الجذور المقابلة للرأسين متعامدة، فلا توجد حافة بينهما. إذا كانت الزاوية بين الجذرين 120 درجة، نضع حافة واحدة بينهما. إذا كانت الزاوية 135 درجة، نضع حافتين، وإذا كانت الزاوية 150 درجة، نضع ثلاث حواف. (هذه الحالات الأربع تشمل جميع الزوايا الممكنة بين أزواج الجذور البسيطة الموجبة. ^{[ 2 ]} ) أخيرًا، إذا وُجدت أي حواف بين زوج معين من الرؤوس، نزينها بسهم يشير من الرأس المقابل للجذر الأطول إلى الرأس المقابل للجذر الأقصر. (يُحذف السهم إذا كان الجذران متساويين في الطول). إن اعتبار السهم علامة "أكبر من" يوضح اتجاهه. تؤدي مخططات دينكين إلى تصنيف أنظمة الجذور، حيث ترتبط الزوايا ونسب أطوال الجذور ببعضها . ^{[ 3 ]} وبالتالي، يمكن وصف حواف الجذور غير المتعامدة بشكل بديل على أنها حافة واحدة لنسبة طول تساوي 1، وحافتان لنسبة طول تساوي 1/2.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$وثلاثة أضلاع لنسبة طول تبلغ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$(لا توجد حواف عندما تكون الجذور متعامدة، بغض النظر عن نسبة الطول.)

في${\displaystyle A_{2}}$نظام الجذور، كما هو موضح على اليمين، والجذور مُعَلَّمة${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$تشكل قاعدة. بما أن هذين الجذرين يشكلان زاوية 120 درجة (بنسبة طول 1)، فإن مخطط دينكين يتكون من رأسين متصلين بحافة واحدة: .

ترتبط مخططات دينكين ارتباطًا وثيقًا بمخططات كوكسيتر لمجموعات كوكسيتر المنتهية ، وغالبًا ما يتم الخلط بين المصطلحات. ^{[ ملاحظة 1 ]}

تختلف مخططات دينكين عن مخططات كوكسيتر للمجموعات المنتهية في جانبين مهمين:

إخراج جزئي

مخططات دينكين موجهة جزئيًا - أي حافة متعددة (بمصطلحات كوكسيتر، تحمل علامة "4" أو أعلى) لها اتجاه (سهم يشير من عقدة إلى أخرى)؛ وبالتالي فإن مخططات دينكين تحتوي على بيانات أكثر من مخطط كوكسيتر الأساسي (الرسم البياني غير الموجه).

على مستوى أنظمة الجذور، يشير الاتجاه إلى المتجه الأقصر؛ أما الحواف التي تحمل الرقم "3" فليس لها اتجاه لأن المتجهات المقابلة لها يجب أن تكون متساوية في الطول. (تنبيه: بعض المؤلفين يعكسون هذا الاصطلاح، فيشير السهم إلى المتجه الأطول).

التقييد البلوري

يجب أن تستوفي مخططات دينكين قيدًا إضافيًا، وهو أن تسميات الحواف المسموح بها هي 2 و3 و4 و6 فقط، وهو قيد لا تشترك فيه مخططات كوكسيتر، لذلك لا يأتي كل مخطط كوكسيتر لمجموعة منتهية من مخطط دينكين.

على مستوى أنظمة الجذور، يتوافق هذا مع نظرية التقييد البلوري ، حيث تشكل الجذور شبكة.

ثمة فرق آخر، وهو فرق أسلوبي فقط، وهو أن مخططات دينكين يتم رسمها بشكل تقليدي بحواف مزدوجة أو ثلاثية بين العقد (لـ p  =  4،  6)، بدلاً من حافة تحمل علامة " p ".

يشير مصطلح "مخطط دينكين" أحيانًا إلى الرسم البياني الموجه ، وأحيانًا أخرى إلى الرسم البياني غير الموجه . وللدقة، سنستخدم في هذه المقالة مصطلح "مخطط دينكين" للدلالة على الرسم البياني الموجه، بينما سنطلق على الرسم البياني غير الموجه الأساسي اسم "مخطط دينكين غير الموجه". ويمكن ربط مخططات دينكين ومخططات كوكسيتر على النحو التالي:

وهذا يعني أن مخططات كوكسيتر للمجموعات المنتهية تتوافق مع مجموعات النقاط المتولدة عن طريق الانعكاسات، في حين يجب أن تفي مخططات دينكين بقيد إضافي يتوافق مع نظرية التقييد البلوري ، وأن مخططات كوكسيتر غير موجهة، في حين أن مخططات دينكين موجهة (جزئياً).

الكائنات الرياضية المقابلة المصنفة بواسطة المخططات هي:

يمكن تعريف الفراغ الموجود في أعلى اليمين، والذي يتوافق مع الرسوم البيانية الموجهة مع الرسم البياني غير الموجه الأساسي أي مخطط كوكسيتر (لمجموعة منتهية)، بشكل رسمي، ولكنه قليل النقاش، ولا يبدو أنه يقبل تفسيرًا بسيطًا من حيث الكائنات الرياضية ذات الأهمية.

توجد خرائط طبيعية للأسفل - من مخططات دينكين إلى مخططات دينكين غير الموجهة؛ على التوالي، من أنظمة الجذور إلى مجموعات ويل المرتبطة بها - ولليمين - من مخططات دينكين غير الموجهة إلى مخططات كوكسيتر؛ على التوالي من مجموعات ويل إلى مجموعات كوكسيتر المحدودة.

الخريطة السفلية شاملة (بحسب التعريف) ولكنها ليست واحدة لواحد، حيث أن مخططات B _n و C _n تُسقط على نفس المخطط غير الموجه، وبالتالي يُشار أحيانًا إلى مخطط Coxeter ومجموعة Weyl الناتجة بـ BC _n .

الخريطة الصحيحة هي ببساطة تضمين - مخططات دينكين غير الموجهة هي حالات خاصة من مخططات كوكسيتر، ومجموعات ويل هي حالات خاصة من مجموعات كوكسيتر المنتهية - وهي ليست شاملة، حيث لا يكون كل مخطط كوكسيتر مخطط دينكين غير موجه (المخططات المفقودة هي H ₃ و H ₄ و I ₂ ( p ) لـ p  =  5 p ≥ 7)، وبالمقابل لا تكون كل مجموعة كوكسيتر منتهية مجموعة ويل.   

يتم ترقيم مخططات دينكين بشكل تقليدي بحيث لا تكون القائمة زائدة عن الحاجة:${\displaystyle n\geq 1}$ل${\displaystyle A_{n},}$${\displaystyle n\geq 2}$ل${\displaystyle B_{n},}$${\displaystyle n\geq 3}$ل${\displaystyle C_{n},}$${\displaystyle n\geq 4}$ل${\displaystyle D_{n},}$و${\displaystyle E_{n}}$ابتداءً من${\displaystyle n=6.}$ومع ذلك، يمكن تعريف العائلات لقيم n المنخفضة، مما ينتج عنه تماثلات استثنائية للمخططات، وتماثلات استثنائية مقابلة لجبر لي ومجموعات لي المرتبطة به.

وبكل بساطة، يمكن للمرء أن يبدأ بتكوين أسر في${\displaystyle n=0}$أو${\displaystyle n=1,}$جميعها متماثلة، إذ يوجد مخطط فارغ فريد ومخطط ذو عقدة واحدة فريد. أما التماثلات الأخرى لمخططات دينكين المتصلة فهي:

• ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$
• ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$
• ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$
• ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$
• ${\displaystyle E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}}$
• ${\displaystyle E_{4}\cong A_{4}}$
• ${\displaystyle E_{5}\cong D_{5}}$

تتوافق هذه التشاكلات مع تشاكل جبر لي البسيط وشبه البسيط، والذي يتوافق بدوره مع بعض تشاكلات أشكال زمر لي الخاصة به. كما أنها تضيف سياقًا لعائلة En _. ^{[ 4 ]}

إضافةً إلى التماثل بين المخططات المختلفة، تمتلك بعض المخططات أيضًا تماثلات ذاتية أو " تماثلات ذاتية ". تتوافق التماثلات الذاتية للمخططات مع التماثلات الذاتية الخارجية لجبر لي، أي أن زمرة التماثلات الذاتية الخارجية Out = Aut/Inn تساوي زمرة التماثلات الذاتية للمخططات. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

المخططات التي تحتوي على تحويلات ذاتية غير تافهة هي A _n (${\displaystyle n>1}$), D _n (${\displaystyle n>1}$وE6 _. في جميع هذه الحالات باستثناء D4 _، يوجد تماثل ذاتي واحد غير تافه (Out = C2 _، المجموعة الدورية من الرتبة 2)، بينما في D4 _، تكون مجموعة التماثل الذاتي هي المجموعة المتناظرة على ثلاثة أحرف ( S3 _، من الرتبة 6) - تُعرف هذه الظاهرة باسم " التثليث ". يحدث أن جميع هذه التماثلات الذاتية للمخططات يمكن تحقيقها كتناظرات إقليدية لكيفية رسم المخططات بشكل تقليدي في المستوى، لكن هذا مجرد أثر جانبي لكيفية رسمها، وليس بنية جوهرية.

بالنسبة لـ A _n ، فإن التماثل الذاتي للمخطط هو عكس المخطط، وهو عبارة عن خط. تشير عقد المخطط إلى الأوزان الأساسية ، والتي (بالنسبة لـ A _{n − 1} ) هي${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}}$ل${\displaystyle i=1,\dots ,n}$، ويتوافق التماثل الذاتي للمخطط مع الازدواجية${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{n-i}C^{n}.}$تم تحقيق ذلك كجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1},}$يمكن التعبير عن التحويل الذاتي الخارجي على أنه منقول سالب.${\displaystyle T\mapsto -T^{\mathrm {T} }}$وهذا هو أسلوب عمل التمثيل المزدوج. ^{[ 6 ]}

بالنسبة لـ D _n ، فإن التماثل الذاتي للمخطط هو تبديل العقدتين في نهاية Y، ويتوافق مع تبديل تمثيلي الدوران الكيرالي . يتم تحقيقه كجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$يمكن التعبير عن التشاكل الخارجي كمرافق بواسطة مصفوفة في O(2^ n ) بمحدد − 1. عندما n = 3، يكون لدينا${\displaystyle \mathrm {D} _{3}\cong \mathrm {A} _{3},}$لذا فإنّ تحويلاتهم الذاتية تتفق، بينما${\displaystyle \mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}}$يتم فصلها، ويتوافق التماثل الذاتي مع تبديل العقدتين.

بالنسبة لـ D ₄ ، فإن التمثيل الأساسي متماثل مع تمثيلي الدوران، والمجموعة المتناظرة الناتجة على ثلاثة أحرف ( S ₃ ، أو بدلاً من ذلك المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 6، Dih ₃ ) تتوافق مع كل من التشاكلات الذاتية لجبر لي والتشاكلات الذاتية للمخطط.

تتوافق مجموعة التشاكل الذاتي لـ E ₆ مع عكس المخطط، ويمكن التعبير عنها باستخدام جبر جوردان . ^{[ 6 ] [ 8 ]}

قد تحتوي المخططات المنفصلة، ​​التي تتوافق مع جبر لي شبه البسيط، على تماثلات ذاتية ناتجة عن تبادل مكونات المخطط.

في الخاصية الموجبة، توجد "تشاكلات تخطيطية" إضافية - بشكل عام، في الخاصية p ، يُسمح أحيانًا بتجاهل السهم الموجود على الروابط ذات التعددية p في مخطط دينكين عند حساب التشاكلات التخطيطية. وبالتالي، في الخاصية 2، يوجد تشاكل من الرتبة 2 لـ${\displaystyle \mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}}$وفي F ₄ ، بينما في الخاصية 3 يوجد تشاكل ذاتي من الرتبة 2 لـ G _2. لكن هذا لا ينطبق في جميع الظروف: على سبيل المثال، لا يشترط أن تنشأ هذه التشاكلات الذاتية كشاكلات ذاتية للمجموعة الجبرية المقابلة، بل على مستوى النقاط ذات القيم في حقل منتهٍ.

طي

يمكن قسمة مخطط دينكين (بسيط التضفير) (محدود أو تآلفي ) ذي تناظر (يحقق شرطًا واحدًا، مذكور أدناه) على هذا التناظر، مما ينتج عنه مخطط جديد، عادةً ما يكون متعدد التضفير، وتُسمى هذه العملية بالطي (نظرًا لأن معظم التناظرات ثنائية). على مستوى جبر لي، يُقابل هذا أخذ الجبر الجزئي الثابت تحت زمرة التشاكل الخارجي، ويمكن تعريف العملية بالرجوع فقط إلى أنظمة الجذور، دون استخدام المخططات. ^{[ 9 ]} علاوة على ذلك، يمكن الحصول على أي مخطط متعدد التضفير (محدود أو غير محدود) عن طريق طي مخطط بسيط التضفير. ^{[ 10 ]}

الشرط الوحيد لإمكانية الطي في الرسم البياني، والمتمثل في تطبيق التشاكل الذاتي، هو عدم وجود أي اتصال بين العقد المختلفة في نفس المدار (تحت التشاكل الذاتي)؛ فعلى مستوى أنظمة الجذور، يجب أن تكون الجذور في نفس المدار متعامدة. ^{[ 10 ]} أما على مستوى المخططات، فهذا ضروري، وإلا سيحتوي مخطط القسمة على حلقة، نتيجةً لتحديد عقدتين مع وجود حافة بينهما، والحلقات غير مسموح بها في مخططات دينكين.

تمثل العقد والحواف في مخطط القسمة ("المطوي") مدارات العقد والحواف في المخطط الأصلي؛ وتكون الحواف مفردة ما لم تتصل حافتان متصلتان بالحافة نفسها (خاصةً عند العقد ذات التكافؤ الأكبر من 2) - وهي "نقطة تفرع" في الخريطة، وفي هذه الحالة يكون الوزن هو عدد الحواف المتصلة، ويشير السهم نحو العقدة التي تتصل بها - "تشير نقطة التفرع إلى النقطة غير المتجانسة". على سبيل المثال، في D4 _المطوي إلى G2 _، تشير الحافة في G2 _من فئة العقد الخارجية الثلاث (التكافؤ 1) إلى فئة العقدة المركزية (التكافؤ 3).

طيات المخططات المحدودة هي: ^{[ 11 ] [ ملاحظة 2 ]}

• ${\displaystyle A_{2n-1}\to C_{n}}$

(لا ينتج عن التشاكل الذاتي لـ A _{2 n} عملية طي لأن العقدتين الوسطيتين متصلتان بحافة، ولكن في نفس المدار.)

• ${\displaystyle D_{n+1}\to B_{n}}$
• ${\displaystyle D_{4}\to G_{2}}$(في حالة القسمة على المجموعة الكاملة أو دورة ثلاثية، بالإضافة إلى${\displaystyle D_{4}\to B_{3}}$بثلاث طرق مختلفة، إذا تم القسمة بواسطة عملية انعكاسية)
• ${\displaystyle E_{6}\to F_{4}}$

توجد طيات مماثلة للمخططات الأفينية، بما في ذلك:

• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}}$

يمكن تطبيق مفهوم الطي بشكل أعم على مخططات كوكسيتر ^{[ 12 ]} ، حيث يمكن تعميم نواتج القسمة المسموح بها لمخططات دينكين إلى H_{_n} و I _₂ ( p ). هندسيًا، يتوافق هذا مع إسقاطات متعددات الوجوه المنتظمة . والجدير بالذكر أنه يمكن طي أي مخطط دينكين بسيط إلى I_₂ ( h )، حيث h هو عدد كوكسيتر ، والذي يتوافق هندسيًا مع الإسقاط على مستوى كوكسيتر .

يمكن تطبيق تقنية الطي لاختزال المسائل المتعلقة بجبر لي (شبه البسيط) إلى مسائل تتعلق بجبر لي ذي التشابك البسيط، بالإضافة إلى التماثل الذاتي، وهو ما قد يكون أبسط من معالجة جبر لي ذي التشابك المتعدد مباشرةً؛ ويمكن القيام بذلك عند بناء جبر لي شبه البسيط، على سبيل المثال. انظر إلى Math Overflow: Folding by Automorphisms لمزيد من التفاصيل.

نظام جذري مزدوج

نظام جذر G2

بعض الخرائط الإضافية للرسوم البيانية لها تفسيرات ذات مغزى، كما هو مفصل أدناه. ومع ذلك، لا تنشأ جميع خرائط أنظمة الجذور كخرائط للرسوم البيانية. ^{[ 13 ]}

على سبيل المثال، يوجد نوعان من تضمين أنظمة جذور A2 _في G2 _، إما على شكل ستة جذور طويلة أو ستة جذور قصيرة. مع ذلك، تتوافق العقد في مخطط G2 _مع جذر طويل واحد وجذر قصير واحد، بينما تتوافق العقد في مخطط A2 _مع جذور متساوية الطول، وبالتالي لا يمكن التعبير عن خريطة أنظمة الجذور هذه كخريطة للمخططات.

يمكن التعبير عن بعض تضمينات أنظمة الجذور على أنها رسم بياني فرعي مستحث من رسم بياني آخر، أي "مجموعة فرعية من العقد، مع جميع الحواف بينها". وذلك لأن حذف عقدة من مخطط دينكين يُقابله حذف جذر بسيط من نظام الجذور، مما ينتج عنه نظام جذور من رتبة أقل بواحد. في المقابل، فإن حذف حافة (أو تغيير تعددية حافة) مع الإبقاء على العقد دون تغيير يُقابله تغيير الزوايا بين الجذور، وهو أمر لا يمكن القيام به دون تغيير نظام الجذور بأكمله. وبالتالي، يمكن حذف العقد بشكل منطقي، ولكن ليس الحواف. قد ينتج عن حذف عقدة من مخطط متصل مخطط متصل (جبر لي بسيط)، إذا كانت العقدة ورقة، أو مخطط غير متصل (جبر لي شبه بسيط ولكنه ليس بسيطًا)، بمكونين أو ثلاثة (الأخير لـ D_{_n} و E_{_n} ). على مستوى جبر لي، تُقابل هذه التضمينات جبر لي الفرعي.

الرسوم البيانية الفرعية القصوى هي كما يلي؛ الرسوم البيانية الفرعية المرتبطة بتماثل الرسم البياني تسمى "مترافقة":

• A _{n +1} : A _n , in 2 cigoted ways.
• B _{n +1} : A _n , B _n .
• C _{n +1} : A _n , C _n .
• D _{n +1} : A _n (طريقتان مترافقتان)، D _n .
• En _{+1 :} An _, D _n , _En .
  • بالنسبة للنقطة E ₆ ، يتطابق اثنان من هذه العناصر:${\displaystyle \mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}}$وهما مترافقان.
• F ₄ : B ₃ , C ₃ .
• G ₂ : A ₁ ، بطريقتين غير مترافقتين (كجذر طويل أو جذر قصير).

وأخيرًا، تتوافق ازدواجية المخططات مع عكس اتجاه الأسهم، إن وجدت: ^{[ 13 ]} B _n و C _n مزدوجان، بينما F ₄ و G ₂ مزدوجان ذاتيًا، وكذلك مخططات ADE البسيطة.

يُطلق على مخطط دينكين الذي لا يحتوي على حواف متعددة اسم المخطط المتشابك ببساطة ، وكذلك جبر لي ومجموعة لي المقابلة له. هذه هي${\displaystyle A_{n},D_{n},E_{n}}$تُعرف المخططات والظواهر التي تصنفها هذه المخططات بتصنيف ADE . في هذه الحالة، تتطابق مخططات دينكين تمامًا مع مخططات كوكسيتر، لعدم وجود حواف متعددة.

تُصنّف مخططات دينكين جبر لي شبه البسيط المعقد . ويمكن تصنيف جبر لي شبه البسيط الحقيقي على أنه أشكال حقيقية لجبر لي شبه البسيط المعقد، ويتم تصنيف هذه الأخيرة بواسطة مخططات ساتيك ، التي يتم الحصول عليها من مخطط دينكين عن طريق تلوين بعض الرؤوس باللون الأسود (المُعبأة)، وربط بعض الرؤوس الأخرى في أزواج بواسطة أسهم، وفقًا لقواعد معينة.

سُميت مخططات دينكين نسبةً إلى يوجين دينكين ، الذي استخدمها في ورقتين بحثيتين (1946، 1947) لتبسيط تصنيف جبر لي شبه البسيط؛ ^{[ 14 ]} انظر ( دينكين 2000 ) . عندما غادر دينكين الاتحاد السوفيتي عام 1976، وهو ما كان يُعتبر آنذاك بمثابة خيانة عظمى، وُجِّه علماء الرياضيات السوفييت إلى الإشارة إلى "مخططات الجذور البسيطة" بدلاً من استخدام اسمه.

استُخدمت الرسوم البيانية غير الموجهة سابقًا من قِبل كوكسيتر (1934) لتصنيف مجموعات الانعكاس ، حيث مثّلت العقد الانعكاسات البسيطة؛ ثم استُخدمت هذه الرسوم البيانية (مع معلومات الطول) من قِبل ويت (1941) للإشارة إلى أنظمة الجذور، حيث مثّلت العقد الجذور البسيطة، كما هو مُستخدم اليوم. ^{[ 14 ] [ 15 ]} ثم استخدمها دينكين في عامي 1946 و1947، مُشيرًا إلى كوكسيتر وويت في بحثه المنشور عام 1947.

رُسمت مخططات دينكين بعدة طرق؛ ^{[ 15 ]} والأسلوب المتبع هنا شائع، حيث تكون الزوايا 180° على عقد التكافؤ 2، و120° على عقدة التكافؤ 3 في المخطط D _n ، و90°/90°/180° على عقدة التكافؤ 3 في المخطط E _n ، مع الإشارة إلى التعددية بضلع واحد أو ضلعين أو ثلاثة أضلاع متوازية، ويُشار إلى طول الجذر برسم سهم على الضلع للتوجيه. إضافةً إلى البساطة، تتمثل إحدى مزايا هذا الأسلوب في إمكانية تحقيق التماثلات الذاتية للمخططات من خلال التماثلات الإقليدية للمخططات.

تتضمن الاصطلاحات البديلة كتابة رقم على الحافة للإشارة إلى التعددية (شائع الاستخدام في مخططات كوكسيتر)، وتغميق العقد للإشارة إلى طول الجذر، أو استخدام زوايا 120 درجة على عقد التكافؤ 2 لجعل العقد أكثر تميزًا.

توجد أيضًا اصطلاحات بشأن ترقيم العقد. وقد تطورت أكثر الاصطلاحات الحديثة شيوعًا بحلول الستينيات، وهي موضحة في ( بورباكي 1968 ) . ^{[ 15 ]}

تُعد مخططات دينكين مكافئة لمصفوفات كارتان المعممة، كما هو موضح في هذا الجدول لمخططات دينكين من الرتبة 2 مع مصفوفات كارتان المقابلة لها من الرتبة 2 × 2 .

بالنسبة للرتبة 2، يكون شكل مصفوفة كارتان كما يلي:

${\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$

يتوافق الرسم البياني متعدد الحواف مع عناصر مصفوفة كارتان غير القطرية${\displaystyle -a_{21},-a_{12}}$، مع عدد الحواف المرسومة التي تساوي${\displaystyle \max(-a_{21},-a_{12})}$، وسهم يشير إلى العناصر غير الموحدة.

مصفوفة كارتان المعممة هي مصفوفة مربعة${\displaystyle A=(a_{ij})}$بحيث:

1. بالنسبة للمداخل القطرية،${\displaystyle a_{ii}=2}$.
2. بالنسبة للإدخالات غير القطرية،${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$.
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle a_{ji}=0}$

تُحدد مصفوفة كارتان ما إذا كانت المجموعة من النوع المحدود (إذا كانت مصفوفة موجبة التحديد ، أي أن جميع قيمها الذاتية موجبة)، أو من النوع الأفيني (إذا لم تكن موجبة التحديد ولكنها موجبة شبه التحديد، أي أن جميع قيمها الذاتية غير سالبة)، أو من النوع غير المحدد . غالبًا ما يُقسم النوع غير المحدد إلى فئات فرعية، فعلى سبيل المثال، تكون مجموعة كوكسيتر لورنتزية إذا كان لها قيمة ذاتية سالبة واحدة وجميع القيم الذاتية الأخرى موجبة. علاوة على ذلك، تشير مصادر متعددة إلى مجموعات كوكسيتر الزائدية ، ولكن هناك عدة تعريفات غير متكافئة لهذا المصطلح. في المناقشة أدناه، تُعد مجموعات كوكسيتر الزائدية حالة خاصة من مجموعات لورنتز، حيث تُحقق شرطًا إضافيًا. بالنسبة للرتبة 2، تتوافق جميع مصفوفات كارتان ذات المحدد السالب مع مجموعة كوكسيتر زائدية. ولكن بشكل عام، فإن معظم المصفوفات ذات المحدد السالب ليست زائدية ولا لورنتزية.

الفروع المحدودة لها${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(1,1),(2,1),(3,1)}$والفروع الأفينية (ذات المحدد الصفري) لها ⁠${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(2,2){\text{ or }}(4,1)}$⁠ .

مخططات دينكين من الرتبة الثانية

اسم المجموعة	مخطط دينكين			مصفوفة كارتان		ترتيب التناظر	المجموعة الثالثة ذات الصلة ذات الرباط البسيط
	رسم بياني متعدد الحواف (قياسي)	الرسم البياني ذو القيمة 1	الرسم البياني لكوكسيتر 2	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$	المحدد​${\displaystyle (4-a_{21}\cdot a_{12})}$⁠
محدود					المحدد > 0
A 1 xA 1				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	4	2
A 2 (غير موجه)				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	3	3
ب 2				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	2	4	${\displaystyle {A}_{3}}$
ج 2				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	2	4	${\displaystyle {A}_{3}}$
BC 2 (غير موجه)				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	2	4
جي 2				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]}$	1	6	${\displaystyle {D}_{4}}$
G 2 (غير موجه)				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	1	6
أفين					المحدد = 0
أ 1 (1)				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0	∞	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
أ 2 (2)				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0	∞	${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$
القطع الزائد					المحدد < 0
				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-5&2\end{smallmatrix}}\right]}$	- 1	— غير متوفر
				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]}$	-2​	— غير متوفر
				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-6&2\end{smallmatrix}}\right]}$	-2​	— غير متوفر
				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-7&2\end{smallmatrix}}\right]}$	- 3	— غير متوفر
				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]}$	- 4	— غير متوفر
				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-8&2\end{smallmatrix}}\right]}$	- 4	— غير متوفر
				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-3\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]}$	- 5	— غير متوفر
				${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-b\\-a&2\end{smallmatrix}}\right]}$	⁠${\displaystyle 4-ab<0}$⁠	— غير متوفر
ملاحظة 1 : بالنسبة للمجموعات الزائدية، ( a 12 ⋅ a 21 > 4)، يُستغنى عن أسلوب الحواف المتعددة لصالح تسمية صريحة ( a 21 ، a 12 ) على الحافة. ​​لا تُطبق هذه الأساليب عادةً على الرسوم البيانية المنتهية والخطية. [ 16 ] ملاحظة 2 : بالنسبة للمجموعات غير الموجهة، فإن مخططات كوكسيتر قابلة للتبادل. وعادة ما يتم تصنيفها حسب رتبة التناظر، مع الإشارة إلى الرتبة 3 بدون تسمية. ملاحظة 3 : يمكن الحصول على العديد من المجموعات متعددة الحواف من مجموعة ذات ترتيب أعلى ذات ربط بسيط عن طريق تطبيق عملية طي مناسبة .

توجد امتدادات لمخططات دينكين، وهي مخططات دينكين الأفينية ؛ تُصنِّف هذه المخططات مصفوفات كارتان لجبر لي الأفيني . وقد صُنِّفت هذه المخططات في ( كاك، 1994 ، الفصل 4، الصفحات 47- ) ، وتحديدًا في ( كاك، 1994 ، الصفحات 53-55 ) . ويُرمز إلى المخططات الأفينية بـ${\displaystyle X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)},}$أو${\displaystyle X_{l}^{(3)},}$حيث يمثل X حرف المخطط المحدود المقابل، ويعتمد الأس على سلسلة المخططات الأفينية التي ينتمي إليها. أول هذه المخططات،${\displaystyle X_{l}^{(1)},}$وهي الأكثر شيوعًا، وتُسمى مخططات دينكين الموسعة ، ويُرمز لها بعلامة التلدة (~) ، وأحيانًا تُعلّم بعلامة + في الأعلى. ^{[ 17 ]} كما في${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}}$. تسمى السلسلتان (2) و (3) بالمخططات الأفينية الملتوية .

راجع مولد مخططات دينكين للاطلاع على المخططات.

مجموعة مخططات دينكين الأفينية الموسعة، مع إضافة عقد باللون الأخضر (${\displaystyle n\geq 3}$ل${\displaystyle B_{n}}$و${\displaystyle n\geq 4}$ل${\displaystyle D_{n}}$)

تُسمى الأشكال الأفينية "الملتوية" باستخدام (2) أو (3) كرموز علوية. (يشير الرمز السفلي k دائمًا إلى عدد العقد الصفراء في الرسم البياني، أي إجمالي عدد العقد مطروحًا منه 1).

فيما يلي جميع مخططات دينكين للمجموعات الأفينية حتى 10 عقد. تُعرض مخططات دينكين الموسعة كعائلات ~ ، وهي نفسها المخططات المحدودة المذكورة أعلاه، مع إضافة عقدة واحدة. تُعرض اختلافات المخططات الموجهة الأخرى برمز علوي (2) أو (3)، والتي تمثل طيات مجموعات من رتب أعلى. تُصنف هذه المخططات ضمن مخططات الأفينية الملتوية . ^{[ 18 ]}

الرسوم البيانية الخطية المتصلة من نوع دينكين حتى (2 إلى 10 عقد) (مجمعة كرسوم بيانية غير موجهة)

رتبة	${\displaystyle {\tilde {A}}_{1+}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3+}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{2+}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{4+}}$	هـ / و / ز
2	${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}$أو${\displaystyle {A}_{1}^{(1)}}$		${\displaystyle {A}_{2}^{(2)}}$:
3	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$أو${\displaystyle {A}_{2}^{(1)}}$		${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$أو${\displaystyle {C}_{2}^{(1)}}$${\displaystyle {D}_{3}^{(2)}}$:${\displaystyle {A}_{4}^{(2)}}$:		${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$أو${\displaystyle {G}_{2}^{(1)}}$${\displaystyle {D}_{4}^{(3)}}$
4	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$أو${\displaystyle {A}_{3}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$أو${\displaystyle {B}_{3}^{(1)}}$${\displaystyle {A}_{5}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$أو${\displaystyle {C}_{3}^{(1)}}$${\displaystyle {D}_{4}^{(2)}}$:${\displaystyle {A}_{6}^{(2)}}$:
5	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$أو${\displaystyle {A}_{4}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$أو${\displaystyle {B}_{4}^{(1)}}$${\displaystyle {A}_{7}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$أو${\displaystyle {C}_{4}^{(1)}}$${\displaystyle {D}_{5}^{(2)}}$:${\displaystyle {A}_{8}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$أو${\displaystyle {D}_{4}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$أو${\displaystyle {F}_{4}^{(1)}}$${\displaystyle {E}_{6}^{(2)}}$
6	${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}}$أو${\displaystyle {A}_{5}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{5}}$أو${\displaystyle {B}_{5}^{(1)}}$${\displaystyle {A}_{9}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {C}}_{5}}$أو${\displaystyle {C}_{5}^{(1)}}$${\displaystyle {D}_{6}^{(2)}}$:${\displaystyle {A}_{10}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$أو${\displaystyle {D}_{5}^{(1)}}$
7	${\displaystyle {\tilde {A}}_{6}}$أو${\displaystyle {A}_{6}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{6}}$أو${\displaystyle {B}_{6}^{(1)}}$${\displaystyle {A}_{11}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {C}}_{6}}$أو${\displaystyle {C}_{6}^{(1)}}$${\displaystyle {D}_{7}^{(2)}}$:${\displaystyle {A}_{12}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {D}}_{6}}$أو${\displaystyle {D}_{6}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$أو${\displaystyle {E}_{6}^{(1)}}$
8	${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$أو${\displaystyle {A}_{7}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{7}}$أو${\displaystyle {B}_{7}^{(1)}}$${\displaystyle {A}_{13}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {C}}_{7}}$أو${\displaystyle {C}_{7}^{(1)}}$${\displaystyle {D}_{8}^{(2)}}$:${\displaystyle {A}_{14}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {D}}_{7}}$أو${\displaystyle {D}_{7}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$أو${\displaystyle {E}_{7}^{(1)}}$
9	${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$أو${\displaystyle {A}_{8}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{8}}$أو${\displaystyle {B}_{8}^{(1)}}$${\displaystyle {A}_{15}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {C}}_{8}}$أو${\displaystyle {C}_{8}^{(1)}}$${\displaystyle {D}_{9}^{(2)}}$:${\displaystyle {A}_{16}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {D}}_{8}}$أو${\displaystyle {D}_{8}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$أو${\displaystyle {E}_{8}^{(1)}}$
10	${\displaystyle {\tilde {A}}_{9}}$أو${\displaystyle {A}_{9}^{(1)}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{9}}$أو${\displaystyle {B}_{9}^{(1)}}$${\displaystyle {A}_{17}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {C}}_{9}}$أو${\displaystyle {C}_{9}^{(1)}}$${\displaystyle {D}_{10}^{(2)}}$:${\displaystyle {A}_{18}^{(2)}}$:	${\displaystyle {\tilde {D}}_{9}}$أو${\displaystyle {D}_{9}^{(1)}}$
11	...	...	...	...