4 21 متعدد الأوجه

الإسقاطات المتعامدة في مستوى كوكسيتر _E6
4 ₂₁	1 ₄₂	2 ₄₁
تم تصحيح 4 ₂₁	تم تصحيح 1 ₄₂	تم تصحيح 2 ₄₁
ثنائي التوجيه 4 ₂₁	ثلاثي التوجيه 4 ₂₁

في الهندسة ثمانية الأبعاد ، يُعدّ الشكل 4 ₂₁ متعدد وجوه منتظم شبه منتظم ثماني الأبعاد ، مُنشأ ضمن تناظر المجموعة E _8. وقد اكتشفه ثورولد جوسيت ، ونشره في بحثه عام 1900. وأطلق عليه اسم الشكل شبه المنتظم ثماني الأبعاد . ^[¹^]

رمز كوكسيتر الخاص به هو 4 ₂₁ ، وهو يصف مخطط كوكسيتر-دينكين المتشعب ، مع حلقة واحدة في نهاية تسلسلات العقد الأربعة .

يُنشأ الشكل 4 ₂₁ المُعدَّل من نقاط تقع عند منتصف حواف الشكل 4 _21. ويُنشأ الشكل 4 21 المُعدَّل ثنائيًا من نقاط تقع عند مراكز أوجه المثلث في الشكل 4 21. _ويُنشأ الشكل ₄ 21 المُعدَّل ثلاثيًا من نقاط تقع عند مراكز رباعيات الأوجه في _الشكل 4 ₂₁ .

تعد هذه الأشكال المتعددة جزءًا من عائلة من 255 = 2 ⁸− 1 أشكال متعددة محدبة منتظمة من 8 ، مصنوعة من أوجه وأشكال رؤوس منتظمة من 7، محددة بجميع تباديل حلقة واحدة أو أكثر في مخطط كوكسيتر-دينكين هذا: .

4 ₂₁ متعدد الأوجه

4 ₂₁
يكتب	متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه
عائلة	متعدد الأوجه k ₂₁
رمز شلافلي	{3,3,3,3,3 ^2,1 }
رمز كوكسيتر	4 ₂₁
مخططات كوكسيتر	=
سبعة وجوه	المجموع 19440: 2160 4 ₁₁ 17280 {3 ⁶ }
ستة أوجه	207360: 138240 {3 ⁵ } 69120 {3 ⁵ }
خمسة وجوه	483840 {3 ⁴ }
أربعة أوجه	483840 {3 ³ }
الخلايا	241920 {3,3}
وجوه	60480 {3}
الحواف	6720
الرؤوس	240
شكل الرأس	3 ₂₁ متعدد الأوجه
مضلع بيتري	30 ضلعًا
مجموعة كوكسيتر	ه ₈ ، [3 ^4،2،1 ]، طلب 696729600
ملكيات	محدب

يحتوي متعدد السطوح 4 ₂₁ على 17280 وجهًا من نوع 7-simplex و2160 وجهًا من نوع 7-orthoplex ، و240 رأسًا. شكل رؤوسه هو متعدد السطوح 3 _21. ولأن رؤوسه تمثل متجهات الجذور لمجموعة لي البسيطة E ₈ ، يُشار إلى هذا متعدد السطوح أحيانًا باسم متعدد سطوح جذور E ₈ .

يمكن أيضًا الحصول على رؤوس هذا متعدد السطوح عن طريق أخذ 240 ثمانية الأضلاع الصحيحة ذات المعيار 1. ولأن الأوكتونيونات هي جبر قسمة معياري غير ترابطي ، فإن هذه النقاط الـ 240 لها عملية ضرب تجعلها ليست مجموعة بل حلقة ، في الواقع حلقة موفانغ .

لأغراض التوضيح، يُعرض هذا المجسم الثماني الأبعاد عادةً في اتجاه إسقاط متعامد مائل خاص ، بحيث تتناسب رؤوسه الـ 240 مع شكل ثلاثي منتظم (يُسمى مضلع بيتري ). تُرسَم أضلاعه الـ 6720 بين هذه الرؤوس. كما يمكن استخراج عناصر أعلى محددة (كالوجوه والخلايا وغيرها) ورسمها على هذا الإسقاط.

أسماء بديلة

اكتشف ثورولد جوسيت هذا المجسم متعدد الأوجه ، ووصفه في بحثه المنشور عام 1900 بأنه شكل شبه منتظم من الدرجة 8. ^{[ 1 ]} وهو آخر شكل شبه منتظم محدود في تعداده، وشبه منتظم بالنسبة له يعني أنه يحتوي على أوجه منتظمة فقط .
أطلق عليه إي إل إيلت اسم V ₂₄₀ (نسبة إلى رؤوسه الـ 240) في قائمته للمضلعات شبه المنتظمة عام 1912. ^{[ 2 ]}
أطلق عليه HSM Coxeter اسم 4 ₂₁ لأن مخطط Coxeter-Dynkin الخاص به يحتوي على ثلاثة فروع بطول 4 و 2 و 1، مع عقدة واحدة على العقدة الطرفية للفرع 4.
Dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton (الاختصار: fy) - 2160-17280 متعدد الأوجه (جوناثان باورز) ^{[ 3 ]}

الإحداثيات

يتم إنشاؤها بواسطة بناء Wythoff على مجموعة من 8 مرايا فائقة المستوى في فضاء ثماني الأبعاد.

يمكن إنشاء رؤوس المضلع 4 _{× 21} البالغ عددها 240 رأسًا في مجموعتين: 112 ( $2 \times 2 \times 8 C 2$ ) بإحداثيات تم الحصول عليها من $(\pm 2,\pm 2,0,0,0,0,0,0)\,$ عن طريق أخذ توليفة عشوائية من الإشارات وتبديل عشوائي للإحداثيات، و128 جذرًا (2 ⁷ ) بإحداثيات تم الحصول عليها من $(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\,$ عن طريق أخذ عدد زوجي من علامات السالب (أو، بشكل مكافئ، اشتراط أن يكون مجموع جميع الإحداثيات الثمانية من مضاعفات العدد 4).

لكل رأس 56 جارًا أقرب؛ على سبيل المثال، أقرب جيران الرأس $(1,1,1,1,1,1,1,1)$ هي تلك التي مجموع إحداثياتها يساوي 4، أي الـ 28 التي تم الحصول عليها عن طريق تبديل إحداثيات $(2,2,0,0,0,0,0,0)\,$ والـ 28 التي تم الحصول عليها عن طريق تبديل إحداثيات $(1,1,1,1,1,1,-1,-1)$ هذه النقاط الـ 56 هي رؤوس متعدد السطوح 3 ₂₁ في 7 أبعاد.

لكل رأس 126 جارًا ثانيًا من أقرب الجيران: على سبيل المثال، أقرب الجيران للرأس $(1,1,1,1,1,1,1,1)$ هي تلك التي مجموع إحداثياتها يساوي صفرًا، أي الـ 56 التي تم الحصول عليها عن طريق تبديل إحداثيات $(2,-2,0,0,0,0,0,0)\,$ والـ 70 التي تم الحصول عليها عن طريق تبديل إحداثيات $(1,1,1,1,-1,-1,-1,-1)$ هذه النقاط الـ 126 هي رؤوس متعدد السطوح 2 ₃₁ في 7 أبعاد.

يحتوي كل رأس أيضًا على 56 جارًا ثالثًا، وهي معكوسات أقرب جيرانه، ورأس واحد مضاد، ليصبح المجموع $1+56+126+56+1=240$ الرؤوس.

هناك طريقة أخرى تتمثل في أخذ توليفة موقعة من 14 كلمة رمزية من رمز هامينغ الموسع ذي 8 بت (8،4) والتي تعطي 14 × 24 ⁼ 224 رأسًا وإضافة محور موقع تافه $(\pm 2,0,0,0,0,0,0,0)$ بالنسبة لآخر 16 رأسًا. في هذه الحالة، تكون مسافة الرؤوس هي ${\sqrt {4}}$ من الأصل بدلاً من ${\sqrt {8}}$ .

شفرة هامينغ ذات 8 بت 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ⇒ ± ± ± ± 0 0 0 0 2 1 1 0 0 1 1 0 0 ⇒ ± ± 0 0 ± ± 0 0 3 0 0 1 1 1 1 0 0 ⇒ 0 0 ± ± ± ± 0 0 4 1 0 1 0 1 0 1 0 ⇒ ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 ±2 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 1 1 0 1 0 ⇒ 0 ± 0 ± ± 0 ± 0 0 ±2 0 0 0 0 0 0 6 0 1 1 0 0 1 1 0 ⇒ 0 ± ± 0 0 ± ± 0 0 0 ±2 0 0 0 0 0 7 1 0 0 1 0 1 1 0 ⇒ ± 0 0 ± 0 ± ± 0 0 0 0 ±2 0 0 0 0 8 0 1 1 0 1 0 0 1 ⇒ 0 ± ± 0 ± 0 0 ± 0 0 0 0 ±2 0 0 0 9 1 0 0 1 1 0 0 1 ⇒ ± 0 0 ± ± 0 0 ± 0 0 0 0 0 ±2 0 0 A 1 0 1 0 0 1 0 1 ⇒ ± 0 ± 0 0 ± 0 ± 0 0 0 0 0 0 ±2 0 B 0 1 0 1 0 1 0 1 ⇒ 0 ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 0 0 0 0 0 0 ±2 C 1 1 0 0 0 0 1 1 ⇒ ± ± 0 0 0 0 ± ± D 0 0 1 1 0 0 1 1 ⇒ 0 0 ± ± 0 0 ± ± ه 0 0 0 0 1 1 1 1 ⇒ 0 0 0 0 ± ± ± ± F 1 1 1 1 1 1 1 1 (224 رأسًا + 16 رأسًا)

يعطي تحليل آخر النقاط الـ 240 في 9 أبعاد على شكل 8-simplex موسع ، واثنين من 8-simplex المتقابلين المصححين ثنائياً ، و .

⁠

(3,-3,0,0,0,0,0,0,0)

72 رأسًا

⁠

(-2,-2,-2,1,1,1,1,1,1)

84 رأسًا

⁠

(2,2,2,-1,-1,-1,-1,-1,-1)

84 رأسًا

ينشأ هذا بشكل مشابه لعلاقة الشبكة A8 والشبكة E8 ، حيث تشتركان في 8 مرايا من A8: .

إسقاطات مستوى A7 كوكسيتر
اسم	4 ₂₁	8-simplex الموسع	8-simplex ثنائي التصحيح	8-simplex ثنائي التصحيح
الرؤوس	240	72	84	84
صورة

التبليطات

هذا المضلع هو شكل الرأس لتقسيم منتظم للفضاء ذي 8 أبعاد، ويمثله الرمز 5 ₂₁ ومخطط كوكسيتر-دينكين:

البناء والواجهات

يمكن استخراج معلومات الأوجه لهذا المجسم متعدد الأوجه من مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص به :

إزالة العقدة الموجودة على الفرع القصير تُبقي على الشبكة البسيطة ذات 7 عقد :

يؤدي حذف العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 2 إلى ترك 7-orthoplex في شكله المتناوب ( 4 ₁₁ ):

كل سطح من أسطح 7-simplex يلامس فقط أسطح 7-orthoplex، بينما تلامس الأسطح البديلة لسطح orthoplex إما سطح simplex أو سطح orthoplex آخر. يوجد 17280 سطح simplex و2160 سطح orthoplex.

بما أن كل مُجسم سباعي بسيط (7-simplex) يحتوي على 7 أوجه سداسية بسيطة (6-simplex)، لا يرتبط أي منها بأي مُجسم سداسي بسيط آخر، فإن متعدد السطوح 4 ₂₁ يحتوي على 120,960 (7 × 17,280) وجهًا سداسيًا بسيطًا تُمثل أوجهًا لمجسمات سباعية بسيطة. وبما أن كل مُجسم سباعي متعامد (7-orthoplex) يحتوي على 128 (2 ⁷ ) وجهًا سداسيًا بسيطًا، نصفها لا يرتبط بمجسمات سباعية بسيطة، فإن متعدد السطوح 4 ₂₁ يحتوي على 138,240 (2 ⁶ × 2160) وجهًا سداسيًا بسيطًا لا تُمثل أوجهًا لمجسمات سباعية بسيطة. وبالتالي، يحتوي متعدد السطوح 4 ₂₁ على نوعين من الأوجه السداسية البسيطة، لا يتبادلان بفعل تناظرات هذا متعدد السطوح. ويبلغ العدد الإجمالي للأوجه السداسية البسيطة 259200 (120,960 + 138,240).

يُحصل على شكل رأس متعدد السطوح ذي الحلقة الواحدة بإزالة العقدة المحاطة بحلقة وتكوين حلقة حول جيرانها. وهذا يُشكل متعدد السطوح 3 ₂₁ .

يمكن استنتاج عدد العناصر في مصفوفة التكوين عن طريق إزالة المرآة ونسب رتب مجموعة كوكسيتر . ^{[ 4 ]}


E ₈	الوجه k	ف _ك	f ₀	f ₁	f ₂	f ₃	f ₄	f ₅	و ₆		و ₇		شكل k	ملحوظات
E ₇	( )	f ₀	240	56	756	4032	10080	12096	4032	2016	576	126	3 ₂₁ متعدد الأوجه	ه ₈ / ه ₇ = 192×10!/(72×8!) = 240
أ ₁ هـ ₆	{ }	f ₁	2	6720	27	216	720	1080	432	216	72	27	2 ₂₁ متعدد الأوجه	ه ₈ /أ ₁ ه ₆ = 192×10!/(2×72×6!) = 6720
A ₂ D ₅	{3}	f ₂	3	3	60480	16	80	160	80	40	16	10	5-نصف مكعب	E ₈ /A ₂ D ₅ = 192×10!/(6×2 ⁴ ×5!) = 60480
أ ₃ أ ₄	{3,3}	f ₃	4	6	4	241920	10	30	20	10	5	5	5 خلايا مُقوَّمة	ه ₈ /أ ₃ أ ₄ = 192×10!/(4!×5!) = 241920
أ ₄ أ ₂ أ ₁	{3,3,3}	f ₄	5	10	10	5	483840	6	6	3	2	3	منشور ثلاثي	ه ₈ /أ ₄ أ ₂ أ ₁ = 192×10!/(5!×3!×2) = 483840
أ _٥ أ _١	{3,3,3,3}	f ₅	6	15	20	15	6	483840	2	1	1	2	مثلث متساوي الساقين	ه ₈ /أ ₅ أ ₁ = 192×10!/(6!×2) = 483840
أ ₆	{3,3,3,3,3}	و ₆	7	21	35	35	21	7	138240	*	1	1	{ }	ه ₈ /أ ₆ = 192×(10!×7!) = 138240
أ ₆ أ ₁	{3,3,3,3,3}	و ₆	7	21	35	35	21	7	*	69120	0	2	{ }	ه ₈ /أ ₆ أ ₁ = 192×10!/(7!×2) = 69120
7	{3,3,3,3,3,3}	و ₇	8	28	56	70	56	28	8	0	17280	*	( )	ه ₈ / أ ₇ = 192×10!/8! = 17280
د ₇	{3,3,3,3,3,4}	و ₇	14	84	280	560	672	448	64	64	*	2160	( )	E ₈ /D ₇ = 192×10!/(2 ⁶ ×7!) = 2160

إسقاطات

الرسم البياني 4 ₂₁ تم إنشاؤه كفن الخيوط .	إسقاط مستوى كوكسيتر E ₈

ثلاثي الأبعاد

التمثيل الرياضي لنموذج زوم الفيزيائي المتماثل (؟) مع E8. تم بناؤه من VisibLie_E8 الموضح بجميع حوافه البالغ عددها 3360 حافة بطول √2 ( √5 - 1) من خليتين متمركزتين، كل منهما تحتوي على 600 خلية (بالنسبة الذهبية)، مع إسقاطات متعامدة على فضاء ثلاثي الأبعاد منظوري .	تم إسقاط متعدد السطوح الحقيقي المنقسم E8 4 ₂₁ في الفضاء ثلاثي الأبعاد المنظوري مع جميع الحواف الـ 6720 بطول √ 2 ^{[ 5 ]}	تم تدوير E8 إلى H4+H4φ، ثم إسقاطه ثلاثي الأبعاد، وتحويله إلى ملف STL، وطباعته باستخدام بلاستيك النايلون. أساس الإسقاط المستخدم: س = {1, φ , 0, − 1, φ , 0,0,0} ص = { φ , 0, 1, φ , 0, − 1,0,0} z = {0, 1, φ , 0, − 1, φ ,0,0}

ثنائي الأبعاد

تمثل هذه الرسوم البيانية إسقاطات متعامدة في مستويات كوكسيتر _E8 ، E7 _، E6 _، وB8 _، D8 _، D7 _، D6 _، D5 _، D4 _، D3 _، A7 _، A5 _. تُلوّن رؤوس الإسقاطات حسب تعددها المتداخل في الإسقاط: أحمر، برتقالي، أصفر، أخضر، بترتيب تصاعدي للتعدد.

الإسقاطات المتعامدة
E ₈ / H ₄ [30]	[20]	[24]
(الألوان: 1)	(الألوان: 1)	(الألوان: 1)
E ₇ [18]	E ₆ / F ₄ [12]	[6]
(الألوان: 1، 3، 6)	(الألوان: 1، 8، 24)	(الألوان: 1، 2، 3)
D ₃ / B ₂ / A ₃ [4]	D ₄ / B ₃ / A ₂ / G ₂ [6]	D ₅ / B ₄ [8]
(الألوان: 1، 12، 32، 60)	(الألوان: 1، 27، 72)	(الألوان: 1، 8، 24)
D ₆ / B ₅ / A ₄ [10]	D ₇ / B ₆ [12]	D ₈ / B ₇ / A ₆ [14]
(الألوان: 1، 5، 10، 20)	(الألوان: 1، 3، 9، 12)	(الألوان: 1، 2، 3)
ب ₈ [16/2]	أ ₅ [6]	A ₇ [8]
(الألوان: 1)	(الألوان: 3، 8، 24، 30)	(الألوان: 1، 2، 4، 8)

عائلة ك ₂₁

يُعدّ متعدد السطوح 4 ₂₁ آخر مجموعة في عائلة تُسمى متعددات السطوح k _21. أما أول متعدد سطوح في هذه العائلة فهو المنشور المثلثي شبه المنتظم ، والذي يتكون من ثلاثة مربعات (متعددات السطوح المتعامدة) ومثلثين (متعددات السطوح البسيطة).

الطي الهندسي

يرتبط الشكل 4 ₂₁ بالخلية 600 من خلال طي هندسي لمخططات كوكسيتر-دينكين . ويمكن ملاحظة ذلك في إسقاطات مستوى كوكسيتر E8/H4. تُسقط رؤوس الشكل 4 ₂₁ البالغ عددها 240 رأسًا في الفضاء الرباعي على شكل نسختين من رؤوس الخلية 600 البالغ عددها 120 رأسًا، إحداهما أصغر (مُقاسة بنسبة ذهبية ) من الأخرى بنفس الاتجاه. عند النظر إليها كإسقاط متعامد ثنائي الأبعاد في مستوى كوكسيتر E8/H4، تُسقط رؤوس الخلية 600 البالغ عددها 120 رأسًا في نفس الحلقات الأربع الموجودة في الشكل 4 _21. كما تتطابق الحلقات الأربع الأخرى في الشكل 4 ₂₁ مع نسخة أصغر من الحلقات الأربع للخلية 600.

طيات مستوى كوكسيتر E8/H4
E ₈	H ₄
4 ₂₁	600 خلية
[20] مستويات التناظر
4 ₂₁	600 خلية

متعددات الوجوه ذات الصلة

في الهندسة المعقدة رباعية الأبعاد، يوجد متعدد السطوح المعقد المنتظم ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ ، ومخطط كوكسيتر له نفس ترتيب الرؤوس لمتعدد السطوح 4 _21. وهو متعدد السطوح متناظر ذاتيًا. أطلق عليه كوكسيتر اسم متعدد سطوح ويتينغ ، نسبةً إلى ألكسندر ويتينغ . يعبّر كوكسيتر ^عن تناظر مجموعة شيبارد الخاص به بالصيغة ₃ [3] ₃ [3] ₃ [3] _3.^[ 7 ^]

يُعدّ الشكل 4 ₂₁ الشكل السادس في سلسلة بُعدية من متعددات الوجوه شبه المنتظمة . كل متعدد وجوه منتظم متتابع يُبنى من شكل رأس متعدد الوجوه السابق. وقد حدد ثورولد جوسيت هذه السلسلة في عام 1900 على أنها تحتوي على جميع أوجه متعددات الوجوه المنتظمة ، بما في ذلك جميع الأشكال البسيطة والأشكال المتعامدة .

k ₂₁ شكلاً في n أبعاد
فضاء	محدود						إقليدي	القطع الزائد
إي _إن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكسيتر	E ₃ =A ₂ A ₁	E ₄ =A ₄	E ₅ =D ₅	E ₆	E ₇	E ₈	E ₉ = ${\tilde {E}}_{8}$ = E ₈⁺	E ₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ = E ₈⁺⁺
مخطط كوكسيتر
التناظر	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
طلب	12	120	1920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	-1 21	0 ₂₁	1 ₂₁	2 ₂₁	3 ₂₁	4 ₂₁	5 ₂₁	6 ₂₁