المُعادل (الرياضيات)

في الرياضيات ، المُعادل هو مجموعة من الوسائط التي تتساوى فيها قيم دالتين أو أكثر . وهو مجموعة حلول المعادلة . وفي بعض السياقات، تُعرف نواة الفرق بأنها مُعادل دالتين فقط.

لتكن X و Y مجموعتين . ولتكن f و g دالتين ، كلتاهما من X إلى Y. عندئذٍ، يكون مُساوِب f و g هو مجموعة العناصر x من X التي تحقق f ( x ) = g ( x ) في Y. بالرمز :

${\displaystyle \operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.}$

يمكن الإشارة إلى المُعادل بالرمز Eq( f , g ) أو بصيغة مشابهة (مثل استخدام الأحرف الصغيرة "eq"). في السياقات غير الرسمية، يشيع استخدام الرمز { f = g }.

استخدم التعريف أعلاه دالتين f و g ، ولكن ليس من الضروري الاقتصار على دالتين فقط، أو حتى على عدد محدود من الدوال. بشكل عام، إذا كانت F مجموعة دوال من X إلى Y ، فإن مُساوِب عناصر F هو مجموعة العناصر x من X التي، عند إعطاء أي عنصرين f و g من F ، يكون f ( x ) مساويًا لـ g ( x ) في Y. رمزيًا:

${\displaystyle \operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.}$

يمكن كتابة هذا المعادل على النحو التالي: Eq( f , g , h , ...) إذا${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي المجموعة { f , g , h , ...}. في الحالة الأخيرة، يمكن للمرء أيضًا أن يجد { f = g = h = ...} في السياقات غير الرسمية.

كحالة متطرفة من التعريف العام، ليكن F مجموعة أحادية { f }. بما أن f ( x ) تساوي نفسها دائمًا، فإن المُعادل يجب أن يكون المجال X بأكمله . وكحالة أكثر تطرفًا، ليكن F المجموعة الفارغة . عندئذٍ يكون المُعادل مرة أخرى هو المجال X بأكمله ، لأن التكميم الشامل في التعريف صحيح بشكل بديهي .

يُطلق على المُعادل الثنائي (أي مُعادل دالتين فقط) اسم نواة الفرق . ويُمكن الإشارة إليه أيضًا بـ DiffKer( f , g ) أو Ker( f , g ) أو Ker( f − g ). يُوضح الرمز الأخير مصدر هذا المصطلح، وسبب شيوعه في سياق الجبر المجرد : نواة الفرق بين f و g هي ببساطة نواة الفرق f − g . علاوة على ذلك، يُمكن إعادة بناء نواة دالة واحدة f على أنها نواة الفرق Eq( f , 0)، حيث 0 هي الدالة الثابتة التي قيمتها صفر .

بالطبع، يفترض كل هذا سياقًا جبريًا تكون فيه نواة الدالة هي الصورة العكسية للصفر تحت تلك الدالة؛ وهذا ليس صحيحًا في جميع الحالات. ومع ذلك، فإن مصطلح "نواة الفرق" ليس له أي معنى آخر.

يمكن تعريف المعادلات بواسطة خاصية شاملة ، مما يسمح بتعميم المفهوم من فئة المجموعات إلى فئات عشوائية .

في السياق العام، X و Y كائنات، بينما f و g هما تشاكلات من X إلى Y. تشكل هذه الكائنات والتشاكلات مخططًا في الفئة المعنية، والمعادل هو ببساطة نهاية ذلك المخطط.

بصورة أكثر وضوحًا، يتكون المُعادل من كائن E وتشاكل eq  : E → X يحقق${\displaystyle f\circ eq=g\circ eq}$، بحيث أنه، بالنظر إلى أي كائن O ومورفيزم m  : O → X ، إذا${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$إذن، يوجد تشاكل وحيد u  : O → E بحيث${\displaystyle eq\circ u=m}$.

التشكل${\displaystyle m:O\rightarrow X}$يقال إنه يعادل${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$لو${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$[ ^{1 ]​}

في أي فئة جبرية شاملة ، بما في ذلك الفئات التي تستخدم فيها نوى الفرق، وكذلك فئة المجموعات نفسها، يمكن دائمًا اعتبار الكائن E هو المفهوم العادي للمعادل، ويمكن في هذه الحالة اعتبار التشكل eq هو دالة التضمين لـ E كمجموعة فرعية من X.

تعميم هذا المفهوم ليشمل أكثر من شكلين هندسيين أمرٌ بسيط؛ يكفي استخدام مخطط أكبر يحتوي على عدد أكبر من الأشكال الهندسية. والحالة المنحلة التي تتضمن شكلاً هندسياً واحداً فقط هي أيضاً بسيطة؛ إذ يمكن أن يكون eq أي شكل هندسي متماثل من كائن E إلى X.

يُعدّ الرسم التخطيطي الصحيح للحالة المُنحلة التي لا تحتوي على تشاكلات أمرًا دقيقًا بعض الشيء: قد يرسم المرء في البداية الرسم التخطيطي على أنه يتكون من الكائنين X و Y فقط، دون أي تشاكلات. إلا أن هذا غير صحيح، لأن نهاية هذا الرسم التخطيطي هي حاصل ضرب X و Y ، وليس المُعادل. (وفي الواقع، يُعدّ كل من حاصل الضرب والمُعادل مفهومين مختلفين: فالتعريف النظري للضرب في نظرية المجموعات لا يتفق مع التعريف النظري للمُعادل المذكور أعلاه، وبالتالي فهما مختلفان). بدلًا من ذلك، فإن الفهم الصحيح هو أن كل رسم تخطيطي للمُعادل يهتم أساسًا بـ X ، ويشمل Y فقط لأن Y هو المجال المُقابل للتشاكلات التي تظهر في الرسم التخطيطي. من هذا المنظور، نرى أنه في حالة عدم وجود تشاكلات، فإن Y لا يظهر، ويتكون الرسم التخطيطي للمُعادل من X فقط. وتكون نهاية هذا الرسم التخطيطي حينها أي تشاكل بين E و X.

يمكن إثبات أن أي مُساوٍ في أي فئة هو أحادي الشكل . إذا كان العكس صحيحًا في فئة معينة، يُقال إن تلك الفئة منتظمة (بمعنى أحاديات الشكل). وبشكل أعم، فإن أحادي الشكل المنتظم في أي فئة هو أي شكل m يُساوي مجموعة من الأشكال. يشترط بعض المؤلفين، بشكل أكثر دقة، أن يكون m مُساوٍ ثنائيًا ، أي مُساوٍ لشكلين فقط. مع ذلك، إذا كانت الفئة المعنية كاملة ، فإن كلا التعريفين يتفقان.

يُعدّ مفهوم نواة الفرق منطقيًا أيضًا في سياق نظرية الفئات. ويُستخدم مصطلح "نواة الفرق" بشكل شائع في نظرية الفئات لأي مُعادل ثنائي. في حالة الفئة ما قبل الجمعية (وهي فئة مُثرية على فئة الزمر الأبيلية )، يُمكن تفسير مصطلح "نواة الفرق" حرفيًا، نظرًا لأن طرح التشكلات منطقي. أي أن Eq( f , g ) = Ker( f - g )، حيث يرمز Ker إلى نواة نظرية الفئات .

أي فئة تحتوي على منتجات ألياف (تخفيضات) ومنتجات تحتوي على عوامل معادلة.

• المعادل المشترك ، وهو المفهوم المزدوج ، يتم الحصول عليه عن طريق عكس الأسهم في تعريف المعادل.
• نظرية التزامن ، وهي منهج طوبولوجي لمجموعات التساوي في الفضاءات الطوبولوجية .
• السحب العكسي ، حد خاص يمكن إنشاؤه من المعادل والمنتجات.

• المعادل في مختبر n

• صفحة ويب تفاعلية تُنشئ أمثلة على المُعادلات في فئة المجموعات المنتهية. من تأليف جوسلين باين .