هوية أويلر

تؤكد معادلات أويلر أن${\displaystyle e^{i\pi }}$يساوي -1. التعبير${\displaystyle e^{i\pi }}$هو حالة خاصة من التعبير${\displaystyle e^{z}}$حيث z أي عدد مركب . بشكل عام،${\displaystyle e^{z}}$يُعرَّف هذا التعريف للأعداد المركبة z بتوسيع أحد تعريفات الدالة الأسية من الأسس الحقيقية إلى الأسس المركبة. على سبيل المثال، أحد التعريفات الشائعة هو:

$${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$$

وبالتالي، تنص متطابقة أويلر على أن النهاية، عندما يقترب n من اللانهاية، لـ${\displaystyle (1+{\tfrac {i\pi }{n}})^{n}}$يساوي -1. هذه النهاية موضحة في الرسوم المتحركة على اليمين.

متطابقة أويلر هي حالة خاصة من صيغة أويلر ، التي تنص على أنه لأي عدد حقيقي x ،

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$$

حيث يتم إعطاء مدخلات الدوال المثلثية الجيب وجيب التمام بالراديان .

على وجه الخصوص، عندما x = π ،

$${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$$

منذ

$${\displaystyle \cos \pi =-1}$$

و

$${\displaystyle \sin \pi =0,}$$

ويترتب على ذلك أن

$${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}$$

مما ينتج عنه متطابقة أويلر:

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

أي عدد مركب${\displaystyle z=x+iy}$يمكن تمثيلها بالنقطة${\displaystyle (x,y)}$على المستوى المركب . يمكن أيضًا تمثيل هذه النقطة بالإحداثيات القطبية كما يلي:${\displaystyle (r,\theta )}$حيث r هي القيمة المطلقة لـ z (المسافة من نقطة الأصل)، و${\displaystyle \theta }$هي زاوية z (الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور x الموجب ). وبحسب تعريفات الجيب وجيب التمام، فإن إحداثيات هذه النقطة في نظام الإحداثيات الديكارتية هي${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$، مما يعني أن${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$وفقًا لصيغة أويلر، فإن هذا يعادل قول${\displaystyle z=re^{i\theta }}$.

تنص متطابقة أويلر على أن${\displaystyle -1=e^{i\pi }}$. منذ${\displaystyle e^{i\pi }}$يكون${\displaystyle re^{i\theta }}$لـ r = 1 و${\displaystyle \theta =\pi }$يمكن تفسير ذلك على أنه حقيقة تتعلق بالعدد -1 في المستوى المركب: المسافة بينه وبين نقطة الأصل هي 1، والزاوية التي يصنعها مع المحور السيني الموجب هي${\displaystyle \pi }$الراديان.

بالإضافة إلى ذلك، عند ضرب أي عدد مركب z في${\displaystyle e^{i\theta }}$، وله تأثير الدوران${\displaystyle z}$عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية${\displaystyle \theta }$على المستوى المركب. بما أن الضرب في -1 يعكس نقطة عبر نقطة الأصل، يمكن تفسير متطابقة أويلر على أنها تقول إن تدوير أي نقطة${\displaystyle \pi }$للزاوية حول نقطة الأصل نفس تأثير عكس النقطة عبر نقطة الأصل. وبالمثل، فإن ضبط${\displaystyle \theta }$يساوي${\displaystyle 2\pi }$ينتج عنه المعادلة ذات الصلة${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$، وهو ما يمكن تفسيره على أنه يعني أن تدوير أي نقطة دورة واحدة حول نقطة الأصل يعيدها إلى موضعها الأصلي.

• كونواي، جون هـ. ، وجاي، ريتشارد ك. (1996)، كتاب الأعداد ، سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-97993-9
• كريز، روبرت ب. (10  مايو 2004)، " أعظم المعادلات على الإطلاق "، عالم الفيزياء [التسجيل مطلوب]
• دونهام، ويليام (1999)، أويلر: سيدنا جميعًا ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-88385-328-3
• أويلر، ليونارد ، العمل الكامل. ليوناردي أوليري أوبرا أمنية. 1، أوبرا الرياضيات. المجلد الثامن، مقدمة ليوناردي أوليري في التحليل اللانهائي. توموس بريموس ، لايبزيغ: بي جي تيوبنيري
• كاسنر، إي. ، ونيومان، ج. (1940)، الرياضيات والخيال ، سيمون وشوستر
• ماور، إيلي (1998)، هـ : قصة رقم ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0-691-05854-7
• ناهين، بول ج. (2006)، صيغة الدكتور أويلر الرائعة: تعالج العديد من المشاكل الرياضية ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-11822-2
• باولوس، جون ألين (1992)، ما وراء الحساب: قاموس غير مألوف للرياضيات ، دار بنجوين للنشر، رقم ISBN 0-14-014574-5
• ريد، كونستانس (طبعات مختلفة)، من الصفر إلى اللانهاية ، الجمعية الرياضية الأمريكية
• سانديفير، سي. إدوارد (2007)، أعظم إنجازات أويلر ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-88385-563-8
• ستيب، ديفيد (2017). معادلة في غاية الأناقة: صيغة أويلر وجمال الرياضيات . دار النشر الأساسية .
• ويلز، ديفيد (1990). "هل هذه هي الأجمل؟". مجلة الرياضيات الذكية . 12 (3): 37-41 . doi : 10.1007/BF03024015 . S2CID 121503263 . 
• ويلسون، روبن (2018). معادلة أويلر الرائدة: أجمل نظرية في الرياضيات . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-192-51406-6.
• زكي، س .؛ رومايا، ج.ب.؛ بينينكاسا، د.م.ت.؛ عطية، م.ف. (2014). "تجربة الجمال الرياضي وارتباطاتها العصبية". مجلة فرونتيرز في علم الأعصاب البشري . 8 : 68. doi : 10.3389/fnhum.2014.00068 . PMC 3923150. PMID 24592230 .