الجهد الجاذبي

في الميكانيكا الكلاسيكية ، يُعدّ جهد الجاذبية جهدًا قياسيًا يربط كل نقطة في الفضاء بالشغل ( الطاقة المنقولة ) لكل وحدة كتلة اللازمة لنقل جسم إلى تلك النقطة من نقطة مرجعية ثابتة في مجال الجاذبية المحافظ . وهو يُشابه الجهد الكهربائي ، حيث تلعب الكتلة دور الشحنة . وتكون النقطة المرجعية، حيث يكون الجهد صفرًا، اصطلاحًا بعيدة جدًا عن أي كتلة، مما ينتج عنه جهد سالب عند أي مسافة محدودة . ويرتبط هذا التشابه بامتلاك كلا المجالين قوى محافظة .

رياضياً، يُعرف الجهد الجاذبي أيضاً بالجهد النيوتني ، وهو أساسي في دراسة نظرية الجهد . ويمكن استخدامه أيضاً لحل المجالات الكهروستاتيكية والمغناطيسية الساكنة الناتجة عن الأجسام الإهليلجية المشحونة أو المستقطبة بشكل منتظم. ^{[ 1 ]}

الجهد التثاقلي ( V ) عند موقع ما هو طاقة الوضع التثاقلي ( U ) عند ذلك الموقع لكل وحدة كتلة:

$${\displaystyle V={\frac {U}{m}},}$$

حيث m كتلة الجسم. طاقة الوضع تساوي (في المقدار، ولكنها سالبة) الشغل المبذول من قِبل مجال الجاذبية لتحريك جسم من اللانهاية إلى موضعه المحدد في الفضاء. إذا كانت كتلة الجسم كيلوغرامًا واحدًا، فإن طاقة الوضع المنسوبة إليه تساوي طاقة الوضع التثاقلية. لذا، يمكن تفسير طاقة الوضع على أنها معكوس الشغل المبذول من قِبل مجال الجاذبية لتحريك كتلة مقدارها وحدة واحدة من اللانهاية.

في بعض الحالات، يمكن تبسيط المعادلات بافتراض مجال يكاد يكون مستقلاً عن الموقع. على سبيل المثال، في منطقة قريبة من سطح الأرض، يمكن اعتبار تسارع الجاذبية الأرضية ، g ، ثابتًا. في هذه الحالة، يكون الفرق في طاقة الوضع من ارتفاع إلى آخر، بتقريب جيد، مرتبطًا خطيًا بالفرق في الارتفاع. $${\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}$$

يمكن تعريف الجهد الجاذبي V على مسافة x من كتلة نقطية كتلتها M على أنه الشغل W الذي يجب أن يقوم به عامل خارجي لجلب كتلة وحدة من اللانهاية إلى تلك النقطة: ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \left(\mathbf {x} '\right)\cdot d\mathbf {x} '={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x'^{2}}}dx'=-{\frac {GM}{x}},}$$ حيث G هو ثابت الجاذبية ، و F هي قوة الجاذبية. يُعدّ حاصل ضرب GM معيار الجاذبية القياسي ، وغالبًا ما يكون معروفًا بدقة أعلى من G أو M منفردين. تُقاس طاقة الوضع بوحدات الطاقة لكل وحدة كتلة، مثل جول/كيلوجرام في نظام MKS . اصطلاحًا، تكون سالبة دائمًا حيثما تُعرّف، وعندما يؤول x إلى اللانهاية، تقترب من الصفر.

المجال الجاذبي ، وبالتالي تسارع جسم صغير في الفضاء المحيط بجسم ضخم، هو التدرج السالب للجهد الجاذبي. لذا، فإن معكوس التدرج السالب يُعطي تسارعًا موجبًا باتجاه الجسم الضخم. ولأن الجهد لا يحتوي على مركبات زاوية، فإن تدرجه هو $${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$$ حيث x هو متجه طوله x يشير من الكتلة النقطية نحو الجسم الصغير و${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$هو متجه وحدة يشير من الكتلة النقطية نحو الجسم الصغير. وبالتالي، فإن مقدار التسارع يتبع قانون التربيع العكسي . $$\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\frac {GM}{x^{2}}}.}$$

الجهد المرتبط بتوزيع الكتلة هو مجموع جهود الكتل النقطية. إذا كان توزيع الكتلة عبارة عن مجموعة محدودة من الكتل النقطية، وكانت هذه الكتل تقع عند النقاط x₁ _، ...، xₙ _، ولها كتل m₁ _، ...، mₙ _، فإن جهد التوزيع عند النقطة x هو $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}}.}$$

إذا تم إعطاء توزيع الكتلة كمقياس للكتلة dm على الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد R³ ^، فإن الجهد هو التفاف −G / | r | مع dm . في الحالات الجيدة، يساوي هذا التكامل $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,dm(\mathbf {r} ),}$$ حيث | x − r | هي المسافة بين النقطتين x و r . إذا كانت هناك دالة ρ ( r ) تمثل كثافة التوزيع عند r ، بحيث يكون dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) ، حيث dv ( r ) هو عنصر الحجم الإقليدي ، فإن جهد الجاذبية هو تكامل الحجم.$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}$$

إذا كانت V دالة كامنة ناتجة عن توزيع كتلة مستمر ρ ( r )، فيمكن استعادة ρ باستخدام عامل لابلاس ، Δ : $${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}$$ ينطبق هذا على النقاط عندما تكون ρ متصلة وتساوي صفرًا خارج مجموعة محدودة. وبشكل عام، يمكن استعادة مقياس الكتلة dm بنفس الطريقة إذا أُخذ مؤثر لابلاس بمعنى التوزيعات . ونتيجة لذلك، يحقق جهد الجاذبية معادلة بواسون . انظر أيضًا دالة غرين لمعادلة لابلاس ذات المتغيرات الثلاثة وجهد نيوتن .

يمكن التعبير عن التكامل بدلالة الدوال المتسامية المعروفة لجميع الأشكال الإهليلجية، بما في ذلك الأشكال المتناظرة والمتدهورة. ^{[ 6 ]} تشمل هذه الأشكال الكرة، حيث تتساوى أنصاف محاورها الثلاثة؛ والقطع الناقص المفلطح (انظر مرجع القطع الناقص ) والقطع الناقص المطاول، حيث يتساوى نصفا محورين؛ والأشكال المتدهورة التي يكون فيها أحد أنصاف المحاور لانهائيًا (الأسطوانة الإهليلجية والأسطوانة الدائرية)؛ والصفيحة غير المحدودة التي يكون فيها نصفا محورين لانهائيين. تُستخدم جميع هذه الأشكال على نطاق واسع في تطبيقات تكامل جهد الجاذبية (باستثناء الثابت G ، حيث ρ كثافة شحنة ثابتة ) في الكهرومغناطيسية.

يتصرف توزيع الكتلة المتناظر كرويًا، بالنسبة لمراقب يقع خارج نطاق التوزيع تمامًا، كما لو أن الكتلة بأكملها مُركّزة في المركز، وبالتالي تُعتبر فعليًا كتلة نقطية ، وفقًا لنظرية الغلاف . على سطح الأرض، يُعطى التسارع بما يُسمى بالجاذبية القياسية g ، والتي تبلغ حوالي 9.8  م/ث² ^، على الرغم من أن هذه القيمة تتغير قليلًا بتغير خط العرض والارتفاع. ويكون مقدار التسارع أكبر قليلًا عند القطبين منه عند خط الاستواء لأن الأرض كروية مفلطحة .

في ظل توزيع كتلة متناظر كرويًا، من الممكن حل معادلة بواسون في الإحداثيات الكروية . ضمن جسم كروي منتظم نصف قطره R وكثافته ρ وكتلته m ، تتغير قوة الجاذبية g داخل الكرة خطيًا مع المسافة r من المركز، مما يعطي جهد الجاذبية داخل الكرة، وهو ^{[ 7 ] [ 8 ].}$${\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}$$ والتي ترتبط بشكل تفاضلي بالدالة الكامنة للجزء الخارجي من الكرة (انظر الشكل في الأعلى).

في النسبية العامة ، يُستبدل الجهد التثاقلي بموتر القياس . عندما يكون مجال الجاذبية ضعيفًا وتتحرك المصادر ببطء شديد مقارنة بسرعة الضوء، تختزل النسبية العامة إلى جاذبية نيوتن، ويمكن توسيع موتر القياس بدلالة الجهد التثاقلي. ^{[ 9 ]}

الجهد عند النقطة x يُعطى بالعلاقة التالية $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}$$

يمكن توسيع الجهد في سلسلة من كثيرات حدود ليجندر . مثّل النقطتين x و r كمتجهات موضع بالنسبة لمركز الكتلة . يُعبّر عن المقام في التكامل بالجذر التربيعي للمربع، مما يعطي $${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac) {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$ حيث في التكامل الأخير، r = | r | و θ هي الزاوية بين x و r .

(انظر §  الصيغة الرياضية ). يمكن توسيع الدالة التكاملية كمتسلسلة تايلور في Z = r / | x | ، عن طريق حساب المعاملات صراحةً. وهناك طريقة أسهل لتحقيق النتيجة نفسها وهي استخدام نظرية ذات الحدين المعممة . ^{[ 10 ]} المتسلسلة الناتجة هي الدالة المولدة لكثيرات حدود ليجندر. $${\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)}$$ صحيحٌ عندما تكون | X | ≤ 1 و | Z | < 1. المعاملات P_{_n} هي كثيرات حدود ليجندر من الدرجة n . بالتالي، تُعطى معاملات تايلور للدالة التكاملية بكثيرات حدود ليجندر في X = cos θ . لذا، يمكن توسيع الجهد في متسلسلة متقاربة للمواضع x التي تحقق r < | x | لجميع عناصر كتلة النظام (أي خارج كرة مركزها مركز الكتلة، تُحيط بالنظام). $${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$ التكامل${\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}$يمثل هذا المركب مركز الكتلة في اتجاه المحور السيني ؛ وهو يساوي صفرًا لأن المتجه السيني ينطلق من مركز الكتلة. لذا، فإن وضع التكامل تحت إشارة المجموع يعطي $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }$$

يُظهر هذا أن استطالة الجسم تُسبب جهدًا أقل في اتجاه الاستطالة، وجهدًا أعلى في الاتجاهات العمودية، مقارنةً بالجهد الناتج عن كتلة كروية، إذا قارنا الحالات التي لها نفس المسافة إلى مركز الكتلة. (أما إذا قارنا الحالات التي لها نفس المسافة إلى السطح ، فإن العكس صحيح).

وحدة قياس طاقة الجاذبية في النظام الدولي للوحدات هي المتر المربع لكل ثانية مربعة (م² ^/ ث² ⁾ ، أو ما يعادلها، الجول لكل كيلوغرام (ج/كغ). يوضح الجدول التالي القيمة المطلقة لطاقة الجاذبية في عدد من المواقع بالنسبة لكتلة الأرض والشمس ومجرة درب التبانة ؛ أي أن جسمًا على سطح الأرض يحتاج إلى 60  ميغا جول/كغ "للخروج" من مجال جاذبية الأرض ، و900  ميغا جول/كغ أخرى للخروج من مجال جاذبية الشمس، وأكثر من 130  غيغا جول/كغ للخروج من مجال جاذبية مجرة ​​درب التبانة. وتُساوي طاقة الجاذبية نصف مربع سرعة الإفلات .

قارن الجاذبية في هذه المواقع .

• تطبيقات كثيرات حدود ليجندر في الفيزياء
• المعامل القياسي للجاذبية ( GM )
• الجيود
• الجهد الجيوديناميكي
• نموذج الجهد الجيوديسي