الفجوة الرئيسية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 58 صور
الموسوعة الحرة

الفجوة الأولية هي الفرق بين عددين أوليين متتاليين .ن{\displaystyle n}الفجوة الأولية رقم -th، ويرمز لها بـزن{\displaystyle g_{n}}أوز(صن){\displaystyle g(p_{n})}الفرق بين(ن+1){\displaystyle (n+1)}ون{\displaystyle n}الأعداد الأولية رقم -، أي

زن=صن+1-صن{\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}

على سبيل المثال، بما أن الأعداد الأولية القليلة الأولى هي 2، 3، 5، 7، 11...، فلديناز1=1{\displaystyle g_{1}=1}،ز2=ز3=2{\displaystyle g_{2}=g_{3}=2}،ز4=4{\displaystyle g_{4}=4}التسلسل​زن{\displaystyle g_{n}}لقد تمت دراسة الفجوات الأولية على نطاق واسع؛ ومع ذلك، لا تزال العديد من الأسئلة والتخمينات بلا إجابة.

أول 60 فجوة أولية هي:

1، 2، 2، 4، 2، 4، 2، 4، 6، 2، 6، 4، 2، 4، 6، 6، 2، 6، 4، 2، 6، 4، 6، 8، 4، 2، 4، 2، 4، 14، 4، 6، 2، 10، 2، 6، 6، 4، 6، 6، 2، 10، 2، 4، 2، 12، 12، 4، 2، 4، 6، 2، 10، 6، 6، 6، 2، 6، 4، 2، ... (التسلسل A001223 في OEIS ) .

بحسب تعريفزن{\displaystyle g_{n}}يمكن كتابة كل عدد أولي على النحو التالي:

صن+1=2+∑أنا=1نزأنا.{\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.}

ملاحظات بسيطة

أول فجوة، وأصغرها، والوحيدة بين الأعداد الأولية الفردية هي الفجوة التي يبلغ طولها 1 بين 2، وهو العدد الأولي الزوجي الوحيد ، و3، وهو أول عدد أولي فردي. جميع الفجوات الأخرى بين الأعداد الأولية زوجية. يوجد زوج واحد فقط من الفجوات المتتالية التي يبلغ طولها 2: الفجواتز2{\displaystyle g_{2}}وز3{\displaystyle g_{3}}بين الأعداد الأولية 3 و 5 و 7.

لأي عدد صحيحن{\displaystyle n}، المضروبن!{\displaystyle n!}هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى (بما في ذلك)ن{\displaystyle n}ثم في التسلسل

ن!+2،ن!+3،...،ن!+ن،{\displaystyle n!+2,\;n!+3,\;\ldots ,\;n!+n,}

الحد الأول يقبل القسمة على 2، والحد الثاني يقبل القسمة على 3، وهكذا. بالتالي، هذه متتالية من n − 1 عددًا صحيحًا مركبًا متتاليًا ، ويجب أن تنتمي إلى فجوة بين أعداد أولية طولها على الأقلن{\displaystyle n}ويترتب على ذلك وجود فجوات بين الأعداد الأولية كبيرة بشكل تعسفي، أي لأي عدد صحيحشمال{\displaystyle N}يوجد عدد صحيحم{\displaystyle m}معزم≥شمال{\displaystyle g_{m}\geq N}.

ومع ذلك، فإن الفجوات الرئيسية لـن{\displaystyle n}يمكن أن تظهر الأرقام بأعداد أصغر بكثير منن!{\displaystyle n!}على سبيل المثال، تحدث أول فجوة أولية بحجم أكبر من 14 بين العددين الأوليين 523 و 541، بينما 15! هو العدد الأكبر بكثير 1307674368000.

يزداد متوسط ​​الفجوة بين الأعداد الأولية مع ازدياد اللوغاريتم الطبيعي لهذه الأعداد، وبالتالي تتناقص نسبة الفجوة بين الأعداد الأولية إلى الأعداد الأولية المعنية (وتقترب من الصفر). هذه نتيجة لنظرية الأعداد الأولية . من منظور استدلالي، نتوقع أن تكون احتمالية أن تكون نسبة طول الفجوة إلى اللوغاريتم الطبيعي أكبر من أو تساوي عددًا موجبًا ثابتًا.ك{\displaystyle k}يكونهـ-ك{\displaystyle e^{-k}}وبالتالي، يمكن أن تكون النسبة كبيرة بشكل تعسفي. في الواقع، تزداد نسبة الفجوة إلى عدد أرقام الأعداد الصحيحة المعنية بلا حدود. هذه نتيجة لنتيجة توصل إليها ويستزينثيوس. [ 1 ]

وفي الاتجاه المعاكس، تفترض فرضية الأعداد الأولية المزدوجة أنزن=2{\displaystyle g_{n}=2}لعدد لا نهائي من الأعداد الصحيحةن{\displaystyle n}.

النتائج العددية

عادةً ما تكون النسبة زن/(ln⁡صن){\displaystyle g_{n}/(\ln p_{n})}يُطلق عليه اسم جدارة الفجوةزن{\displaystyle g_{n}}بشكل غير رسمي، ميزة الفجوةزن{\displaystyle g_{n}}يمكن اعتبارها نسبة حجم الفجوة مقارنة بمتوسط ​​أحجام الفجوات الأولية في جوارصن{\displaystyle p_{n}}.

يبلغ طول أكبر فجوة أولية معروفة ذات نهايات محتملة محددة للفجوة الأولية16045848 ، مع​تم اكتشاف 385713 عددًا أوليًا محتملًا، بقيمة جدارة M = 18067 ، بواسطة أندرياس هوغلوند في مارس 2024. [ 2 ] أكبر فجوة معروفة بين الأعداد الأولية، والتي تم تحديد أعداد أولية مثبتة كنهايات لها، يبلغ طولها1 113 106 و 25.90، معتم اكتشاف 18662 عددًا أوليًا مكونًا من 18 رقمًا بواسطة P. Cami و M. Jansen و JK Andersen. [ 3 ] [ 4 ]

اعتبارًا من مايو 2026 ، وهي أكبر قيمة جدارة معروفة وأول قيمة جدارة تزيد عن 40، كما اكتشفتها شبكة Gapcoin ، هي 41.93878373 مع العدد الأولي المكون من 87 رقمًا 2​9​3​7​0​3​2​3​4​0​6​8​0​2​2​5​9​0​1​5​8​7​2​3​7​6​6​1​0​4​4​1​9​4​6​3​4​2​5​7​0​9​0​7​5​5​7​4​8​1​1​7​6​2​0​9​8​5​8​8​7​9​8​2​1​7​8​9​5​7​2​8​8​5​8​6​7​6​7​2​8​1​4​3​2​2​7 . الفجوة الأولية بينه وبين العدد الأولي التالي هي 8350. [ 5 ] [ 6 ]

أكبر قيم الجدارة المعروفة ( حتى مايو 2026)) [ 7 ]
استحقاقg nأرقامpn​تاريخمكتشف
41.938 7848350 87انظر أعلاه2017جابكوين
40.246 8421854 21انظر أدناه2026روبرت سميث
39.620 15415900 1753 483 347 771 × 409 # / 30 − 70162017دانا جاكوبسن
38.512 21514496 1641 361 120 900 593 121 * 373# / 210 - 65022021كريج لويزيدس
38.466 73958044 6561 162 803 953 * 1549# / 46410 - 326322024روبرت سميث

نسبة كرامر-شانكس-غرانفيل هي النسبةزن/(ln⁡صن)2{\displaystyle g_{n}/(\ln p_{n})^{2}}[ 5 ] إذا استبعدنا القيم المرتفعة بشكل غير طبيعي للنسبة للأعداد الأولية 2 و3 و7، فإن أعلى قيمة معروفة لهذه النسبة هي 0.9206386 للعدد الأولي 1693182318746371. وللمقارنة، فإن الفجوة التي اكتشفتها شبكة Gapcoin (بجدارة 41.9) لها نسبة كرامر-شانكس-غرانفيل تبلغ 0.2058791 فقط. يمكن العثور على مصطلحات قياسية أخرى في OEIS : A111943  .

نقول ذلكزن{\displaystyle g_{n}}تُعتبر فجوة قصوى ، إذازم<زن{\displaystyle g_{m}<g_{n}}للجميعم<ن{\displaystyle m<n}اعتبارًا من مايو 2026 أكبر فجوة معروفة بين الأعداد الأولية يبلغ طولها 1854، وقد اكتشفها روبرت سميث باستخدام برنامج من تطوير برايان كيريج. وهي الفجوة رقم 85 بين الأعداد الأولية، وتأتي بعد العدد الأولي 101412319996363309069. [ 8 ] يمكن العثور على أحجام فجوات قياسية أخرى (قصوى) في قاعدة بيانات OEIS : A005250  ، مع الأعداد الأولية المقابلة.صن{\displaystyle p_{n}}في OEIS : A002386  ، وقيمن{\displaystyle n}في OEIS : A005669  . تسلسل الفجوات القصوى حتىن{\displaystyle n}يُعتقد أن العدد الأولي رقم -th يمتلك حوالي2ln⁡ن{\displaystyle 2\ln n}الشروط. [ 9 ]

الفجوات الأولية القصوى المعروفة البالغ عددها 85
الفجوات من 1 إلى 29
8g npn​ن
1121
2232
3474
46239
588924
61411330
71852399
820887154
9221129189
10341327217
113695511183
124415,6831831
135219,6092225
147231,3973385
1586155,92114357
1696360,65330802
17112370,26131,545
18114492,11340,933
191181,349,533103,520
201321,357,201104,071
211482,010,733149,689
221544,652,353325,852
2318017,051,7071,094,421
2421020,831,3231,319,945
2522047,326,6932,850,174
26222122,164,7476,957,876
27234189,695,65910,539,432
28248191,912,78310,655,462
29250387,096,13320,684,332
الفجوات من 30 إلى 58
8g npn​ن
30282436,273,00923,163,298
312881,294,268,49164,955,634
322921,453,168,14172,507,380
333202,300,942,549112,228,683
343363,842,610,773182,837,804
353544,302,407,359203,615,628
3638210,726,904,659486,570,087
3738420,678,048,297910,774,004
3839422,367,084,959981,765,347
3945625,056,082,0871,094,330,259
4046442,652,618,3431,820,471,368
41468127,976,334,6715,217,031,687
42474182,226,896,2397,322,882,472
43486241,160,624,1439,583,057,667
44490297,501,075,79911,723,859,927
45500303,371,455,24111,945,986,786
46514304,599,508,53711,992,433,550
47516416,608,695,82116,202,238,656
48532461,690,510,01117,883,926,781
49534614,487,453,52323,541,455,083
50540738,832,927,92728,106,444,830
515821,346,294,310,74950,070,452,577
525881,408,695,493,60952,302,956,123
536021,968,188,556,46172,178,455,400
546522,614,941,710,59994,906,079,600
556747,177,162,611,713251,265,078,335
5671613,829,048,559,701473,258,870,471
5776619,581,334,192,423662,221,289,043
5877842,842,283,925,3511,411,461,642,343
الفجوات من 59 إلى 85
8g npn​ن
5980490,874,329,411,4932,921,439,731,020
60806171,231,342,420,5215,394,763,455,325
61906218,209,405,436,5436,822,667,965,940
629161,189,459,969,825,48335,315,870,460,455
639241,686,994,940,955,80349,573,167,413,483
6411321,693,182,318,746,37149,749,629,143,526
65118443,841,547,845,541,0591,175,661,926,421,598
66119855,350,776,431,903,2431,475,067,052,906,945
67122080,873,624,627,234,8492,133,658,100,875,638
681224203,986,478,517,455,9895,253,374,014,230,870
691248218,034,721,194,214,2735,605,544,222,945,291
701272305,405,826,521,087,8697,784,313,111,002,702
711328352,521,223,451,364,3238,952,449,214,971,382
721356401,429,925,999,153,70710,160,960,128,667,332
731370418,032,645,936,712,12710,570,355,884,548,334
741442804,212,830,686,677,66920,004,097,201,301,079
7514761,425,172,824,437,699,41134,952,141,021,660,495
7614885,733,241,593,241,196,731135,962,332,505,694,894
7715106,787,988,999,657,777,797160,332,893,561,542,066
78152615,570,628,755,536,096,243360,701,908,268,316,580
79153017,678,654,157,568,189,057408,333,670,434,942,092
80155018,361,375,334,787,046,697423,731,791,997,205,041
81155218,470,057,946,260,698,231426,181,820,436,140,029
82157218,571,673,432,051,830,099428,472,240,920,394,477
83167620,733,746,510,561,442,863477,141,032,543,986,017
84172468,068,810,283,234,182,9071,524,717,378,371,224,128
851854101,412,319,996,363,309,0692,251,483,061,895,611,799

نتائج إضافية

الحدود العليا

تنص مسلمة برتراند ، التي تم إثباتها عام 1852، على أنه يوجد دائمًا عدد أولي بينك{\displaystyle k}و2ك{\displaystyle 2k}(لكل k ≥ 2)، لذلك على وجه الخصوصصن+1<2صن{\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}وهذا يعنيزن<صن{\displaystyle g_{n}<p_{n}}.

تنص نظرية الأعداد الأولية ، التي تم إثباتها عام 1896، على أن متوسط ​​طول الفجوة بين عدد أوليص{\displaystyle p}وسيقترب العدد الأولي التالي بشكل مقاربln⁡ص{\displaystyle \ln p}، اللوغاريتم الطبيعي لـص{\displaystyle p}بالنسبة للأعداد الأولية الكبيرة بما فيه الكفاية. قد يكون الطول الفعلي للفجوة أكبر أو أصغر بكثير من ذلك. ومع ذلك، يمكن استنتاج من نظرية الأعداد الأولية أن الفجوات تصغر بشكل تعسفي بما يتناسب مع الأعداد الأولية: ناتج القسمة

ليمن→∞زنصن=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}

بمعنى آخر (بحسب تعريف النهاية )، لكلε>0{\displaystyle \varepsilon >0}هناك عددشمال{\displaystyle N}بحيث يكون ذلك لجميعن>شمال{\displaystyle n>N}،

زن<صنε{\displaystyle g_{n}<p_{n}\varepsilon }

كان هوهيزل (1930) أول من أظهر [ 10 ] اعتمادًا شبه خطي؛ أي أن هناك ثابتًاθ<1{\displaystyle \theta <1}بحيث

π(x+xθ)-π(x)∼xθسجل⁡x مثل x→∞،{\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log x}}{\text{ as }}x\to \infty ,}

وبالتالي يظهر أنه بالنسبة لحجم كبير بما فيه الكفايةن{\displaystyle n}،

زن<صنθ{\displaystyle g_{n}<{p_{n}}^{\theta }}

حصل هوهيزل على القيمة المحتملة 32999/33000 لـθ{\displaystyle \theta }وقد تم تحسين ذلك إلى 249/250 بواسطة هايلبرون ، [ 11 ] وإلىθ=3/4+ε{\displaystyle \theta =3/4+\varepsilon }، لأيε>0{\displaystyle \varepsilon >0}، بقلم تشوداكوف . [ 12 ]

يعود الفضل في التحسن الكبير إلى إنجام ، [ 13 ] الذي أظهر أنه بالنسبة لبعض الثوابت الموجبة c ،

لوζ(1/2+أنات)=يا(تج){\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}ثمπ(x+xθ)-π(x)∼xθسجل⁡x{\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log x}}}لأيθ>(1+4ج)/(2+4ج).{\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}

هنا، يشير الرمز O إلى ترميز Big O ، و ζ إلى دالة زيتا لريمان ، و π إلى دالة عد الأعداد الأولية . وبمعرفة أن أي قيمة لـ c أكبر من 1/6 مقبولة، نستنتج أن θ يمكن أن تكون أي عدد أكبر من 5/8.

بما أن 5/8 + ε < 2/3، والمسافة بين المكعبات المتتالية من رتبةن2/3{\displaystyle n^{2/3}}وبناءً على ذلك ، يوجد دائمًا عدد أولي بين n³ و ( n + 1) ³ ، إذا كان n كبيرًا بما فيه الكفاية. [ 14 ] في عام 2016، قدم دوديك صيغة صريحة لنتيجة إنجام: توجد أعداد أولية بين المكعبات المتتالية لجميعن>هـهـ33.217≈1.01⋅10115809466034000{\displaystyle n>e^{e^{33.217}}\approx 1.01\cdot 10^{115809466034000}}[ 15 ]​

تفترض فرضية ليندلوف أن صيغة إنجام صحيحة لأي عدد موجب c ، ولكن حتى هذا لا يكفي للاستدلال على وجود عدد أولي بين n² و ( n +1) ² عندما يكون n كبيرًا بما فيه الكفاية (انظر حدسية ليجندر ). وللتحقق من ذلك، يلزم وجود نتيجة أقوى مثل حدسية كرامر .

أظهر هكسلي في عام 1972 أنه يمكن للمرء اختيار θ = 7/12 = 0.58 3 . [ 16 ]

أظهرت نتيجة توصل إليها بيكر وهارمان وبينتز في عام 2001 أن قيمة θ يمكن اعتبارها 0.525. [ 17 ]

يصف ما سبق حدود جميع الفجوات؛ ومن المجالات الأخرى ذات الأهمية الحد الأدنى لحجم الفجوة. تفترض فرضية الأعداد الأولية المزدوجة وجود عدد أكبر من الفجوات ذات الحجم 2، لكنها لا تزال غير مثبتة. في عام 2005، أثبت دانيال غولدستون ويانوس بينتز وجيم يلدريم ذلك.

الحد الأقصى غير محدودن→∞زنسجل⁡صن=0{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}

وبعد عامين، تم تحسين هذا [ 18 ] إلى

الحد الأقصى غير محدودن→∞زنسجل⁡صن(سجل⁡سجل⁡صن)2<∞.{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}

في عام 2013، أثبت ييتانغ تشانغ أن

الحد الأقصى غير محدودن→∞زن<7⋅107،{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}

بمعنى أن هناك عددًا لا نهائيًا من الفجوات التي لا تتجاوز 70 مليونًا. [ 19 ] نجح مشروع Polymath، بجهوده التعاونية لتحسين حد تشانغ، في خفض الحد إلى 4680 في 20 يوليو 2013. [ 20 ] في نوفمبر 2013، قدم جيمس ماينارد تحسينًا جديدًا لغربال GPY ، مما سمح له بخفض الحد إلى 600 ، وإثبات أن الفجوات بين الأعداد الأولية التي تفصل بينها مسافة m محدودة لجميع قيم m . أي أنه لأي قيمة m ، يوجد حد Δm بحيث يكون pn + m − pn ≤ Δm لعدد لا نهائي من قيم n . [ 21 ] باستخدام أفكار ماينارد، حسّن مشروع Polymath الحد إلى 246؛ [ 20 ] [ 22 ] بافتراض حدسية إليوت-هالبرستام وصيغتها المعممة ، انخفض الحد إلى 12 و6 على التوالي. [ 20 ]

الحدود الدنيا

في عام 1931، أثبت إريك ويستزينثيوس أن الفجوات الأولية القصوى تنمو بأكثر من النمو اللوغاريتمي. أي أن [ 1 ]

ليم سوبن→∞زنسجل⁡صن=∞.{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}

في عام 1938، أثبت روبرت رانكين وجود ثابت c > 0 بحيث تكون المتباينة

زن>ج سجل⁡ن سجل⁡سجل⁡ن سجل⁡سجل⁡سجل⁡سجل⁡ن(سجل⁡سجل⁡سجل⁡ن)2{\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}

ينطبق هذا على عدد لا نهائي من قيم n ، مما يحسن نتائج ويستزينثيوس وبول إردوش . وقد أظهر لاحقًا أنه يمكن اختيار أي ثابت c < e γ ، حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني . تم تحسين قيمة الثابت c في عام 1997 لتشمل أي قيمة أقل من 2 e γ . [ 23 ]

عرض بول إيردوس جائزة قدرها 10,000 دولار أمريكي لمن يثبت أو ينفي إمكانية اختيار قيمة كبيرة للثابت c في المتباينة المذكورة أعلاه. [ 24 ] وقد ثبتت صحة ذلك في عام 2014 من قبل فورد-غرين-كونياغين-تاو، وبشكل مستقل من قبل جيمس ماينارد. [ 25 ] [ 26 ]

وقد تحسنت النتيجة أكثر إلى

زن>ج سجل⁡ن سجل⁡سجل⁡ن سجل⁡سجل⁡سجل⁡سجل⁡نسجل⁡سجل⁡سجل⁡ن{\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}

لعدد لا نهائي من قيم n بواسطة فورد-جرين-كونياجين-ماينارد-تاو. [ 27 ]

على غرار جائزة إردوش الأصلية، عرض تيرينس تاو مبلغ 10000 دولار أمريكي لإثبات أنه يمكن اختيار قيمة c كبيرة بشكل تعسفي في هذه المتباينة. [ 28 ]

تم تحديد الحدود الدنيا لسلاسل الأعداد الأولية أيضًا. [ 29 ]

تخمينات حول الفجوات بين الأعداد الأولية

كما هو موضح أعلاه ، فإن أفضل حد مثبت لأحجام الفجوات هو g n < p n 0.525 (لـ n كبير بما فيه الكفاية؛ لا نهتم بـ 5 − 3 > 3 0.525 أو 29 − 23 > 23 0.525 )، ولكن لوحظ أن حتى الفجوات القصوى أصغر بكثير من ذلك، مما يؤدي إلى وفرة من التخمينات غير المثبتة.

تفترض المجموعة الأولى أنه يمكن اختزال الأس إلى θ = 0.5 .

كل من تخمين ليجندر القائل بوجود عدد أولي دائمًا بين مربعين كاملين متتاليين ، وتخمين أندريكا القائل بأن الفرق بين الجذرين التربيعيين لأعداد أولية متتالية محدود بـ 1 [ 30 ] يستلزمان أن

زن<2صن.{\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}.}

يُقدّم تخمين أوبيرمان ادعاءً أقوى مفاده أنه بالنسبة لقيمة n كبيرة بما فيه الكفاية (ربما n ≥ 31 )،

زن<صن.{\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}

كل هذه الأمور لا تزال غير مثبتة. اقترب هارالد كرامر من إثبات ذلك، حيث أثبت [ 31 ] أن فرضية ريمان تستلزم أن الفجوة g n تحقق

زن=يا(صنسجل⁡صن)،{\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}

باستخدام ترميز Big O. (في الواقع، لا تتطلب هذه النتيجة سوى فرضية ليندلوف الأضعف ، إذا كان بإمكان المرء تحمل أس أكبر بشكل متناهي الصغر من 1/2. [ 32 ] )

كما أثبت دوديك نسخة صريحة من نتيجة كرامر (بافتراض فرضية ريمان أيضًا) وهي، بالنسبة لجميع قيم n ≥ 2،

زن<4πصنسجل⁡صن{\displaystyle g_{n}<{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}}

دالة الفجوة الأولية

كما أشار دوديك، بالنسبة لقيم n الكبيرة بما فيه الكفاية ، يمكن تقليل الثابت4/π{\displaystyle 4/\pi }أن يكون أي ثابت أكبر من 1.

في المقال نفسه، افترض كريمر أن الفجوات أصغر بكثير. وبصورة تقريبية، ينص افتراض كريمر على أن

زن=يا((سجل⁡صن)2)،{\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right)\!,}

معدل نمو متعدد اللوغاريتمات أبطأ من أي أس θ > 0 .

كان نموذج كرامر، الذي استند إليه في وضع التخمين، مبسطًا للغاية (بافتراض أن بعض الأحداث مستقلة إحصائيًا بينما هي تابعة) وبالتالي لم يكن دقيقًا جدًا (انظر تخمين كرامر )، ولكن بعد مزيد من التحقيقات، تم العثور على طرق استدلالية جديدة أصبحت دليلًا قويًا على صحة التخمين.

بما أن هذا يتوافق مع معدل النمو الملحوظ للفجوات الأولية، فهناك عدد من التخمينات المماثلة. تخمين فيروزبخت أقوى قليلاً، حيث ينص على أن p n 1/ n دالة متناقصة تمامًا لـ n ، أي، لجميع n ≥ 1،

(صن+1)1/(ن+1)<(صن)1/ن{\displaystyle (p_{n+1})^{1/(n+1)}<(p_{n})^{1/n}}

إذا كانت هذه الفرضية صحيحة، فإن g n < (log p n ) 2 − log p n − 1 لجميع n ≥ 10. [ 33 ] [ 34 ] وهذا يستلزم شكلاً قوياً من فرضية كرامر، ولكنه يتعارض مع الاستدلالات التي وضعها جرانفيل وبينتز ، [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] والتي تشير إلى أن g n > (2 − ϵ ) e − γ (log p n ) 2 > (1.1229 − ϵ )(log p n ) 2 بشكل لا نهائي لأي ϵ > 0 ، حيث γ يرمز إلى ثابت أويلر-ماسكيروني .

تنصّ حدسية بولينياك على أن كل عدد زوجي موجب k يظهر كفجوة بين الأعداد الأولية عددًا لا نهائيًا من المرات. وتُعرف الحالة k  =  2 بحدسية الأعداد الأولية التوأم . لم تُثبت هذه الحدسية أو تُدحض بعد لأي قيمة محددة لـ k ، لكن التحسينات التي أُدخلت على نتيجة تشانغ، والتي نوقشت أعلاه، تُثبت صحتها لقيمة واحدة على الأقل (غير معروفة حاليًا) لـ k ≤ 246.   

كدالة حسابية

الفرق g<sub> n</sub> بين العددين الأوليين n و ( n  + 1) هو مثال على دالة حسابية . في هذا السياق، يُرمز لها عادةً بالرمز d <sub>n </sub> وتُسمى دالة الفرق بين الأعداد الأولية. [ 30 ] هذه الدالة ليست ضربية ولا جمعية .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 Westzynthius, E. (1931)، “Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind”، Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (في الألمانية)، 5 : 1– 37، JFM 57.0186.02 ، Zbl 0003.24601  .
  2. ↑ ATH (11 مارس 2024). "إعلان على Mersenneforum.org" . Mersenneforum.org . مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2024.
  3. ↑ أندرسن، ينس كروز. "فجوات أولية في العشرينيات" . مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 13 يونيو 2014 .
  4. ↑ أندرسن، ينس كروز (8 مارس 2013). "فجوة ضخمة بقيمة 25.9" . primerecords.dk . مؤرشف من الأصل في 25 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 29 سبتمبر 2022 .
  5. 1 2 نايسلي، توماس ر. (2019). "فجوة أولية جديدة ذات جدارة معروفة قصوى" . faculty.lynchburg.edu . مؤرشف من الأصل في 30 أبريل 2021. تم الاسترجاع في 29 سبتمبر 2022 .
  6. ↑ "برايم جاب ريكوردز" . جيت هاب . 11 يونيو 2022.
  7. ↑ "أفضل 20 ميزة شاملة" . قائمة برايم جاب . مؤرشف من الأصل في 23 مايو 2026. تم الاسترجاع في 23 مايو 2026 .
  8. ↑ أندرسن، ينس كروز. "فجوات قياسية في الأعداد الأولية" . تم الاطلاع عليه في 10 أكتوبر 2024 .
  9. ↑ كورباتوف، أ.؛ وولف، م. (2020). "حول أولى حالات ظهور الفجوات بين الأعداد الأولية في فئة البواقي" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 23 (المقال 20.9.3). arXiv : 2002.02115 . MR 4167933. S2CID 211043720. Zbl 1444.11191 . مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2021. تم الاسترجاع في 3 ديسمبر 2020 .   
  10. ^ هوهيسل، ج. (1930). "Primzahlprobleme in der Analysis". Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin . 33 : 3 – 11. جي اف ام 56.0172.02 . 
  11. ^ هايلبرون، ها (1933). "Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel". الرياضيات Zeitschrift . 36 (1): 394-423 . دوى : 10.1007 / BF01188631 . جي اف ام 59.0947.01 . S2CID 123216472 .  
  12. ↑ تشوداكوف، ن.ج. (1936). "حول الفرق بين عددين أوليين متجاورين". مات. سب . 1 : 799-814 . Zbl 0016.15502 . 
  13. ↑ إنجام، أ. إي. (1937). "حول الفرق بين الأعداد الأولية المتتالية". المجلة الفصلية للرياضيات . سلسلة أكسفورد. 8 (1): 255-266 . Bibcode : 1937QJMat...8..255I . doi : 10.1093/qmath/os-8.1.255 .
  14. ↑ تشنغ، يوان-يو فو-روي (2010). " تقدير صريح للأعداد الأولية بين المكعبات المتتالية". مجلة روكي ماونتن للرياضيات 40 : 117-153 . arXiv : 0810.2113 . doi : 10.1216 /rmj-2010-40-1-117 . S2CID 15502941. Zbl 1201.11111 .  
  15. ↑ دوديك، أدريان (17 يناير 2014)، نتيجة صريحة للأعداد الأولية بين المكعبات ، arXiv : 1401.4233
  16. ↑ هكسلي، م. ن. (1972). "حول الفرق بين الأعداد الأولية المتتالية" . Inventiones Mathematicae . 15 (2): 164–170 . Bibcode : 1971InMat..15..164H . doi : 10.1007/BF01418933 . S2CID 121217000 . 
  17. ↑ بيكر، آر سي؛ هارمان، جي؛ بينتز، جيه (2001). "الفرق بين الأعداد الأولية المتتالية، الجزء الثاني" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الرياضية بلندن . 83 (3): 532-562 . CiteSeerX 10.1.1.360.3671 . doi : 10.1112/plms/83.3.532 . S2CID 8964027 .  
  18. ^ غولدستون، دانيال أ. بينتز، يانوس؛ يلدريم، جيم يالتشين (2010). “الأعداد الأولية في Tuples II”. اكتا ماثيماتيكا . 204 (1): 1– 47. أرخايف : 0710.2728 . دوى : 10.1007/s11511-010-0044-9 . S2CID 7993099 . 
  19. ↑ تشانغ، ييتانغ (2014). "الفجوات المحدودة بين الأعداد الأولية" . حوليات الرياضيات . 179 (3): 1121-1174 . doi : 10.4007/annals.2014.179.3.7 . MR 3171761 . 
  20. 1 2 3 "الفجوات المحدودة بين الأعداد الأولية" . موسوعة الرياضيات. مؤرشف من الأصل في 28 فبراير 2020. تم الاطلاع عليه في 21 يوليو 2013 .
  21. ↑ ماينارد، جيمس (يناير 2015). "فجوات صغيرة بين الأعداد الأولية" . حوليات الرياضيات . 181 (1): 383-413 . arXiv : 1311.4600 . doi : 10.4007 / annals.2015.181.1.7 . MR 3272929. S2CID 55175056 .  
  22. ↑ DHJ Polymath (2014). " متغيرات غربال سيلبرغ، وفترات محدودة تحتوي على العديد من الأعداد الأولية" . بحث في العلوم الرياضية . 1 (12) 12. arXiv : 1407.4897 . doi : 10.1186/s40687-014-0012-7 . MR 3373710. S2CID 119699189 .  
  23. ↑ بينتز، ج. (1997). "فجوات كبيرة جدًا بين الأعداد الأولية المتتالية" . مجلة نظرية الأعداد . 63 (2): 286-301 . doi : 10.1006/jnth.1997.2081 .
  24. ^ اردوس، بول؛ بولوباس، بيلا؛ توماسون، أندرو، محرران. (1997). التوافقيات والهندسة والاحتمالات: تحية لبول إردوس . مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 1. رقم ISBN  9780521584722أُرشف من المصدر الأصلي في 29 سبتمبر 2022. تم الاطلاع عليه في 29 سبتمبر 2022 .
  25. ↑ فورد، كيفن؛ غرين، بن؛ كونياغين، سيرجي؛ تاو، تيرينس (2016). "فجوات كبيرة بين الأعداد الأولية المتتالية". حوليات الرياضيات 183 (3): 935-974 . arXiv : 1408.4505 . doi : 10.4007/annals.2016.183.3.4 . MR 3488740. S2CID 16336889 .  
  26. ↑ ماينارد، جيمس (2016). "فجوات كبيرة بين الأعداد الأولية". حوليات الرياضيات 183 (3): 915-933 . arXiv : 1408.5110 . doi : 10.4007/annals.2016.183.3.3 . MR 3488739. S2CID 119247836 .  
  27. ↑ فورد، كيفن؛ غرين، بن؛ كونياغين، سيرجي؛ ماينارد، جيمس؛ تاو، تيرينس (2018). "فجوات طويلة بين الأعداد الأولية". مجلة الجمعية الأمريكية للرياضيات 31 (1): 65-105 . arXiv : 1412.5029 . doi : 10.1090/jams/876 . MR 3718451. S2CID 14487001 .  
  28. ↑ تاو، تيرينس (16 ديسمبر 2014). "فجوات طويلة بين الأعداد الأولية / ما الجديد" . مؤرشف من الأصل في 9 يونيو 2019. تم الاطلاع عليه في 29 أغسطس 2019 .
  29. ↑ فورد، كيفن؛ ماينارد، جيمس؛ تاو، تيرينس (13 أكتوبر 2015). "سلاسل من الفجوات الكبيرة بين الأعداد الأولية". arXiv : 1511.04468 [ math.NT ].
  30. 1 2 جاي (2004) §A8
  31. ↑ كرامر، هارالد (1936). "حول رتبة مقدار الفرق بين الأعداد الأولية المتتالية" . أكتا أريثميتيكا . 2 : 23-46 . doi : 10.4064/aa-2-1-23-46 .
  32. ↑ إنجام، ألبرت إي. (1937). "حول الفرق بين الأعداد الأولية المتتالية" (ملف PDF) . المجلة الفصلية للرياضيات . 8 (1). أكسفورد: 255-266 . رمز Bibcode : 1937QJMat...8..255I . doi : 10.1093/qmath/os-8.1.255 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 5 ديسمبر 2022.
  33. ↑ سينها، نيلوتبال كانتي (2010). "حول خاصية جديدة للأعداد الأولية تؤدي إلى تعميم حدسية كرامر". arXiv : 1010.1399 [ math.NT ].
  34. ↑ كورباتوف، أليكسي (2015). "الحدود العليا للفجوات الأولية المتعلقة بتخمين فيروزبخت". مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 18 (11) 15.11.2. arXiv : 1506.03042 .
  35. ↑ جرانفيل، أندرو (1995). "هارالد كرامر وتوزيع الأعداد الأولية" (ملف PDF) . المجلة الإسكندنافية للعلوم الاكتوارية . 1 : 12-28 . CiteSeerX 10.1.1.129.6847 . doi : 10.1080/03461238.1995.10413946 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 23 سبتمبر 2015. تم الاطلاع عليه في 2 مارس 2016 . .
  36. ↑ جرانفيل، أندرو (1995). "شذوذات غير متوقعة في توزيع الأعداد الأولية" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات . المجلد 1. الصفحات 388-399 . doi : 10.1007/978-3-0348-9078-6_32 . ISBN   978-3-0348-9897-3تمت أرشفة الملف (PDF) من النسخة الأصلية في 7 مايو 2016. تم الاطلاع عليه في 2 مارس 2016 ..
  37. ^ بينتز ، يانوس (سبتمبر 2007). "كرامر مقابل كرامر: في نموذج كرامر الاحتمالي للأعداد الأولية" . الوظائف والتعليقات التقريبية للرياضيات . 37 (2): 232– 471. دوى : 10.7169/facm/1229619660 .

للمزيد من القراءة