الدائرة المغناطيسية

في الدوائر الكهربائية، يمثل قانون أوم علاقة تجريبية بين القوة الدافعة الكهربائية${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ يتم تطبيقها على عنصر والتيار${\displaystyle I}$يتم توليدها من خلال هذا العنصر. وتُكتب على النحو التالي: $${\displaystyle {\mathcal {E}}=IR.}$$ أين​${\displaystyle R}$تمثل المقاومة الكهربائية لتلك المادة. يوجد قانون مماثل لقانون أوم يُستخدم في الدوائر المغناطيسية. يُطلق على هذا القانون غالبًا اسم قانون هوبكنسون ، نسبةً إلى جون هوبكنسون ، ولكنه في الواقع صاغه هنري أوغسطس رولاند في عام 1873. ^{[ 3 ]} وينص على أن ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Phi {\mathcal {R}}.}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي القوة الدافعة المغناطيسية (MMF) عبر عنصر مغناطيسي،${\displaystyle \Phi }$هو التدفق المغناطيسي عبر العنصر المغناطيسي، و${\displaystyle {\mathcal {R}}}$هي الممانعة المغناطيسية لذلك العنصر. (سيتم توضيح لاحقًا أن هذه العلاقة ناتجة عن العلاقة التجريبية بين ⁠${\displaystyle \mathbf {H} }$-المجال والمجال المغناطيسي${\displaystyle \mathbf {B} }$،​​${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$، حيث​${\displaystyle \mu }$( حيث تمثل نفاذية المادة). ومثل قانون أوم، يمكن تفسير قانون هوبكنسون إما كمعادلة تجريبية تعمل مع بعض المواد، أو قد يكون بمثابة تعريف للممانعة.

لا يُعدّ قانون هوبكنسون تشبيهًا صحيحًا لقانون أوم من حيث نمذجة القدرة وتدفق الطاقة. فعلى وجه الخصوص، لا يوجد تبديد للطاقة مرتبط بالممانعة المغناطيسية بنفس الطريقة التي يوجد بها تبديد في المقاومة الكهربائية. تُعرَّف المقاومة المغناطيسية، التي تُعدّ تشبيهًا صحيحًا للمقاومة الكهربائية في هذا الصدد، بأنها نسبة القوة الدافعة المغناطيسية إلى معدل تغير التدفق المغناطيسي. هنا، يُمثّل معدل تغير التدفق المغناطيسي التيار الكهربائي، ويصبح تشبيه قانون أوم كما يلي: $${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}R_{\mathrm {m} },}$$ أين${\displaystyle R_{\mathrm {m} }}$تمثل المقاومة المغناطيسية. هذه العلاقة جزء من تشبيه كهرومغناطيسي يُسمى نموذج المكثف-المُحَوِّل ، ويهدف إلى التغلب على عيوب نموذج الممانعة المغناطيسية. بدوره، يُعد نموذج المكثف-المُحَوِّل جزءًا من مجموعة أوسع من التشبيهات المتوافقة المستخدمة لنمذجة الأنظمة عبر نطاقات طاقة متعددة.

الممانعة المغناطيسية ، أو المقاومة المغناطيسية ، تُشابه المقاومة في الدائرة الكهربائية (مع أنها لا تُبدد الطاقة المغناطيسية). وكما يُجبر المجال الكهربائي التيار الكهربائي على اتباع مسار أقل مقاومة ، يُجبر المجال المغناطيسي التدفق المغناطيسي على اتباع مسار أقل ممانعة مغناطيسية. وهي كمية قياسية شاملة ، تُشبه المقاومة الكهربائية.

الممانعة الكلية تساوي نسبة القوة الدافعة المغناطيسية في دائرة مغناطيسية سلبية إلى التدفق المغناطيسي في هذه الدائرة. في مجال التيار المتردد، تكون الممانعة هي نسبة قيم السعة للقوة الدافعة المغناطيسية الجيبية إلى التدفق المغناطيسي. (انظر المتجهات الطورية )

يمكن التعبير عن التعريف على النحو التالي: $${\displaystyle {\mathcal {R}}={\frac {\mathcal {F}}{\Phi }},}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {R}}}$هو التردد بوحدة أمبير-لفة لكل ويبر ( A⋅t⋅Wb ⁻¹ )، وهي وحدة تعادل اللفات لكل هنري ( t⋅H ⁻¹ ).

يشكّل التدفق المغناطيسي دائمًا مسارًا مغلقًا، كما هو موضح في معادلات ماكسويل ، لكن مسار هذا المسار يعتمد على ممانعة المواد المحيطة. يتركز التدفق حول المسار الأقل ممانعة. يتميز الهواء والفراغ بممانعة عالية، بينما تتميز المواد سهلة التمغنط، مثل الحديد المطاوع، بممانعة منخفضة. يؤدي تركيز التدفق في المواد ذات الممانعة المنخفضة إلى تكوين أقطاب مؤقتة قوية، ويتسبب في قوى ميكانيكية تدفع هذه المواد نحو مناطق التدفق الأعلى، لذا فهي دائمًا قوة جاذبة.

يُطلق على عكس التردد اسم النفاذية . $${\displaystyle {\mathcal {P}}={\frac {1}{\mathcal {R}}}.}$$

وحدتها المشتقة من النظام الدولي للوحدات هي الهنري ( H ) (وهي نفس وحدة الحث ، على الرغم من أن المفهومين مختلفان).

يمكن حساب ممانعة عنصر الدائرة المغناطيسية المنتظم مغناطيسيًا على النحو التالي: $${\displaystyle {\mathcal {R}}={\frac {l}{\mu A}}.}$$ أين

• ⁠${\displaystyle l}$يمثل طول العنصر ؛
• ${\textstyle \mu =\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}}$هي نفاذية المادة (${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}$تمثل النفاذية النسبية للمادة (بدون وحدة قياس)، و${\displaystyle \mu _{0}}$هي نفاذية الفراغ الحر)؛ و
• ⁠${\displaystyle A}$⁠ هي مساحة المقطع العرضي للدائرة.

يشبه هذا معادلة المقاومة الكهربائية في المواد، حيث تُشابه النفاذية الموصلية؛ ويُعرف مقلوب النفاذية بالممانعة المغناطيسية، وهو يُشابه المقاومة. وتؤدي الأشكال الهندسية الأطول والأرق ذات النفاذية المنخفضة إلى ممانعة مغناطيسية أعلى. وتُفضّل الممانعة المغناطيسية المنخفضة، كما هو الحال مع المقاومة المنخفضة في الدوائر الكهربائية، بشكل عام.

يلخص الجدول التالي التناظر الرياضي بين نظرية الدوائر الكهربائية ونظرية الدوائر المغناطيسية. هذا تناظر رياضي وليس فيزيائيًا. العناصر في الصف نفسه لها الدور الرياضي نفسه؛ أما فيزياء النظريتين فهي مختلفة تمامًا. على سبيل المثال، التيار هو تدفق الشحنة الكهربائية، بينما التدفق المغناطيسي ليس تدفقًا لأي كمية.

التناظر بين "الدوائر المغناطيسية" والدوائر الكهربائية في نموذج المقاومة والممانعة

مغناطيسي			كهربائي
اسم	رمز	الوحدات	اسم	رمز	الوحدات
القوة الدافعة المغناطيسية (MMF)	${\displaystyle {\mathcal {F}}=\!\oint \mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$	أمبير-لفة	القوة الدافعة الكهربائية (EMF)	${\displaystyle {\mathcal {E}}=\!\oint \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$	فولت
المجال المغنطيسي	⁠${\displaystyle \mathbf {H} }$⁠	أمبير لكل متر	المجال الكهربائي	⁠${\displaystyle \mathbf {E} }$⁠	فولت لكل متر  = نيوتن - كولوم
التدفق المغناطيسي	⁠${\displaystyle \Phi }$⁠	ويبر	التيار الكهربائي	⁠${\displaystyle I}$⁠	أمبير
قانون هوبكنسون أو قانون رولاند	${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Phi {\mathcal {R}}}$	أمبير-لفة	قانون أوم	${\displaystyle {\mathcal {E}}=IR}$
التردد	${\displaystyle {\mathcal {R}}}$	هنري المعكوس	المقاومة الكهربائية	⁠${\displaystyle R}$⁠	أوم
الثبات	${\displaystyle {\mathcal {P}}={1 \over {\mathcal {R}}}}$	هنري	الموصلية الكهربائية	${\displaystyle G={1 \over R}}$	مقلوب الأوم = سيمنز
العلاقة بين${\displaystyle \mathbf {B} }$و​​${\displaystyle \mathbf {H} }$⁠	${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$		قانون أوم المجهري	${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$
كثافة التدفق المغناطيسي${\displaystyle \mathbf {B} }$⁠	⁠${\displaystyle \mathbf {B} }$⁠	تسلا	كثافة التيار	⁠${\displaystyle \mathbf {J} }$⁠	أمبير لكل متر مربع
نفاذية	⁠${\displaystyle \mu }$⁠	هنري لكل متر	الموصلية الكهربائية	⁠${\displaystyle \sigma }$⁠	سيمنز لكل متر

يُعاني نموذج المقاومة والممانعة من بعض القيود. فالدوائر الكهربائية والمغناطيسية متشابهة ظاهريًا فقط بسبب التشابه الرياضي بين قانون هوبكنسون وقانون أوم. أما الدوائر المغناطيسية، فتختلف اختلافًا جوهريًا يجب مراعاته عند تصميمها.

• تمثل التيارات الكهربائية تدفق الجسيمات (الإلكترونات) وتحمل الطاقة ، التي يتبدد جزء منها أو كلها على شكل حرارة في المقاومات. أما المجالات المغناطيسية فلا تمثل "تدفقًا" لأي شيء، ولا تتبدد أي طاقة في الممانعات المغناطيسية.
• يقتصر التيار في الدوائر الكهربائية التقليدية على الدائرة نفسها، مع تسرب ضئيل للغاية. أما في الدوائر المغناطيسية التقليدية، فلا يقتصر المجال المغناطيسي بالكامل على الدائرة المغناطيسية، لأن النفاذية المغناطيسية موجودة أيضًا خارج المواد (انظر نفاذية الفراغ ). وبالتالي، قد يكون هناك تدفق تسرب كبير في الفضاء خارج النوى المغناطيسية، وهو ما يجب أخذه في الحسبان، ولكنه غالبًا ما يكون صعب الحساب.
• الأهم من ذلك، أن الدوائر المغناطيسية غير خطية ؛ فالممانعة المغناطيسية فيها ليست ثابتة كالمقاومة، بل تتغير تبعًا للمجال المغناطيسي. عند التدفقات المغناطيسية العالية، تتشبع المواد المغناطيسية الحديدية المستخدمة في نوى الدوائر المغناطيسية ، مما يحد من زيادة التدفق المغناطيسي، وبالتالي تزداد الممانعة المغناطيسية بسرعة فوق هذا المستوى. إضافةً إلى ذلك، تعاني المواد المغناطيسية الحديدية من التخلف المغناطيسي، لذا فإن التدفق فيها لا يعتمد فقط على القوة الدافعة المغناطيسية اللحظية، بل أيضًا على تاريخها. بعد إيقاف مصدر التدفق المغناطيسي، تبقى مغناطيسية متبقية في المواد المغناطيسية الحديدية، مما يُنتج تدفقًا بدون قوة دافعة مغناطيسية.

تخضع الدوائر المغناطيسية لقوانين أخرى مشابهة لقوانين الدوائر الكهربائية. على سبيل المثال، الممانعة الكلية${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {T} }}$من الترددات${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$،​​${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}$...  في السلسلة هي :$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {T} }={\mathcal {R}}_{1}+{\mathcal {R}}_{2}+\dotsm }$$

وينتج هذا أيضًا عن قانون أمبير، وهو مماثل لقانون كيرشوف للجهد (KVL) عند جمع المقاومات على التوالي. كذلك، فإن مجموع التدفقات المغناطيسية${\displaystyle \Phi _{1}}$،​​${\displaystyle \Phi _{2}}$... يكون الإدخال إلى أي عقدة دائمًا صفرًا: $${\displaystyle \Phi _{1}+\Phi _{2}+\dotsm =0.}$$

وهذا يتبع قانون جاوس وهو مماثل لقانون كيرشوف للتيار (KCL) لتحليل الدوائر الكهربائية.

تشكل القوانين الثلاثة المذكورة أعلاه مجتمعةً نظامًا متكاملًا لتحليل الدوائر المغناطيسية، على غرار تحليل الدوائر الكهربائية. وتُظهر مقارنة نوعي الدوائر ما يلي:

• ما يعادل المقاومة${\displaystyle R}$هو التردد​​${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {m} }}$⁠ .
• المكافئ للتيار الحالي${\displaystyle I}$التدفق المغناطيسي​​${\displaystyle \Phi }$⁠ .
• المكافئ للجهد${\displaystyle V}$القوة الدافعة المغناطيسية​${\displaystyle {\mathcal {F}}}$⁠ .

يمكن حساب التدفق المغناطيسي في كل فرع من فروع الدوائر المغناطيسية بتطبيق المكافئ المغناطيسي لقانون كيرشوف للجهد في دوائر المصدر/المقاومة البحتة. فبينما ينص قانون كيرشوف للجهد على أن جهد الإثارة المطبق على حلقة يساوي مجموع انخفاضات الجهد (المقاومة مضروبة في التيار) حول الحلقة، ينص المكافئ المغناطيسي على أن القوة الدافعة المغناطيسية (الناتجة عن إثارة أمبير-لفة) تساوي مجموع انخفاضات القوة الدافعة المغناطيسية (ناتج التدفق والممانعة المغناطيسية) عبر بقية الحلقة. (في حال وجود حلقات متعددة، يمكن حساب التيار في كل فرع من خلال معادلة مصفوفية - كما هو الحال في تحليل الحلقات باستخدام معادلة مصفوفية لتيارات فروع الدوائر الشبكية - وبعد ذلك يتم حساب تيارات الفروع الفردية بجمع و/أو طرح تيارات الحلقات المكونة لها وفقًا لاتفاقية الإشارة المعتمدة واتجاهات الحلقات). وبحسب قانون أمبير ، فإن الإثارة هي حاصل ضرب التيار في عدد الحلقات الكاملة، وتُقاس بالأمبير-لفة. وبعبارة أعم:   $${\displaystyle {\mathcal {F}}=NI=\oint \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}.}$$

بحسب نظرية ستوكس ، فإن التكامل الخطي المغلق لـ${\displaystyle \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$حول محيط يساوي التكامل السطحي المفتوح للدوران${\displaystyle \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} \mathbf {A} }$عبر السطح المحدد بالمحيط المغلق. بما أن، من معادلات ماكسويل ،${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} }$، التكامل الخطي المغلق لـ${\displaystyle \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$يُقيّم هذا إلى إجمالي التيار المار عبر السطح. وهذا يساوي الإثارة ،${\displaystyle NI}$⁠ ، والذي يقيس أيضًا التيار المار عبر السطح، وبالتالي التحقق من أن صافي تدفق التيار عبر السطح يساوي صفر أمبير-لفة في نظام مغلق يحافظ على الطاقة.

يجب تحليل الأنظمة المغناطيسية الأكثر تعقيدًا، حيث لا يقتصر التدفق على حلقة بسيطة، من المبادئ الأولى باستخدام معادلات ماكسويل .