الزمكان

تعتبر الميكانيكا الكلاسيكية غير النسبية الزمن كمية قياس عالمية موحدة في جميع أنحاء الكون، ومنفصلة عن المكان، ومتفق عليها بين جميع المراقبين. تفترض الميكانيكا الكلاسيكية أن الزمن يمر بمعدل ثابت، بغض النظر عن حالة حركة المراقب أو أي شيء خارجي. ^{[ 1 ]} كما تفترض أن المكان إقليدي : أي أنه يتبع هندسة المنطق السليم. ^{[ 2 ]}

في سياق النسبية الخاصة ، لا يمكن فصل الزمن عن الأبعاد الثلاثة للمكان، لأن معدل مرور الزمن بالنسبة لجسم ما يعتمد على سرعة هذا الجسم بالنسبة للمراقب. ^{[ 3 ] : 214-217.} وتقدم النسبية العامة تفسيراً لكيفية إبطاء الحقول الجاذبية لمرور الزمن بالنسبة لجسم ما كما يراه مراقب خارج هذا الحقل.

في الفضاء العادي، يُحدد الموقع بثلاثة أرقام تُعرف بالأبعاد . في نظام الإحداثيات الديكارتية ، تُسمى هذه الأرقام عادةً x و y و z . تُسمى النقطة في الزمكان حدثًا ، ويتطلب تحديدها أربعة أرقام: الموقع ثلاثي الأبعاد في الفضاء، بالإضافة إلى الموقع في الزمن (الشكل  1). يُمثل الحدث بمجموعة من الإحداثيات x و y و z و t . ^{[ 4 ]} وبالتالي، فإن الزمكان رباعي الأبعاد .

بخلاف التشبيهات المستخدمة في الكتابات الشائعة لشرح الأحداث، مثل المفرقعات النارية أو الشرر، فإن الأحداث الرياضية لا تستغرق مدة زمنية محددة، وتمثل نقطة واحدة في الزمكان. ^{[ 5 ]} مع أنه من الممكن أن يكون المرء متحركًا بالنسبة لانطلاق مفرقعة نارية أو شرارة، إلا أنه من المستحيل أن يكون المراقب متحركًا بالنسبة لحدث ما.

يمكن اعتبار مسار الجسيم عبر الزمكان سلسلة من الأحداث. ويمكن ربط هذه السلسلة من الأحداث معًا لتشكيل منحنى يمثل تقدم الجسيم عبر الزمكان. ويُسمى هذا المسار خط عالم الجسيم . ^{[ 6 ] : 105}

رياضيًا، الزمكان عبارة عن متعدد الشعب ، أي أنه يبدو "مسطحًا" محليًا بالقرب من كل نقطة، بنفس الطريقة التي يبدو بها سطح الكرة الأرضية مسطحًا عند المقاييس الصغيرة جدًا. ^{[ 7 ]} عامل المقياس،${\displaystyle c}$(المعروفة اصطلاحًا بسرعة الضوء ) تربط المسافات المقاسة في الفضاء بالمسافات المقاسة في الزمن. إن مقدار عامل المقياس هذا (ما يقارب 300,000 كيلومتر أو 190,000 ميل في الفضاء يعادل ثانية واحدة في الزمن)، إلى جانب حقيقة أن الزمكان متعدد الأبعاد، يعني أنه عند السرعات العادية غير النسبية، وعند المسافات العادية التي يمكن للبشر إدراكها، لا يوجد فرق ملحوظ يُذكر بين ما قد يلاحظونه لو كان العالم إقليديًا. لم تظهر التناقضات المحيرة بين الملاحظة والتنبؤات المبنية على الافتراض الضمني للفضاء الإقليدي إلا مع ظهور القياسات العلمية الدقيقة في منتصف القرن التاسع عشر، مثل تجربة فيزو وتجربة ميكلسون-مورلي . ^{[ 8 ]}

في النسبية الخاصة، يُقصد بالمراقب، في معظم الحالات، إطارًا مرجعيًا تُقاس منه مجموعة من الأشياء أو الأحداث. ويختلف هذا الاستخدام اختلافًا كبيرًا عن المعنى الشائع للمصطلح في اللغة الإنجليزية. فالأطر المرجعية بطبيعتها مفاهيم غير محلية، ووفقًا لهذا الاستخدام، لا يُعقل الحديث عن مراقب له موقع محدد. ^{[ 9 ]}

في الشكل  1-1، تخيل أن الإطار قيد الدراسة مُجهز بشبكة كثيفة من الساعات، متزامنة ضمن هذا الإطار المرجعي، تمتد بلا حدود عبر الأبعاد الثلاثة للفضاء. لا يُعد أي موقع محدد داخل الشبكة مهمًا. تُستخدم شبكة الساعات لتحديد وقت وموقع الأحداث التي تجري داخل الإطار بأكمله. يُشير مصطلح "المراقب" إلى مجموعة الساعات الكاملة المرتبطة بإطار مرجعي قصوري واحد. ^{[ 9 ] : 17-22}

في هذه الحالة المثالية، ترتبط كل نقطة في الفضاء بساعة، وبالتالي تسجل الساعات كل حدث فورًا، دون أي تأخير زمني بين الحدث وتسجيله. أما المراقب الحقيقي، فسيلاحظ تأخيرًا بين إرسال الإشارة واستقبالها بسبب سرعة الضوء. ولمزامنة الساعات، في عملية معالجة البيانات التي تلي التجربة، يُصحَّح وقت استقبال الإشارة ليعكس وقتها الفعلي لو تم تسجيلها بواسطة شبكة مثالية من الساعات. ^{[ 9 ] : 17-22}

في العديد من الكتب المتعلقة بالنظرية النسبية الخاصة، وخاصة الكتب القديمة منها، يُستخدم مصطلح "المراقب" بمعناه الأكثر شيوعًا. وعادةً ما يتضح من السياق المعنى المقصود.

يُفرّق الفيزيائيون بين ما يُقاس أو يُلاحَظ ، بعد استبعاد تأخيرات انتشار الإشارة، وبين ما يُرى بالعين المجردة دون هذه التصحيحات. ويُعدّ عدم فهم الفرق بين ما يُقاس وما يُرى مصدرًا للكثير من اللبس بين دارسي النسبية. ^{[ 10 ]}

في ثلاثة أبعاد، المسافة${\displaystyle \Delta {d}}$يمكن تحديد المسافة بين نقطتين باستخدام نظرية فيثاغورس :

${\displaystyle (\Delta {d})^{2}=(\Delta {x})^{2}+(\Delta {y})^{2}+(\Delta {z})^{2}}$

على الرغم من أن مشاهدين اثنين قد يقيسان إحداثيات x و y و z لنقطتين باستخدام نظامي إحداثيات مختلفين، فإن المسافة بين النقطتين ستكون متساوية بالنسبة لهما، بافتراض أنهما يقيسان باستخدام نفس الوحدات. فالمسافة "ثابتة".

في النسبية الخاصة، لا تبقى المسافة بين نقطتين متساوية عند قياسها من قِبل مراقبين مختلفين، خاصةً إذا كان أحدهما متحركًا، وذلك بسبب انكماش لورنتز . ويزداد الوضع تعقيدًا إذا كانت النقطتان منفصلتين زمنيًا ومكانيًا. على سبيل المثال، إذا رأى مراقب حدثين يقعان في المكان نفسه، ولكن في أوقات مختلفة، فإن شخصًا متحركًا بالنسبة لهذا المراقب سيرى الحدثين في مكانين مختلفين، لأن وجهة النظر المتحركة ترى نفسها ثابتة، وموقع الحدث يبتعد أو يقترب. لذا، يجب استخدام مقياس مختلف لقياس "المسافة" الفعلية بين الحدثين. ^{[ 31 ] : 48-50، 100-102}

في الزمكان رباعي الأبعاد، يُقابل المسافة الفاصل الزمني. ورغم أن الزمن يُمثل بُعدًا رابعًا، إلا أنه يُعامل بشكل مختلف عن الأبعاد المكانية. لذا، يختلف فضاء مينكوفسكي اختلافًا جوهريًا عن الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد . والسبب الرئيسي لدمج المكان والزمان في الزمكان هو أن المكان والزمان ليسا ثابتين بشكل منفصل، أي أنه في ظل ظروف معينة، سيختلف المراقبون المختلفون في تقدير طول الفترة الزمنية بين حدثين ( بسبب تمدد الزمن ) أو المسافة بينهما (بسبب انكماش الطول ). تُقدم النسبية الخاصة ثابتًا جديدًا، يُسمى الفاصل الزمني للزمكان ، والذي يجمع بين المسافات في المكان والزمان. سيحسب جميع المراقبين الذين يقيسون الزمن والمسافة بين أي حدثين نفس الفاصل الزمني للزمكان. لنفترض أن مراقبًا يقيس حدثين على أنهما يفصل بينهما زمني مقداره${\displaystyle \Delta t}$والمسافة المكانية${\displaystyle \Delta x.}$ثم الفاصل الزمني للزمكان المربع${\displaystyle (\Delta {s})^{2}}$بين الحدثين اللذين يفصل بينهما مسافة${\displaystyle \Delta {x}}$في الفضاء و بواسطة${\displaystyle \Delta {ct}=c\Delta t}$في${\displaystyle ct}$الإحداثي هو: ^{[ 32 ]}

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2},}$

أو بالنسبة لثلاثة أبعاد مكانية،

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}.}$

الثابت${\displaystyle c,}$سرعة الضوء، تحول الزمن${\displaystyle t}$تحويل الوحدات (مثل الثواني) إلى وحدات مكانية (مثل الأمتار). الفاصل الزمني التربيعي${\displaystyle \Delta s^{2}}$الفاصل الزمني هو مقياس للمسافة الفاصلة بين حدثين A وB، يفصل بينهما زمن ومسافة مكانية، إما لوجود جسمين منفصلين يمران بالحدثين، أو لحركة جسم واحد في الفضاء بفعل القصور الذاتي بين الحدثين. ويُعرَّف الفاصل الزمني بأنه الفرق بين مربع المسافة المكانية التي تفصل الحدث B عن الحدث A ومربع المسافة المكانية التي تقطعها إشارة ضوئية خلال نفس الفترة الزمنية.${\displaystyle \Delta t}$إذا كان فصل الأحداث ناتجًا عن إشارة ضوئية، فإن هذا الفرق يختفي و${\displaystyle \Delta s=0}$.

عندما يكون الحدثان قيد الدراسة متقاربين بشكل متناهي الصغر، يمكننا حينها أن نكتب

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.}$

في إطار مرجعي قصوري مختلف، لنقل بإحداثيات${\displaystyle (t',x',y',z')}$، الفاصل الزمني للزمكان${\displaystyle ds'}$يمكن كتابتها بنفس الشكل المذكور أعلاه. وبسبب ثبات سرعة الضوء، فإن أحداث الضوء في جميع الأطر المرجعية العطالية تقع ضمن الفترة الصفرية.${\displaystyle ds=ds'=0}$. لأي حدث متناهي الصغر آخر حيث${\displaystyle ds\neq 0}$يمكن للمرء أن يثبت ذلك${\displaystyle ds^{2}=ds'^{2}}$ والذي بدوره يؤدي عند التكامل إلى${\displaystyle s=s'}$. ^{[ 33 ] : 2} إن ثبات الفاصل الزمني للزمكان بين نفس الأحداث لجميع الأطر المرجعية العطالية هو أحد النتائج الأساسية لنظرية النسبية الخاصة.

على الرغم من أنه من أجل الإيجاز، غالبًا ما نرى تعبيرات الفترات الزمنية مكتوبة بدون دلتا، بما في ذلك في معظم المناقشة التالية، إلا أنه ينبغي فهم أنه بشكل عام،${\displaystyle x}$وسائل${\displaystyle \Delta {x}}$إلخ. نحن نهتم دائمًا باختلافات قيم الإحداثيات المكانية أو الزمنية التي تنتمي إلى حدثين، وبما أنه لا يوجد أصل مفضل، فإن قيم الإحداثيات الفردية ليس لها معنى جوهري.

المعادلة أعلاه مشابهة لنظرية فيثاغورس، باستثناء وجود إشارة سالبة بين${\displaystyle (ct)^{2}}$و${\displaystyle x^{2}}$المصطلحات. الفاصل الزمني للزمكان هو الكمية${\displaystyle s^{2},}$لا${\displaystyle s}$في حد ذاتها. والسبب هو أنه على عكس المسافات في الهندسة الإقليدية، يمكن أن تكون الفترات في فضاء مينكوفسكي سالبة. وبدلاً من التعامل مع الجذور التربيعية للأعداد السالبة، ينظر الفيزيائيون عادةً إلى${\displaystyle s^{2}}$كرمز مستقل في حد ذاته، وليس مجرد مربع لشيء ما. ^{[ 3 ] : 217}

ملاحظة: هناك اصطلاحان للإشارات مستخدمان في أدبيات النسبية:

${\displaystyle s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

و

${\displaystyle s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

ترتبط هذه الاصطلاحات الإشارية بالعلامات المترية (+−−−) و (−+++). ويتمثل أحد الاختلافات الطفيفة في وضع إحداثية الزمن في النهاية بدلاً من البداية. ويُستخدم كلا الاصطلاحين على نطاق واسع في مجال الدراسة. ^{[ 34 ]}

في المناقشة التالية، سنستخدم الاصطلاح الأول.

على العموم${\displaystyle s^{2}}$يمكن أن تأخذ أي قيمة عددية حقيقية. إذا${\displaystyle s^{2}}$إذا كانت قيمة موجبة، يُشار إلى الفاصل الزمني في الزمكان بأنه فاصل زمني . وبما أن المسافة المكانية التي يقطعها أي جسم ضخم تكون دائمًا أقل من المسافة التي يقطعها الضوء خلال نفس الفاصل الزمني، فإن الفترات الموجبة تكون دائمًا زمنية.${\displaystyle s^{2}}$عندما تكون قيمة سالبة، يُقال إن الفاصل الزمني للزمكان فضائي . وتكون فواصل الزمكان مساوية للصفر عندما${\displaystyle x=\pm ct.}$بمعنى آخر، الفاصل الزمني في الزمكان بين حدثين على خط العالم لجسم يتحرك بسرعة الضوء يساوي صفرًا. يُطلق على هذا الفاصل اسم "الفاصل الضوئي" أو "الفاصل الصفري" . الفوتون الذي يصل إلى أعيننا من نجم بعيد لن يكون قد تقدم في العمر، على الرغم من أنه (من منظورنا) قد أمضى سنوات في رحلته. ^{[ 31 ] : 48-50}

عادةً ما يُرسم مخطط الزمكان بإحداثية مكانية واحدة وإحداثية زمنية واحدة فقط.  يوضح الشكل 2-1 مخططًا للزمكان يُبين مسارات فوتونين، A وB، في الزمكان، ناشئين من نفس الحدث ويتجهان في اتجاهين متعاكسين. بالإضافة إلى ذلك، يوضح الشكل C مسار جسم يتحرك بسرعة أقل من سرعة الضوء. يتم تغيير مقياس الإحداثي الزمني الرأسي بواسطة${\displaystyle c}$بحيث تكون وحداتها (الأمتار) هي نفسها وحدات الإحداثيات المكانية الأفقية. وبما أن الفوتونات تنتقل بسرعة الضوء، فإن خطوطها في الفضاء لها ميل مقداره ±1. ^{[ 31 ] : 23-25.} بعبارة أخرى، كل متر يقطعه الفوتون إلى اليسار أو اليمين يستغرق حوالي 3.3 نانوثانية.

لفهم كيفية مقارنة إحداثيات الزمكان المقاسة من قِبل مراقبين في أطر مرجعية مختلفة ، من المفيد استخدام إعداد مبسط بأطر ذات تكوين قياسي. مع الحرص، يُتيح ذلك تبسيط العمليات الحسابية دون فقدان عمومية النتائج المُتوصل إليها. في الشكل  2-2، يظهر إطاران مرجعيان غاليليانيان (أي أطر الفضاء الثلاثية التقليدية) في حركة نسبية. الإطار S يخص المراقب الأول O، والإطار S′ (يُنطق "S  برايم") يخص المراقب الثاني O′.

• المحاور x و y و z للإطار S موجهة بالتوازي مع المحاور المميزة للإطار S′.
• يتحرك الإطار S′ في اتجاه x للإطار S بسرعة ثابتة v كما تم قياسها في الإطار S.
• تتطابق نقطة بداية الإطارين S و S′ عندما يكون الزمن t = 0 للإطار S و t ′ = 0 للإطار S′. ^{[ 6 ] : 107}

الشكل  2-3أ يُعيد رسم الشكل  2-2 باتجاه مختلف. الشكل  2-3ب يُوضح مخطط الزمكان النسبي من وجهة نظر الراصد O. بما أن S و S′ في التكوين القياسي، فإن أصولهما تتطابق عند الزمن t = 0 في الإطار S و t ′ = 0 في الإطار S′. يمر المحور ct′ عبر الأحداث في الإطار S′ التي يكون فيها x ′ = 0. لكن النقاط التي يكون فيها x ′ = 0 تتحرك في اتجاه x للإطار S بسرعة v ، لذا فهي لا تتطابق مع المحور ct في أي وقت آخر غير الصفر. لذلك، يميل المحور ct′ بالنسبة للمحور ct بزاوية θ معطاة في ^{[ 31 ] : 23-31}

${\displaystyle \tan(\theta )=v/c.}$

يميل المحور x ′ أيضًا بالنسبة للمحور x . ولتحديد زاوية هذا الميل، نتذكر أن ميل خط العالم لنبضة ضوئية يكون دائمًا  ±1. يوضح الشكل  2-3c مخططًا للزمكان من وجهة نظر الراصد O′. يمثل الحدث P انبعاث نبضة ضوئية عند x ′ = 0، ct ′ = −a . تنعكس النبضة من مرآة تقع على مسافة a من مصدر الضوء (الحدث Q)، وتعود إلى مصدر الضوء عند x ′ = 0، ct ′ = a (الحدث R).

تم تمثيل الأحداث P وQ وR نفسها في الشكل  2-3ب في إطار الراصد O. مسارات الضوء لها ميول تساوي 1 و  -1، بحيث يشكل المثلث △PQR مثلثًا قائم الزاوية، حيث يشكل كل من PQ وQR زاوية 45 درجة مع المحورين x و ct . بما أن OP = OQ = OR، فإن الزاوية بين x′ و x يجب أن تكون θ أيضًا . ^{[ 6 ] : 113-118}

بينما تتقاطع محاور المكان والزمان في الإطار الساكن بزاوية قائمة، يُرسم الإطار المتحرك بمحاور تتقاطع بزاوية حادة. الإطاران متكافئان في الواقع. ^{[ 31 ] : 23-31.} يعود عدم التناظر إلى تشوهات حتمية في كيفية تمثيل إحداثيات الزمكان على المستوى الديكارتي ، ولا ينبغي اعتباره أغرب من الطريقة التي تُبالغ بها أحجام الكتل الأرضية القريبة من القطبين (غرينلاند والقارة القطبية الجنوبية) بشكل كبير في إسقاط مركاتور للأرض، مقارنةً بالكتل الأرضية القريبة من خط الاستواء.

في الشكل 2-4،  يقع الحدث O عند نقطة الأصل في مخطط الزمكان، ويمثل الخطان القطريان جميع الأحداث التي لها فاصل زمني صفري في الزمكان بالنسبة إلى حدث الأصل. يشكل هذان الخطان ما يُسمى بالمخروط الضوئي للحدث  O، حيث أن إضافة بُعد مكاني ثانٍ (الشكل  2-5) يُظهر ما يشبه مخروطين دائريين قائمين يلتقيان عند النقطة  O. يمتد أحد المخروطين إلى المستقبل (t>0)، والآخر إلى الماضي (t<0).

يقسم مخروط الضوء (المزدوج) الزمكان إلى مناطق منفصلة بالنسبة لرأسه. يتكون باطن مخروط الضوء المستقبلي من جميع الأحداث التي تفصلها عن الرأس مسافة زمنية (مسافة زمنية) أكبر من اللازم لعبور مسافتها المكانية بسرعة الضوء؛ وتشكل هذه الأحداث المستقبل الزمني للحدث  O. وبالمثل، يشمل الماضي الزمني الأحداث الداخلية لمخروط الضوء الماضي. لذا، في الفترات الزمنية ، يكون Δct أكبر من Δx ، مما يجعل الفترات الزمنية موجبة. ^{[ 3 ] : 220}

تتألف المنطقة الخارجية لمخروط الضوء من أحداث تفصلها عن الحدث O مسافة  أكبر من تلك التي يمكن قطعها بسرعة الضوء في الزمن المحدد . تشكل هذه الأحداث ما يُسمى بالمنطقة المكانية للحدث O، والمشار إليها بـ "مكان آخر" في الشكل 2-4. أما الأحداث الواقعة على مخروط الضوء نفسه فتُسمى أحداثًا ضوئية (أو منفصلة تمامًا ) عن O. وبسبب ثبات فاصل الزمكان، سيُخصص جميع المراقبين نفس مخروط الضوء لأي حدث مُحدد، وبالتالي سيتفقون على هذا التقسيم للزمكان. ^{[ 3 ] : 220}   

يلعب مخروط الضوء دورًا أساسيًا في مفهوم السببية . فمن الممكن أن تنتقل إشارة لا تتجاوز سرعة الضوء من موقع ووقت الحدث  O إلى موقع ووقت الحدث D (الشكل  2-4). وبالتالي، من الممكن أن  يكون للحدث O تأثير سببي على الحدث  D. ويحتوي مخروط الضوء المستقبلي على جميع الأحداث التي يمكن أن يتأثر بها O تأثيرًا سببيًا. وبالمثل، من الممكن أن تنتقل إشارة لا تتجاوز سرعة الضوء من موقع ووقت الحدث A إلى موقع ووقت الحدث O. ويحتوي مخروط الضوء الماضي على جميع الأحداث التي يمكن أن يكون لها تأثير سببي على O. في المقابل، بافتراض أن الإشارات لا يمكنها الانتقال بسرعة تتجاوز سرعة الضوء، فإن أي حدث، مثل  B أو  C، في المنطقة المكانية (مكان آخر)، لا يمكنه التأثير على الحدث  O، ولا يمكنه التأثر به  باستخدام هذه الإشارة. وبناءً على هذا الافتراض، تُستبعد أي علاقة سببية بين الحدث  O وأي أحداث في المنطقة المكانية لمخروط الضوء. ^{[ 35 ]}

يتفق جميع المراقبين على أنه بالنسبة لأي حدث معين، يقع حدث آخر ضمن نطاق الضوء المستقبلي لهذا الحدث بعده . وبالمثل، بالنسبة لأي حدث معين، يقع حدث آخر ضمن نطاق الضوء الماضي لهذا الحدث قبله . تبقى علاقة ما قبل وما بعد الملاحظة للأحداث المتباعدة زمنيًا ثابتة بغض النظر عن الإطار المرجعي للمراقب، أي بغض النظر عن كيفية تحركه. يختلف الوضع تمامًا بالنسبة للأحداث المتباعدة مكانيًا. رُسم الشكل  2-4 من الإطار المرجعي لمراقب يتحرك بسرعة v = 0. من هذا الإطار المرجعي،  يُلاحظ وقوع الحدث C بعد الحدث  O،  ووقوع الحدث B قبل الحدث  O. ^{[ 36 ]}

من منظور إطار مرجعي مختلف، يمكن عكس ترتيب هذه الأحداث غير المرتبطة سببيًا. على وجه الخصوص، يُلاحظ أنه إذا حدث حدثان في وقت واحد ضمن إطار مرجعي معين، فإنهما يفصل بينهما بالضرورة فاصل زمني مكاني، وبالتالي فهما غير مرتبطين سببيًا. تُسمى هذه الملاحظة، التي تفيد بأن التزامن ليس مطلقًا، بل يعتمد على الإطار المرجعي للمراقب، بنسبية التزامن . ^{[ 36 ]}

يوضح الشكل 2-6 استخدام مخططات الزمكان في تحليل نسبية التزامن. تبقى الأحداث في الزمكان ثابتة، لكن أطر الإحداثيات تتحول كما ذُكر سابقًا في الشكل  2-3. الأحداث الثلاثة (أ، ب، ج) متزامنة من الإطار المرجعي لمراقب يتحرك بسرعة v = 0. من الإطار المرجعي لمراقب يتحرك بسرعة v = 0.3 c ، تظهر الأحداث وكأنها تحدث بالترتيب ج، ب، أ. من الإطار المرجعي لمراقب يتحرك بسرعة v = −0.5 c ، تظهر الأحداث وكأنها تحدث بالترتيب أ، ب، ج . يمثل الخط الأبيض مستوى التزامن الذي ينتقل من ماضي المراقب إلى مستقبله، مُبرزًا الأحداث الواقعة عليه. المنطقة الرمادية هي مخروط الضوء الخاص بالمراقب، والذي يبقى ثابتًا.

تُعطي فترة الزمكان المكانية نفس المسافة التي سيقيسها الراصد إذا كانت الأحداث المقاسة متزامنة بالنسبة له. وبالتالي، توفر فترة الزمكان المكانية مقياسًا للمسافة الحقيقية ، أي المسافة الفعلية.${\displaystyle {\sqrt {-s^{2}}}.}$وبالمثل، فإن الفاصل الزمني في الزمكان يُعطي نفس مقياس الزمن الذي يُمثله التراكم الإيقاعي لساعة تتحرك على طول خط عالمي مُحدد. وبالتالي، فإن الفاصل الزمني في الزمكان يُوفر مقياسًا للزمن الخاص .${\displaystyle {\sqrt {s^{2}}}.}$^{[ 3 ] : 220-221}

في الفضاء الإقليدي (ذي الأبعاد المكانية فقط)، تشكل مجموعة النقاط المتساوية البعد (باستخدام المقياس الإقليدي) عن نقطة ما دائرة (في بعدين) أو كرة (في ثلاثة أبعاد). في فضاء مينكوفسكي ذي البعدين (1+1) (ذي البعد الزمني والمكاني)، تشكل النقاط الواقعة على مسافة ثابتة من نقطة الأصل (باستخدام مقياس مينكوفسكي) منحنيات معطاة بالمعادلتين التاليتين.

${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2},}$

مع${\displaystyle s^{2}}$بعض الثوابت الحقيقية الموجبة. تصف هذه المعادلات مجموعتين من القطوع الزائدة في مخطط الزمكان x – ct ، والتي تسمى القطوع الزائدة الثابتة .

في الشكل  2-7أ، يربط كل قطع زائد أرجواني جميع الأحداث التي لها مسافة مكانية ثابتة من الأصل، بينما تربط القطع الزائدة الخضراء الأحداث ذات المسافة الزمنية المتساوية.

تمثل القطوع الزائدة الأرجوانية، التي تتقاطع مع المحور السيني ، منحنيات زمنية، أي أن هذه القطوع الزائدة تمثل مسارات فعلية يمكن أن تسلكها الجسيمات (المتسارعة باستمرار) في الزمكان: بين أي حدثين على أحد القطوع الزائدة، تكون علاقة السببية ممكنة، لأن مقلوب الميل - الذي يمثل السرعة اللازمة - لجميع القواطع أقل من${\displaystyle c}$من ناحية أخرى، فإن القطوع الزائدة الخضراء، التي تتقاطع مع المحور ct ، هي منحنيات مكانية لأن جميع الفترات على طول هذه القطوع الزائدة هي فترات مكانية: لا توجد علاقة سببية ممكنة بين أي نقطتين على أي من هذه القطوع الزائدة، لأن جميع القواطع تمثل سرعات أكبر من${\displaystyle c}$.

يوضح الشكل  2-7ب الوضع في فضاء مينكوفسكي ذي البعدين (بعد زمني واحد وبعدين مكانيين) مع القطوع الزائدة المقابلة. تُنتج القطوع الزائدة الثابتة، المُزاحة بفواصل مكانية من نقطة الأصل، قطوعًا زائدة ذات طبقة واحدة، بينما تُنتج القطوع الزائدة الثابتة، المُزاحة بفواصل زمنية من نقطة الأصل، قطوعًا زائدة ذات طبقتين.

يُشكّل الحدّ ذو البعدين (1+2) بين القطع الزائدية المكانية والزمانية، والذي تحدده الأحداث التي تُكوّن فاصلًا صفريًا في الزمكان إلى نقطة الأصل، من خلال اختزال القطع الزائدية إلى مخروط الضوء. في البعد (1+1)، تتلاشى القطع الزائدية إلى الخطين الرماديين بزاوية 45 درجة الموضحين في الشكل  2-7أ.

يوضح الشكل 2-8 القطع الزائد الثابت لجميع الأحداث التي يمكن الوصول إليها من نقطة الأصل في زمن مناسب قدره 5  أمتار (تقريبًا).1.67 × 10⁻⁸ ثانية  ). تمثل خطوط العالم المختلفة ساعات تتحرك بسرعات مختلفة. الساعة الثابتة بالنسبة للمراقب يكون خط عالمها عموديًا، والوقت المنقضي الذي يقيسه المراقب هو نفسه الوقت الذاتي. بالنسبة لساعة تتحرك بسرعة 0.3 من ^سرعة الضوء ، فإن الوقت المنقضي الذي يقيسه المراقب هو 5.24 مترًا (  1.75 × 10⁻⁸ ثانية  )، بينما بالنسبة لساعة تسير بسرعة 0.7 c ، ^فإن الوقت المنقضي الذي يقيسه المراقب هو 7.00 أمتار (  2.34 × 10⁻⁸ ^ثانية  ) . ^{[ 3 ] : 220-221}

يوضح هذا ظاهرة تمدد الزمن . فالساعات التي تعمل بسرعة أكبر تستغرق وقتًا أطول (في إطار الراصد) لقطع نفس مقدار الزمن الخاص، وتتحرك مسافة أبعد على طول المحور السيني خلال ذلك الزمن الخاص مقارنةً بما كانت ستقطعه لولا تمدد الزمن. ^{[ 3 ] : 220-221.} قياس تمدد الزمن من قِبل راصدين في إطارين مرجعيين قصوريين مختلفين هو قياس متبادل. فإذا قاس الراصد O ساعات الراصد O′ على أنها تعمل ببطء في إطاره، فإن الراصد O′ بدوره سيقيس ساعات الراصد O على أنها تعمل ببطء.

يُعدّ انكماش الطول ، كالتمدد الزمني، مظهرًا من مظاهر نسبية التزامن. يتطلب قياس الطول قياس الفاصل الزمني في الزمكان بين حدثين متزامنين في إطار مرجعي معين. لكن الأحداث المتزامنة في إطار مرجعي واحد، لا تكون متزامنة عمومًا في أطر مرجعية أخرى.

يوضح الشكل 2-9 حركة  قضيب طوله متر واحد يتحرك بسرعة 0.5 c على طول المحور x . تمثل حواف الشريط الأزرق خطوط العالم لنقطتي نهاية القضيب. يوضح القطع الزائد الثابت أحداثًا تفصلها عن نقطة الأصل مسافة مكانية مقدارها متر واحد. تُقاس نقطتا النهاية O وB عند t ′ = 0 كحدثين متزامنين في الإطار S′. لكن بالنسبة لمراقب في الإطار S، لا يُعتبر الحدثان O وB متزامنين. لقياس الطول، يقيس المراقب في الإطار S نقطتي نهاية القضيب كما تم إسقاطهما على المحور x على طول خطوط العالم الخاصة بهما. ينتج عن إسقاط سطح العالم للقضيب على المحور x الطول المختصر OC. ^{[ 6 ] : 125}    

(غير موضح في الرسم) يُبين رسم خط عمودي يمر بالنقطة A ويتقاطع مع المحور x ′ أنه كما أن OB تبدو أقصر من منظور الراصد O، فإن OA تبدو كذلك أقصر من منظور الراصد O′. وكما يقيس كل راصد ساعات الآخر على أنها متأخرة، يقيس كل راصد مساطر الآخر على أنها منكمشة.

فيما يتعلق بانكماش الطول المتبادل، يوضح الشكل  2-9 أن الإطارين المُعَلَّم وغير المُعَلَّم يدوران بزاوية زائدية ( مماثلة للزوايا العادية في الهندسة الإقليدية). ^{[ ملاحظة 8 ]} نتيجةً لهذا الدوران، فإن إسقاط عصا القياس المُعَلَّمة على المحور السيني غير المُعَلَّم يُقَصَّر ، بينما يُقَصَّر إسقاط عصا القياس غير المُعَلَّمة على المحور السيني المُعَلَّم بالمثل.

ركز هذا القسم التمهيدي على الزمكان في النسبية الخاصة، لكونه الأسهل وصفًا. زمكان مينكوفسكي مسطح، ولا يأخذ الجاذبية في الحسبان، ومتجانس في جميع أجزائه، ولا يعدو كونه خلفية ثابتة للأحداث التي تجري فيه. يُعقّد وجود الجاذبية وصف الزمكان بشكل كبير. في النسبية العامة، لم يعد الزمكان خلفية ثابتة، بل يتفاعل بنشاط مع الأنظمة الفيزيائية التي يحتويها. ينحني الزمكان في وجود المادة، ويمكنه نشر الموجات، وثني الضوء، ويُظهر مجموعة واسعة من الظواهر الأخرى. ^{[ 3 ] : 221} سيتم وصف بعض هذه الظواهر في الأقسام اللاحقة من هذه المقالة.

يتمثل أحد الأهداف الأساسية في القدرة على مقارنة القياسات التي يجريها مراقبون في حركة نسبية. إذا كان هناك مراقب O في الإطار المرجعي S قام بقياس إحداثيات الزمان والمكان لحدث ما، مُسندًا لهذا الحدث ثلاث إحداثيات ديكارتية والزمن كما تم قياسه على شبكة الساعات المتزامنة الخاصة به ( x , y , z , t ) (انظر الشكل  1-1 )، فإن مراقبًا ثانيًا O′ في إطار مرجعي مختلف S′ يقيس الحدث نفسه في نظام إحداثياته ​​وشبكة ساعاته المتزامنة ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . في الأطر المرجعية العطالية، لا يتعرض أي من المراقبين للتسارع، وتتيح لنا مجموعة بسيطة من المعادلات ربط الإحداثيات ( x , y , z , t ) بالإحداثيات ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . بافتراض أن نظامي الإحداثيات في التكوين القياسي، أي أنهما متوافقان مع إحداثيات ( x ، y ، z ) المتوازية وأن t = 0 عندما t ′ = 0 ، فإن تحويل الإحداثيات يكون كما يلي: ^{[ 39 ] [ 40 ]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

يوضح الشكل 3-1 أن الزمن في نظرية نيوتن هو الثابت الكوني، وليس سرعة الضوء. ^{[ 41 ] : 36-37.} لنفترض التجربة الفكرية التالية: يشير السهم الأحمر إلى قطار يتحرك بسرعة 0.4  c بالنسبة للرصيف. داخل القطار، يطلق أحد الركاب رصاصة بسرعة 0.4  c في إطار القطار. يشير السهم الأزرق إلى أن شخصًا يقف على قضبان السكة الحديدية يقيس سرعة الرصاصة على أنها 0.8  c. وهذا يتوافق مع توقعاتنا الأولية.

بشكلٍ أعم، بافتراض أن الإطار S′ يتحرك بسرعة v بالنسبة للإطار S، فإن الراصد O′ يقيس داخل الإطار S′ جسمًا يتحرك بسرعة u ′ . وبما أن x = ut و x ′ = x − vt و t = t ′ ، فإن السرعة u بالنسبة للإطار S يمكن كتابتها على النحو التالي: x ′ = ut − vt = ( u − v ) t = ( u − v ) t ′ . وهذا يؤدي إلى u ′ = x ′ / t ′، وبالتالي

${\displaystyle u'=uv}$  أو  ${\displaystyle u=u'+v,}$

وهو قانون غاليليو المنطقي لجمع السرعات .

يختلف تركيب السرعات اختلافًا كبيرًا في الزمكان النسبي. ولتبسيط المعادلات قليلًا، نقدم اختصارًا شائعًا لنسبة سرعة الجسم بالنسبة للضوء.

${\displaystyle \beta =v/c}$

يوضح الشكل 3-2أ قطارًا أحمر يتحرك للأمام بسرعة v / c = β = s / a . من الإطار المرجعي للقطار، يطلق أحد الركاب رصاصة بسرعة u ′ / c = β ′ = n / m ، حيث تُقاس المسافة على طول خط موازٍ للمحور x ′ الأحمر وليس موازيًا للمحور x الأسود . ما هي السرعة المركبة u للرصاصة بالنسبة للرصيف، كما هو ممثل بالسهم الأزرق؟ بالرجوع إلى الشكل  3-2ب:

1. من المنصة، يتم إعطاء السرعة المركبة للرصاصة بواسطة u = c ( s + r )/( a + b ) .
2. المثلثان الأصفران متشابهان لأنهما مثلثان قائما الزاوية يشتركان في زاوية واحدة α . في المثلث الأصفر الكبير، النسبة s / a = v / c = β .
3. نسب الأضلاع المتناظرة للمثلثين الأصفرين ثابتة، لذا فإن r / a = b / s = n / m = β ′ . إذن b = u ′ s / c و r = u ′ a / c .
4. استبدل تعبيرات b و r في تعبير u في الخطوة  1 للحصول على صيغة أينشتاين لجمع السرعات: ^{[ 41 ] : 42-48}

   ${\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}$

تُظهر الصيغة النسبية لجمع السرعات المذكورة أعلاه العديد من السمات المهمة:

• إذا كانت كل ^من u ′ و v صغيرتين جدًا مقارنةً بسرعة الضوء، فإن حاصل ضرب vu ′ / c² يصبح ضئيلاً للغاية، وتصبح النتيجة الإجمالية غير قابلة للتمييز عن صيغة غاليليو (صيغة نيوتن) لجمع السرعات: u = u ′ + v . تُعد صيغة غاليليو حالة خاصة من الصيغة النسبية التي تنطبق على السرعات المنخفضة.    
• إذا تم تعيين u ′ مساوية لـ c ، فإن الصيغة تعطي u  = c بغض النظر عن القيمة الابتدائية لـ v . سرعة الضوء متساوية لجميع المراقبين بغض النظر عن حركتهم بالنسبة للمصدر المنبعث. ^{[ 41 ] : 49} 

من السهل الحصول على تعابير كمية لتمدد الزمن وانكماش الطول. الشكل  3-3 عبارة عن صورة مركبة تحتوي على إطارات فردية مأخوذة من رسوم متحركة سابقة، تم تبسيطها وإعادة تسميتها لأغراض هذا القسم.

لتقليل تعقيد المعادلات قليلاً، توجد مجموعة متنوعة من الرموز المختصرة المختلفة لـ ct :

${\displaystyle \mathrm {T} =ct}$و${\displaystyle w=ct}$شائعة.

كما يلاحظ المرء استخدام الاتفاقية بشكل متكرر للغاية${\displaystyle c=1.}$

في الشكل 3-3أ، يُمثل القطعان OA و OK فترات زمنية متساوية في الزمكان. ويُعبّر عن تمدد الزمن بنسبة OB / OK . معادلة القطع الزائد الثابت هي w = √ ^(x² + k² ) ^حيث k =  OK ، ومعادلة الخط الأحمر الذي يُمثل خط العالم لجسيم متحرك هي w = x / β = xc / v . وبإجراء بعض العمليات الجبرية، نحصل على     ${\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

يظهر التعبير الذي يتضمن رمز الجذر التربيعي بشكل متكرر في النسبية، ويُطلق على الواحد فوق هذا التعبير اسم عامل لورنتز، ويرمز له بالحرف اليوناني غاما (γ).${\displaystyle \gamma }$[ ^{42 ]​}

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

إذا كانت قيمة v أكبر من أو تساوي c ، فإن تعبير لـ${\displaystyle \gamma }$يصبح هذا المفهوم بلا معنى فيزيائي، مما يعني أن c هي أقصى سرعة ممكنة في الطبيعة. بالنسبة لأي قيمة v أكبر من الصفر، سيكون معامل لورنتز أكبر من واحد، على الرغم من أن شكل المنحنى يجعل معامل لورنتز قريبًا جدًا من الواحد عند السرعات المنخفضة.

في الشكل 3-3ب، يُمثل القطعان OA و OK فترات زمنية متساوية في الزمكان. ويُعبّر عن انكماش الطول بنسبة OB / OK . معادلة القطع الزائد الثابت هي x = √ ^(w² + k² ) ^، حيث k  = OK ، وحواف الشريط الأزرق الذي يُمثل خطوط العالم لنهايتي قضيب متحرك لها ميل 1/ β = c / v . إحداثيات الحدث A هي ( x , w ) = ( γk , γβk ) . بما أن معادلة المماس المار بالنقطتين A وB هي w = ( x - OB ) / β ، فإن γβk = ( γk - OB )/ β و                

${\displaystyle OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}}$

تُعدّ تحويلات غاليليو وقانونها المنطقي لجمع السرعات مناسبين تمامًا لعالمنا العادي ذي السرعات المنخفضة، عالم الطائرات والسيارات والكرات. إلا أنه ابتداءً من منتصف القرن التاسع عشر، بدأت الأجهزة العلمية الحساسة في رصد حالات شاذة لا تتوافق مع عملية جمع السرعات المعتادة.

تُستخدم تحويلات لورنتز لتحويل إحداثيات حدث ما من إطار مرجعي إلى آخر في النسبية الخاصة.

يظهر عامل لورنتز في تحويلات لورنتز:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

التحويلات العكسية للورنتز هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}$

عندما تكون v  ≪ c ويكون x صغيرًا بما فيه الكفاية، فإن مصطلحي v ² / c ² و vx / c ² يقتربان من الصفر، وتقترب تحويلات لورنتز من تحويلات غاليليو. 

${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}$${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)}$إلخ، غالباً ما تعني حقاً${\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$${\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)}$إلخ. على الرغم من أن معادلات تحويل لورنتز مكتوبة بدون دلتا اختصاراً، فإن x تعني Δ x ، إلخ. نحن، بشكل عام، نهتم دائمًا بالاختلافات المكانية والزمانية بين الأحداث.

إن تسمية إحدى مجموعتي التحويلات بتحويلات لورنتز العادية والأخرى بالتحويلات العكسية أمرٌ مُضلل، إذ لا يوجد فرق جوهري بين الإطارين. ويُطلق مؤلفون مختلفون على إحدى المجموعتين اسم "المجموعة العكسية". وترتبط التحويلات الأمامية والعكسية ارتباطًا مباشرًا، لأن الإطار S لا يتحرك إلا للأمام أو للخلف بالنسبة إلى S ′ . لذا، فإن عكس المعادلات يستلزم ببساطة تبديل المتغيرات ذات العلامة (') والمتغيرات بدون علامة (') واستبدال v بـ −v . ^{[ 43 ] : 71–79}

مثال: تيرينس وستيلا في سباق فضائي بين الأرض والمريخ. تيرينس مسؤول عند خط البداية، بينما ستيلا مشاركة. عند الزمن t = t ′ = 0 ، تتسارع مركبة ستيلا الفضائية لحظيًا إلى سرعة 0.5 c . المسافة من الأرض إلى المريخ 300 ثانية ضوئية (حوالي 90.0 × 10⁶ ^كم  ) . يلاحظ تيرينس عبور ستيلا خط النهاية عند الزمن t  =  600.00  ثانية . لكن ستيلا تلاحظ أن الوقت على ساعة سفينتها هو ⁠${\displaystyle t^{\prime }=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)=519.62\ {\text{s}}}$عندما تعبر خط النهاية، تحسب المسافة بين خطي البداية والنهاية، كما تم قياسها في إطارها، لتكون 259.81 ثانية ضوئية (حوالي77.9 × 10⁶ ^كم  ) . 1).

اشتقاق تحويلات لورنتز

ظهرت عشرات الاشتقاقات لتحويلات لورنتز منذ عمل أينشتاين الأصلي عام ١٩٠٥، ولكل منها تركيزها الخاص. ورغم أن اشتقاق أينشتاين استند إلى ثبات سرعة الضوء، إلا أن هناك مبادئ فيزيائية أخرى يمكن اعتبارها نقاط انطلاق. وفي نهاية المطاف، يمكن اعتبار نقاط الانطلاق البديلة هذه تعبيرات مختلفة عن مبدأ الموضعية الأساسي ، الذي ينص على أن تأثير جسيم ما على آخر لا ينتقل فورياً. ^{[ ٤٤ ]}

 يستند الاشتقاق المُقدّم هنا والموضح في الشكل 3-5 إلى اشتقاقٍ عرضه بايس ^{[ 41 ] : 64-66} ، ويستفيد من نتائج سابقة من أقسام التركيب النسبي للسرعات، وتمدد الزمن، وانكماش الطول. للحدث  P إحداثيات ( w , x ) في "نظام السكون" الأسود، وإحداثيات ( w ′ , x ′ ) في الإطار الأحمر المتحرك بسرعة β = v / c . لتحديد w ′ و x ′ بدلالة w و x (أو العكس)، من الأسهل في البداية اشتقاق تحويل لورنتز العكسي .

1. لا يمكن أن يحدث تمدد/انكماش في الطول في الاتجاهات العرضية. يجب أن تساوي y ' و z ' تساوي z ، وإلا فإن إمكانية مرور كرة سريعة الحركة طولها متر واحد عبر فتحة دائرية طولها متر واحد ستعتمد على الراصد. تنص الفرضية الأولى للنسبية على أن جميع الأطر المرجعية العطالية متكافئة، وأن التمدد/الانكماش العرضي سيخالف هذا القانون. ^{[ 43 ] : 27-28}  
2. من الرسم، w = a + b و x = r + s
3. من النتائج السابقة باستخدام المثلثات المتشابهة، نعلم أن s / a = b / r = v / c = β .
4. بسبب تمدد الزمن، a = γ w ′
5. وباستبدال المعادلة (4) في s / a = β ينتج s = γ w ′ β .
6. يُعطينا انكماش الطول والمثلثات المتشابهة r = γ x ′ و b = βr = βγx ′
7. وباستبدال تعابير s و a و r و b في المعادلات في الخطوة  2 نحصل مباشرة على$${\displaystyle {\begin{aligned}w&=\gamma w'+\beta \gamma x'\\x&=\gamma x'+\beta \gamma w'\end{aligned}}}$$

المعادلات المذكورة أعلاه هي تعابير بديلة لمعادلات t و x لتحويل لورنتز العكسي، كما يتضح من استبدال ct بـ w ، و ct ′ بـ w ′ ، و v / c بـ β . ومن التحويل العكسي، يمكن اشتقاق معادلات التحويل الأمامي بحلها لإيجاد قيم t ′ و x ′ .

تأثير دوبلر هو تغير في تردد أو طول موجة الموجة بين جهاز استقبال ومصدر يتحركان حركة نسبية. ولتبسيط الأمر، سنركز هنا على حالتين أساسيتين: (1) حركة المصدر و/أو جهاز الاستقبال تكون تمامًا على طول الخط الواصل بينهما (تأثير دوبلر الطولي)، و(2) الحركة تكون عمودية على هذا الخط ( تأثير دوبلر العرضي ). نتجاهل الحالات التي تتحرك فيها الموجات بزوايا متوسطة.

تأثير دوبلر الطولي

يتناول تحليل دوبلر الكلاسيكي الموجات المنتشرة في وسط ما، مثل الموجات الصوتية أو تموجات الماء، والتي تنتقل بين مصادر ومستقبلات تتحرك باتجاه بعضها أو بعيدًا عنها. يعتمد تحليل هذه الموجات على ما إذا كان المصدر أو المستقبل أو كلاهما يتحرك بالنسبة للوسط. في حالة ثبات المستقبل بالنسبة للوسط، وتحرك المصدر بعيدًا عنه مباشرةً بسرعة v _s، حيث β _s معامل السرعة ، يزداد الطول الموجي، ويُعطى التردد المرصود f بالعلاقة التالية:

${\displaystyle f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}}$

من ناحية أخرى، في حالة ثبات المصدر وتحرك جهاز الاستقبال بعيدًا عنه بسرعة v_{_r} بمعامل سرعة β _{_r}، فإن الطول الموجي لا يتغير، ولكن سرعة انتقال الموجات بالنسبة لجهاز الاستقبال تنخفض، ويُعطى التردد المرصود f بالعلاقة التالية:

${\displaystyle f=(1-\beta _{r})f_{0}}$

لا ينتشر الضوء، على عكس الصوت أو تموجات الماء، عبر أي وسط، ولا يوجد فرق بين مصدر يتحرك مبتعدًا عن المستقبل أو مستقبل يتحرك مبتعدًا عن المصدر.  يوضح الشكل 3-6 مخططًا للزمكان النسبي يُظهر مصدرًا ينفصل عن المستقبل بمعامل سرعة.${\displaystyle \beta ,}$بحيث تكون المسافة بين المصدر والمستقبل في وقت${\displaystyle w}$يكون${\displaystyle \beta w}$بسبب تمدد الزمن،${\displaystyle w=\gamma w'.}$بما أن ميل شعاع الضوء الأخضر هو -1،${\displaystyle T=w+\beta w=\gamma w'(1+\beta ).}$وبالتالي، يُعطى تأثير دوبلر النسبي بالمعادلة ^{[ 41 ] : 58-59}

${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.}$

تأثير دوبلر المستعرض

لنفترض أن مصدرًا ومستقبلًا، يقتربان من بعضهما البعض بحركة قصورية منتظمة على طول خطوط غير متقاطعة، وهما في أقرب نقطة لهما من بعضهما. يبدو أن التحليل الكلاسيكي يتوقع أن المستقبل لن يرصد أي انزياح دوبلر. نظرًا لدقة التحليل، فإن هذا التوقع ليس صحيحًا بالضرورة. مع ذلك، عند تعريفه بشكل مناسب، يُعد انزياح دوبلر المستعرض تأثيرًا نسبيًا لا نظير له في الرياضيات الكلاسيكية. وتتلخص هذه الدقة فيما يلي: ^{[ 45 ] : 541-543}

• الشكل 3-7أ. ما هو قياس التردد عندما يكون جهاز الاستقبال في أقرب نقطة هندسية له من المصدر؟ يُمكن تحليل هذا السيناريو بسهولة أكبر من خلال الإطار المرجعي S′ للمصدر. ^{[ ملاحظة 10 ]}
• الشكل 3-7ب. ما هو قياس التردد عندما يرى جهاز الاستقبال المصدر على أنه الأقرب إليه؟ يمكن تحليل هذا السيناريو بسهولة أكبر من خلال الإطار S لجهاز الاستقبال.

يتم فحص سيناريوهين آخرين بشكل شائع في مناقشات انزياح دوبلر المستعرض:

• الشكل 3-7ج. إذا كان جهاز الاستقبال يتحرك في دائرة حول المصدر، فما التردد الذي يقيسه جهاز الاستقبال؟
• الشكل 3-7د. إذا كان المصدر يتحرك في دائرة حول جهاز الاستقبال، فما التردد الذي يقيسه جهاز الاستقبال؟

في السيناريو (أ)، تكون نقطة أقرب اقتراب مستقلة عن الإطار المرجعي، وتمثل اللحظة التي لا يحدث فيها أي تغيير في المسافة مع الزمن (أي dr/dt  =  0 حيث r هي المسافة بين جهاز الاستقبال والمصدر)، وبالتالي لا يوجد انزياح دوبلر طولي. يلاحظ المصدر جهاز الاستقبال على أنه مضاء بضوء ذي تردد f ′ ، ولكنه يلاحظ أيضًا أن ساعة جهاز الاستقبال ممتدة زمنيًا. في الإطار المرجعي  S، يكون جهاز الاستقبال مضاءً بضوء منزاح نحو الأزرق بتردد

${\displaystyle f=f'\gamma =f'/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

في السيناريو (ب)، يُظهر الرسم التوضيحي جهاز الاستقبال مُضاءً بضوءٍ صادرٍ من المصدر عندما كان في أقرب نقطةٍ إليه، على الرغم من أن المصدر قد تحرك. ولأن ساعات المصدر مُتمددة زمنيًا كما تم قياسها في الإطار S، ولأن dr/dt كان يساوي صفرًا عند هذه النقطة، فإن الضوء المنبعث من المصدر، من هذه النقطة الأقرب، ينزاح نحو الأحمر مع التردد.

${\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

يمكن تحليل السيناريوهين (ج) و(د) باستخدام حجج بسيطة تتعلق بتمدد الزمن. في (ج)، يلاحظ جهاز الاستقبال الضوء القادم من المصدر على أنه منزاح نحو الأزرق بمعامل قدره${\displaystyle \gamma }$وفي (د)، ينزاح الضوء نحو الأحمر. التعقيد الوحيد الظاهر هو أن الأجسام الدائرة تتحرك بتسارع. مع ذلك، إذا نظر مراقب قصوري إلى ساعة متسارعة، فإن السرعة اللحظية للساعة فقط هي المهمة عند حساب تمدد الزمن. (لكن العكس غير صحيح). ^{[ 45 ] : 541-543.} تشير معظم التقارير عن انزياح دوبلر المستعرض إلى هذا التأثير على أنه انزياح نحو الأحمر، وتحلله من حيث السيناريوهات (ب) أو (د). ^{[ ملاحظة 11 ]}

في الفيزياء، تنص قوانين الحفظ على أن بعض الخصائص القابلة للقياس لنظام فيزيائي معزول لا تتغير مع تطور النظام بمرور الوقت. في عام ١٩١٥، اكتشفت إيمي نوثر أن أساس كل قانون من قوانين الحفظ هو تناظر جوهري في الطبيعة. ^{[ ٤٨ ]} فعدم اكتراث العمليات الفيزيائية بمكان حدوثها في الفضاء ( تناظر الإزاحة المكانية ) يُنتج قانون حفظ الزخم ، وعدم اكتراثها بوقت حدوثها ( تناظر الإزاحة الزمنية ) يُنتج قانون حفظ الطاقة ، وهكذا. في هذا القسم، ندرس النظرة النيوتونية لحفظ الكتلة والزخم والطاقة من منظور نسبي.

الزخم الكلي

لفهم كيف يجب تعديل النظرة النيوتونية لحفظ الزخم في سياق نسبي، نقوم بدراسة مشكلة جسمين متصادمين يقتصران على بُعد واحد.

في الميكانيكا النيوتونية، يمكن تمييز حالتين متطرفتين لهذه المشكلة مما ينتج عنه رياضيات ذات تعقيد أدنى:

1. يرتد الجسمان عن بعضهما البعض في تصادم مرن تمامًا.
2. يلتصق الجسمان ببعضهما ويستمران في الحركة كجسيم واحد. هذه الحالة الثانية هي حالة تصادم غير مرن تمامًا.

في كلتا الحالتين (1) و(2)، تبقى كمية الحركة والكتلة والطاقة الكلية محفوظة. مع ذلك، لا تبقى الطاقة الحركية محفوظة في حالات التصادم غير المرن، حيث يتحول جزء من الطاقة الحركية الابتدائية إلى حرارة.

في الحالة (2)، كتلتان لهما زخم${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {1}}=m_{1}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {1}}}$و ​​${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {2}}=m_{2}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {2}}}$تتصادم لتكوين جسيم واحد ذي كتلة محفوظة .${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$يتحرك بسرعة مركز كتلة النظام الأصلي،${\displaystyle {\boldsymbol {v_{cm}}}=\left(m_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}+m_{2}{\boldsymbol {v_{2}}}\right)/\left(m_{1}+m_{2}\right)}$الزخم الكلي${\displaystyle {\boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}}}$يتم الحفاظ عليه.

يوضح الشكل  3-10 التصادم غير المرن بين جسيمين من منظور نسبي. المكونات الزمنية${\displaystyle E_{1}/c}$و​​${\displaystyle E_{2}/c}$تُشكّل هذه المكونات مجتمعةً الطاقة الكلية E /c للمتجه المحصل، مما يعني أن الطاقة محفوظة. وبالمثل، فإن المكونات الفضائية ...${\displaystyle {\boldsymbol {p_{1}}}}$و​​${\displaystyle {\boldsymbol {p_{2}}}}$تتجمع هذه الكميات لتشكل متجه المحصلة p . الزخم الرباعي، كما هو متوقع، كمية محفوظة. مع ذلك، فإن الكتلة الثابتة للجسيم المندمج، المعطاة بالنقطة التي يتقاطع عندها القطع الزائد الثابت للزخم الكلي مع محور الطاقة، لا تساوي مجموع الكتل الثابتة للجسيمات الفردية التي تصادمت. في الواقع، هي أكبر من مجموع الكتل الفردية .${\displaystyle m>m_{1}+m_{2}}$[ ^{41 ] : 94-97}​^​

بالنظر إلى أحداث هذا السيناريو بترتيب عكسي، نلاحظ أن عدم حفظ الكتلة ظاهرة شائعة: فعندما يتحلل جسيم أولي غير مستقر تلقائيًا إلى جسيمين أخف، تبقى الطاقة الكلية محفوظة، لكن الكتلة لا تبقى كذلك. يتحول جزء من الكتلة إلى طاقة حركية. ^{[ 43 ] : 134-138}

اختيار الأطر المرجعية

الشكل 3-11. (أعلاه) إطار المختبر . (يمين) إطار مركز الزخم .

تتيح لنا حرية اختيار أي إطار مرجعي لإجراء التحليل انتقاء الإطار الأنسب. في تحليل مسائل الزخم والطاقة، يُعدّ إطار مركز الزخم (أو إطار الزخم الصفري) هو الأنسب عادةً. وهو الإطار الذي يكون فيه مُركّب الزخم الكلي للنظام في الفضاء صفرًا.  يوضح الشكل 3-11 انقسام جسيم عالي السرعة إلى جسيمين ناتجين. في إطار المختبر، ينبعث الجسيمان الناتجان في اتجاه موازٍ لمسار الجسيم الأصلي. أما في إطار مركز الزخم، فينبعث الجسيمان الناتجان في اتجاهين متعاكسين، على الرغم من اختلاف كتلتيهما وسرعتيهما عمومًا. ^{[ 49 ]}

حفظ الطاقة والزخم

في التحليل النيوتني للجسيمات المتفاعلة ، يكون التحويل بين الأطر المرجعية بسيطًا لأن كل ما هو ضروري هو تطبيق تحويل غاليليو على جميع السرعات.${\displaystyle v'=v-u}$الزخم​​${\displaystyle p'=p-mu}$^{إذا لوحظ أن} الزخم الكلي لنظام جسيمات متفاعلة محفوظ في إطار مرجعي واحد، فسيُلاحظ بالمثل أنه محفوظ في أي إطار مرجعي آخر. [ ^{43 ] : 241-245}

ينص قانون حفظ الزخم في إطار مركز الكتلة على أن الزخم يساوي صفرًا  قبل  التصادم وبعده. أما في التحليل النيوتني، فينص قانون حفظ الكتلة على أن${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$في السيناريوهات المبسطة أحادية البعد التي تناولناها، لا يلزم سوى قيد إضافي واحد قبل تحديد الزخم الخارج للجسيمات، وهو شرط الطاقة. في حالة التصادم المرن تمامًا دون فقدان للطاقة الحركية، تكون سرعات الجسيمات المرتدة الخارجة في إطار مركز الكتلة مساوية تمامًا ومعاكسة لسرعاتها الداخلة. أما في حالة التصادم غير المرن تمامًا مع فقدان كامل للطاقة الحركية، فتكون سرعات الجسيمات المرتدة الخارجة صفرًا . ^{[ 43 ] : 241-245}

الزخم النيوتوني، محسوبًا على النحو التالي :${\displaystyle p=mv}$، تفشل في التصرف بشكل صحيح تحت التحويل اللورنتزي. التحويل الخطي للسرعات${\displaystyle v'=v-u}$يتم استبدالها باللاخطية العالية ${\displaystyle v^{\prime }=(v-u)/(1-{vu}/{c^{2}})}$وبالتالي، فإن أي حساب يُثبت حفظ الزخم في إطار مرجعي واحد سيكون غير صالح في أطر مرجعية أخرى. واجه أينشتاين خيارين: إما التخلي عن مبدأ حفظ الزخم، أو تغيير تعريف الزخم. وقد اختار الخيار الثاني. ^{[ 41 ] : 104}

الشكل 3-12أ. مخطط الطاقة والزخم لتحلل البيون المشحون.

الشكل 3-12ب. تحليل باستخدام آلة حاسبة بيانية لتحلل البيون المشحون.

يحلّ قانون الحفظ النسبي للطاقة والزخم محلّ قوانين الحفظ الكلاسيكية الثلاثة للطاقة والزخم والكتلة. لم تعد الكتلة محفوظة بشكل مستقل، لأنها أصبحت جزءًا من الطاقة النسبية الكلية. وهذا يجعل مفهوم حفظ الطاقة في النسبية أبسط منه في الميكانيكا غير النسبية، لأن الطاقة الكلية محفوظة دون أي قيود. وتظهر الطاقة الحركية المتحولة إلى حرارة أو طاقة كامنة داخلية على شكل زيادة في الكتلة. ^{[ 43 ] : 127}

مثال: نظرًا لتكافؤ الكتلة والطاقة، تُقاس كتل الجسيمات الأولية عادةً بوحدات الطاقة، حيث 1 ميغا إلكترون فولت = 10⁶ ^{إلكترون} فولت. البيون المشحون جسيم كتلته 139.57  ميغا إلكترون فولت (أي ما يقارب 273 ضعف كتلة الإلكترون). وهو غير مستقر، ويتحلل إلى ميون كتلته 105.66  ميغا إلكترون فولت (أي ما يقارب 207 ضعف كتلة الإلكترون) ومضاد نيوترينو، الذي تكاد كتلته تكون معدومة. الفرق بين كتلة البيون وكتلة الميون هو 33.91  ميغا إلكترون فولت.

π ⁻→ μ ⁻+ ν_μ

يوضح الشكل  3-12أ مخطط الطاقة-الزخم لتفاعل الاضمحلال هذا في إطار سكون البيون. نظرًا لكتلته الضئيلة، يتحرك النيوترينو بسرعة تقارب سرعة الضوء. والتعبير النسبي لطاقته، مثل طاقة الفوتون، هو ⁠${\displaystyle E_{v}=pc,}$وهي أيضاً قيمة المركبة المكانية لزخمه. وللحفاظ على الزخم، يمتلك الميون نفس قيمة المركبة المكانية لزخم النيوترينو، ولكن في الاتجاه المعاكس.

تتوفر تحليلات جبرية لطاقة تفاعل الاضمحلال هذا على الإنترنت، ^{[ 50 ]} لذا يعرض الشكل  3-12ب حلاً باستخدام آلة حاسبة بيانية. تبلغ طاقة النيوترينو 29.79  ميغا إلكترون فولت، وطاقة الميون 33.91 ميغا إلكترون فولت - 29.79 ميغا إلكترون فولت = 4.12 ميغا إلكترون فولت . ويحمل النيوترينو، ذو الكتلة شبه الصفرية، معظم الطاقة.

في وجهة نظر بوانكاريه التقليدية ، يتمثل المعياران الأساسيان لاختيار الهندسة الإقليدية مقابل الهندسة غير الإقليدية في الاقتصاد والبساطة. سيقول الواقعي إن آينشتاين اكتشف أن الزمكان غير إقليدي. بينما سيقول التقليدي إن آينشتاين وجد ببساطة أن استخدام الهندسة غير الإقليدية أكثر ملاءمة . وسيؤكد التقليدي أن تحليل آينشتاين لم يُقدم أي تفسير لطبيعة هندسة الزمكان الحقيقية . ^{[ 54 ]}

مع ذلك،

1. هل من الممكن تمثيل النسبية العامة من حيث الزمكان المسطح؟
2. هل هناك أي حالات يكون فيها تفسير الزمكان المسطح للنسبية العامة أكثر ملاءمة من تفسير الزمكان المنحني المعتاد؟

رداً على السؤال الأول، قدم عدد من المؤلفين، بمن فيهم ديسر، وغريشوك، وروزن، وواينبرغ، وغيرهم، صياغات متنوعة للجاذبية كحقل في فضاء مسطح. وتُعرف هذه النظريات بأسماء مختلفة، منها " الجاذبية ثنائية القياس "، و"النهج النظري الحقلي للنسبية العامة"، وما إلى ذلك. ^{[ 55 ] [ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]} وقد قدم كيب ثورن مراجعة مبسطة لهذه النظريات. ^{[ 59 ] : 397-403}

يفترض نموذج الزمكان المسطح أن المادة تُنشئ مجالًا جاذبيًا يتسبب في انكماش المسطرة عند تدويرها من الوضع المحيطي إلى الوضع القطري، ويتسبب في تمدد دقات الساعات. يُكافئ نموذج الزمكان المسطح نموذج الزمكان المنحني تمامًا، إذ يُمثلان نفس الظواهر الفيزيائية. مع ذلك، تختلف صياغاتهما الرياضية اختلافًا جذريًا. يُبدّل الفيزيائيون العاملون بشكل روتيني بين استخدام تقنيات الزمكان المنحني والمسطح تبعًا لمتطلبات المسألة. يُعد نموذج الزمكان المسطح مناسبًا لإجراء حسابات تقريبية في المجالات الضعيفة. لذا، تُستخدم تقنيات الزمكان المسطح عادةً عند حل مسائل الموجات الثقالية، بينما تُستخدم تقنيات الزمكان المنحني عادةً في تحليل الثقوب السوداء. ^{[ 59 ] : 397-403}

مجموعة تناظر الزمكان في النسبية الخاصة هي مجموعة بوانكاريه ، وهي مجموعة ذات عشرة أبعاد تتكون من ثلاثة تحويلات لورنتز، وثلاثة دورانات، وأربعة إزاحات زمكانية. ومن المنطقي التساؤل عن التناظرات التي قد تنطبق، إن وجدت، في النسبية العامة . ولعلّ من الحالات التي يمكن دراستها دراسة تناظرات الزمكان كما يراها مراقبون بعيدون عن جميع مصادر مجال الجاذبية. وقد يكون التوقع البسيط لتناظرات الزمكان المسطحة تقاربياً هو ببساطة توسيع وإعادة إنتاج تناظرات الزمكان المسطح في النسبية الخاصة، أي مجموعة بوانكاريه.

في عام 1962، تناول هيرمان بوندي ، وإم جي فان دير بورغ، وإيه دبليو ميتزنر [ ^{60 ] ،} وراينر ك. ساكس ^{[ 61 ]} مسألة التناظر التقاربي هذه بهدف دراسة تدفق الطاقة عند اللانهاية نتيجة انتشار موجات الجاذبية . تمثلت خطوتهم الأولى في تحديد بعض الشروط الحدية المنطقية فيزيائيًا لتطبيقها على حقل الجاذبية عند اللانهاية الشبيهة بالضوء، وذلك لتحديد معنى أن يكون المقياس مسطحًا تقاربيًا، دون وضع أي افتراضات مسبقة حول طبيعة مجموعة التناظر التقاربي، ولا حتى افتراض وجود مثل هذه المجموعة. بعد ذلك، وبعد تصميم ما اعتبروه الشروط الحدية الأكثر منطقية، درسوا طبيعة تحويلات التناظر التقاربي الناتجة التي تُبقي شكل الشروط الحدية المناسبة لحقول الجاذبية المسطحة تقاربيًا ثابتًا. ^{[ 62 ] : 35}

ما اكتشفوه هو أن تحويلات التناظر التقاربي تُشكّل بالفعل زمرة، وأن بنية هذه الزمرة لا تعتمد على مجال الجاذبية الموجود. وهذا يعني، كما هو متوقع، إمكانية فصل حركية الزمكان عن ديناميكيات مجال الجاذبية، على الأقل عند اللانهاية المكانية. وكانت المفاجأة المحيرة في عام ١٩٦٢ اكتشافهم لزمرة غنية لا نهائية الأبعاد (ما يُسمى زمرة BMS) كزمرة تناظر تقاربي، بدلاً من زمرة بوانكاريه محدودة الأبعاد، وهي زمرة فرعية من زمرة BMS. ولا تقتصر تحويلات لورنتز على كونها تحويلات تناظر تقاربي، بل توجد أيضًا تحويلات إضافية ليست تحويلات لورنتز، ولكنها تحويلات تناظر تقاربي. في الواقع، وجدوا عددًا لا نهائيًا إضافيًا من مولدات التحويلات تُعرف باسم التحويلات الفائقة . وهذا يُشير إلى أن النسبية العامة لا تختزل إلى النسبية الخاصة في حالة المجالات الضعيفة على مسافات طويلة. ^{[ 62 ] : 35}

لأسباب فيزيائية، يُعرَّف الزمكان المتصل رياضياً بأنه متعدد شعب لورنتزي رباعي الأبعاد، أملس، ومتصل${\displaystyle (M,g)}$وهذا يعني مقياس لورنتز السلس${\displaystyle g}$يحمل توقيعًا${\displaystyle (3,1)}$يحدد المقياسهندسة الزمكان ، بالإضافة إلى تحديد المساراتالجيوديسيةللجسيمات وحزم الضوء. حول كل نقطة (حدث) على هذا الفضاء المتشعب،تُستخدممخططات الإحداثيات${\displaystyle (x,y,z,t)}$تُستخدم وحدات القياس. علاوة على ذلك، ولتبسيط الأمور، تُختار وحدات القياس عادةً بحيث تكون سرعة الضوء${\displaystyle c}$يساوي 1. ^{[ 64 ]}

يمكن تحديد إطار مرجعي (مراقب) باستخدام أحد مخططات الإحداثيات هذه؛ ويمكن لأي مراقب من هذا القبيل وصف أي حدث${\displaystyle p}$يمكن تحديد إطار مرجعي آخر بواسطة مخطط إحداثيات ثانٍ حول${\displaystyle p}$قد يصف مراقبان (واحد في كل إطار مرجعي) نفس الحدث${\displaystyle p}$لكن الحصول على أوصاف مختلفة. ^{[ 64 ]}

عادةً، يلزم وجود العديد من مخططات الإحداثيات المتداخلة لتغطية متعدد الشعب. بالنظر إلى مخططين للإحداثيات، أحدهما يحتوي على${\displaystyle p}$(يمثل مراقبًا) وآخر يحتوي على${\displaystyle q}$(بتمثيل مراقب آخر)، يمثل تقاطع المخططات منطقة الزمكان التي يمكن لكلا المراقبين فيها قياس الكميات الفيزيائية، وبالتالي مقارنة النتائج. وتُحدد العلاقة بين مجموعتي القياسات بتحويل إحداثيات غير منفرد عند هذا التقاطع. كما أن فكرة مخططات الإحداثيات كمراقبين محليين قادرين على إجراء القياسات في جوارهم منطقية من الناحية الفيزيائية، إذ إن هذه هي الطريقة التي تُجمع بها البيانات الفيزيائية فعليًا - محليًا. ^{[ 64 ]}

على سبيل المثال، قد يلاحظ مراقبان، أحدهما على الأرض والآخر على متن صاروخ سريع إلى كوكب المشتري، اصطدام مذنب بكوكب المشتري (هذا هو الحدث).${\displaystyle p}$بشكل عام، سيختلفون حول الموقع والتوقيت الدقيقين لهذا التأثير، أي أن لديهم مجموعات رباعية مختلفة.${\displaystyle (x,y,z,t)}$(نظرًا لاستخدامهم أنظمة إحداثيات مختلفة). على الرغم من اختلاف توصيفاتهم الحركية، فإن القوانين الديناميكية (الفيزيائية)، مثل قانون حفظ الزخم والقانون الأول للديناميكا الحرارية، ستظل سارية. في الواقع، تتطلب نظرية النسبية أكثر من ذلك، إذ تنص على أن هذه القوانين (وجميع القوانين الفيزيائية الأخرى) يجب أن تتخذ الشكل نفسه في جميع أنظمة الإحداثيات. وهذا يُدخل الموترات إلى النسبية، والتي تُستخدم لتمثيل جميع الكميات الفيزيائية.

تُوصف المسارات الجيوديسية بأنها زمنية أو صفرية أو مكانية إذا كان متجه المماس لنقطة ما على المسار الجيوديسي من هذه النوعية. وتُمثل مسارات الجسيمات وحزم الضوء في الزمكان بمسارات جيوديسية زمنية وصفرية (شبيهة بالضوء)، على التوالي. ^{[ 64 ]}