رسم خرائط الضغط

تُطوَّر هندسة الزمكان تقليديًا على النحو التالي: نختار النقطة (0,0) لتمثيل "اللحظة الراهنة" في الزمكان. يتتبع الضوء المنبعث يمينًا ويسارًا عبر هذه النقطة المركزية خطين في الزمكان، وهما خطان يُمكن استخدامهما لتحديد إحداثيات الأحداث البعيدة عن النقطة (0,0). تتجه المسارات ذات السرعة الأقل نحو الخط الزمني الأصلي (0, t ). يُمكن اعتبار أي سرعة من هذا القبيل سرعة صفرية في ظل عملية ضغط تُسمى تعزيز لورنتز . تنبع هذه الفكرة من دراسة عمليات ضرب الأعداد المركبة المنقسمة والأساس القطري الذي يُقابل زوج خطوط الضوء. رسميًا، يحافظ الضغط على المقياس الزائدي المُعبَّر عنه بالصيغة xy ؛ في نظام إحداثيات مختلف. وقد لُوحظ هذا التطبيق في نظرية النسبية عام 1912 من قِبل ويلسون ولويس، ^{[ 4 ]} وفيرنر غرويب، ^{[ 5 ]} ولويس كوفمان . ^{[ 6 ]} علاوة على ذلك، استخدم غوستاف هيرغلوتز (1909/1910) ^{[ 7 ]} شكل تحويلات لورنتز باستخدام تقنية الضغط أثناء مناقشته لصلابة بورن ، وقد شاع استخدامه على يد فولفغانغ ريندل في كتابه المدرسي عن النسبية، حيث استخدمه في إثبات خاصيتها المميزة. ^{[ 8 ]}

استُخدم مصطلح تحويل الضغط في هذا السياق في مقال يربط بين مجموعة لورنتز وحساب جونز في علم البصريات. ^{[ 9 ]}

في ديناميكا الموائع، تتمثل إحدى الحركات الأساسية لتدفق غير قابل للانضغاط في تشعب التدفق عند اصطدامه بجدار ثابت. إذا مثّلنا الجدار بالمحور y = 0، وأخذنا المعامل r = exp( t ) حيث t هو الزمن، فإن تطبيق دالة الضغط مع المعامل r على حالة المائع الابتدائية ينتج عنه تدفق ذو تشعب على جانبي المحور x = 0. ويُظهر النموذج نفسه تقارب المائع عند عكس الزمن. في الواقع، تظل مساحة أي قطاع زائدي ثابتة تحت تأثير الضغط.

للحصول على نهج آخر للتدفق ذي الخطوط الانسيابية الزائدية ، انظر التدفق الكامن §  قوانين القوة مع n = 2 .

في عام 1989، وصف أوتينو ^{[ 10 ]} "التدفق ثنائي الأبعاد متساوي الحجم الخطي" على النحو التالي:

${\displaystyle v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}}$

حيث تقع K في الفترة [ −1 ، 1]. تتبع خطوط التدفق المنحنيات

${\displaystyle x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constant} }$

لذا فإن قيمة K السالبة تتوافق مع القطع الناقص وقيمة K الموجبة مع القطع الزائد، مع الحالة المستطيلة لتعيين الضغط التي تتوافق مع K = 1.

وصف ستوكر وهوسوي ^{[ 11 ]} نهجهما في تدفق الزاوية على النحو التالي:

نقترح صياغة بديلة لتفسير الشكل الهندسي الشبيه بالزاوية، بالاعتماد على استخدام الإحداثيات الزائدية، مما يتيح تقدماً تحليلياً كبيراً نحو تحديد التدفق في حدود بلاتو وخيوط السائل المتصلة بها. ندرس منطقة تدفق تشكل زاوية π /2 ومحددة من اليسار والأسفل بمستويات تناظر.

ثم يستذكر ستوكر وهوسوي دراسة موفات ^{[ 12 ]} حول "التدفق في زاوية بين حدود صلبة، ناتج عن اضطراب عشوائي على مسافة كبيرة". وفقًا لستوكر وهوسوي،

بالنسبة لسائل حر في زاوية مربعة، فإن دالة التدفق (المضادة للتناظر) لموفات ... [تشير] إلى أن الإحداثيات الزائدية هي بالفعل الخيار الطبيعي لوصف هذه التدفقات.

تُستخدم خاصية الحفاظ على المساحة في عملية رسم الخرائط المضغوطة في وضع أساس الدوال المتسامية، مثل اللوغاريتم الطبيعي ومعكوسه، أي الدالة الأسية :

التعريف: القطاع ( أ، ب ) هو القطاع الزائدي الذي تم الحصول عليه باستخدام الأشعة المركزية إلى ( أ ، 1/ أ ) و ( ب ، 1/ ب ).

اللمة: إذا كان bc = ad ، فإن هناك عملية ضغط تنقل القطاع ( a,b ) إلى القطاع ( c,d ).

البرهان: خذ المعامل r = c / a بحيث أن ( u,v ) = ( rx , y / r ) يأخذ ( a , 1/ a ) إلى ( c , 1/ c ) و ( b , 1/ b ) إلى ( d , 1/ d ).

نظرية ( غريغوار دي سان فنسان 1647) إذا كان bc = ad ، فإن مساحة التربيع للقطع الزائد xy = 1 مقابل الخط المقارب متساوية بين a و b مقارنة بالمساحة بين c و d .

البرهان: يُظهر جمع وطرح مثلثات مساحتها ½ ، أحدها المثلث {(0,0), (0,1), (1,1)}، أن مساحة القطاع الزائدي تساوي المساحة على طول الخط المقارب. ومن ثم، تُستنتج النظرية من اللمة .

تنص نظرية ( ألفونس أنطونيو دي ساراسا، 1649) على أنه كلما زادت المساحة المقاسة على خط التقارب وفقًا لمتتابعة حسابية، زادت الإسقاطات على خط التقارب وفقًا لمتتابعة هندسية. وبالتالي، تشكل المساحات لوغاريتمات لمؤشر خط التقارب.

على سبيل المثال، بالنسبة لزاوية موضع قياسية تمتد من (1،  1) إلى ( x ،  1/ x )، قد يسأل المرء "متى تكون الزاوية الزائدية مساوية للواحد؟" الإجابة هي العدد المتسامي x = e .

يؤدي الضغط بنصف قطر يساوي e إلى تحريك الزاوية الوحدة إلى زاوية تقع بين ( e ,  1/ e ) و( ee ,  1/ ee )، والتي تُقابل قطاعًا مساحته أيضًا واحد. المتتابعة الهندسية

ه ، ه ² ، ه ³ ، ...، ه ^ن ، ...

يتوافق مع المؤشر التقاربي الذي يتم تحقيقه مع كل مجموع للمساحات

1، 2، 3، ...، ن ، ...

وهو متتابعة حسابية نموذجية A + nd حيث A = 0 و d = 1.

بعد دراسات بيير أوسيان بونيه (1867) حول الأسطح ذات الانحناءات الثابتة، وجد سوفوس لي (1879) طريقة لاستنتاج أسطح شبه كروية جديدة من سطح معروف. تحقق هذه الأسطح معادلة ساين-غوردون .

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,}$

أين${\displaystyle (s,\sigma )}$هي الإحداثيات التقاربية لمنحنيين مماسين رئيسيين و${\displaystyle \Theta }$زاويتهم الخاصة. أظهر الكذب أنه إذا${\displaystyle \Theta =f(s,\sigma )}$إذا كان حلاً لمعادلة ساين-غوردون، فإن عملية الضغط التالية (المعروفة الآن باسم تحويل لي ^{[ 13 ]} ) تشير إلى حلول أخرى لتلك المعادلة: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).}$

لاحظ لي (1883) علاقته بتحويلين آخرين للأسطح شبه الكروية: ^{[ 15 ]} يمكن اعتبار تحويل باكلوند ( الذي قدمه ألبرت فيكتور باكلوند عام 1883) مزيجًا من تحويل لي وتحويل بيانكي (الذي قدمه لويجي بيانكي عام 1879). وقد نوقشت هذه التحويلات للأسطح شبه الكروية بالتفصيل في محاضرات الهندسة التفاضلية التي ألقاها غاستون داربو (1894)، ^{[ 16 ]} ولويجي بيانكي (1894)، ^{[ 17 ]} ولوثر فاهلر أيزنهاورت (1909). ^{[ 18 ]}

من المعروف أن تحويلات لي (أو خرائط الضغط) تتوافق مع تعزيزات لورنتز من حيث إحداثيات مخروط الضوء ، كما أشار تيرنج وأولينبيك (2000): ^{[ 13 ]}

لاحظ سوفوس لي أن معادلة ساينس-غوردون (SGE) ثابتة تحت تحويلات لورنتز. في الإحداثيات التقاربية، التي تُقابل إحداثيات المخروط الضوئي، يكون تحويل لورنتز${\displaystyle (x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)}$.

ويمكن تمثيل ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}}$

حيث k يتوافق مع عامل دوبلر في حساب بوندي k ، و η هي السرعة .