سلسلة سنترال

في الرياضيات ، وخاصة في مجالي نظرية الزمر ونظرية لي ، تُعدّ المتسلسلة المركزية نوعًا من المتسلسلات الطبيعية للزمر الجزئية أو جبر لي الجزئي ، وهي تُعبّر عن فكرة أن المُبدِّل شبه تافه. بالنسبة للزمر ، يعني وجود متسلسلة مركزية أنها زمرة معدومة القوة ؛ أما بالنسبة لحلقات المصفوفات (التي تُعتبر جبر لي)، فيعني ذلك أن الحلقة، في أساس ما، تتكون بالكامل من مصفوفات مثلثية علوية ذات قطر ثابت.

تستخدم هذه المقالة لغة نظرية الزمر؛ ويتم استخدام مصطلحات مماثلة لجبر لي.

تمتلك المجموعة العامة متسلسلة مركزية سفلية ومتسلسلة مركزية علوية (تُسمى أيضًا المتسلسلة المركزية التنازلية والمتسلسلة المركزية التصاعدية على التوالي)، لكن هاتين المتسلسلتين مركزيتان بالمعنى الدقيق (تنتهيان في المجموعة الفرعية التافهة) إذا وفقط إذا كانت المجموعة معدومة القوة . وهناك بناء مشابه ولكنه مختلف، وهو المتسلسلة المشتقة ، التي تنتهي في المجموعة الفرعية التافهة كلما كانت المجموعة قابلة للحل .

السلسلة المركزية هي سلسلة من المجموعات الفرعية

${\displaystyle \{1\}=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \dots \triangleleft A_{n}=G}$

بحيث تكون نواتج القسمة المتتالية مركزية ؛ أي${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}}$، أين${\displaystyle [G,H]}$يرمز إلى مجموعة التبديلات المولدة بواسطة جميع العناصر من الشكل${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$، حيث g في G و h في H. بما أن${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}}$، المجموعة الفرعية${\displaystyle A_{i+1}}$يكون طبيعيًا في G لكل i . وبالتالي، يمكننا إعادة صياغة الشرط "المركزي" أعلاه على النحو التالي:${\displaystyle A_{i}}$طبيعي في G و${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$ يُعدّ محورياً في${\displaystyle G/A_{i}}$ لكل قيمة من قيم i . ونتيجة لذلك،${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$تكون تبديلية لكل i .

السلسلة المركزية مماثلة في نظرية لي للعلم الذي يتم الحفاظ عليه بدقة بواسطة الفعل المرافق (بشكل أكثر بساطة، أساس يتم فيه تمثيل كل عنصر بواسطة مصفوفة مثلثية علوية صارمة )؛ قارن نظرية إنجل .

لا يشترط أن تحتوي المجموعة على متسلسلة مركزية. في الواقع، تحتوي المجموعة على متسلسلة مركزية إذا وفقط إذا كانت مجموعة معدومة القوة . إذا احتوت المجموعة على متسلسلة مركزية، فستكون هناك متسلسلتان مركزيتان تكون حدودهما متطرفة بمعنى معين. بما أن _A₀ = {1}، فإن المركز Z ( G ) يحقق A₁ ≤ Z ( G ). لذلك، فإن الخيار الأمثل لـ _A₁ هو A₁ = _Z ( G ). بالاستمرار على هذا المنوال لاختيار أكبر قيمة ممكنة لـ Aᵢ₊₁ بمعلومية Aᵢ ، _{نحصل على ما يُسمى} المتسلسلة المركزية العليا . وبالمثل، بما أن _An = G ، فإن المجموعة الجزئية التبادلية [ G , Gₙ ] تحقق [ G , Gₙ ] = [ G , An _] ≤ Anₙ₋₁ _{. لذلك،} فإن _الخيار الأمثل لـ _Anₙ₋₁ هو [ _G , Gₙ ] . _يؤدي الاستمرار في اختيار Aᵢ بأقل قيمة ممكنة لـ _Aᵢ + ₁ بحيث يكون [ G , Aᵢ _{+ 1} ] ≤ Aᵢ _إلى إنتاج ما يُسمى بالمتسلسلة المركزية السفلى . يمكن إنشاء هذه المتسلسلات لأي زمرة، وإذا كانت للزمرة متسلسلة مركزية (أي زمرة عديمة القوة) _، فإن هذه الإجراءات ستؤدي إلى متسلسلات مركزية.  

السلسلة المركزية السفلى ( أو السلسلة المركزية التنازلية ) لمجموعة${\displaystyle G}$هي سلسلة تنازلية من المجموعات الفرعية

${\displaystyle G=G_{1}\trianglerighteq G_{2}\trianglerighteq \cdots \trianglerighteq G_{n}\trianglerighteq \cdots }$،

حيث، لكل${\displaystyle n}$،

${\displaystyle G_{n+1}=[G_{n},G]}$،

المجموعة الفرعية من${\displaystyle G}$يتم توليدها بواسطة جميع المبدلات${\displaystyle [x,y]}$مع${\displaystyle x\in G_{n}}$و${\displaystyle y\in G}$. هكذا،${\displaystyle G_{2}=[G,G]=G^{(1)}}$، المجموعة الفرعية المشتقة من${\displaystyle G}$، بينما${\displaystyle G_{3}=[[G,G],G]}$إلخ. غالبًا ما يُشار إلى السلسلة المركزية السفلية بـ${\displaystyle \gamma _{n}(G)=G_{n}}$نقول إن السلسلة تنتهي أو تستقر عندما${\displaystyle G_{n}=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots }$وأصغرها${\displaystyle n}$يزيد بمقدار واحد عن طول السلسلة.

لا ينبغي الخلط بين هذا وبين المتسلسلة المشتقة ، التي تكون حدودها

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]}$،

لا${\displaystyle G_{n}=[G_{n-1},G]}$ترتبط السلسلتان بـ${\displaystyle G^{(n)}\leq G_{n}}$على سبيل المثال، المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{3}}$قابلة للحل من الفئة 2: المتسلسلة المشتقة هي

${\displaystyle S_{3}\trianglerighteq \{e,(1\;2\;3),(1\;3\;2)\}\trianglerighteq \{e\}.}$

لكنها ليست عديمة القوة: سلسلتها المركزية السفلية

${\displaystyle S_{3}\trianglerighteq \{e,(1\;2\;3),(1\;3\;2)\}}$

لا تنتهي في${\displaystyle \{e\}}$. المجموعة العديمة القوة هي مجموعة قابلة للحل ، وطولها المشتق لوغاريتمي في فئة عدم القوة الخاصة بها ( شينكمان 1975 ، ص 201،216) . 

بالنسبة للمجموعات اللانهائية، يمكن مواصلة السلسلة المركزية السفلى إلى أعداد ترتيبية لانهائية عبر الاستدعاء الذاتي المتسامي : بالنسبة لعدد ترتيبي نهائي λ ، عرّف

${\displaystyle G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}}$.

لو${\displaystyle G_{\lambda }=1}$بالنسبة لعدد ترتيبي λ ما، يُقال إن G زمرة مركزية . لكل عدد ترتيبي λ ، توجد زمرة G بحيث${\displaystyle G_{\lambda }=1}$، لكن${\displaystyle G_{\alpha }\neq 1}$للجميع${\displaystyle \alpha <\lambda }$( مالسيف 1949 ) .

لو${\displaystyle \omega }$هو أول عدد ترتيبي لانهائي، ثم${\displaystyle G_{\omega }}$هي أصغر زمرة جزئية طبيعية من G بحيث يكون ناتج قسمتها زمرةً صفريةً متبقية ، أي بحيث يكون لكل عنصر غير محايد صورة متماثلة غير محايدة في زمرة صفرية ( شينكمان 1975 ، ص 175، 183) . في مجال نظرية الزمر التوافقية ، تُعد حقيقة أن الزمر الحرة صفرية متبقية نتيجةً مهمةً ومبكرة . في الواقع، نواتج قسمة السلسلة المركزية السفلى هي زمر أبيلية حرة ذات أساس طبيعي مُعرَّف بواسطة مُبدِّلات أساسية ( هول 1959 ، الفصل 11) . 

لو${\displaystyle G_{\omega }=G_{n}}$لبعض القيم المحدودة لـ n ، إذن${\displaystyle G_{\omega }}$هي أصغر زمرة جزئية طبيعية من G ذات خارج قسمة عديم القوة، و${\displaystyle G_{\omega }}$يُطلق عليه اسم الباقي الصفري للمجموعة G. وهذا ينطبق دائمًا على المجموعات المنتهية، ويُعرّف${\displaystyle F_{1}(G)}$الحد في سلسلة فيتينغ السفلية لـ G.

لو${\displaystyle G_{\omega }\neq G_{n}}$لكل قيمة n محدودة ، إذن${\displaystyle G/G_{\omega }}$ليس عديم القوة، ولكنه عديم القوة بشكل متبقٍ .

لا يوجد مصطلح عام لتقاطع جميع حدود السلسلة المركزية السفلى المتسامية، على غرار المركز الفائق (أدناه).

السلسلة المركزية العليا ( أو السلسلة المركزية الصاعدة ) لمجموعة G هي سلسلة المجموعات الفرعية

${\displaystyle 1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft Z_{i}\triangleleft \cdots ,}$

حيث يتم تعريف كل مجموعة متتالية من خلال:

${\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G\mid \forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}$

ويُطلق عليه المركز رقم i من G (على التوالي، المركز الثاني ، المركز الثالث ، إلخ). في هذه الحالة،${\displaystyle Z_{1}}$هي مركز G ، ولكل مجموعة متتالية، مجموعة العوامل${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}}$هو مركز${\displaystyle G/Z_{i}}$ويُطلق عليه اسم خارج قسمة المتسلسلة المركزية العليا . ومرة ​​أخرى، نقول إن المتسلسلة تنتهي إذا استقرت في سلسلة من المعادلات، وطولها هو عدد المجموعات المتميزة فيها.

بالنسبة للمجموعات اللانهائية، يمكن مواصلة السلسلة المركزية العليا إلى أعداد ترتيبية لانهائية عبر الاستدعاء الذاتي المتسامي : بالنسبة لعدد ترتيبي نهائي λ ، عرّف

${\displaystyle Z_{\lambda }(G)=\bigcup _{\alpha <\lambda }Z_{\alpha }(G).}$

تُسمى نهاية هذه العملية (اتحاد المراكز العليا) بالمركز الفائق للمجموعة.

إذا استقرت المتسلسلة المركزية العليا المتسامية عند المجموعة بأكملها، تُسمى المجموعة حينها مجموعة مركزية فائقة . تتمتع المجموعات المركزية الفائقة بالعديد من خصائص المجموعات العديمة القوة، مثل شرط التطبيع (حيث يحتوي مُطَبِّع المجموعة الجزئية المناسبة المجموعة الجزئية نفسها)، وتتبادل عناصر الرتبة الأولية فيما بينها، وتكون المجموعات المركزية الفائقة الدورية هي المجموع المباشر لزمرها الجزئية من _نوع سيلو- p ( شينكمان 1975 ، الفصل السادس، 3) . لكل عدد ترتيبي λ ، _توجد مجموعة G بحيث Zλ ( G ) = G ، ولكن Zα ( G ) ≠ G عندما α < λ ( غلوشكوف 1952 ) و ( ماكلين 1956 ) .

توجد روابط مختلفة بين السلسلة المركزية السفلى (LCS) والسلسلة المركزية العليا (UCS) ( Ellis 2001 ) ، وخاصة بالنسبة للمجموعات عديمة القوة .

بالنسبة للمجموعات العديمة القوة، تتطابق أطوال فئتي LCS وUCS، ويُطلق على هذا الطول فئة العديمة القوة للمجموعة. مع ذلك، قد لا تتطابق حدود فئتي LCS وUCS للمجموعة العديمة القوة بالضرورة. على سبيل المثال، بينما تتطابق فئتا UCS وLCS للمجموعة الدورية C₂ _⊵ { e } ومجموعة الكواترنيون Q₈ _⊵ {1, −1} ⊵ {1}، فإن فئتي UCS وLCS لحاصل _ضربهما المباشر C₂ _× Q₈ لا تتطابقان: ففئة LCS هي C₂ × Q₈ ⊵ { e _} × {−1, 1} ⊵ { _e } × {1}، بينما _فئة UCS هي C₂ _× Q₈ ⊵ C₂ × {−1, 1} ⊵ { e } _× {1}.

تكون المجموعة تبديلية إذا وفقط إذا انتهت المجموعة الفرعية المبدلة في الخطوة الأولى (المجموعة الفرعية المبدلة هي المجموعة الفرعية التافهة)، إذا وفقط إذا انتهت المجموعة الفرعية المبدلة في الخطوة الأولى (المركز هو المجموعة بأكملها).

على النقيض من ذلك، ينتهي مسار الاقتران الأدنى (LCS) عند الخطوة الصفرية إذا وفقط إذا كانت المجموعة كاملة (أي أن المبدل هو المجموعة بأكملها)، بينما ينتهي مسار الاقتران الأعلى (UCS) عند الخطوة الصفرية إذا وفقط إذا كانت المجموعة بلا مركز (أي أن مركزها تافه)، وهما مفهومان مختلفان. بالنسبة للمجموعة الكاملة، يستقر مسار الاقتران الأعلى دائمًا عند الخطوة الأولى ( مبرهنة غرون ). مع ذلك، قد يكون لمسار الاقتران الأدنى مجموعة طويلة جدًا في المجموعة بلا مركز: فالمجموعة الحرة ذات مولدين أو أكثر تكون بلا مركز، لكن مسار الاقتران الأدنى لها لا يستقر إلا عند أول عدد ترتيبي لانهائي. هذا يدل على أن أطوال مساري الاقتران الأدنى والأعلى لا تتطابق بالضرورة بشكل عام.

في دراسة الزمر من الرتبة p (وهي زمر عديمة القوة دائمًا)، من المهم غالبًا استخدام متسلسلات مركزية أطول. ومن أهم أنواع هذه المتسلسلات المركزية، المتسلسلات المركزية ذات الأس p ؛ أي المتسلسلات المركزية التي تكون نواتج قسمتها زمرًا تبديلية أولية ، أو بعبارة أخرى، ذات أس p . توجد متسلسلة واحدة فقط من هذه المتسلسلات تتناقص بسرعة كبيرة، وهي المتسلسلة المركزية ذات الأس p الأدنى λ، والتي تُعرَّف كما يلي:

${\displaystyle \lambda _{1}(G)=G}$، و

${\displaystyle \lambda _{n+1}(G)=[G,\lambda _{n}(G)](\lambda _{n}(G))^{p}}$.

الفصل الدراسي الثاني،${\displaystyle \lambda _{2}(G)}$، يساوي${\displaystyle [G,G]G^{p}=\Phi (G)}$، المجموعة الفرعية فراتيني . تُسمى السلسلة المركزية ذات الأس الأدنى p أحيانًا ببساطة السلسلة المركزية p .

توجد سلسلة فريدة من نوعها تتصاعد بسرعة كبيرة، وهي السلسلة المركزية ذات الأس الأعلى p، والتي تُعرَّف على النحو التالي:

S ₀ ( G ) = 1

S _{n +1} ( G )/S _n ( G ) = Ω(Z( G /S _n ( G )))

حيث يرمز Ω( Z ( H )) إلى المجموعة الجزئية المولدة بواسطة (والمساوية لـ) مجموعة العناصر المركزية لـ H من الرتبة التي تقسم p . الحد الأول، S1 ₍ G ) ، هو المجموعة الجزئية المولدة بواسطة المجموعات الجزئية الطبيعية الدنيا، وبالتالي فهو يساوي قاعدة G. لهذا السبب، تُعرف المتسلسلة المركزية ذات الأس p العلوي أحيانًا باسم متسلسلة القاعدة أو حتى متسلسلة لوي، على الرغم من أن الأخيرة تُستخدم عادةً للإشارة إلى متسلسلة تنازلية.

في بعض الأحيان تكون التحسينات الأخرى للسلسلة المركزية مفيدة، مثل سلسلة جينينغز κ المعرفة بواسطة:

κ ₁ ( G ) = G ، و

κ _{n + 1} ( G ) = [ G , κ _n ( G )] (κ _i ( G )) ^p ، حيث i هو أصغر عدد صحيح أكبر من أو يساوي n / p .

سميت سلسلة جينينغز على اسم ستيفن آرثر جينينغز الذي استخدم السلسلة لوصف سلسلة لوي لحلقة المجموعة النمطية لمجموعة p .

• المتسلسلة الصفرية ، مفهوم مماثل للمجموعات القابلة للحل
• علاقات الأصل والفرع للمجموعات p المنتهية المعرفة بأنواع مختلفة من السلاسل المركزية
• مجموعة أحادية القدرة

• إليس، غراهام (أكتوبر 2001)، "حول العلاقة بين القسمة المركزية العليا والمتسلسلة المركزية السفلى لمجموعة"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 353 (10): 4219-4234 ، doi : 10.1090/S0002-9947-01-02812-4 ، JSTOR 2693793 
• غلوشكوف، ف.م. (1952)، "حول السلسلة المركزية للمجموعات اللانهائية"، مات. سبورنيك ، السلسلة الجديدة، 31 : 491-496 ، MR 0052427 
• هول، مارشال (1959)، نظرية المجموعات ، ماكميلان، MR 0103215 
• مالسيف، أ. إ. (1949)، "الجبر العديم المعمم ومجموعاته المرتبطة به"، مات. سبورنيك ، السلسلة الجديدة، 25 (67): 347-366 ، MR 0032644 
• ماكلين، د. هـ. (1956)، "ملاحظات حول السلسلة المركزية العليا لمجموعة"، وقائع جمعية غلاسكو الرياضية ، 3 : 38-44 ، doi : 10.1017/S2040618500033414 ، MR 0084498 
• شينكمان، يوجين (1975)، نظرية الزمر ، دار نشر روبرت إي. كريجر، رقم ISBN 978-0-88275-070-5، MR 0460422 وخاصة الفصل السادس.