الرقم المثالي

في نظرية الأعداد ، يُعرَّف العدد المثالي بأنه عدد صحيح جبري يُمثِّل مثاليًا في حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي . وقد طوّر إرنست كومر هذه الفكرة ، التي أدت إلى تعريف ريتشارد ديديكيند للمثاليات في الحلقات. يكون المثالي في حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي جبري رئيسيًا إذا كان مُكوَّنًا من مُضاعفات عنصر واحد من الحلقة. وبحسب نظرية المثالي الرئيسي ، يصبح أي مثالي غير رئيسي رئيسيًا عند تمديده إلى مثالي في حقل فئات هيلبرت . وهذا يعني وجود عنصر في حلقة الأعداد الصحيحة لحقل فئات هيلبرت، وهو عدد مثالي، بحيث يكون المثالي غير الرئيسي الأصلي مساويًا لمجموعة جميع مُضاعفات هذا العدد المثالي بواسطة عناصر حلقة الأعداد الصحيحة هذه التي تقع في حلقة الأعداد الصحيحة للحقل الأصلي.

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle y}$كن جذرًا لـ${\displaystyle y^{2}+y+6=0}$ثم حلقة الأعداد الصحيحة للحقل${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$يكون${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$وهذا يعني كل${\displaystyle a+b\cdot y}$مع${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تشكل الأعداد الصحيحة حلقة الأعداد الصحيحة. ومن الأمثلة على المثالي غير الرئيسي في هذه الحلقة مجموعة جميع${\displaystyle 2a+y\cdot b}$أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هي أعداد صحيحة؛ مكعب هذا المثالي هو عنصر رئيسي، وفي الواقع، زمرة الفئات دورية من الرتبة الثالثة. يتم الحصول على حقل الفئات المقابل عن طريق ضم عنصر${\displaystyle w}$مُرضٍ${\displaystyle w^{3}-w-1=0}$ل${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$، إعطاء${\displaystyle \mathbb {Q} (y,w)}$. عدد مثالي للمثالي غير الرئيسي${\displaystyle 2a+y\cdot b}$يكون${\displaystyle \iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23}$بما أن هذا يحقق المعادلة ${\displaystyle \iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0}$إنه عدد صحيح جبري.

جميع عناصر حلقة الأعداد الصحيحة لحقل الفئة التي عند ضربها في${\displaystyle \iota }$أعطِ نتيجة في${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$وهي على شكل${\displaystyle a\cdot \alpha +y\cdot \beta }$، أين

${\displaystyle \alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23}$

و

${\displaystyle \beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.}$

المعاملان α و β هما أيضًا عددان صحيحان جبريان، ويحققان

${\displaystyle \alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0}$

و

${\displaystyle \beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0}$

على التوالي. الضرب${\displaystyle a\cdot \alpha +b\cdot \beta }$بالعدد المثالي${\displaystyle \iota }$أعطِ${\displaystyle 2a+b\cdot y}$، وهو المثال غير الرئيسي.

نشر كومر لأول مرة فشل التحليل الفريد في الحقول الدائرية عام 1844 في مجلة غير معروفة، ثم أعيد نشره عام 1847 في مجلة ليوفيل . وفي أوراق بحثية لاحقة عامي 1846 و1847، نشر نظريته الرئيسية، وهي التحليل الفريد إلى أعداد أولية (فعلية ومثالية).

يُعتقد على نطاق واسع أن اهتمام كومر بنظرية فيرما الأخيرة قاده إلى مفهومه عن " الأعداد المركبة المثالية" . بل تُروى قصة مفادها أن كومر، مثل لاميه ، اعتقد أنه أثبت نظرية فيرما الأخيرة حتى أخبره ليجون ديريشليه أن حجته تعتمد على التحليل إلى عوامل أولية فريدة. لكن هذه القصة رواها كورت هينسل لأول مرة عام 1910، وتشير الأدلة إلى أنها على الأرجح ناتجة عن سوء فهم من أحد مصادر هينسل. يقول هارولد إدواردز إن الاعتقاد بأن كومر كان مهتمًا بشكل أساسي بنظرية فيرما الأخيرة "خاطئٌ بالتأكيد" (إدواردز 1977، ص 79). إن استخدام كومر للحرف λ لتمثيل عدد أولي، و α للدلالة على الجذر λ للوحدة ، ودراسته لتحليل الأعداد الأولية إلى عوامل أولية، كلها أمورٌ تُفسر هذا الاعتقاد.${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {\lambda }}}$إلى "أعداد مركبة مؤلفة من${\displaystyle \lambda }$جميع جذور الوحدة مستمدة مباشرة من ورقة بحثية لجاكوبي تتناول قوانين التبادلية العليا . وقد نُشرت مذكرات كومر عام 1844 تكريمًا للاحتفال باليوبيل الذهبي لجامعة كونيغسبرغ، وكانت بمثابة إشادة بجاكوبي. مع أن كومر درس نظرية فيرما الأخيرة في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وربما كان مدركًا لتأثير نظريته على دراستها، إلا أنه من المرجح أن موضوع اهتمام جاكوبي (وجاوس ) ، وهو قوانين التبادلية العليا، كان أكثر أهمية بالنسبة له. وصف كومر برهانه الجزئي لنظرية فيرما الأخيرة للأعداد الأولية المنتظمة بأنه "مجرد فضول في نظرية الأعداد وليس أمرًا رئيسيًا"، ووصف قانون التبادلية العليا (الذي ذكره كفرضية) بأنه "الموضوع الرئيسي وذروة نظرية الأعداد المعاصرة". من ناحية أخرى، صدر هذا التصريح الأخير عندما كان كومر لا يزال متحمسًا لنجاح عمله في مجال التبادلية، وعندما كان عمله على كانت نظرية فيرما الأخيرة تفقد زخمها، لذا ربما ينبغي التعامل معها بشيء من الشك.

تم توسيع أفكار كومر لتشمل الحالة العامة بشكل مستقل من قبل كرونكر وديديكيند خلال الأربعين عامًا التالية. واجه التعميم المباشر صعوبات جمة، مما أدى في النهاية إلى ابتكار ديديكيند لنظرية الوحدات والمثاليات . تغلب كرونكر على هذه الصعوبات بتطوير نظرية الأشكال (تعميم للأشكال التربيعية ) ونظرية القواسم . أصبحت مساهمة ديديكيند أساسًا لنظرية الحلقات والجبر المجرد ، بينما أصبحت مساهمة كرونكر أدوات رئيسية في الهندسة الجبرية .

• نيكولاس بورباكي ، عناصر تاريخ الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1999.
• هارولد إم. إدواردز ، نظرية فيرما الأخيرة. مقدمة جينية لنظرية الأعداد. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 50، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1977.
• CG Jacobi، Über die complexen Primzahlen، welche in der theori der Reste der 5ten، 8ten، und 12ten Potenzen zu betrachten sind، Monatsber. دير. أكاد. ويس. برلين (1839) 89-91.
• EE Kummer, De numeris complexis, qui radicibus Unitatis et numeris integris realibus Constant, Gratulationschrift der Univ. بريسلاو زور Jubelfeier der Univ. كونيجسبيرج، 1844؛ أعيد طبعه في جور. دي الرياضيات. 12 (1847) 185-212.
• EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. للرياضيات. (كريلي) 35 (1847) 327-367.
• جون ستيلويل ، مقدمة لنظرية الأعداد الصحيحة الجبرية لريتشارد ديديكيند. مكتبة كامبريدج الرياضية، مطبعة جامعة كامبريدج، بريطانيا العظمى، 1996.

• الأعداد المثالية ، إثبات أن نظرية الأعداد المثالية تحافظ على التحليل الفريد للأعداد الصحيحة الدائرية في مدونة نظرية فيرما الأخيرة .