مشكلة محددة جيدًا

في الرياضيات ، يُحقق حل المسألة المحددة جيدًا الخصائص التالية:

1. إنه موجود ؛
2. إنه فريد من نوعه ؛
3. يتغير سلوكها باستمرار مع الظروف المساعدة، مثل القيم الأولية أو الحدودية .

تم تقديم هذه المعايير لأول مرة من قبل جاك هادامارد في عام 1902. ^{[ 1 ] : 131}

من الأمثلة على المسائل النموذجية جيدة التحديد مسألة ديريشليه لمعادلة لابلاس ، ومعادلة الحرارة بشروط ابتدائية محددة. ويمكن اعتبار هذه المسائل "طبيعية" لأنها تمثل عمليات فيزيائية.

تُسمى المسائل التي لا تُصاغ جيدًا بالمعنى المذكور أعلاه بالمسائل غير المُصاغة جيدًا . ومن الأمثلة البسيطة على ذلك مسألة التحسين الشامل ، لأن موقع القيم المثلى ليس عادةً دالةً متصلةً للمعاملات التي تحدد الهدف، حتى عندما يكون الهدف نفسه دالةً سلسةً لتلك المعاملات. غالبًا ما تكون المسائل العكسية غير مُصاغة جيدًا؛ فعلى سبيل المثال، معادلة الحرارة العكسية، التي تستنتج توزيعًا سابقًا لدرجة الحرارة من البيانات النهائية، ليست مُصاغة جيدًا لأن الحل شديد الحساسية للتغيرات في البيانات النهائية.

غالباً ما تتطلب نماذج الوسط المتصل تقسيمها إلى عناصر منفصلة للحصول على حل عددي. ورغم أن الحلول قد تكون متصلة بالنسبة للشروط الابتدائية، إلا أنها قد تعاني من عدم استقرار عددي عند حلها بدقة محدودة ، أو عند وجود أخطاء في البيانات.

حتى لو كانت المسألة محددة جيدًا، فقد تظل غير مستقرة ، مما يعني أن خطأً بسيطًا في البيانات الأولية قد يؤدي إلى أخطاء أكبر بكثير في الإجابات. تُعدّ المسائل في الأنظمة المعقدة غير الخطية (ما يُسمى بالأنظمة الفوضوية ) أمثلة معروفة على عدم الاستقرار. ويُشير رقم الحالة الكبير إلى أن المسألة غير مستقرة .

إذا كانت المسألة محددة جيدًا، فمن المرجح أن تُحل باستخدام الحاسوب وخوارزمية مستقرة . أما إذا لم تكن محددة جيدًا، فيجب إعادة صياغتها للمعالجة العددية. يتضمن ذلك عادةً إضافة افتراضات أخرى، مثل سلاسة الحل. تُعرف هذه العملية بالتنظيم . [ ^{2 ] يُعد} تنظيم تيخونوف من أكثر الأساليب شيوعًا لتنظيم المسائل الخطية غير المحددة جيدًا.

إن وجود الحلول المحلية غالباً ما يكون جزءاً مهماً من مشكلة حسن التحديد، وهو أساس العديد من طرق التقدير، على سبيل المثال طريقة الطاقة أدناه.

توجد نتائج عديدة حول هذا الموضوع. على سبيل المثال، تنص نظرية كوشي-كوفاليفسكي لمسائل القيمة الابتدائية لكوشي أساسًا على أنه إذا كانت جميع حدود معادلة تفاضلية جزئية مكونة من دوال تحليلية ، وتحقق شرط معين للتعامد (أي أن يكون المستوى الفائق، أو السطح الفائق الذي تُطرح عليه البيانات الابتدائية بشكل أعم، غير مميز بالنسبة لمؤثر التفاضل الجزئي)، فإنه في مناطق معينة، توجد بالضرورة حلول هي أيضًا دوال تحليلية. تُعد هذه نتيجة أساسية في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية التحليلية. ومن المثير للدهشة أن هذه النظرية لا تنطبق على الدوال الملساء؛ إذ إن مثالًا اكتشفه هانز ليفي عام 1957 هو معادلة تفاضلية جزئية خطية معاملاتها ملساء (أي لها مشتقات من جميع الرتب) ولكنها ليست تحليلية، ولا يوجد لها حل. لذا، فإن نظرية كوشي-كوفاليفسكي محدودة بالضرورة في نطاقها بالدوال التحليلية.

تُعدّ طريقة الطاقة مفيدةً لإثبات كلٍّ من التفرد والاستمرارية بالنسبة للشروط الابتدائية (أي أنها لا تُثبت الوجود). وتعتمد هذه الطريقة على اشتقاق حدٍّ أعلى لدالةٍ شبيهةٍ بدالة الطاقة لمسألةٍ مُعطاة.

مثال : لنفترض معادلة الانتشار على الفترة [0, 1] مع شروط حدودية متجانسة من نوع ديريشليه وبيانات أولية مناسبة.${\displaystyle f(x)}$(على سبيل المثال، من أجل ماذا)${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$).

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

اضرب المعادلة${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$بواسطة${\displaystyle u}$ثم قم بالتكامل في الفضاء على الفترة [0] للحصول على

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1}uu_{t}dx = D \int_{0}^{1}uu_{xx}dx \rightarrow && \int_{0}^{1}{\frac{1}{2}} \partial_{t}u^{2}dx = Duu_{x}{\Big|}_{0}^{1} - D \int_{0}^{1}(u_{x})^{2}dx \rightarrow && \frac{1}{2}} \partial_{t} \|u \|_{2}^{2} = 0 - D \int_{0}^{1}(u_{x})^{2}dx \leq 0 \end{aligned}$$

هذا يدل على أن${\displaystyle \|u\|_{2}}$لا يمكن أن ينمو ( معيار p ) بمرور الوقت. من خلال الضرب في اثنين والتكامل الزمني، من${\displaystyle 0}$حتى${\displaystyle t}$، يجد المرء

$$\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

هذه النتيجة هي تقدير الطاقة لهذه المسألة.

لإثبات تفرد الحلول، افترض وجود حلين مختلفين للمسألة، ولنسميهما${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$، كل منها يفي بنفس البيانات الأولية. عند تعريف${\displaystyle w=uv}$ثم، من خلال خطية المعادلات، نجد أن${\displaystyle w}$يرضي

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

تطبيق تقدير الطاقة يخبرنا${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$وهذا يعني${\displaystyle u=v}$( في كل مكان تقريبًا ).

وبالمثل، لإثبات الاستمرارية بالنسبة للشروط الأولية، افترض أن${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$هي حلول تتوافق مع بيانات أولية مختلفة${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$و${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$بالنظر إلى${\displaystyle w=uv}$مرة أخرى، يجد المرء أن${\displaystyle w}$يحقق نفس المعادلات المذكورة أعلاه ولكن مع${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$وهذا يؤدي إلى تقدير الطاقة$\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$مما يرسخ الاستمرارية (أي كما${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يتقاربون، كما يُقاس بـ${\displaystyle L^{2}}$معيار اختلافهم، إذن${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$).

يُعدّ مبدأ القيمة القصوى منهجًا بديلًا لإثبات تفرد واستمرارية الحلول بالنسبة للشروط الابتدائية في هذا المثال. ويمكن إثبات وجود حلول لهذه المسألة باستخدام متسلسلات فورييه .

إذا كان من الممكن الإشارة إلى حل مسألة كوشي${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=Au,u(0)=u_{0}{\text{ (1)}}}$حيث A هو مؤثر خطي يحول فضاءً خطيًا كثيفًا D(A) من X إلى X (انظر التحويل الخطي غير المتصل )، مع${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}$، أين${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$هي عائلة من المؤثرات الخطية على X ، تحقق

• ${\displaystyle S(0)=I}$
• ${\displaystyle S(a+b)=S(a)S(b)=S(b)S(a)}$لأي${\displaystyle a,b\geq 0}$
• ${\displaystyle t\mapsto S(t)w}$مستمر لكل${\displaystyle w}$في${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}S(t)w=AS(t)w}$لكل${\displaystyle w}$في${\displaystyle X}$

إذن (1) مسألة جيدة التحديد.

تنص نظرية هيل-يوسيدا على المعايير المتعلقة بـ A لمثل هذا${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$أن يوجد.

• مطيافية الامتصاص الكلي – مثال على مشكلة عكسية أو مشكلة غير محددة جيدًا في موقف واقعي يتم حلها باستخدام خوارزمية التوقع والتعظيم

• هادامارد، جاك (1902). حول المشاكل المشتقة جزئيًا ودلالتها البدنية . نشرة جامعة برينستون. ص 49 – 52. 
• باركر، سيبيل ب.، محررة. (1989) [1974]. قاموس ماكجرو هيل للمصطلحات العلمية والتقنية (  الطبعة الرابعة). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-045270-9.
• تيخونوف، أ.ن.؛ أرسينين، ف.ي. (1977). حلول المسائل غير المحددة جيدًا . نيويورك: وينستون. ISBN 0-470-99124-0.
• شتراوس، والتر أ. (2008). المعادلات التفاضلية الجزئية؛ مقدمة (  الطبعة الثانية). هوبوكين: وايلي. ISBN 978-0470-05456-7.
• إيفانز، لورانس سي. (1998). المعادلات التفاضلية الجزئية (ملف PDF) . بروفيدنس (رود آيلاند): الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 0-8218-0772-2.