نقطة لاغرانج

تقع النقطة L1 على الخط الفاصل بين الكتلتين الكبيرتين _M1 و M2 . وهي النقطة التي تتحد عندها قوى التجاذب بين M2 وM1 _{لتكوين حالة} توازن _. عادةً _ما يكون للجسم الذي يدور حول الشمس على مسافة أقرب من الأرض فترة مدارية أقصر من فترة مدار الأرض، ولكن هذا يتجاهل تأثير جاذبية الأرض. إذا كان الجسم يقع مباشرةً بين الأرض والشمس، فإن جاذبية الأرض تعاكس جزءًا من جاذبية الشمس المؤثرة عليه، مما يزيد من فترة مداره. وكلما اقترب الجسم من الأرض، ازداد هذا التأثير. عند النقطة L1 ، تصبح فترة مدار الجسم مساوية تمامًا لفترة مدار الأرض. تقع L1 على _بعد حوالي 1.5 مليون كيلومتر، أو 0.01 وحدة فلكية ، من الأرض في اتجاه الشمس _. ^{[ 1 ]} 

تقع نقطة لاغرانج _{الثانية} ( L2 ) على الخط الواصل بين الكتلتين الكبيرتين خلف أصغرهما. عند هذه النقطة، تتوازن قوى الجاذبية المُجتمعة للكتلتين الكبيرتين مع قوة الطرد المركزي المؤثرة على الجسم عند L2 . على الجانب المقابل للأرض من الشمس، يكون زمن دوران الجسم حول الشمس عادةً أكبر من _زمن دوران الأرض. يؤدي تأثير جاذبية الأرض الإضافي إلى تقليل زمن دوران الجسم، وعند نقطة L2 _، يصبح زمن الدوران مساويًا لزمن دوران الأرض. ومثل L1 _، تقع L2 _على بُعد حوالي 1.5 مليون كيلومتر أو 0.01 وحدة فلكية من الأرض (بعيدًا عن الشمس). ومن الأمثلة على المركبات الفضائية المصممة للعمل بالقرب من نقطة لاغرانج _{الثانية} بين الأرض والشمس تلسكوب جيمس ويب الفضائي. ^{[ 8 ]} ومن الأمثلة السابقة مسبار ويلكنسون لقياس تباين الموجات الميكروية وخليفته بلانك . 

تقع نقطة لاغرانج _{الثالثة} ( L3 ) على الخط الفاصل بين الكتلتين الكبيرتين، خلف الكتلة الأكبر. ضمن نظام الشمس والأرض، تقع نقطة لاغرانج _{الثالثة} على الجانب المقابل للشمس، خارج مدار الأرض قليلاً، وأبعد قليلاً عن مركز ثقل نظام الأرض والشمس من الأرض نفسها. يحدث هذا الموقع لأن الشمس تتأثر أيضاً بجاذبية الأرض، وبالتالي تدور حول مركز ثقل الجسمين ، الذي يقع داخل مدار الشمس. إذا أُخذت جاذبية الشمس فقط في الاعتبار، فإن جسماً على مسافة الأرض من الشمس سيدور حول الشمس لمدة عام واحد. أما الجسم الواقع على الجانب المقابل للشمس من الأرض، وعلى خط مستقيم مع كليهما، فإنه "يشعر" بجاذبية الأرض التي تُضاف قليلاً إلى جاذبية الشمس، ولذلك يجب أن يدور على مسافة أبعد قليلاً عن مركز ثقل الأرض والشمس ليحافظ على نفس المدة الزمنية البالغة عاماً واحداً. عند النقطة L3 _، يتسبب الجذب المشترك للأرض والشمس في دوران الجسم حول الشمس بنفس دورة دوران الأرض، أي أنه يدور فعليًا حول كتلة تعادل كتلة الأرض والشمس معًا، ويقع مركز ثقل الأرض والشمس في إحدى بؤرتي مداره. ولتوضيح ذلك، من المهم التمييز بين مركز الشمس ومركز ثقل الأرض والشمس. في الواقع، المسافة بين النقطة _L3 ومركز الشمس أصغر من المسافة بين مركز الأرض ومركز الشمس. ^{[ 9 ]}

تقع النقطتان L ₄ و L ₅ عند الرؤوس الثالثة للمثلثين متساويي الأضلاع في مستوى المدار الذي قاعدته المشتركة هي الخط الواصل بين مركزي الكتلتين، بحيث تقع النقطة على بعد 60 درجة أمام ( L ₄ ) أو خلف ( L ₅ ) الكتلة الأصغر بالنسبة لمدارها حول الكتلة الأكبر.

تُعدّ النقطتان المثلثيتان ( L4 و L5 ₎ حالتي توازن مستقرتين، شريطة أن تكون نسبة M1 _/ M2 أكبر من 24.96. ^{[ أ ] ينطبق هذا على نظام الشمس-الأرض، ونظام الشمس-المشتري} _{، وبدرجة أقل على نظام الأرض-القمر. عندما} يتعرض جسم ما عند هاتين النقطتين لاضطراب، فإنه يتحرك مبتعدًا عن النقطة، ولكن العامل المعاكس للعامل الذي يزداد أو ينقص بفعل الاضطراب (سواءً كان الجاذبية أو السرعة الناتجة عن الزخم الزاوي) سيزداد أو ينقص أيضًا، مما يؤدي إلى انحناء مسار الجسم في مدار مستقر على شكل حبة فاصولياء حول النقطة (كما يُرى في الإطار المرجعي الدوار). ^{[ 10 ]}

تُعدّ النقاط L1 _و L2 و L3 مواقع توازن غير مستقر . أي جسم يدور في مدار عند هذه _النقاط سيميل إلى الخروج من مداره؛ لذا من النادر العثور على أجسام طبيعية هناك، ويتعين على المركبات الفضائية التي تتواجد في هذه المناطق استخدام قدر _{ضئيل ولكنه} بالغ _{الأهمية} من الحفاظ على _موقعها .

يمثل موقع L ₁ حلاً للمعادلة التالية، حيث توفر الجاذبية القوة المركزية: $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(Rr)^{2}}}-{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}Rr\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$ حيث r هي المسافة بين النقطة L1 _والجسم الأصغر، _{و R هي المسافة بين الجسمين الرئيسيين، وM1} و M2 هما كتلتا الجسم الكبير والصغير على التوالي. الكمية بين قوسين على اليمين هي المسافة بين L1 _ومركز الكتلة. حل r هو الجذر الحقيقي الوحيد للدالة الخماسية التالية

$${\displaystyle x^{5}+(\mu -3)x^{4}+(3-2\mu )x^{3}-(\mu )x^{2}+(2\mu )x-\mu =0}$$ أين$${\displaystyle \mu ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}}$$ يمثل الكسر الكتلي لـ M ₂ و$${\displaystyle x={\frac {r}{R}}}$$ هي المسافة المعيارية. إذا كانت كتلة الجسم الأصغر ( _M2 ) أصغر بكثير من كتلة الجسم الأكبر ( M1 _{) ،} فإن L1 و L2 تكونان على مسافات متساوية تقريبًا r من الجسم الأصغر، _وهي تساوي نصف قطر كرة هيل ، كما هو موضح في: $${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}$$

يمكننا أيضاً كتابة ذلك على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {M_{2}}{r^{3}}}\approx 3{\frac {M_{1}}{R^{3}}}}$$ بما أن تأثير المد والجزر لجسم ما يتناسب طرديًا مع كتلته مقسومة على مكعب المسافة، فهذا يعني أن تأثير المد والجزر للجسم الأصغر عند النقطة L1 _أو عند النقطة L2 _يبلغ حوالي ثلاثة أضعاف تأثير ذلك الجسم. ويمكننا أيضًا أن نكتب: $${\displaystyle \rho _{2}\left({\frac {d_{2}}{r}}\right)^{3}\approx 3\rho _{1}\left({\frac {d_{1}}{R}}\right)^{3}}$$ حيث ρ₁ _و ρ₂ هما متوسط ​​كثافة الجسمين، و d₁ و d₂ هما _{قطراهما . نسبة القطر إلى المسافة تعطي الزاوية التي يشكلها الجسم، مما يدل على أنه عند النظر من هاتين النقطتين (نقطة لاغرانج )} ، ستكون الأحجام الظاهرية للجسمين متقاربة، خاصةً إذا كانت كثافة الجسم الأصغر حوالي ثلاثة أضعاف كثافة الجسم الأكبر، كما هو الحال بين الأرض والشمس.

يمكن وصف هذه المسافة بأنها بحيث تكون الفترة المدارية ، المقابلة لمدار دائري بنصف قطر هذه المسافة حول M ₂ في غياب M ₁ ، هي فترة M ₂ حول M ₁ ، مقسومة على √ 3 ≈ 1.73: $${\displaystyle T_{s,M_{2}}(r)={\frac {T_{M_{2},M_{1}}(R)}{\sqrt {3}}}.}$$

يمثل موقع L ₂ حلاً للمعادلة التالية، حيث توفر الجاذبية القوة المركزية: $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(R+r)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}R+r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$ مع تعريف المعاملات كما في حالة L1 _. المعادلة الخماسية المقابلة هي $${\displaystyle x^{5}+x^{4}(3-\mu )+x^{3}(3-2\mu )-x^{2}(\mu )-x(2\mu )-\mu =0}$$

ومرة أخرى، إذا كانت كتلة الجسم الأصغر ( _M2 ) أصغر بكثير من كتلة الجسم الأكبر ( M1 ) _، فإن L2 _تقع تقريبًا عند نصف قطر كرة هيل ، المعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}$$

تنطبق الملاحظات نفسها المتعلقة بتأثير المد والجزر والحجم الظاهري كما هو الحال بالنسبة للنقطة L1 _. على سبيل المثال، نصف القطر الزاوي للشمس كما يُرى من L2 _هو arcsin( ⁠695.5 × 10 ³ /151.1 × 10⁶ ) ≈ ^0.264 ° ، بينما زاوية ميل الأرض هي arcsin(⁠ 6371 /1.5 × 10⁶ ^⁠ ) ≈ 0.242°. عند النظر باتجاه الشمس من نقطة لاغرانج الثانية (L₂₎،يُرىكسوف حلقي. من الضروري أنتتبعغايامدار ليساجوأومدار هالةحول L₂_لكيتحصل ألواحها الشمسية على ضوء الشمس الكامل.

يمثل موقع النقطة L3 _حلاً للمعادلة التالية، حيث توفر الجاذبية القوة المركزية: $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{\left(Rr\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{\left(2R-r\right)^{2}}}=\left({\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}R+Rr\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$ مع تعريف المعاملات M1 _و M2 و R كما في حالتي L1 _و L2 _{، و} r بحيث تكون المسافة بين L3 _ومركز الجسم الأكبر هي R − r . إذا كانت كتلة الجسم الأصغر ( _M2 ) أصغر بكثير من كتلة الجسم الأكبر ( _M1 ) ، فإن: ^{[ 21 ]}  

$${\displaystyle r\approx R(1-{\tfrac {5}{12}}\mu ).}$$

وبالتالي فإن المسافة من L ₃ إلى الجسم الأكبر أقل من المسافة الفاصلة بين الجسمين (على الرغم من أن المسافة بين L ₃ ومركز الثقل أكبر من المسافة بين الجسم الأصغر ومركز الثقل).

يكمن سبب توازن هذه النقاط في تساوي المسافات بين الكتلتين عند النقطتين L4 وL5. وبناءً على ذلك، تتناسب قوى الجاذبية الناتجة عن الجسمين الكتلتين مع كتلتيهما، وبالتالي تؤثر القوة المحصلة عبر مركز ثقل النظام. إضافةً إلى ذلك، يضمن شكل المثلث أن تتناسب التسارعات المحصلة مع المسافة من مركز الثقل بنفس النسبة بين تسارعات الجسمين الكتلتين. وبما أن مركز الثقل هو مركز الكتلة ومركز الدوران لنظام الأجسام الثلاثة، فإن هذه القوة المحصلة _هي المطلوبة تمامًا للحفاظ _على الجسم الأصغر عند نقطة لاغرانج في حالة توازن مداري مع الجسمين الأكبر حجمًا في النظام (في الواقع، يجب أن تكون كتلة الجسم الثالث مهملة). وقد اكتشف لاغرانج هذا الشكل المثلثي العام أثناء عمله على مسألة الأجسام الثلاثة .

يُعطى التسارع الشعاعي a لجسم في مدار عند نقطة على طول الخط المار عبر كلا الجسمين بالصيغة التالية: $${\displaystyle a=-{\frac {GM_{1}}{r^{2}}}\اسم المشغل {sgn}(r)+{\frac {GM_{2}}{(Rr)^{2}}}\اسم المشغل {sgn}(Rr)+{\frac {G{\bigl (}(M_{1}+M_{2})r-M_{2}R{\bigr )}}{R^{3}}}}$$ حيث r هي المسافة من الجسم الكبير M1 _، و R هي المسافة بين الجسمين الرئيسيين، وsgn( x ) هي دالة الإشارة لـ x . تمثل حدود هذه الدالة على التوالي: القوة من M1 _، والقوة من M2 ، والقوة المركزية. تقع النقاط L3 _و L1 _و L2 عند _نقطة انعدام التسارع - انظر الرسم البياني على اليمين. التسارع الموجب هو التسارع باتجاه يمين الرسم البياني، والتسارع السالب باتجاه يساره؛ ولهذا السبب يكون للتسارع إشارتان متعاكستان على جانبي بئر الجاذبية _.

يُعدّ موقع لاغرانج الأول (L1 ₎ بين الشمس والأرض مناسبًا لرصد نظام الشمس والأرض. فالأجرام السماوية في هذا الموقع لا تُحجب أبدًا بظلال الأرض أو القمر، وفي حال رصد الأرض، يُمكن رؤية نصف الكرة الأرضية المُضاء بنور الشمس دائمًا. وكانت أول مهمة من هذا النوع هي مهمة المستكشف الدولي للشمس والأرض 3 (ISEE-3) عام 1978، والتي استُخدمت كنظام إنذار مبكر بين الكواكب لرصد الاضطرابات الشمسية. ^{[ 26 ]} ومنذ يونيو 2015، يدور مسبار DSCOVR حول نقطة _{L1 . في المقابل، يُعدّ هذا الموقع مفيدًا أيضًا} للتلسكوبات الشمسية الفضائية ، لأنه يوفر رؤية متواصلة للشمس، كما أن أي ظواهر جوية فضائية (بما في ذلك الرياح الشمسية والانبعاثات الكتلية الإكليلية ) تصل إلى L1 _قبل وصولها إلى الأرض بساعة تقريبًا. وتشمل المهمات الشمسية والشمسية الموجودة حاليًا حول _{L1 :} مرصد الشمس والغلاف الشمسي ، ومسبار ويند ، ومهمة أديتيا-L1 _، ومسبار مستكشف التركيب المتقدم . تشمل المهمات المخطط لها مسبار رسم الخرائط وتسريع الجسيمات بين النجوم (IMAP) ومسبار مسح الأجسام القريبة من الأرض (NEO Surveyor ). وتضمنت المفاهيم التي تم استكشافها مؤخرًا وضع غشاء حاجب كبير عند نقطة لاغرانج _الأولى (L1) ، كجزء من حل لإدارة الإشعاع الشمسي من الفضاء للتخفيف من ظاهرة الاحتباس الحراري. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

_{تُعدّ نقطة لاغرانج الثانية} (L2 ) _بين الشمس والأرض موقعًا مثاليًا للمراصد الفضائية. ولأنّ أي جسم يدور حول L2 سيحافظ على موقعه النسبي نفسه بالنسبة للشمس والأرض، فإنّ عمليات الحماية والمعايرة تصبح أبسط بكثير. مع ذلك، تقع هذه النقطة خارج نطاق ظل الأرض بقليل ^{[ 29 ]،} لذا لا يُحجب الإشعاع الشمسي تمامًا عند L2 _. تدور المركبات الفضائية عادةً حول L2 _، متجنبةً الكسوف الجزئي للشمس للحفاظ على درجة حرارة ثابتة. من المواقع القريبة من L2 _، تكون الشمس والأرض والقمر متقاربة نسبيًا في السماء؛ وهذا يعني أنّ استخدام مظلة شمسية كبيرة مع وضع التلسكوب على الجانب المظلم منها يسمح للتلسكوب بالتبريد السلبي إلى حوالي 50 كلفن، وهو أمر مفيد للغاية لعلم الفلك بالأشعة تحت الحمراء ورصد إشعاع الخلفية الكونية الميكروي . وُضع تلسكوب جيمس ويب الفضائي في مدار هالة حول L2 _في 24 يناير 2022.

تُعتبر نقطتا L1 و L2 _بين الشمس والأرض نقطتي سرج _، وهما غير مستقرتين أُسّيًا بثابت زمني يبلغ حوالي 23 يومًا. وستنحرف الأقمار الصناعية الموجودة عند هاتين النقطتين عن مسارها في غضون بضعة أشهر ما لم تُجرَ تصحيحات للمسار. ^{[ 10 ]}

كانت نقطة لاغرانج L3 _بين الشمس والأرض موقعًا شائعًا لوضع " أرض مضادة " في قصص الخيال العلمي والقصص المصورة ، على الرغم من أن وجود جرم سماوي في هذا الموقع كان يُعتبر مستحيلاً بمجرد فهم ميكانيكا المدارات وتأثير الكواكب على مداراتها، قبل عصر الفضاء بزمن طويل؛ إذ لم يكن ليُغفل تأثير جرم بحجم الأرض على الكواكب الأخرى، ولا حقيقة أن بؤرتي إهليلج مدار الأرض لم تكونا في مواقعهما المتوقعة، بسبب كتلة الأرض المضادة. مع ذلك، تُعد نقطة لاغرانج L3 بين الشمس والأرض _نقطة سرجية ضعيفة وغير مستقرة أُسّيًا بثابت زمني يبلغ حوالي 150 عامًا. ^{[ 10 ]} علاوة على ذلك، لا يمكنها احتواء جسم طبيعي، كبيرًا كان أم صغيرًا، لفترة طويلة جدًا لأن قوى جاذبية الكواكب الأخرى أقوى من جاذبية الأرض (على سبيل المثال، تقترب الزهرة من نقطة _{لاغرانج} L3 هذه لمسافة 0.3 وحدة فلكية كل 20 شهرًا). ^{[ 30 ]}  

سيتمكن مركب فضائي يدور بالقرب من نقطة لاغرانج _{الثالثة} (L3 ) بين الشمس والأرض من رصد تطور مناطق البقع الشمسية النشطة عن كثب قبل أن تصل إلى موقعها الجيوفيزيائي الفعال، مما يسمح لمركز التنبؤ بالطقس الفضائي التابع للإدارة الوطنية للمحيطات والغلاف الجوي (NOAA) بإصدار إنذار مبكر لمدة سبعة أيام. علاوة على ذلك، سيوفر قمر صناعي بالقرب من نقطة لاغرانج _{الثالثة} (L3 ) بين الشمس والأرض بيانات رصد بالغة الأهمية، ليس فقط للتنبؤات الأرضية، بل أيضًا لدعم استكشاف الفضاء السحيق (التنبؤات المتعلقة بالمريخ والبعثات المأهولة إلى الكويكبات القريبة من الأرض ). في عام 2010، دُرست مسارات نقل المركبات الفضائية إلى نقطة لاغرانج _{الثالثة} (L3 ) بين الشمس والأرض، ونُظر في عدة تصاميم. ^{[ 31 ]}

تتيح نقطة لاغرانج الأولى (L1 ₎ بين الأرض والقمر الوصول بسهولة نسبية إلى مداري القمر والأرض مع تغير طفيف في السرعة، مما يُعد ميزةً لوضع محطة فضائية صالحة للسكن تهدف إلى المساعدة في نقل البضائع والأفراد إلى القمر والعودة منه. وقد عبرت مهمة SMART-1 ^{[ 32 ]} _{نقطة لاغرانج الأولى (L1) في 11 نوفمبر 2004، ودخلت المنطقة التي يهيمن عليها تأثير} جاذبية القمر .

استُخدمت نقطة لاغرانج _{الثانية} بين الأرض والقمر (L2 ) لقمر صناعي للاتصالات يغطي الجانب البعيد من القمر، على سبيل المثال، قمر كويكياو الذي أُطلق عام 2018، ^{[ 33 ]} وستكون "موقعًا مثاليًا" لمستودع وقود كجزء من بنية النقل الفضائي المقترحة القائمة على المستودعات. ^{[ 34 ]}

تُعدّ نقطتا لاغرانج L4 و L5 _{في نظام} الأرض والقمر موقعين لسحب غبار كورديليفسكي . ^{[ 35 ]} ويُشتق اسم جمعية L5 من نقطتي لاغرانج L4 و L5 _في نظام _الأرض والقمر، واللتان تم اقتراحهما كموقعين لمساكنها الفضائية الدوارة الضخمة. كما يُقترح كلا الموقعين لأقمار الاتصالات التي تغطي القمر، على غرار أقمار الاتصالات في المدار المتزامن مع الأرض التي تغطي الأرض. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

كان العلماء في مؤسسة B612 ^{[ 38 ]} يخططون لاستخدام نقطة _L3 لكوكب الزهرة لتحديد موقع تلسكوب Sentinel المخطط له ، والذي يهدف إلى النظر إلى مدار الأرض وتجميع فهرس للكويكبات القريبة من الأرض . ^{[ 39 ]}

في عام 2017، نوقشت فكرة وضع درع ثنائي القطب المغناطيسي عند نقطة لاغرانج _الأولى بين الشمس والمريخ لاستخدامه كغلاف مغناطيسي اصطناعي للمريخ في مؤتمر لوكالة ناسا. ^{[ 40 ]} وتتلخص الفكرة في أن هذا من شأنه حماية الغلاف الجوي للكوكب من إشعاع الشمس ورياحها.