الجذر المتداخل

في الجبر ، الجذر المتداخل هو تعبير جذري (يحتوي على علامة الجذر التربيعي ، أو علامة الجذر التكعيبي ، وما إلى ذلك) يحتوي (يتداخل) مع تعبير جذري آخر. ومن الأمثلة على ذلك:

$${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},}$$

وهو ما ينشأ عند مناقشة الشكل الخماسي المنتظم ، والأشكال الأكثر تعقيدًا مثل

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.}$$

يمكن إعادة كتابة بعض الجذور المتداخلة في شكل غير متداخل. على سبيل المثال،

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,}$$

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {3}},\quad }$^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}$$

مثال بسيط آخر،

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\sqrt {2}}}={\sqrt[{6}]{2}}}$$

إعادة كتابة الجذر المتداخل بهذه الطريقة تسمى فك التداخل . هذا ليس ممكناً دائماً، وحتى عندما يكون ممكناً، فإنه غالباً ما يكون صعباً.

في حالة وجود جذرين تربيعيين متداخلين، تحل النظرية التالية مشكلة فك التداخل بشكل كامل. ^{[ 2 ]} في هذا القسم، استخدام علامة الجذر${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\;^{\;}}}}$يشير الرمز ⁠ ، كالمعتاد، إلى الجذر التربيعي الموجب للعدد الموجود تحت الجذر، والذي يُفترض أن يكون عددًا حقيقيًا موجبًا.

أحدها له جذران تربيعيان متداخلان بتعبير من الشكل $${\displaystyle {\sqrt {\frac {\alpha +\beta {\sqrt {r}}}{\gamma +\delta {\sqrt {r}}}}},}$$ حيث تمثل جميع المتغيرات أعدادًا نسبية. ومن خلال ترشيد الكسر، نحصل على تعبير على الصورة التالية: $${\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {r}}}},}$$ أين​${\displaystyle a,b,r}$هي أعداد نسبية و​${\displaystyle b>0}$بوضع​​${\displaystyle c=rb^{2}}$، تُختزل المشكلة إلى تبسيط تعبير من الشكل $${\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}.}$$

سيتم إثبات النظرية على مرحلتين منفصلتين. أولاً، لدينا صيغة مفككة على الشكل التالي :${\displaystyle {\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle a^{2}-c=d^{2}}$سيتم ذلك باستخدام حسابات جبرية أولية. وتتمثل الخطوة الثانية في إثبات أن الصيغ الأكثر تعقيدًا، مثل ...${\displaystyle t+{\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}+z{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$يمكن دائمًا اختزالها إلى الشكل الوارد في النظرية. وهذا يتضمن نظرية غالوا الأساسية .

إثبات صحة صيغة فك التداخل المعطاة : إذا${\displaystyle a>0}$و​​${\displaystyle a^{2}-c=d^{2}}$جميع الأعداد تحت الجذر موجبة في الصيغ المعطاة. وهذا واضح تقريبًا بالنسبة للطرف الأيسر. أما بالنسبة للطرف الأيمن، فينتج هذا عن إيجابية مجموع وحاصل ضرب العددين تحت الجذر، وهما على التوالي ...${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle c/4}$ثم ، بما أن عددين موجبين متساويان إذا وفقط إذا كانت مربعاتهما متساوية، يكفي تربيع كل شيء وتطبيق صيغة ذات الحدين .

إثبات أنه إذا كان من الممكن فك التداخل إلى مجموع أو فرق من الجذور التربيعية، فإن${\displaystyle a>0}$و​​${\displaystyle a^{2}-c=d^{2}}$بتربيع المعادلة​ $${\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}={\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}}$$ يشير إلى $${\displaystyle a\pm {\sqrt {c}}=x+y\pm 2{\sqrt {xy}}.}$$ وهذا يعني أن${\displaystyle {\sqrt {xy}}}$هو عنصر من عناصر الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {c}})}$وبالتالي يمكن كتابتها بشكل فريد${\displaystyle \alpha +\beta {\sqrt {c}}}$، مع​${\displaystyle \alpha }$و​​${\displaystyle \beta }$الأعداد النسبية. أحدها لديه${\displaystyle \beta \neq 0}$لأنه ، خلاف ذلك، سيكون لدينا عدد غير نسبي يساوي عددًا نسبيًا.$${\displaystyle xy=(\alpha +\beta {\sqrt {c}})^{2}=\alpha ^{2}+c\beta ^{2}+2\alpha \beta {\sqrt {c}}.}$$كما​${\displaystyle xy}$هو عدد نسبي و${\displaystyle \beta \neq 0}$، لدى المرء${\displaystyle \alpha =0}$. ويترتب على ذلك أن${\displaystyle xy=\beta ^{2}c}$و​ $${\displaystyle a+{\sqrt {c}}=x+y\pm 2\beta {\sqrt {c}}.}$$ وهكذا​${\displaystyle x+y=a}$،​​${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{2}}}$، و​${\displaystyle xy={\tfrac {c}{4}}}$وهذا يعني، بحسب صيغ فييتا ، أن${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$هما الجذران للمعادلة $${\displaystyle X^{2}-aX+{\frac {c}{4}}.}$$ وبما أن هذه الجذور يجب أن تكون عقلانية وإيجابية، فإن هذا يعني أن${\displaystyle a>0}$و​​${\displaystyle a^{2}-c}$إذا كان مربع عدد نسبي، فإن الصيغة التربيعية توفر الحل كما هو موضح في النظرية.

أشكال أخرى لفك التداخل:

تفكيك الشكل $${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=\alpha {\sqrt {r}}+\beta {\sqrt {s}}}$$ يمكن اختصارها إلى الشكل أعلاه: الإعداد${\displaystyle x=r\alpha ^{2}}$و​​${\displaystyle y=s\beta ^{2}}$، يحصل المرء $${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=\pm {\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}.}$$ بما أن الطرف الأيسر من المعادلة موجب، فإن أحد " ⁠${\displaystyle \pm }$يجب أن تكون النتيجة إيجابية، ويحصل المرء على الشكل المذكور أعلاه بعد التبادل، إذا لزم الأمر .${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$⁠ .

لو ${\textstyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {c}}),}$ توجد أعداد نسبية${\displaystyle \alpha }$و​​${\displaystyle \beta }$بحيث​ $${\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}=\alpha +\beta {\sqrt {c}}=\pm {\sqrt {\alpha ^{2}}}\pm {\sqrt {\beta ^{2}c}}.}$$ إذن، تنطبق النظرية لاختبار ما إذا كان عنصر من ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {c}})}$له جذر تربيعي في${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {c}})}$وإذا كان لديه واحد، فيجب حسابه.

يمكن أن تكون صيغة فك التداخل العامة تعبيرًا عن${\textstyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}}$كعنصر من عناصر الحقل${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {r_{1}}},\ldots {\sqrt {r_{k}}})}$، حيث​${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{k}}$هي أعداد نسبية. يمكن للمرء أن يفترض أن${\displaystyle r_{i}}$هي أعداد أولية مميزة، وذلك بتوسيع${\displaystyle K}$مع الجذور التربيعية للأعداد الأولية التي تظهر كعوامل في بسط أو مقام بعض${\displaystyle r_{i}}$ثم إزالة الأصل${\displaystyle {\sqrt {r_{i}}}}$، حيث يمكن التعبير عنها كحاصل ضرب وقسمة الجذور التربيعية الجديدة. إذا كان${\displaystyle r_{i}}$هي أعداد أولية مختلفة،${\displaystyle K}$⁠ هو امتداد غالوا لـ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$مع​​${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}}$كمجموعة غالوا . أحد عناصر مجموعة غالوا هذه هو${\displaystyle k}$مجموعة من 0 و1، والتشاكل الذاتي المقابل هو تغيير إشارات${\displaystyle {\sqrt {r_{i}}}}$مثل ذلك​${\displaystyle i}$العنصر رقم 1 في المجموعة هو 1.

باستثناء الحالة التي تم النظر فيها بالفعل${\textstyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {c}}),}$الحقل​${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}\right)}$⁠ هو مجال فرعي من ⁠${\displaystyle K}$من الدرجة الرابعة على من${\displaystyle \mathbb {Q} }$وبالتالي ، فهو امتداد غالوا لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$، مع اعتبار مجموعة كلاين الرباعية بمثابة مجموعة غالوا الخاصة بها. التشاكلات الذاتية في مجموعة غالوا هذه هي المحايد، واثنين من الانعكاسات .${\displaystyle \sigma _{1}}$و​​${\displaystyle \sigma _{2}}$مربعاتها هي العنصر المحايد، وحاصل ضربها${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}}$عناصر​​${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}\right)}$التي يتم تحديدها بواسطة${\displaystyle \sigma _{1}}$لتمديد تربيعي لـ​​${\displaystyle \mathbb {Q} }$، وهو بالتالي على الشكل التالي${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$، حيث​${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$وبالمثل ، فإن العناصر الثابتة b${\displaystyle \sigma _{2}}$إنشاء حقل​${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$، ويكون لدى المرء${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}\right)=\mathbb {Q} ({\sqrt {x}},{\sqrt {y}})}$⁠ .

وهذا يدل على أنه عندما يكون فك التداخل ممكناً، فإنه يكون ممكناً باستخدام جذرين على الأكثر.

أما بالنسبة لكل عنصر من عناصر ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {x}},{\sqrt {y}})}$⁠ ، يمكن للمرء أن يكتب بشكل فريد $${\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {c}}}}=\alpha +\beta {\sqrt {x}}+\gamma {\sqrt {y}}+\delta {\sqrt {x}}{\sqrt {y}},}$$ مع​${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {Q} }$يوجد تماثل ذاتي يغير إشارة الحد الأيسر. يجب أن يغير إشارات جميع الحدود غير الصفرية في الحد الأيمن. ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \alpha }$وواحد على الأقل مما يلي${\displaystyle \beta ,\gamma ,\delta }$يجب أن يكون صفرًا. في الواقع، إذا${\displaystyle \beta \neq 0}$و​​${\displaystyle \gamma \neq 0}$، يجب أن يكون لدى المرء${\displaystyle \delta =0}$، لأن تغيير إشارة الجذرين الأولين يعني أن إشارة حاصل ضربهما لا تتغير.

لذا، الإعداد${\displaystyle z=xy}$وإذا لزم الأمر ، عن طريق تبديل وإعادة تسمية المتغيرات، فإننا نختزل إلى عملية فك التداخل إلى مجموع أو فرق جذرين تربيعيين تم النظر فيهما بالفعل.

أظهر سرينيفاسا رامانوجان عددًا من الهويات الغريبة التي تتضمن جذورًا متداخلة. ومن بينها ما يلي: ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}$$

$${\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}$$

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}$$

و

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.\quad }$^{[ 4 ]}

في عام ١٩٨٩، قدمت سوزان لانداو أول خوارزمية لتحديد الجذور المتداخلة التي يمكن فصلها، وفصلها عند الإمكان. ^{[ ٥ ]} كانت الخوارزميات السابقة تعمل في بعض الحالات دون غيرها. تعتمد خوارزمية لانداو على نظرية الحقول ، ونظرية غالوا ، وتحليل كثيرات الحدود على امتدادات الحقول الجبرية . وتعمل في زمن أُسّي بالنسبة لعمق الجذور المتداخلة. ^{[ ٦ ]}

في علم المثلثات ، يمكن التعبير عن جيوب وجيوب تمام العديد من الزوايا بدلالة الجذور المتداخلة. على سبيل المثال،$${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]}$$

و $${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{24}}=\sin 7.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\frac {1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}}}.}$$ تنتج المساواة الأخيرة مباشرة من نتائج القسم §  جذور تربيعية متداخلة .

تظهر الجذور المتداخلة في الحل الجبري للمعادلة التكعيبية . يمكن كتابة أي معادلة تكعيبية في صورة مبسطة بدون حد تربيعي، كما يلي:

$${\displaystyle x^{3}+px+q=0,}$$

الحل العام لأحد الجذور هو $${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.}$$

في حالة وجود جذر حقيقي واحد فقط للمعادلة التكعيبية، يُعطى هذا الجذر الحقيقي بالصيغة التالية، حيث تكون القيم تحت جذور التكعيب حقيقية، وتكون جذور التكعيب هي الجذور التكعيبية الحقيقية. أما في حالة وجود ثلاثة جذور حقيقية، فإن تعبير الجذر التربيعي يكون عددًا تخيليًا ؛ وهنا يُعبَّر عن أي جذر حقيقي بتعريف الجذر التكعيبي الأول على أنه أي جذر تكعيبي مركب محدد للقيمة تحت الجذر المركبة، وتعريف الجذر التكعيبي الثاني على أنه المرافق المركب للجذر الأول. لا يمكن تبسيط الجذور المتداخلة في هذا الحل بشكل عام إلا إذا كان للمعادلة التكعيبية حل نسبي واحد على الأقل . في الواقع، إذا كان للمعادلة التكعيبية ثلاثة حلول غير نسبية ولكنها حقيقية، فإننا أمام حالة عدم الاختزال ، حيث تُكتب جميع الحلول الحقيقية الثلاثة بدلالة الجذور التكعيبية للأعداد المركبة. من ناحية أخرى، لننظر إلى المعادلة التالية

$${\displaystyle x^{3}-7x+6=0,}$$

والتي لها الحلول النسبية 1 و2 و  -3. صيغة الحل العامة المذكورة أعلاه تعطي الحلول $${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-3+{\frac {10i{\sqrt {3}}}{9}}}}+{\sqrt[{3}]{-3-{\frac {10i{\sqrt {3}}}{9}}}}.}$$

بالنسبة لأي اختيار معين للجذر التكعيبي ومرافقه، فإن هذا يحتوي على جذور متداخلة تتضمن أعدادًا مركبة، ومع ذلك فهو قابل للاختزال (على الرغم من أنه ليس واضحًا) إلى أحد الحلول 1 أو 2 أو -3.

• الأس
• مجموع الجذور