رقم ليوفيل

في نظرية الأعداد ، عدد ليوفيل هو عدد حقيقي${\displaystyle x}$مع الخاصية التي، لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle n}$يوجد زوج من الأعداد الصحيحة${\displaystyle (p,q)}$مع${\displaystyle q>1}$بحيث

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.}$

تشير المتباينة إلى أن أعداد ليوفيل تمتلك سلسلة ممتازة من تقريبات الأعداد النسبية . في عام 1844، أثبت جوزيف ليوفيل حدًا يُبين وجود حد لمدى جودة تقريب الأعداد الجبرية بالأعداد النسبية، وحدد أعداد ليوفيل تحديدًا بحيث يكون لها تقريبات نسبية أفضل من تلك التي يسمح بها هذا الحد. كما قدم ليوفيل أمثلة على أعداد ليوفيل ^{[ 1 ]} ، مُثبتًا بذلك وجود الأعداد المتسامية لأول مرة. ^{[ 2 ]} أحد هذه الأمثلة هو ثابت ليوفيل.

${\displaystyle L=0.110001000000000000000001\ldots ,}$

حيث${\displaystyle n}$الرقم بعد الفاصلة العشرية هو 1 إذا${\displaystyle n}$هو مضروب عدد صحيح موجب، وصفر فيما عدا ذلك. من المعروف أن π و e ، على الرغم من كونهما أعدادًا متسامية، ليسا من أعداد ليوفيل. ^{[ 3 ]}

يمكن إثبات وجود أعداد ليوفيل من خلال بناء صريح.

لأي عدد صحيح${\displaystyle b\geq 2}$وأي سلسلة من الأعداد الصحيحة${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$بحيث${\displaystyle a_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,b-1\}}$للجميع${\displaystyle k}$و${\displaystyle a_{k}\neq 0}$لعدد لا نهائي من${\displaystyle k}$حدد الرقم

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$.

في الحالة الخاصة عندما${\displaystyle b=10}$، و${\displaystyle a_{k}=1}$للجميع${\displaystyle k}$، العدد الناتج${\displaystyle x}$يُطلق عليه اسم ثابت ليوفيل:

${\displaystyle L=0.{\color {red}11}000{\color {red}1}00000000000000000{\color {red}1}\ldots }$

ويترتب على ذلك تعريف${\displaystyle x}$أن قاعدتها -${\displaystyle b}$التمثيل هو

${\displaystyle x=(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}\ldots )_{b}}$

حيث${\displaystyle n}$الرقم غير الصفري رقم 1 موجود في${\displaystyle n!}$المركز الثالث.

بما أن هذه القاعدة-${\displaystyle b}$التمثيل غير متكرر، وبالتالي فإن${\displaystyle x}$ليس عددًا نسبيًا. لذلك، لأي عدد نسبي${\displaystyle p/q}$، ${\displaystyle |xp/q|>0}$.

الآن، لأي عدد صحيح${\displaystyle n\geq 1}$،${\displaystyle p_{n}}$و${\displaystyle q_{n}}$يمكن تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle q_{n}=b^{n!}\,;\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{n!-k!}}$.

ثم

$${\displaystyle {\begin{aligned}0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|&=\left|\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\\[6pt]&\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}+\cdots \\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}}}+\cdots ={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}\\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)n!-n!}}}={\frac {1}{b^{n(n!)+n!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n!)n}}}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}\end{aligned}}}$$

لذلك، فإن أي شيء من هذا القبيل${\displaystyle x}$هو رقم من أرقام ليوفيل.

سيُظهر البرهان هنا أن العدد${\displaystyle ~x={\frac {c}{d}}~,}$حيث c و d عددان صحيحان و${\displaystyle ~d>0~,}$لا يمكن تحقيق المتباينات التي تُعرّف عدد ليوفيل. بما أن كل عدد نسبي يمكن تمثيله على هذا النحو${\displaystyle ~c/d~,}$سيُظهر البرهان أنه لا يمكن لأي عدد من أعداد ليوفيل أن يكون عددًا نسبيًا .

وبشكل أكثر تحديدًا، يُظهر هذا البرهان أنه لأي عدد صحيح موجب n كبير بما فيه الكفاية بحيث${\displaystyle ~2^{n-1}>d>0~}$[بصورة مكافئة، لأي عدد صحيح موجب${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~}$)], لا يوجد زوج من الأعداد الصحيحة${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$يوجد حل يحقق في آن واحد زوج المتباينات المحددة.

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

إذا كانت هذه الفرضية صحيحة، فإن النتيجة المرجوة ستتحقق.

ليكن p و q أي عددين صحيحين بحيث${\displaystyle ~q>1~.}$ثم،

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|=\left|{\frac {\,c\,}{d}}-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}}$

لو${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|=0~,}$ثم

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}=0~,}$

وهذا يعني أن هذا الزوج من الأعداد الصحيحة${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$سيؤدي ذلك إلى انتهاك المتباينة الأولى في تعريف عدد ليوفيل، بغض النظر عن أي اختيار لـ n  .

أما إذا، من ناحية أخرى،${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~}$إذن، بما أن${\displaystyle c\,q-d\,p}$ إذا كان عددًا صحيحًا، فيمكننا تأكيد عدم المساواة الأكثر حدة${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|\geq 1~.}$ ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}}$

الآن لأي عدد صحيح${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~,}$المتباينة الأخيرة أعلاه تعني

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}>{\frac {1}{\,2^{n-1}q\,}}\geq {\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

لذلك، في هذه الحالة${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~}$هذا الزوج من الأعداد الصحيحة${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$سيؤدي ذلك إلى انتهاك المتباينة الثانية في تعريف عدد ليوفيل، لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة n .

لذا، نستنتج أنه لا يوجد زوج من الأعداد الصحيحة${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~,}$مع${\displaystyle ~q>1~,}$وهذا من شأنه أن يؤهل مثل هذا${\displaystyle ~x=c/d~,}$كرقم ليوفيل.

وبالتالي، لا يمكن أن يكون عدد ليوفيل عددًا نسبيًا.

لا يوجد عدد ليوفيل جبري. يبدأ برهان هذه الفرضية بإثبات خاصية للأعداد الجبرية غير النسبية . تنص هذه الخاصية أساسًا على أنه لا يمكن تقريب الأعداد الجبرية غير النسبية تقريبًا جيدًا بأعداد نسبية، حيث يصبح شرط "التقريب الجيد" أكثر صرامةً مع كبر المقام. عدد ليوفيل غير نسبي ولكنه لا يمتلك هذه الخاصية، لذا لا يمكن أن يكون جبريًا ويجب أن يكون متساميًا. تُعرف اللمة التالية عادةً باسم نظرية ليوفيل (حول التقريب الديوفانتي) ، وهناك العديد من النتائج المعروفة باسم نظرية ليوفيل .

اللمة: إذا${\displaystyle \alpha }$هو جذر غير نسبي لكثير حدود غير قابل للاختزال من الدرجة${\displaystyle n>1}$إذا كانت المعاملات أعدادًا صحيحة، فإنه يوجد عدد حقيقي${\displaystyle A>0}$بحيث يكون ذلك لجميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle p,q}$مع${\displaystyle q>0}$،

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

برهان اللمة: ليكن${\displaystyle f(x)=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}x^{k}}$ليكن متعدد الحدود الأدنى ذو المعاملات الصحيحة، بحيث${\displaystyle f(\alpha )=0}$.

بحسب النظرية الأساسية للجبر ،${\displaystyle f}$لديه على الأكثر${\displaystyle n}$جذور متميزة. لذلك، يوجد${\displaystyle \delta _{1}>0}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle 0<|x-\alpha |<\delta _{1}}$نحصل${\displaystyle f(x)\neq 0}$.

منذ${\displaystyle f}$هي متعددة حدود دنيا لـ${\displaystyle \alpha }$نحصل${\displaystyle f'\!(\alpha )\neq 0}$وأيضًا${\displaystyle f'}$هي دالة متصلة . لذلك، وبحسب نظرية القيمة القصوى، يوجد${\displaystyle \delta _{2}>0}$و${\displaystyle M>0}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle |x-\alpha |<\delta _{2}}$نحصل${\displaystyle 0<|f'\!(x)|\leq M}$.

كلا الشرطين متحققان لـ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$.

والآن لنبدأ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\in (\alpha -\delta ,\alpha +\delta )}$ليكن عددًا نسبيًا. وبدون فقدان للعمومية، يمكننا أن نفترض أن${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}<\alpha }$بحسب نظرية القيمة المتوسطة ، يوجد${\displaystyle x_{0}\in \left({\tfrac {p}{q}},\alpha \right)}$بحيث

${\displaystyle f'\!(x_{0})={\frac {f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}}{\alpha -{\frac {p}{q}}}}}$

منذ${\displaystyle f(\alpha )=0}$و${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {p}{q}}{\bigr )}\neq 0}$كلا طرفي هذه المعادلة لا يساويان الصفر. على وجه الخصوص${\displaystyle |f'\!(x_{0})|>0}$ويمكننا إعادة الترتيب:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|&={\frac {\left|f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}={\frac {\left|f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|}}\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{-k}\,\right|\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|\,q^{n}}}\,\underbrace {\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{n-k}\,\right|} _{\geq \,1}\\&\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\quad$ :\!0<A<\min \!\left\{\delta \,,{\frac {1}{M}}\right\}\end{aligned}}}

برهان الادعاء: كنتيجة لهذه اللمة، ليكن x عددًا من أعداد ليوفيل؛ كما ذُكر في نص المقال، يكون x عددًا غير نسبي. إذا كان x عددًا جبريًا، فبحسب اللمة، يوجد عدد صحيح n وعدد حقيقي موجب A بحيث يكون لكل p و q

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

ليكن r عددًا صحيحًا موجبًا بحيث يكون 1/(2r ⁾ ≤ A ، ولنُعرّف m = r + n . بما أن x عدد ليوفيل، فإنه يوجد عددان صحيحان a و b حيث b > 1 بحيث

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}},}$

وهذا يناقض اللمة. لذا، لا يمكن أن يكون عدد ليوفيل جبريًا، وبالتالي يجب أن يكون متساميًا.

إن إثبات أن عددًا معينًا هو عدد ليوفيل يثبت أنه عدد متسامٍ. مع ذلك، ليس كل عدد متسامٍ عددًا ليوفيل. حدود كسر كل عدد ليوفيل غير محدودة؛ وباستخدام حجة العد، يمكن إثبات وجود عدد لا يُحصى من الأعداد المتسامية التي ليست أعداد ليوفيل. باستخدام كسر العدد e الصريح ، يمكن إثبات أن e مثال على عدد متسامٍ ليس عدد ليوفيل. وقد أثبت ماهلر عام ١٩٥٣ أن π مثال آخر على ذلك. ^{[ ٤ ]}

ضع في اعتبارك الرقم

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 أصفار)1(17 صفرًا)5(95 صفرًا)9(599 صفرًا)2(4319 صفرًا)6...

حيث تكون الأرقام صفرًا باستثناء المواضع n ! حيث يساوي الرقم الرقم n الذي يلي الفاصلة العشرية في التوسع العشري لـ π . 

كما هو موضح في قسم وجود أعداد ليوفيل ، فإن هذا العدد، بالإضافة إلى أي عدد عشري غير منتهٍ آخر بأرقام غير صفرية في مواقع مماثلة، يُحقق تعريف عدد ليوفيل. وبما أن مجموعة جميع متواليات الأرقام غير الصفرية لها عدد عناصر المتصل ، فإن الأمر نفسه ينطبق على مجموعة جميع أعداد ليوفيل.

علاوة على ذلك، تشكل أعداد ليوفيل مجموعة فرعية كثيفة من مجموعة الأعداد الحقيقية.

من وجهة نظر نظرية القياس ، فإن مجموعة جميع أعداد ليوفيل${\displaystyle L}$صغيرة. وبشكل أدق، مقياسها وفقًا لـ Lebesgue ،${\displaystyle \lambda (L)}$، يساوي صفرًا. ويستند البرهان المقدم إلى بعض أفكار جون سي. أوكستوبي . ^{[ 5 ] : 8}

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n>2}$و${\displaystyle q\geq 2}$تعيين:

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$

ثم

${\displaystyle L\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.}$

لاحظ أنه لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle n\geq 2}$و${\displaystyle m\geq 1}$، ثم

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

منذ

${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$

و${\displaystyle n>2}$ثم

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (L\cap (-m,\,m))&\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\\[6pt]&\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.\end{aligned}}}$

الآن

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$

ويترتب على ذلك أنه لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle m}$،${\displaystyle L\cap (-m,m)}$لها قياس ليبيغ يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن لها أيضًا قياس ليبيغ يساوي صفرًا.${\displaystyle L}$.

في المقابل، فإن مقياس ليبيغ لمجموعة جميع الأعداد الحقيقية المتسامية هو لانهائي (لأن مجموعة الأعداد الجبرية هي مجموعة فارغة ).

يمكن للمرء أن يُظهر المزيد - مجموعة أعداد ليوفيل لها بُعد هاوسدورف 0 (وهي خاصية أقوى بكثير من كون قياس ليبيغ 0).

لكل عدد صحيح موجب n ، ضع

${\displaystyle ~U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left\{x\in \mathbb {R} :0<\left|x-{\frac {p}{\,q\,}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right\}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}~,~{\frac {p}{\,q\,}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right)\setminus \left\{{\frac {p}{\,q\,}}\right\}~}$

وبالتالي يمكن كتابة مجموعة جميع أعداد ليوفيل على النحو التالي:

${\displaystyle ~L~=~\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}~=~\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} _{1}}~\bigcup \limits _{q\geqslant 2}~\bigcup \limits _{p\in \mathbb {Z} }\,\left(\,\left(\,{\frac {\,p\,}{q}}-{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~,~{\frac {\,p\,}{q}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\,\right)\setminus \left\{\,{\frac {\,p\,}{q}}\,\right\}\,\right)~.}$

كل${\displaystyle ~U_{n}~}$هي مجموعة مفتوحة ؛ لأن إغلاقها يحتوي على جميع الأعداد النسبية (الـ${\displaystyle ~p/q~}$(من كل فترة مثقوبة)، وهي أيضًا مجموعة جزئية كثيفة من خط الأعداد الحقيقية. ولأنها تقاطع عدد لا نهائي من هذه المجموعات الكثيفة المفتوحة، فإن L هي مجموعة كثيفة من G _δ .

مقياس لا عقلانية ليوفيل -روث ( أس اللاعقلانية، أو أس التقريب، أو ثابت ليوفيل-روث ) لعدد حقيقي${\displaystyle x}$هو مقياس لمدى إمكانية تقريبه "بدقة" بواسطة الأعداد النسبية. ويتم تعريفه بتكييف تعريف أعداد ليوفيل: بدلاً من اشتراط وجود متتالية من الأزواج${\displaystyle (p,q)}$مما يجعل عدم المساواة قائماً لكل${\displaystyle n}$—متتالية تحتوي بالضرورة على عدد لا نهائي من الأزواج المتميزة—أس اللاعقلانية${\displaystyle \mu (x)}$يُعرَّف بأنه القيمة العليا لمجموعة${\displaystyle n}$والتي توجد لها مثل هذه المتتالية اللانهائية، أي مجموعة${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$يتحقق ذلك من خلال عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الصحيحة${\displaystyle (p,q)}$مع${\displaystyle q>0}$[ ^{6 ] : 246} لأي ^قيمة${\displaystyle n\leq \mu (x)}$، المجموعة اللانهائية لجميع الأعداد النسبية${\displaystyle p/q}$إن تحقيق المتباينة المذكورة أعلاه يعطي تقريبات جيدة لـ${\displaystyle x}$. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle n>\mu (x)}$إذن، يوجد عدد محدود على الأكثر${\displaystyle (p,q)}$مع${\displaystyle q>0}$التي تحقق المتباينة. إذا${\displaystyle x}$إذن هو رقم ليوفيل${\displaystyle \mu (x)=\infty }$.

• رقم بريونو
• ثابت ماركوف
• التقريب الديوفانتي

• بداية الأعداد المتسامية