معادلة ماجورانا

تتمثل نقطة البداية التقليدية في القول بأن " معادلة ديراك يمكن كتابتها في الصيغة الهرميتية "، عندما تُؤخذ مصفوفات غاما في تمثيل ماجورانا . وتُكتب معادلة ديراك حينها على النحو التالي ^{[ 6 ].}

${\displaystyle \left(\,-i\,{\frac {\partial }{\partial t}}-i\,{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta \,m\,\right)\,\psi =0}$

مع${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$كونها مصفوفات متناظرة حقيقية بحتة من الرتبة 4×4، و${\displaystyle \beta }$كونها متناظرة عكسيًا تخيلية بحتة؛ كما هو مطلوب لضمان أن يكون المؤثر (الجزء الموجود داخل الأقواس) هيرميتيًا. في هذه الحالة، يمكن إيجاد حلول حقيقية بحتة من نوع 4-spinor للمعادلة؛ وهي ما تُعرف باسم سبينورات ماجورانا .

معادلة ماجورانا هي

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi -m\,\psi _{c}=0~}$

باستخدام عامل الاشتقاق${\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}}$مكتوبة بصيغة فاينمان المائلة لتضمين مصفوفات غاما بالإضافة إلى مجموع مكونات السبينور. السبينور${\textstyle \,\psi _{c}\,}$هو المرافق الشحني لـ${\textstyle \,\psi \,.}$بحسب التصميم، فإنّ المرافقات الشحنية تُعطى بالضرورة بواسطة

${\displaystyle \psi _{c}=\eta _{c}\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}~}$

أين${\displaystyle \,(\cdot )^{\mathsf {T}}\,}$يشير إلى عملية النقل ،${\displaystyle \,\eta _{c}\,}$هو عامل طور اعتباطي${\displaystyle \,|\eta _{c}|=1\,,}$يُعتبر تقليديا${\displaystyle \,\eta _{c}=1\,,}$و${\displaystyle \,C\,}$هي مصفوفة 4×4، وهي مصفوفة اقتران الشحنة . التمثيل المصفوفي لـ${\displaystyle \,C\,}$يعتمد ذلك على اختيار تمثيل مصفوفات غاما . اصطلاحًا، يُكتب المتجه الدوراني المترافق على النحو التالي:

${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\,\gamma ^{0}~.}$

ينتج عدد من المتطابقات الجبرية من مصفوفة اقتران الشحنة${\displaystyle C.}$^{[ أ ]} ينص أحدها على أنه في أي تمثيل لمصفوفاتغاما، بما في ذلك تمثيلات ديراك، وويل، وماجورانا، فإن${\displaystyle \,C\,\gamma _{\mu }=-\gamma _{\mu }^{\mathsf {T}}\,C\,}$وهكذا يمكن للمرء أن يكتب

${\displaystyle \psi _{c}=-\eta _{c}\,\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}~}$

أين${\displaystyle \,\psi ^{*}\,}$هو المرافق المعقد لـ${\displaystyle \,\psi \,.}$مصفوفة اقتران الشحنة${\displaystyle \,C\,}$كما يمتلك العقار الذي

${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }=C^{\mathsf {T}}=-C}$

في جميع التمثيلات (ديراك، كيرالي، ماجورانا). ومن هذا، وبقليل من الجبر، يمكن الحصول على المعادلة المكافئة:

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

مناقشة مفصلة للتفسير الفيزيائي للمصفوفة${\displaystyle C}$يمكن الاطلاع على مفهوم اقتران الشحنات في مقالة اقتران الشحنات . باختصار، يتعلق الأمر بتحويل الجسيمات إلى جسيماتها المضادة ، وهو ما يشمل، من بين أمور أخرى، عكس الشحنة الكهربائية .${\displaystyle \psi ^{c}}$يُعرَّف بأنه "الشحنة المترافقة" لـ${\displaystyle \psi ,}$لا يمتلك عامل اقتران الشحنة قيمة ذاتية واحدة، بل قيمتين ذاتيتين. وهذا يسمح بتعريف سبينور ثانٍ، وهو سبينور ELKO . سيتم تناول هذا الموضوع بمزيد من التفصيل لاحقًا.

مشغل ماجورانا ،${\displaystyle \,\mathrm {D} _{\text{L}}\,,}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\equiv i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }+\eta \,m\,\omega \,K}$

أين

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }={\begin{bmatrix}\sigma ^{0}&-\sigma ^{1}&-\sigma ^{2}&-\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{2}&-\sigma _{\text{x}}&-\sigma _{\text{y}}&-\sigma _{\text{z}}\end{bmatrix}}}$

هو متجه مكوناته هي مصفوفة الوحدة 2×2${\displaystyle \,I_{2}\,}$ل${\displaystyle \,\mu =0\,}$و(ناقص) مصفوفات باولي لـ${\displaystyle \,\mu \in \{1,\,2,\,3\}\,.}$ال${\displaystyle \,\eta \,}$هو عامل طور اعتباطي ،${\displaystyle \,|\eta |=1\,,}$يُعتبر عادةً واحداً:${\displaystyle \,\eta =1\,.}$ال${\displaystyle \,\omega \,}$هي مصفوفة 2×2 يمكن تفسيرها على أنها الشكل التبسيطي للمجموعة التبسيطية${\displaystyle \,\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )\,,}$وهو عبارة عن تغطية مزدوجة لمجموعة لورنتز .

${\displaystyle \omega =i\,\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~,}$

والتي تصادف أنها متماثلة مع الوحدة التخيلية " i " (أي${\displaystyle \omega ^{2}=-I\,}$و${\displaystyle \,a\,I+b\,\omega \cong a+b\,i\in \mathbb {C} \,}$ل${\displaystyle \,a,b\in \mathbb {R} }$) حيث يكون منقول المصفوفة مماثلاً للاقتران المركب .

وأخيراً،${\displaystyle \,K\,}$هي تذكير مختصر بأخذ المرافق المركب. معادلة ماجورانا لسبينور ثنائي المكونات ذي قيم مركبة يسارية${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}\,}$ثم

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\psi _{\text{L}}=0}$

أو، على نحو مماثل،

${\displaystyle i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }\psi _{\text{L}}(x)+\eta \,m\,\omega \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)=0}$

مع${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)\,}$المرافق المعقد لـ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}(x)\,.}$يُستخدم الرمز السفلي L في هذا القسم للدلالة على سبينور كيرالي يساري ؛ وبتحويل التكافؤ ، يمكن تحويله إلى سبينور يميني، وبالتالي نحصل أيضًا على صيغة يمينية للمعادلة. ينطبق هذا على المعادلة ذات المكونات الأربعة أيضًا؛ وسيتم تقديم المزيد من التفاصيل أدناه.

تصف معادلة فايل التطور الزمني لسبينور ثنائي المكونات عديم الكتلة ذي قيم مركبة . وتُكتب عادةً على النحو التالي ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

مكتوبة بشكل صريح، هي

${\displaystyle I_{2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

متجه باولي الرباعي هو

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

أي متجه تكون مكوناته هي مصفوفة الوحدة 2 × 2${\displaystyle I_{2}}$بالنسبة لـ μ = 0 ومصفوفات باولي لـ μ = 1، 2، 3. تحت تحويل التكافؤ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}^{\prime }=-{\vec {x}}}$نحصل على معادلة ثنائية

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

أين${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$هذان شكلان مختلفان لمعادلة فايل؛ وحلولهما مختلفة أيضًا. يمكن إثبات أن الحلول لها حلزونية يسارية ويمينية ، وبالتالي كيرالية . من المتعارف عليه تسمية هذين الشكلين المختلفين بشكل صريح، كما يلي:

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\qquad {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

تصف معادلة فايل جسيمًا عديم الكتلة ؛ بينما تضيف معادلة ماجورانا حدًا للكتلة. يجب إدخال الكتلة بطريقة ثابتة لورنتز . ويتحقق ذلك من خلال ملاحظة أن المجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$متماثل مع المجموعة التبسيطية${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} ).}$كلتا المجموعتين عبارة عن نسخ مزدوجة لمجموعة لورنتز${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3).}$يُصاغ ثبات لورنتز للحد المشتق (من معادلة فايل) عادةً بدلالة تأثير المجموعة.${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$على السبينورات، في حين أن ثبات لورنتز لمصطلح الكتلة يتطلب استدعاء العلاقة المحددة للمجموعة التبسيطية.

يُعطى التغطية المزدوجة لمجموعة لورنتز بواسطة

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

أين${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$و${\displaystyle S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$و${\displaystyle S^{\dagger }}$هي منقولة هيرميتية . تُستخدم هذه المنقولة لربط خصائص تحويل التفاضلات تحت تحويل لورنتز.${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$إلى خصائص تحويل السبينورات.

المجموعة التبسيطية${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$تُعرَّف بأنها مجموعة جميع المصفوفات المعقدة من الرتبة 2×2${\displaystyle S}$ذلك يرضي

${\displaystyle \omega ^{-1}S^{\textsf {T}}\omega =S^{-1}}$

أين

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

هي مصفوفة متناظرة معكوسة . تُستخدم لتعريف شكل ثنائي خطي تماثلي على${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$كتابة زوج من المتجهات الثنائية العشوائية${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} ^{2}}$مثل

${\displaystyle u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}}$

الناتج التبسيطي هو

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

أين${\displaystyle u^{\textsf {T}}}$هو منقول${\displaystyle u~.}$ هذا الشكل ثابت تحت تحويلات لورنتز، بمعنى أن

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Su,Sv\rangle }$

تأخذ مصفوفة الانحراف مصفوفات باولي إلى سالب منقولها:

${\displaystyle \omega \sigma _{k}\omega ^{-1}=-\sigma _{k}^{\textsf {T}}}$

ل${\displaystyle k=1,2,3.}$يمكن تفسير مصفوفة الانحراف على أنها ناتج تحويل التكافؤ ونقل يؤثر على متجهين ثنائيين. مع ذلك، وكما سيتم التأكيد عليه في قسم لاحق، يمكن أيضًا تفسيرها على أنها أحد مكونات عامل اقتران الشحنة ، والمكون الآخر هو الاقتران المركب . بتطبيقها على تحويل لورنتز، نحصل على

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

يصف هذان المتغيران خصائص التغاير للتفاضلات التي تؤثر على السبينورات اليسرى واليمنى، على التوالي.

في ظل تحول لورنتز${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$يتحول الحد التفاضلي على النحو التالي

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

بشرط أن يتحول الحقل الأيمن كما

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

وبالمثل، فإن التحويلات التفاضلية ذات اليد اليسرى هي

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

بشرط أن يتحول السبينور الأيسر على النحو التالي

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)}$

يتحول المرافق المركب لحقل السبينور الأيمن كما يلي:

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

العلاقة المحددة لـ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega \,.}$ ومن هذا نستنتج أن حقل المركب المائل يتحول على النحو التالي

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

يتوافق هذا تمامًا مع خاصية التغاير للتفاضل. بأخذ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$ليكون عامل طور معقدًا عشوائيًا، التركيبة الخطية

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

يتحول بطريقة متغايرة. بجعل هذا يساوي صفرًا، نحصل على معادلة ماجورانا المعقدة ذات المكونين للحقل الأيمن. وبالمثل، معادلة ماجورانا ذات الكيرالية اليسرى (بما في ذلك عامل طور اختياري).${\displaystyle \zeta }$) يكون

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

ترتبط النسختان الكيراليتان اليسرى واليمنى بتحويل التكافؤ . وكما هو موضح أدناه، فإن مربعاتهما تساوي عامل كلاين-غوردون فقط إذا${\displaystyle \eta =\zeta .}$المركب المترافق المنحرف${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$يمكن التعرف عليها على أنها الشكل المترافق للشحنة لـ${\displaystyle \psi ~;}$سيتم توضيح ذلك بمزيد من التفصيل أدناه. وبالتالي، يمكن قراءة معادلة ماجورانا على أنها معادلة تربط بين سبينور وشكله المقترن بالشحنة.

عرّف زوجًا من المؤثرات، وهما مؤثرات ماجورانا.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}&=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K&\mathrm {D} _{\rm {R}}&=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle K}$هي اختصار للتذكير بأخذ المرافق المركب. في ظل تحويلات لورنتز، تتحول هذه المرافقات كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {L}}^{\prime }&=S\mathrm {D} _{\rm {L}}S^{\dagger }&\mathrm {D} _{\rm {R}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {R}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\mathrm {D} _{\rm {R}}S^{-1}\end{aligned}}}$

بينما تتحول سبينورات ويل كما

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}&\psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }&=S\psi _{\rm {R}}\end{aligned}}}$

كما سبق. وبالتالي، فإن التوليفات المتطابقة لهذه العناصر متغيرة لورنتز، ويمكن للمرء أن يأخذ

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}&=0&\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}&=0\end{aligned}}}$

كزوج من معادلات ماجورانا المعقدة ذات الدوران المزدوج.

المنتجات${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}}$و${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}}$كلاهما متغيران لورنتز. والناتج هو صراحةً

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

يتطلب التحقق من ذلك مراعاة ما يلي:${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$وذلك${\displaystyle Ki=-iK~.}$يختزل الطرف الأيمن إلى عامل كلاين-غوردون بشرط أن${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$، إنه،${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$ وبالتالي فإن هذين العاملين من عوامل ماجورانا هما "جذور تربيعية" لعامل كلاين-جوردون.

تحت تأثير التكافؤ، تتحول السبينورات اليسارية إلى سبينورات يمينية. المتجهان الذاتيان لمؤثر اقتران الشحنة، مرة أخرى في أساس فايل، هما

${\displaystyle \psi _{\rm {{R},{\text{Weyl}}}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\pm \eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

كما في السابق، يحلّ كلاهما معادلة ماجورانا ذات الأربعة مركبات، لكن أحدهما فقط يحلّ معادلة ديراك أيضًا. ويمكن إثبات ذلك من خلال بناء معادلة التكافؤ الثنائي ذات الأربعة مركبات. وتأخذ هذه المعادلة الشكل التالي:

${\displaystyle \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

أين

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

بالنظر إلى المغزل ذي المكونين${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$عرّف مرافقها على النحو التالي:${\displaystyle \chi _{\rm {L}}=-\eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}.}$ليس من الصعب إثبات ذلك${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=-\eta \omega (\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}})}$وبالتالي، إذا${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$ثم أيضًا${\displaystyle \delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}}=0}$وبالتالي فإن

${\displaystyle 0=\left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)\left(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}\right)}$

أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle 0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}){\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

هذا ينجح، لأن${\displaystyle {\mathsf {C}}(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})=-(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})}$وبالتالي، فإن هذا يختزل إلى معادلة ديراك لـ

${\displaystyle \psi _{{\rm {R}},{\text{Weyl}}}^{(-)}=\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

وختامًا، وتأكيدًا، فإن معادلة ماجورانا هي

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi =i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi _{c}}$

لها أربعة حلول غير متكافئة ومستقلة خطيًا،${\displaystyle \psi _{\rm {L,R}}^{(\pm )}.}$ومن بين هذه الحلول، اثنان فقط يمثلان أيضاً حلولاً لمعادلة ديراك: وهما${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(+)}}$و${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{(-)}~.}$

إحدى نقاط البداية الملائمة لكتابة الحلول هي العمل بطريقة الإطار الساكن للسبينورات. كتابة الهاميلتوني الكمومي باستخدام اصطلاح الإشارة التقليدي${\displaystyle H=i\partial _{t}}$يؤدي ذلك إلى أن تأخذ معادلة ماجورانا الشكل التالي:

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}}$

في الأساس الكيرالي (ويل)، يكون لدينا ذلك

${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$

مع${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$متجه باولي . يتوافق اصطلاح الإشارة هنا مع مقالة مصفوفات غاما . يتم إدخال حالة الطاقة الذاتية للاقتران للشحنة الموجبة.${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(+)}}$بناءً على ما سبق، نحصل على معادلة للمتجه الدوراني ثنائي المكونات

${\displaystyle i\partial _{t}\psi _{\rm {L}}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{\rm {L}}+m(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})}$

وبالمثل

${\displaystyle i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})+m\psi _{\rm {L}}}$

هاتان المعادلتان هما في الواقع نفس المعادلة، ويمكن التحقق من ذلك بملاحظة أن${\displaystyle \sigma _{2}}$ينتج عنه المرافق المركب لمصفوفات باولي:

${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}^{*}.}$

يمكن تطوير حلول الموجة المستوية للطاقة والزخم${\displaystyle \left(k_{0},{\vec {k}}\right)}$ويمكن التعبير عنها بسهولة أكبر في إطار السكون. حل إطار السكون مع بدء الدوران هو

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\\e^{imt}\end{pmatrix}}}$

بينما حل التباطؤ هو

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\\-e^{-imt}\end{pmatrix}}}$

يمكن التأكد من صحة تفسير هذه الدوال بإعادة صياغتها في أساس ديراك، على شكل دوال ديراك الدورانية . في هذه الحالة، تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt}\\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}}$

و

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{-imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}}$

هذه هي السبينورات في إطار السكون. ويمكن اعتبارها توليفة خطية من حلول الطاقة الموجبة والسالبة لمعادلة ديراك. هذان هما الحلان الوحيدان؛ فمعادلة ماجورانا لها حلان مستقلان خطيًا فقط، على عكس معادلة ديراك التي لها أربعة حلول. ويمكن عزو مضاعفة درجات حرية معادلة ديراك إلى أن سبينورات ديراك تحمل شحنة.

في إطار الزخم العام، يمكن كتابة سبينور ماجورانا على النحو التالي

تُعرف الجسيمات المقابلة لسبينورات ماجورانا بجسيمات ماجورانا ، وذلك بسبب قيد الاقتران الذاتي المذكور أعلاه. وقد استُبعدت جميع الفرميونات المُدرجة في النموذج القياسي من فرميونات ماجورانا (لأنها تحمل شحنة كهربائية غير صفرية، فلا يمكن أن تكون جسيمات مضادة لنفسها)، باستثناء النيوترينو ( وهو جسيم متعادل).

نظريًا، يُعد النيوترينو استثناءً محتملاً لهذه القاعدة. فإذا كان الأمر كذلك، فمن الممكن حدوث اضمحلال بيتا المزدوج عديم النيوترينو ، بالإضافة إلى مجموعة من اضمحلالات الميزون واللبتونات المشحونة التي تنتهك عدد الليبتونات . ويجري حاليًا عدد من التجارب للتحقق مما إذا كان النيوترينو جسيم ماجورانا. ^{[ 14 ]}