معادلات ماكسويل في الزمكان المنحني

في الفيزياء ، تحكم معادلات ماكسويل في الزمكان المنحني ديناميكيات المجال الكهرومغناطيسي في هذا الزمكان (حيث قد ينحرف المقياس عن مقياس مينكوفسكي ) أو عند استخدام نظام إحداثيات اعتباطي (ليس بالضرورة ديكارتيًا ). يمكن اعتبار هذه المعادلات تعميمًا لمعادلات ماكسويل في الفراغ ، والتي تُصاغ عادةً في الإحداثيات المحلية للزمكان المسطح . ولكن نظرًا لأن النسبية العامة تنص على أن وجود المجالات الكهرومغناطيسية (أو الطاقة / المادة عمومًا) يُحدث انحناءً في الزمكان، ^{[ 1 ]} فينبغي اعتبار معادلات ماكسويل في الزمكان المسطح تقريبًا مناسبًا.

عند العمل في وجود مادة صلبة، قد يُسهّل التمييز بين الشحنات الكهربائية الحرة والمقيدة عملية التحليل. وعند إجراء هذا التمييز، تُسمى هذه المعادلات بمعادلات ماكسويل العيانية . أما في حال عدم إجراء هذا التمييز، فتُسمى أحيانًا بمعادلات ماكسويل " الميكروسكوبية " للمقارنة.

يسمح المجال الكهرومغناطيسي بوصف هندسي مستقل عن الإحداثيات، ومعادلات ماكسويل المُعبر عنها بدلالة هذه الأشكال الهندسية تبقى نفسها في أي زمكان، سواء كان منحنيًا أم لا. كما تُجرى التعديلات نفسها على معادلات فضاء مينكوفسكي المسطح عند استخدام إحداثيات محلية غير مستقيمة. على سبيل المثال، يمكن استخدام المعادلات الواردة في هذه المقالة لكتابة معادلات ماكسويل في الإحداثيات الكروية . لهذه الأسباب، قد يكون من المفيد اعتبار معادلات ماكسويل في فضاء مينكوفسكي حالة خاصة من الصيغة العامة.

في النسبية العامة ، موتر القياس${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$لم يعد ثابتًا (مثل${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$كما في أمثلة موتر القياس ، ولكنها قد تتغير في المكان والزمان، وتصبح معادلات الكهرومغناطيسية في الفراغ

${\displaystyle {\begin{align}F_{\alpha \beta}&=\partial _{\alpha }A_{\beta}-\partial _{\beta}A_{\alpha },\\{\mathcal {D}}^{\mu \nu }&={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}},\\J^{\mu }&=\جزئي _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },\\f_{\mu }&=F_{\mu \nu }\,J^{\nu },\end{محاذاة}}}$

أين${\displaystyle f_{\mu }}$هي كثافة قوة لورنتز ،${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$هو معكوس موتر القياس${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$، و${\displaystyle g}$هو محدد موتر القياس. لاحظ أن${\displaystyle A_{\alpha }}$و${\displaystyle F_{\alpha \beta }}$هي موترات (عادية)، بينما${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$،​​${\displaystyle J^{\nu }}$، و${\displaystyle f_{\mu }}$هي كثافات موترية من الوزن +1. على الرغم من استخدام المشتقات الجزئية ، فإن هذه المعادلات ثابتة تحت أي تحويلات إحداثيات منحنية. وبالتالي، إذا استُبدلت المشتقات الجزئية بمشتقات متغايرة ، فإن الحدود الإضافية الناتجة ستُلغى (انظر التغاير الظاهر §  مثال ).

الجهد الكهرومغناطيسي هو متجه متغاير A _α ، وهو العنصر الأساسي غير المعرّف للكهرومغناطيسية. وباعتباره متجهًا متغايرًا، فإن مركباته تتحول من نظام إحداثيات إلى آخر وفقًا لـ

${\displaystyle {\bar {A}}_{\beta }({\bar {x}})={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }(x).}$

الموتر الكهرومغناطيسي للمجال الكهرومغناطيسي هو موتر متغاير مضاد للتناظر من الدرجة الثانية، ويمكن تعريفه بدلالة الجهد الكهرومغناطيسي بواسطة $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.}$$

لإثبات أن هذه المعادلة ثابتة، نقوم بتحويل الإحداثيات كما هو موضح في المعالجة الكلاسيكية للموترات : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)-{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }+{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}F_{\delta \gamma }.\end{aligned}}}$$

يشير هذا التعريف إلى أن المجال الكهرومغناطيسي يحقق $${\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0,}$$ والذي يتضمن قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي وقانون جاوس للمغناطيسية . ويتضح ذلك من $${\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }=0.}$$

وبالتالي، فإن الجانب الأيمن من قانون ماكسويل يساوي صفرًا تمامًا، مما يعني أن نظرية المجال الكهرومغناطيسي الكلاسيكية لا تترك مجالًا للأقطاب المغناطيسية الأحادية أو تيارات مثلها لتعمل كمصادر للمجال.

على الرغم من وجود 64 معادلة ظاهريًا في معادلة فاراداي-غاوس، إلا أنها في الواقع تُختزل إلى أربع معادلات مستقلة فقط. وباستخدام خاصية التناظر العكسي للمجال الكهرومغناطيسي، يمكن اختزال جميع المعادلات إلى معادلة متطابقة ( 0 = 0 )، أو جعلها زائدة عن الحاجة، باستثناء تلك التي تكون فيها قيم { λ , μ , ν } إما {1, 2, 3} ، أو {2, 3, 0} ، أو {3, 0, 1} ، أو {0, 1, 2} .

تُكتب معادلة فاراداي-غاوس أحيانًا $${\displaystyle F_{[\mu \nu$$ ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_ {\nu \mu } -\جزئي _{\mu} F_ {\lambda \nu } -\جزئي _ {\nu }F_ {\mu \lambda })={\frac {1}{3}}(\جزئي _ {\lambda }F_ {\mu \nu }+\جزئي _ {\mu }F_ {\nu \lambda }+\جزئي _ {\nu }F_{\lambda \mu })=0,} حيث أ تشير الفاصلة المنقوطة إلى مشتقة متغيرة، وتشير الفاصلة إلى مشتقة جزئية، وتشير الأقواس المربعة إلى التناظر العكسي (انظر حساب ريتشي للاطلاع على الرموز). المشتقة المتغيرة للمجال الكهرومغناطيسي هي $${\displaystyle F_{\alpha \beta$$ ;\gamma }=F_{\alpha \beta ,\gamma} -{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma}F_{\mu \beta}-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu },} حيث Γ ^α _βγ هو رمز كريستوفيل ، وهو متماثل في الجزء السفلي منه المؤشرات.

يشكل مجال الإزاحة الكهربائية D والمجال المغناطيسي المساعد H كثافة موتر متناظرة مضادة للتماثل من الرتبة 2 بوزن +1. في الفراغ، يُعطى هذا بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}$

هذه المعادلة هي الموضع الوحيد الذي يدخل فيه المقياس (وبالتالي الجاذبية) في نظرية الكهرومغناطيسية. علاوة على ذلك، تبقى المعادلة ثابتة عند تغيير المقياس، أي أن ضرب المقياس بثابت لا يؤثر عليها. بالتالي، لا تؤثر الجاذبية على الكهرومغناطيسية إلا بتغيير سرعة الضوء بالنسبة لنظام الإحداثيات العالمي المستخدم. ينحرف الضوء بفعل الجاذبية فقط لأنه أبطأ بالقرب من الأجسام الضخمة. لذا، يبدو الأمر كما لو أن الجاذبية تزيد من معامل انكسار الفضاء بالقرب من الأجسام الضخمة.

وبشكل أعم، في المواد التي يكون فيها موتر المغنطة والاستقطاب غير صفري، لدينا

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }.}$

قانون التحويل للإزاحة الكهرومغناطيسية هو

${\displaystyle {\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right],}$

حيث يتم استخدام محدد جاكوبي . إذا تم استخدام موتر المغنطة والاستقطاب، فإنه يخضع لنفس قانون التحويل الخاص بالإزاحة الكهرومغناطيسية.

التيار الكهربائي هو تباعد الإزاحة الكهرومغناطيسية. في الفراغ،

${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}$

إذا تم استخدام المغنطة والاستقطاب، فإن هذا يعطي الجزء الحر من التيار.

${\displaystyle J_{\text{free}}^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}$

وهذا يشمل قانون أمبير وقانون جاوس .

في كلتا الحالتين، فإن حقيقة أن الإزاحة الكهرومغناطيسية غير متناظرة تعني أن التيار الكهربائي محفوظ تلقائيًا:

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=0,}$

لأن المشتقات الجزئية تتبادل .

لا يكفي تعريف أمبير-غاوس للتيار الكهربائي لتحديد قيمته، لأن الجهد الكهرومغناطيسي (الذي اشتُق منه في الأصل) لم يُحدد له قيمة. وبدلاً من ذلك، يتمثل الإجراء المعتاد في مساواة التيار الكهربائي بتعبير ما بدلالة مجالات أخرى، وخاصة الإلكترون والبروتون، ثم حساب الإزاحة الكهرومغناطيسية والمجال الكهرومغناطيسي والجهد الكهرومغناطيسي.

التيار الكهربائي هو كثافة متجهة متغايرة، وعلى هذا النحو يتحول على النحو التالي:

${\displaystyle {\bar {J}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right].}$

التحقق من قانون التحويل هذا: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {J}}^{\mu }&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&=0+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\left({\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right).\end{aligned}}}$$

كل ما تبقى هو أن نثبت ذلك.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}=0,}$

وهو شكل من أشكال نظرية معروفة (انظر الدوال العكسية والتفاضل §  المشتقات العليا ). $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\sigma }}}+{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\mathbf {4} \right)\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}$$

كثافة قوة لورنتز هي كثافة متجهة متغيرة معطاة بالعلاقة التالية:$${\displaystyle f_{\mu }=F_{\mu \nu }J^{\nu }.}$$

القوة المؤثرة على جسيم اختبار يخضع فقط للجاذبية والكهرومغناطيسية هي $${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{dt}}=\Gamma _{\alpha \gamma }^{\beta }p_{\beta }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}+qF_{\alpha \gamma }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}},}$$ حيث p _α هو الزخم الخطي 4 للجسيم، و t هو أي إحداثي زمني يحدد خط العالم للجسيم، و Γ ^β _αγ هو رمز كريستوفيل (مجال قوة الجاذبية)، و q هي الشحنة الكهربائية للجسيم.

هذه المعادلة ثابتة عند تغيير إحداثيات الزمن؛ ما عليك سوى الضرب في${\displaystyle dt/d{\bar {t}}}$واستخدم قاعدة السلسلة . وهي أيضاً ثابتة تحت تغيير في نظام الإحداثيات x .

باستخدام قانون التحويل لرمز كريستوفيل، $${\displaystyle {\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\epsilon }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\zeta }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}},}$$ نحصل $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\bar {p}}_{\alpha }}{dt}}-{\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }{\bar {p}}_{\beta }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}-q{\bar {F}}_{\alpha \gamma }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}p_{\delta }\right)-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \iota }^{\theta }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-q{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}F_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {dp_{\delta }}{dt}}-\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }p_{\epsilon }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-qF_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p_{\epsilon }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}$$

في الفراغ، تكون كثافة لاغرانج للديناميكا الكهربائية الكلاسيكية (بالجول لكل متر مكعب) كثافة قياسية$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J^{\alpha },}$$ أين $${\displaystyle F^{\alpha \beta }=g^{\alpha \gamma }F_{\gamma \delta }g^{\delta \beta }.}$$

ينبغي فهم التيار الرباعي على أنه اختصار للعديد من المصطلحات التي تعبر عن التيارات الكهربائية للحقول المشحونة الأخرى من حيث متغيراتها.

إذا فصلنا التيارات الحرة عن التيارات المقيدة، فإن لاغرانجيان يصبح $${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}\,F_{\alpha \beta }\,{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }.}$$

كجزء من حد المصدر في معادلات أينشتاين للمجال ، فإن موتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسي هو موتر متناظر متغاير $${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\sigma \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right),}$$ باستخدام مقياس التوقيع (+, -, -, -) . إذا تم استخدام المقياس ذي التوقيع (-, +, +, +) ، فإن تعبير${\displaystyle T_{\mu \nu }}$سيكون لها إشارة معاكسة. موتر الإجهاد والطاقة خالٍ من الأثر: $${\displaystyle T_{\mu \nu }g^{\mu \nu }=0}$$لأن الكهرومغناطيسية تنتشر بسرعة ثابتة محلية ، وهي ثابتة توافقياً.

في معادلة حفظ الطاقة والزخم الخطي، يُفضل تمثيل موتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسي على أنه كثافة موتر مختلطة $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }=T_{\mu \gamma }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}$$

من المعادلات أعلاه، يمكن إثبات أن $${\displaystyle {{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }=0,}$$ حيث تشير الفاصلة المنقوطة إلى مشتق متغاير .

يمكن إعادة كتابة هذا على النحو التالي $${\displaystyle -{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{,\nu }=-\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+f_{\mu },}$$ وهذا يعني أن الانخفاض في الطاقة الكهرومغناطيسية هو نفسه الشغل المبذول بواسطة المجال الكهرومغناطيسي على مجال الجاذبية بالإضافة إلى الشغل المبذول على المادة (عبر قوة لورنتز)، وبالمثل فإن معدل الانخفاض في الزخم الخطي الكهرومغناطيسي هو القوة الكهرومغناطيسية المؤثرة على مجال الجاذبية بالإضافة إلى قوة لورنتز المؤثرة على المادة.

اشتقاق قانون الحفظ: $${\displaystyle {\begin{aligned}{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha$$ ؛\nu }g^{\alpha \beta}F_{\beta \gamma}g^{\gamma \nu }+F_{\mu \alpha}g^{\alpha \beta}F_{\beta \gamma  ;\nu }g^{\gamma \nu} - {\frac {1}{2}}\delta _ {\mu}^{\nu }F_ {\sigma \alpha  ;\nu }g^{\alpha \beta}F_{\beta \rho}g^{\rho \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}F_ {\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma  ;\nu }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_ {\mu \alpha  ;\nu }F^{\alpha \nu}-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha  ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\left(-F_ {\nu \mu  ;\alpha }-F_{\alpha \nu  ;\mu }\right)F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_ {\sigma \alpha  ;\mu }F^{\alpha \sigma }\يمين){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \nu  ;\alpha }F^{\alpha \nu }-F_{\alpha \nu  ;\mu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_ {\sigma \alpha  ;\mu }F^{\sigma \alpha }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha  ;\nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F_{\alpha \nu  ;\mu }F^{\alpha \nu }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(-F_{\mu \alpha  ;\nu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha  ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-ز}}{ج}}،\end{محاذاة}}}

وهو يساوي صفرًا لأنه معكوس نفسه (انظر الأسطر الأربعة أعلاه).

تم تعديل معادلة الموجة الكهرومغناطيسية غير المتجانسة بدلالة موتر المجال من شكل النسبية الخاصة إلى ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Box F_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ F_{ab;}{}^{d}{}_{d}=-2R_{acbd}F^{cd}+R_{ae}F^{e}{}_{b}-R_{be}F^{e}{}_{a}+J_{a;b}-J_{b;a},}$

حيث R _acbd هو الشكل المتغير لموتر ريمان ، و${\displaystyle \Box }$هو تعميم لمؤثر دالمبير للمشتقات المتغيرة. باستخدام

${\displaystyle \Box A^{a}={{A^{a;}}^{b}}_{b}.}$

يمكن كتابة معادلات ماكسويل المصدرية بدلالة الجهد الرباعي [المرجع  2 ، ص  569] على النحو التالي:

${\displaystyle \Box A^{a}-{A^{b;a}}_{b}=-\mu _{0}J^{a}}$

أو، بافتراض تعميم مقياس لورنز في الزمكان المنحني،

${\displaystyle {\begin{aligned}{A^{a}}_{;a}&=0,\\\Box A^{a}&=-\mu _{0}J^{a}+{R^{a}}_{b}A^{b},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle R_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {R^{s}}_{asb}}$هو موتر انحناء ريتشي .

هذا هو نفس شكل معادلة الموجة كما في الزمكان المسطح، باستثناء استبدال المشتقات بمشتقات متغيرة، وإضافة حد يتناسب مع الانحناء. كما أن معادلة الموجة بهذا الشكل تشبه إلى حد ما قوة لورنتز في الزمكان المنحني، حيث يلعب A ^a دور الموضع 4.

بالنسبة لحالة التوقيع المتري في الشكل (+, -, -, -)، يتم اشتقاق معادلة الموجة في الزمكان المنحني بالشكل التالي: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }F_{\mu \nu }=\mu _{0}\nabla _{\mu }J_{\nu }-\mu _{0}\nabla _{\nu }J_{\mu }-F_{\nu \rho }R^{\rho }{}_{\mu }+F_{\mu \rho }R^{\rho }{}_{\nu }+R_{\mu \nu \lambda \eta }F^{\eta \lambda }.}$

أين${\displaystyle \mu _{0}}$هي نفاذية الفراغ ، ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$هي المشتقة المتغيرة ،${\displaystyle J_{\nu }}$هو التيار الرباعي .

عند معالجة معادلات ماكسويل بطريقة مستقلة عن الخلفية ، أي عندما يُعتبر مقياس الزمكان متغيرًا ديناميكيًا يعتمد على المجال الكهرومغناطيسي، فإن معادلة الموجة الكهرومغناطيسية ومعادلات ماكسويل تصبح غير خطية. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال اعتماد موتر الانحناء على موتر الإجهاد والطاقة عبر معادلة أينشتاين للمجال .

${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab},}$

أين

${\displaystyle G_{ab}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$

يمثل κ موتر أينشتاين ، و κ ثابت الجاذبية لأينشتاين ، و g _ab موتر القياس ، و R الانحناء القياسي ، وهو يساوي أثر موتر انحناء ريتشي. يتكون موتر الإجهاد-الطاقة من إجهاد-طاقة جميع المواد والمجالات، بما في ذلك المجال الكهرومغناطيسي. هذا الترابط المتبادل هو أصل اللاخطية.

في الصيغة الهندسية التفاضلية للمجال الكهرومغناطيسي، يمكن اعتبار موتر فاراداي غير المتناظر بمثابة شكل فاراداي 2 .${\displaystyle \mathbf {F} }$. من هذا المنظور، فإن إحدى معادلتي ماكسويل هي

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0,}$

أين${\displaystyle \mathrm {d} }$يمثل هذا المؤثر المشتق الخارجي . هذه المعادلة مستقلة عن الإحداثيات والمقياس، وتنص على أن التدفق الكهرومغناطيسي عبر سطح ثنائي الأبعاد مغلق في الزمكان هو تدفق طوبولوجي، أو بتعبير أدق، مقيد بفئة التماثل الخاصة به (تعميم للصيغة التكاملية لقانون غاوس ومعادلة ماكسويل-فاراداي، حيث أن فئة التماثل في فضاء مينكوفسكي تساوي صفرًا تلقائيًا). وبحسب مبرهنة بوانكاريه ، فإن هذه المعادلة تستلزم وجود شكل تفاضلي من الدرجة الأولى محليًا.${\displaystyle \mathbf {A} }$مُرضٍ

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} .}$

المعادلة الأخرى هي

${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} .}$

في هذا السياق،${\displaystyle \mathbf {J} }$هو الشكل الثالث الحالي ، والنجم${\displaystyle \star }$يرمز إلى مؤثر نجمة هودج . ويكمن اعتماد معادلة ماكسويل على مقياس الزمكان في مؤثر نجمة هودج.${\displaystyle \star }$على الأشكال الثنائية، وهو ثابت توافقيًا . عند كتابتها بهذه الطريقة، تكون معادلة ماكسويل هي نفسها في أي زمكان، وثابتة بشكل واضح في الإحداثيات، ومريحة للاستخدام (حتى في فضاء مينكوفسكي أو الفضاء والزمن الإقليدي، وخاصة مع الإحداثيات المنحنية).

ثمة تفسير هندسي بديل يتمثل في أن شكل فاراداي 2${\displaystyle \mathbf {F} }$هو (حتى عامل ⁠${\displaystyle i}$) شكل الانحناء 2${\displaystyle F(\nabla )}$من اتصال U(1)${\displaystyle \nabla }$ on a principal U(1)-bundle whose sections represent charged fields. The connection is much like the vector potential, since every connection can be written as ${\displaystyle \nabla =\nabla _{0}+iA}$ for a "base" connection ⁠${\displaystyle \nabla _{0}}$⁠, and

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{0}+\mathrm {d} \mathbf {A} .}$

In this view, the Maxwell "equation" ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$ is a mathematical identity known as the Bianchi identity. The equation ${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} }$ is the only equation with any physical content in this formulation. This point of view is particularly natural when considering charged fields or quantum mechanics. It can be interpreted as saying that, much like gravity can be understood as being the result of the necessity of a connection to parallel transport vectors at different points, electromagnetic phenomena, or more subtle quantum effects like the Aharonov–Bohm effect, can be understood as a result from the necessity of a connection to parallel transport charged fields or wave sections at different points. In fact, just as the Riemann tensor is the holonomy of the Levi-Civita connection along an infinitesimal closed curve, the curvature of the connection is the holonomy of the U(1)-connection.

• Electromagnetic wave equation
• Inhomogeneous electromagnetic wave equation
• Mathematical descriptions of the electromagnetic field
• Covariant formulation of classical electromagnetism
• Theoretical motivation for general relativity
• Introduction to the mathematics of general relativity
• Electrovacuum solution
• Paradox of radiation of charged particles in a gravitational field

• Einstein, A. (1961). Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ميسنر، تشارلز دبليو .؛ ثورن، كيب إس.؛ ويلر ، جون أرشيبالد (1973). الجاذبية . سان فرانسيسكو: دبليو إتش فريمان . ISBN 0-7167-0344-0.
• لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1975). النظرية الكلاسيكية للحقول (الطبعة الإنجليزية الرابعة المنقحة  ). أكسفورد: بيرغامون. ISBN 0-08-018176-7.
• فاينمان، آر بي ؛ مورينغو، إف بي؛ فاغنر، دبليو جي (1995). محاضرات فاينمان في الجاذبية . أديسون-ويسلي . ISBN 0-201-62734-5.

• المجالات الكهرومغناطيسية في الزمكان المنحني