الأوصاف الرياضية للمجال الكهرومغناطيسي

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 90 صور
الموسوعة الحرة

توجد العديد من الأوصاف الرياضية للمجال الكهرومغناطيسي المستخدمة في دراسة الكهرومغناطيسية ، وهي إحدى التفاعلات الأساسية الأربعة في الطبيعة. تتناول هذه المقالة عدة مناهج، على الرغم من أن المعادلات تُصاغ بدلالة المجالات الكهربائية والمغناطيسية، والجهود، والشحنات والتيارات، بشكل عام.

نهج حقل المتجهات

يستخدم الوصف الأكثر شيوعًا للمجال الكهرومغناطيسي حقلين متجهين ثلاثيي الأبعاد يُسميان المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي . لكل من هذين الحقلين قيمة محددة عند كل نقطة في المكان والزمان، ولذلك يُعتبران غالبًا دالتين لإحداثيات المكان والزمان. ولهذا السبب، يُكتبان عادةً على النحو التالي: E ( x , y , z , t ) (للمجال الكهربائي) و B ( x , y , z , t ) (للمجال المغناطيسي).

إذا كان المجال الكهربائي ( E ) فقط غير صفري وثابتًا مع الزمن، يُقال إن المجال كهرساكن . وبالمثل، إذا كان المجال المغناطيسي ( B ) فقط غير صفري وثابتًا مع الزمن، يُقال إن المجال مغناطيسي ساكن. مع ذلك، إذا كان أي من المجالين الكهربائي أو المغناطيسي متغيرًا مع الزمن، فيجب اعتبارهما معًا مجالًا كهرومغناطيسيًا واحدًا باستخدام معادلات ماكسويل .

معادلات ماكسويل في منهج حقل المتجهات

يخضع سلوك المجالات الكهربائية والمغناطيسية، سواء في حالات الكهروستاتيكا أو المغناطيسية الساكنة أو الديناميكا الكهربائية (المجالات الكهرومغناطيسية)، لمعادلات ماكسويل-هيفسايد :

معادلات ماكسويل ( حقول متجهة )
∇⋅هـ=ρε0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}قانون جاوس
∇⋅ب=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}قانون جاوس للمغناطيسية
∇×هـ=-∂ب∂ت{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}قانون فاراداي للاستقراء
∇×ب=μ0ج+μ0ε0∂هـ∂ت{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} قانون أمبير-ماكسويل

حيث ρ هي كثافة الشحنة ، والتي يمكن (وكثيراً ما تعتمد) على الزمن والموقع، وε₀ هو الثابت الكهربائي ، و μ₀ هو الثابت المغناطيسي ، و J هو التيار لكل وحدة مساحة ، وهو أيضاً دالة للزمن والموقع. تأخذ المعادلات هذا الشكل مع النظام الدولي للكميات .

عند التعامل مع المواد الخطية المتجانسة غير المشتتة فقط، غالبًا ما تُعدَّل معادلات ماكسويل لتجاهل الشحنات المقيدة، وذلك باستبدال نفاذية وسماحية الفراغ بنفاذية وسماحية المادة الخطية المعنية. أما بالنسبة لبعض المواد التي تُظهر استجابات أكثر تعقيدًا للمجالات الكهرومغناطيسية، فيمكن تمثيل هذه الخصائص بواسطة موترات، حيث يرتبط اعتمادها الزمني بقدرة المادة على الاستجابة للتغيرات السريعة في المجال ( التشتت (البصريات) ، علاقات غرين-كوبو )، وربما أيضًا اعتمادها على المجال الذي يُمثل استجابات المادة غير الخطية و/أو غير الموضعية للمجالات ذات السعة الكبيرة ( البصريات غير الخطية ).

نهج المجال الكامن

في كثير من الأحيان، عند استخدام وحساب المجالات الكهربائية والمغناطيسية، يقوم النهج المستخدم أولاً بحساب الجهد المرتبط بها: الجهد الكهربائي ،φ{\displaystyle \varphi }يمثل μ المجال الكهربائي، و μ₀ المجال المغناطيسي . الجهد الكهربائي هو مجال قياسي ، بينما الجهد المغناطيسي هو مجال متجه. لهذا السبب يُطلق على الجهد الكهربائي أحيانًا اسم الجهد القياسي، وعلى الجهد المغناطيسي اسم الجهد المتجه. يمكن استخدام هذين الجهدين لإيجاد المجالات المرتبطة بهما كما يلي: هـ=-∇φ-∂أ∂ت{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla} \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}ب=∇×أ{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }

معادلات ماكسويل في صيغة الجهد

يمكن استبدال هذه العلاقات في معادلات ماكسويل للتعبير عنها بدلالة الكمونات. ويتضح أن قانون فاراداي وقانون جاوس للمغناطيسية (المعادلات المتجانسة) صحيحان تمامًا لأي كمونات. ويعود ذلك إلى طريقة التعبير عن المجالات كتدرجات ودورانات للكمونات القياسية والمتجهة. وتتضمن المعادلات المتجانسة بدلالة هذه الكمونات تباعد الدوران.∇⋅∇×أ{\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} }وانحناء التدرج∇×∇φ{\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi }وهي دائمًا تساوي صفرًا. أما المعادلتان الأخريان من معادلات ماكسويل (المعادلات غير المتجانسة) فهما اللتان تصفان الديناميكيات في صياغة الجهد.

معادلات ماكسويل ( صيغة الجهد )

∇2φ+∂∂ت(∇⋅أ)=-ρε0{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}

(∇2أ-1ج2∂2أ∂ت2)-∇(∇⋅أ+1ج2∂φ∂ت)=-μ0ج{\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J} }

تُعدّ هذه المعادلات مجتمعةً بنفس قوة وشمولية معادلات ماكسويل. علاوةً على ذلك، فقد تمّ تبسيط المسألة إلى حدٍّ ما، إذ كان على المجالين الكهربائي والمغناطيسي معًا إيجاد ستة مركّبات. [ 1 ] في صيغة الجهد، توجد أربعة مركّبات فقط: الجهد الكهربائي والمركّبات الثلاث للجهد الشعاعي. مع ذلك، فإنّ هذه المعادلات أكثر تعقيدًا من معادلات ماكسويل التي تستخدم المجالين الكهربائي والمغناطيسي.

حرية القياس

يمكن تبسيط هذه المعادلات بالاستفادة من حقيقة أن المجالين الكهربائي والمغناطيسي كميتان فيزيائيتان ذواتا دلالة يمكن قياسهما، بينما الكمونات ليست كذلك. توجد حرية في تقييد شكل الكمونات شريطة ألا يؤثر ذلك على المجالين الكهربائي والمغناطيسي الناتجين، وهو ما يُعرف بحرية القياس . وبالنسبة لهذه المعادلات تحديدًا، لأي اختيار لدالة قياسية قابلة للتفاضل مرتين للموضع والزمن λ ، إذا كان ( φ , A ) حلاً لنظام معين، فإن كمونًا آخر ( φ ′, A ′) يُعطى بالعلاقة التالية هو أيضًا حل: φ′=φ-∂λ∂ت{\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}}أ′=أ+∇λ{\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }

يمكن استخدام هذه الحرية لتبسيط صياغة الجهد. وعادةً ما يتم اختيار إحدى الدالتين القياسيتين التاليتين: مقياس كولوم ومقياس لورنز.

مقياس كولوم

يتم اختيار مقياس كولوم بطريقة تجعل∇⋅أ′=0{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=0}وهذا يتوافق مع حالة المغناطيسية الساكنة. من حيث λ ، هذا يعني أنه يجب أن يحقق المعادلة ∇2λ=-∇⋅أ.{\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} .}

ينتج عن هذا الاختيار للدالة الصياغة التالية لمعادلات ماكسويل: ∇2φ′=-ρε0{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}∇2أ′-μ0ε0∂2أ′∂ت2=-μ0ج+μ0ε0∇(∂φ′∂ت){\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\!\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\nabla \!\!\left(\!{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}\!\right)}

فيما يلي بعض خصائص معادلات ماكسويل في مقياس كولوم. أولًا، يُعدّ حلّ الجهد الكهربائي سهلًا للغاية، إذ إنّ المعادلة هي صيغة من معادلة بواسون . ثانيًا، يُعدّ حلّ الجهد المغناطيسي المتجهي صعبًا للغاية، وهذا هو العيب الرئيسي لهذا المقياس. ثالثًا، تجدر الإشارة إلى أمرٍ قد لا يكون واضحًا للوهلة الأولى، وهو أنّ الجهد الكهربائي يتغيّر فورًا في كل مكان استجابةً لتغيّر الظروف في منطقةٍ ما.

على سبيل المثال، إذا نُقلت شحنة في نيويورك الساعة الواحدة  ظهرًا بالتوقيت المحلي، فإن مراقبًا افتراضيًا في أستراليا قادرًا على قياس الجهد الكهربائي مباشرةً سيلاحظ تغيرًا في الجهد عند الساعة الواحدة  ظهرًا بتوقيت نيويورك. يبدو هذا مخالفًا لمبدأ السببية في النسبية الخاصة ، أي استحالة انتقال المعلومات أو الإشارات أو أي شيء بسرعة تفوق سرعة الضوء. يكمن حل هذه المشكلة الظاهرية في حقيقة أنه، كما ذُكر سابقًا، لا يمكن لأي مراقب قياس الجهود الكهربائية؛ بل يقيس المجالين الكهربائي والمغناطيسي. لذا، فإن الجمع بين ∇φ و∂ A / ∂t المستخدم في تحديد المجال الكهربائي يُعيد حد السرعة الذي تفرضه النسبية الخاصة على المجال الكهربائي، مما يجعل جميع الكميات القابلة للرصد متوافقة مع النسبية.

حالة مقياس لورينز

يُعد شرط لورنز أحد المقاييس الشائعة الاستخدام . في هذا الشرط، يتم اختيار الدالة العددية λ بحيث ∇⋅أ′=-μ0ε0∂φ′∂ت،{\displaystyle \mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {A} '=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}},} وهذا يعني أن λ يجب أن تحقق المعادلة ∇2λ-μ0ε0∂2λ∂ت2=-∇⋅أ-μ0ε0∂φ∂ت.{\displaystyle \nabla ^{2}\lambda -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial t^{2}}}=-\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {A} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial ر}}.}

ينتج عن مقياس لورنز الشكل التالي لمعادلات ماكسويل: ∇2φ′-μ0ε0∂2φ′∂ت2=-◻2φ′=-ρε0{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}∇2أ′-μ0ε0∂2أ′∂ت2=-◻2أ′=-μ0ج{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\mathbf {A} '=-\mu _{0}\mathbf {J} }

المشغل◻2{\displaystyle \Box ^{2}}يُطلق عليه اسم دالامبير (يشير بعض المؤلفين إليه بالمربع فقط)◻{\displaystyle \Box }هذه المعادلات هي صيغ غير متجانسة لمعادلة الموجة ، حيث تمثل الحدود الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة دوال المصدر للموجة. وكما هو الحال مع أي معادلة موجية، تؤدي هذه المعادلات إلى نوعين من الحلول: الكمونات المتقدمة (المرتبطة بتكوين المصادر في نقاط زمنية مستقبلية)، والكمونات المتأخرة (المرتبطة بتكوينات المصادر السابقة)؛ وعادةً ما يتم تجاهل الكمونات المتقدمة عند تحليل المجال من منظور السببية.

كما أشير أعلاه، فإن مقياس لورنز ليس أكثر صلاحية من أي مقياس آخر لأن الكمونات لا يمكن قياسها مباشرة، ومع ذلك فإن مقياس لورنز له ميزة كون المعادلات ثابتة لورنتز .

امتداد إلى الديناميكا الكهربائية الكمومية

تتم عملية التكميم الكنسي للحقول الكهرومغناطيسية عن طريق تحويل الكمون القياسي والمتجهي، φ ( x ) و A ( x ) ، من حقول إلى مؤثرات حقلية . وبالتعويض عن 1/ c² = ε₀μ₀ في معادلات لورنز القياسية السابقة، نحصل على :

∇2أ-1ج2∂2أ∂ت2=-μ0ج{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }∇2φ-1ج2∂2φ∂ت2=-ρε0{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}

هنا، يمثل J و ρ كثافة التيار وكثافة الشحنة لحقل المادة . إذا تم اعتبار حقل المادة بحيث يصف تفاعل المجالات الكهرومغناطيسية مع إلكترون ديراك المعطى بواسطة حقل ديراك ذي المكونات الأربعة ψ ، فإن كثافة التيار وكثافة الشحنة تأخذ الشكل التالي: [ 2 ]ج=-هـψ†αψρ=-هـψ†ψ،{\displaystyle \mathbf {J} =-e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi \,,} حيث تمثل α أول ثلاث مصفوفات ديراك . باستخدام هذا، يمكننا إعادة كتابة معادلات ماكسويل على النحو التالي:

معادلات ماكسويل ( QED )

∇2أ-1ج2∂2أ∂ت2=μ0هـψ†αψ{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi }

∇2φ-1ج2∂2φ∂ت2=1ε0هـψ†ψ{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi }

وهو الشكل المستخدم في الديناميكا الكهربائية الكمومية .

صياغات الجبر الهندسي

على غرار صياغة الموتر، يتم إدخال كائنين، أحدهما للمجال الكهرومغناطيسي والآخر لكثافة التيار . في الجبر الهندسي ، تُعرف هذه الكائنات باسم المتجهات المتعددة ، والتي تخضع أحيانًا لحساب ريتشي .

جبر الفضاء المادي

في جبر الفضاء الفيزيائي (APS)، المعروف أيضًا باسم جبر كليفوردجℓ3،0(R){\displaystyle C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )}، يتم تمثيل المجال والتيار بواسطة متجهات متعددة.

المتجه المتعدد للمجال، المعروف باسم متجه ريمان-سيلبرشتاين ، هو F=هـ+أناجب=هـكσك+أناجبكσك،{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{k}\sigma _{k}+IcB^{k}\sigma _{k},} والمتجه المتعدد ذو التيارات الأربعة هو جρ-ج=جρ-جكσك{\displaystyle c\rho -\mathbf {J} =c\rho -J^{k}\sigma _{k}} باستخدام أساس متعامد{σك}{\displaystyle \{\sigma _{k}\}}وبالمثل، فإن الكمية الزائفة للوحدة هيأنا=σ1σ2σ3{\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}وذلك لأن الأساس المستخدم متعامد. تشترك متجهات الأساس هذه في جبر مصفوفات باولي ، ولكنها لا تُساوى بها عادةً، لأنها كائنات مختلفة ذات تفسيرات مختلفة.

بعد تعريف المشتقة ∇=σك∂ك،{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}=\sigma ^{k}\partial _{k},}

يتم اختزال معادلات ماكسويل إلى معادلة واحدة [ 3 ]

معادلات ماكسويل (صيغة الجمعية الفيزيائية الأمريكية)

(1ج∂∂ت+∇)F=μ0ج(جρ-ج).{\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\right)\mathbf {F} =\mu _{0}c(c\rho -\mathbf {J} ).}

في ثلاثة أبعاد، يمتلك المشتق بنية خاصة تسمح بإدخال الضرب الاتجاهي: ∇F=∇⋅F+∇∧F=∇⋅F+أنا∇×F{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +I{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} } ومنه يتضح بسهولة أن قانون جاوس هو الجزء القياسي، وقانون أمبير-ماكسويل هو الجزء المتجه، وقانون فاراداي هو الجزء شبه المتجه، وقانون جاوس للمغناطيسية هو الجزء شبه القياسي من المعادلة. بعد التبسيط وإعادة الترتيب، يمكن كتابة ذلك على النحو التالي: (∇⋅هـ-ρε0)-ج(∇×ب-μ0ε0∂هـ∂ت-μ0ج)+أنا(∇×هـ+∂ب∂ت)+أناج(∇⋅ب)=0{\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)-c\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial {t}}}-\mu _{0}\mathbf {J} \right)+I\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} +{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial {t}}}\right)+Ic\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)=0}

جبر الزمكان

يمكننا تحديد APS على أنها جبر فرعي من جبر الزمكان (STA).جℓ1،3(R){\displaystyle C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )}، تعريفσك=γكγ0{\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}وأنا=γ0γ1γ2γ3{\displaystyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}. الγμ{\displaystyle \gamma _{\mu }}تتمتع هذه المصفوفات بنفس الخصائص الجبرية لمصفوفات غاما، ولكن تمثيلها المصفوفي غير مطلوب. المشتقة الآن هي ∇=γμ∂μ.{\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}

يتحول ريمان-سيلبرشتاين إلى متجه ثنائي F=هـ+أناجب=هـ1γ1γ0+هـ2γ2γ0+هـ3γ3γ0-ج(ب1γ2γ3+ب2γ3γ1+ب3γ1γ2)،{\displaystyle F=\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-c(B^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}+B^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}+B^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}),} وتصبح كثافة الشحنة والتيار متجهة ج=جμγμ=جργ0+جكγك=γ0(جρ-جكσك).{\displaystyle J=J^{\mu }\gamma _{\mu }=c\rho \gamma _{0}+J^{k}\gamma _{k}=\gamma _{0}(c\rho -J^{k}\sigma _{k}).}

بسبب الهوية γ0∇=γ0γ0∂0+γ0γك∂ك=∂0+σك∂ك=1ج∂∂ت+∇،{\displaystyle \gamma _{0}\nabla =\gamma _{0}\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma _{0}\gamma ^{k}\partial _{k}=\partial _{0}+\sigma ^{k}\partial _{k}={\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }},}

تُختزل معادلات ماكسويل إلى معادلة واحدة

معادلات ماكسويل (صياغة STA)

∇F=μ0جج.{\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ.}

نهج الأشكال التفاضلية

فيما يلي، تُستخدم وحدات نظام الإحداثيات الغاوسي (cgs-Gaussian) ، وليس وحدات النظام الدولي للوحدات (SI ). (للتحويل إلى النظام الدولي للوحدات، انظر هنا ). وفقًا لترميز أينشتاين ، فإننا نأخذ ضمنيًا مجموع جميع قيم المؤشرات التي يمكن أن تتغير ضمن البُعد.

النموذج الميداني 2

في الفضاء الحر ، حيث تكون ε = ε₀ و μ = μ₀ ثابتتين في كل مكان، تتبسط معادلات ماكسويل بشكل كبير عند استخدام لغة الهندسة التفاضلية والصيغ التفاضلية . ويتم الآن وصف المجالين الكهربائي والمغناطيسي معًا بواسطة صيغة ثنائية F في فضاء- زمن رباعي الأبعاد . موتر فارادايFμν{\displaystyle F_{\mu \nu }}يمكن كتابة ( موتر الكهرومغناطيسية ) كصيغة ثنائية في فضاء مينكوفسكي مع إشارة مترية (− + + +) كما يلي: F≡12Fμνدxμ∧دxν=بxدy∧دz+بyدz∧دx+بzدx∧دy+هـxدx∧دت+هـyدy∧دت+هـzدz∧دت{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &\equiv {\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+E_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t+E_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t+E_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t\end{aligned}}} وهو المشتق الخارجي للجهد الكهرومغناطيسي الرباعيأ:{\displaystyle \mathbf {A} :} أ=-ϕدت+أxدx+أyدy+أzدz.{\displaystyle \mathbf {A} =-\phi \,\mathrm {d} t+A_{x}\mathrm {d} x+A_{y}\mathrm {d} y+A_{z}\mathrm {d} z.}

يمكن كتابة المعادلات الخالية من المصادر عن طريق تطبيق المشتقة الخارجية على هذا الشكل الثنائي. أما بالنسبة للمعادلات التي تتضمن حدودًا مصدرية ( قانون جاوس ومعادلة أمبير-ماكسويل )، فيلزم استخدام الشكل الثنائي لهودج لهذا الشكل الثنائي. يحوّل مؤثر هودج النجمي الشكل p إلى شكل ( n - p )، حيث n هو عدد الأبعاد. هنا، يأخذ الشكل الثنائي ( F ) ويعطي شكلًا ثنائيًا آخر (في أربعة أبعاد، n - p = 4 - 2 = 2 ). بالنسبة لمتجهات الظل التمام الأساسية، يُعطى الشكل الثنائي لهودج كما يلي (انظر مؤثر هودج النجمي، قسم  أربعة أبعاد ). ⋆(دx∧دy)=-دz∧دت،⋆(دx∧دت)=دy∧دz،{\displaystyle {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=-\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t,\quad {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t)=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,} وهكذا دواليك. باستخدام هذه العلاقات، يكون الشكل الثنائي لشكل فاراداي 2 هو موتر ماكسويل. ⋆F=-بxدx∧دت-بyدy∧دت-بzدz∧دت+هـxدy∧دz+هـyدz∧دx+هـzدx∧دy{\displaystyle {\star }\mathbf {F} =-B_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t-B_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t-B_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t+E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}

التيار ثلاثي الأشكال، التيار المزدوج أحادي الشكل

هنا، يُطلق على الشكل 3 J اسم شكل التيار الكهربائي أو شكل التيار 3 : ج=ρدx∧دy∧دz-جxدت∧دy∧دz-جyدت∧دz∧دx-جzدت∧دx∧دy.{\displaystyle \mathbf {J} =\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.}

إن F هي شكل مغلق ، والمشتق الخارجي لثنائي هودج الخاص بها هو الشكل الثالث الحالي، يعبر عن معادلات ماكسويل: [ 4 ]

معادلات ماكسويل

دF=0{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}

د⋆F=ج{\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} }

هنا يرمز d إلى المشتقة الخارجية - وهي مؤثر تفاضلي طبيعي مستقل عن الإحداثيات والمقياس يعمل على الأشكال، ومؤثر نجمة هودج (الثنائي)⋆{\displaystyle {\star }}هو تحويل خطي من فضاء الأشكال الثنائية إلى فضاء الأشكال (4 − 2) المعرّف بالمقياس في فضاء مينكوفسكي (في أربعة أبعاد حتى بواسطة أي مقياس مطابق لهذا المقياس). الحقول بوحدات طبيعية حيث 1/(4 πε 0 ) = 1 .

بما أن d 2 = 0، فإن الشكل الثلاثي J يحقق قانون حفظ التيار ( معادلة الاستمرارية ): دج=د2⋆F=0.{\displaystyle \mathrm {d} {\mathbf {J} }=\mathrm {d} ^{2}{\star }\mathbf {F} =0.} يمكن تكامل الصيغة الثلاثية الحالية على منطقة زمكانية ثلاثية الأبعاد. التفسير الفيزيائي لهذا التكامل هو الشحنة في تلك المنطقة إذا كانت زمكانية، أو مقدار الشحنة التي تتدفق عبر سطح ما خلال فترة زمنية محددة إذا كانت تلك المنطقة سطحًا زمكانيًا عبر فترة زمنية. بما أن المشتقة الخارجية مُعرَّفة على أي متشعب ، فإن صيغة بيانكي التفاضلية منطقية لأي متشعب رباعي الأبعاد، بينما تُعرَّف معادلة المصدر إذا كان المتشعب موجهًا وله مقياس لورنتز. على وجه الخصوص، تُعد الصيغة التفاضلية لمعادلات ماكسويل صياغة ملائمة وبديهية لمعادلات ماكسويل في النسبية العامة.

ملاحظة: في كثير من المراجع، الرموزج{\displaystyle \mathbf {J} }و⋆ج{\displaystyle {\star }\mathbf {J} }يتم تبديلها، بحيثج{\displaystyle \mathbf {J} }هو شكل من أشكال التيار يسمى التيار و⋆ج{\displaystyle {\star }\mathbf {J} }وهو شكل ثلاثي يسمى التيار المزدوج. [ 5 ]

التأثير الخطي الكلي للمادة

في نظرية خطية ماكروسكوبية، يُوصف تأثير المادة على المجال الكهرومغناطيسي من خلال تحويل خطي أكثر عمومية في فضاء الأشكال الثنائية. نسمي ذلك ج:Λ2∋F↦جي∈Λ(4-2){\displaystyle C:\Lambda ^{2}\ni \mathbf {F} \mapsto \mathbf {G} \in \Lambda ^{(4-2)}} التحويل التكويني. دور هذا التحويل يُشابه دور تحويل هودج الثنائي. تصبح معادلات ماكسويل في وجود المادة على النحو التالي: دF=0{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}دجي=ج{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {G} =\mathbf {J} } حيث لا يزال الشكل الثالث الحالي J يحقق معادلة الاستمرارية d J = 0 .

عندما يتم التعبير عن الحقول كمجموعات خطية (من نواتج خارجية ) لأشكال الأساس θ i ، F=12Fصqθص∧θq.{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{pq}\mathbf {\theta } ^{p}\wedge \mathbf {\theta } ^{q}.} تتخذ العلاقة التكوينية الشكل التالي جيصq=جصqمنFمن{\displaystyle G_{pq}=C_{pq}^{mn}F_{mn}} حيث تكون دوال معاملات المجال ومعاملات التكوين مضادة للتبديل عند تبديل مؤشرات كل منها. على وجه الخصوص، يتم الحصول على مؤثر نجمة هودج المستخدم في الحالة المذكورة أعلاه عن طريق أخذجصqمن=12زمأزنبεأبصq-ز{\displaystyle C_{pq}^{mn}={\frac {1}{2}}g^{ma}g^{nb}\varepsilon _{abpq}{\sqrt {-g}}} من حيث تدوين مؤشر الموتر بالنسبة إلى أساس (ليس بالضرورة متعامدًا){∂∂x1،...،∂∂xن}{\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}في مساحة مماسيةV=تيصم{\displaystyle V=T_{p}M}وأساسها المزدوج{دx1،...،دxن}{\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}فيV*=تيص*م{\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}، مع وجود مصفوفة غرام المترية(زأناج)=(⟨∂∂xأنا،∂∂xج⟩){\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}ومصفوفة معكوسها(زأناج)=(⟨دxأنا،دxج⟩){\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}، وεأبصq{\displaystyle \varepsilon _{abpq}}هو رمز ليفي-تشيفيتا معε1234=1{\displaystyle \varepsilon _{1234}=1}. حتى مع التحجيم، هذا هو الموتر الثابت الوحيد من هذا النوع الذي يمكن تعريفه باستخدام المقياس.

في هذه الصيغة، يتم تعميم الكهرومغناطيسية على الفور إلى أي متعدد شعب موجه رباعي الأبعاد أو مع تعديلات طفيفة إلى أي متعدد شعب.

توقيع قياسي بديل

في اصطلاح الإشارة الخاص بفيزيائيي الجسيمات للإشارة المترية ( + − − −) ، يكون الشكل الكموني 1 هو أ=ϕدت-أxدx-أyدy-أzدz.{\displaystyle \mathbf {A} =\phi \,\mathrm {d} t-A_{x}\mathrm {d} x-A_{y}\mathrm {d} y-A_{z}\mathrm {d} z.}

يصبح شكل انحناء فاراداي من الدرجة الثانية F≡12Fμνدxμ∧دxν=هـxدت∧دx+هـyدت∧دy+هـzدت∧دz-بxدy∧دz-بyدz∧دx-بzدx∧دy{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} \equiv &{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\=&E_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z-B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}} ويصبح موتر ماكسويل ⋆F=-هـxدy∧دz-هـyدz∧دx-هـzدx∧دy-بxدت∧دx-بyدت∧دy-بzدت∧دz.{\displaystyle {{\star }\mathbf {F} }=-E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y-B_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x-B_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y-B_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z.}

الصيغة الحالية J المكونة من 3 أشكال هي ج=-ρدx∧دy∧دz+جxدت∧دy∧دz+جyدت∧دz∧دx+جzدت∧دx∧دy{\displaystyle \mathbf {J} =-\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y} والشكل الثنائي المقابل من الدرجة الأولى هو ⋆ج=-ρدت+جxدx+جyدy+جzدz.{\displaystyle {{\star }\mathbf {J} }=-\rho \,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z.}

المعيار الحالي إيجابي ويساوي ج∧⋆ج=[ρ2+(جx)2+(جy)2+(جz)2]⋆(1){\displaystyle {\mathbf {J} \wedge {\star }\mathbf {J} }=[\rho ^{2}+(j_{x})^{2}+(j_{y})^{2}+(j_{z})^{2}]\,{\star }(1)} مع شكل الحجم المتعارف عليه⋆(1)=دت∧دx∧دy∧دz{\displaystyle {\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}.

الزمكان المنحني

تركيبة تقليدية

تُولّد المادة والطاقة انحناءً في الزمكان ، وهذا هو موضوع النسبية العامة . يؤثر انحناء الزمكان على الديناميكا الكهربائية. كما يُولّد المجال الكهرومغناطيسي الذي يمتلك طاقة وزخمًا انحناءً في الزمكان. يمكن الحصول على معادلات ماكسويل في الزمكان المنحني باستبدال المشتقات في المعادلات في الزمكان المسطح بمشتقات متغيرة . (يتطلب تحديد ما إذا كان هذا التعميم مناسبًا دراسة منفصلة). تصبح المعادلات مع المصدر وبدون مصدر ( وحدات غاوسية cgs ): 4πججβ=∂αFαβ+ΓαμαFμβ+ΓβμαFαμ =دهـو ∇αFαβ =دهـو Fαβ؛α{\displaystyle {4\pi \over c}j^{\beta }=\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \alpha }F^{\mu \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \alpha }F^{\alpha \mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }\,\!} و 0=∂γFαβ+∂βFγα+∂αFβγ=∇γFαβ+∇βFγα+∇αFβγ.{\displaystyle 0=\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=\nabla _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\nabla _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\nabla _{\alpha }F_{\beta \gamma }.\,}

هنا، Γαμβ{\displaystyle {\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }} هو رمز كريستوفيل الذي يميز انحناء الزمكان و ∇ α هو المشتق المتغير.

الصياغة بدلالة الأشكال التفاضلية

يمكن استخدام صياغة معادلات ماكسويل بدلالة الأشكال التفاضلية دون تغيير في النسبية العامة. ويمكن توضيح تكافؤ الصياغة النسبية العامة التقليدية باستخدام المشتقة المتغيرة مع صياغة الشكل التفاضلي كما يلي: نختار إحداثيات محلية x α تُعطي أساسًا من الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى d x α عند كل نقطة من المجموعة المفتوحة التي تُعرَّف عندها هذه الإحداثيات. وباستخدام هذا الأساس ووحدات غاوسية cgs، نُعرِّف

  • موتر المجال المتناظر F αβ ، الموافق لشكل المجال 2 FF=12Fαβدxα∧دxβ.{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.}
  • الشكل الثلاثي اللامتناهي الصغر لمتجه التيار Jج=4πج(16جα-زεαβγدلتادxβ∧دxγ∧دxدلتا.){\displaystyle \mathbf {J} ={4\pi \over c}\left({\frac {1}{6}}j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }.\right)}

ينتج عن انكماش موتر إبسيلون مع الشكل التفاضلي 3 ستة أضعاف عدد الحدود المطلوبة.

هنا، g هو كالمعتاد محدد المصفوفة التي تمثل موتر القياس ، g αβ . وبإجراء حساب بسيط باستخدام تناظر رموز كريستوفيل (أي، خلو اتصال ليفي-سيفيتا من الالتواء ) وثبات المتغير المشترك لمؤثر نجمة هودج، يتضح أنه في هذه الجوار الإحداثي لدينا:

  • هوية بيانكيدF=2(∂γFαβ+∂βFγα+∂αFβγ)دxα∧دxβ∧دxγ=0،{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =2(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma })\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0,}
  • معادلة المصدرد⋆F=16Fαβ؛α-زεβγدلتاαدxγ∧دxدلتا∧دxα=ج،{\displaystyle \mathrm {d} {\star \mathbf {F} }={\frac {1}{6}}{F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\beta \gamma \delta \alpha }\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\mathbf {J} ,}
  • معادلة الاستمراريةدج=4πججα؛α-زεαβγدلتادxα∧دxβ∧دxγ∧دxدلتا=0.{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {J} ={4\pi \over c}{j^{\alpha }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }=0.}

الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية كانحناء حزمة خطية

تتمثل إحدى الطرق الأنيقة والبديهية لصياغة معادلات ماكسويل في استخدام حزم الخطوط المعقدة أو مبدأ رئيسييو⁡(1){\displaystyle \operatorname {U} (1)}حزمة خطية ، تؤثر عليها U(1) بانتظام . يمتلك الاتصال الرئيسي U(1) ∇ على الحزمة الخطية انحناءً F = ∇² ، وهو شكل ثنائي يحقق تلقائيًا dF = 0 ويمكن تفسيره على أنه شدة مجال. إذا كانت الحزمة الخطية تافهة مع اتصال مرجعي مسطح d، فيمكننا كتابة ∇ = d + A و F = dA ، حيث A هو الشكل الأحادي المكون من الجهد الكهربائي والجهد المغناطيسي الشعاعي .

في ميكانيكا الكم، يُستخدم الاتصال نفسه لتحديد ديناميكيات النظام. تسمح هذه الصياغة بوصف طبيعي لتأثير أهارونوف-بوم . في هذه التجربة، يمر مجال مغناطيسي ثابت عبر سلك مغناطيسي طويل (مثل سلك حديدي ممغنط طوليًا). خارج هذا السلك، يكون الحث المغناطيسي معدومًا، على عكس الكمون الشعاعي الذي يعتمد أساسًا على التدفق المغناطيسي عبر المقطع العرضي للسلك ولا يتلاشى خارجه. ولعدم وجود مجال كهربائي أيضًا، فإن موتر ماكسويل F = 0 في منطقة الزمكان خارج الأنبوب، أثناء التجربة. هذا يعني، بحسب التعريف، أن الاتصال ∇ مسطح هناك.

في تأثير أهارونوف-بوم المذكور ، يعتمد الارتباط على المجال المغناطيسي المار عبر الأنبوب، حيث أن الهولوونومي على طول منحنى غير قابل للانكماش يحيط بالأنبوب هو التدفق المغناطيسي عبر الأنبوب بوحداته المناسبة. يمكن رصد ذلك ميكانيكيًا كميًا من خلال تجربة حيود الإلكترونات ذات الشق المزدوج على موجة إلكترونية تنتشر حول الأنبوب. يتوافق الهولوونومي مع إزاحة طور إضافية، مما يؤدي إلى إزاحة في نمط الحيود. [ 6 ] [ 7 ]

المناقشة وغيرها من الأساليب

فيما يلي أسباب استخدام كل من هذه التركيبات.

التركيبة المحتملة

في الميكانيكا الكلاسيكية المتقدمة، من المفيد غالبًا، بل ومن الضروري في ميكانيكا الكم، التعبير عن معادلات ماكسويل بصيغة جهد تتضمن الجهد الكهربائي (ويُسمى أيضًا الجهد القياسي ) φ ، والجهد المغناطيسي (وهو جهد متجه ) A. على سبيل المثال، يستفيد تحليل هوائيات الراديو استفادة كاملة من جهدي ماكسويل المتجه والقياسي لفصل المتغيرات، وهي تقنية شائعة الاستخدام في صياغة حلول المعادلات التفاضلية. يمكن إدخال الجهود باستخدام مبرهنة بوانكاريه على المعادلات المتجانسة لحلها بطريقة شاملة (بافتراض أننا نعتبر فضاءً بسيطًا طوبولوجيًا ، مثل الفضاء القابل للانكماش ). تُعرَّف الجهود كما في الجدول أعلاه. بدلاً من ذلك، تُعرِّف هذه المعادلات E و B بدلالة الجهدين الكهربائي والمغناطيسي اللذين يحققان المعادلات المتجانسة لـ E و B كمتطابقات. يُعطي التعويض معادلات ماكسويل غير المتجانسة في صيغة جهد.

تتوافق العديد من الخيارات المختلفة لـ A و φ مع الحقول الكهربائية والمغناطيسية القابلة للملاحظة E و B ، لذا يبدو أن الكمونات تحتوي على معلومات إضافية غير قابلة للملاحظة ( كلاسيكيًا ). ومع ذلك، فإن عدم تفرد الكمونات أمر مفهوم جيدًا. لكل دالة قياسية للموضع والزمن λ ( x , t ) ، يمكن تغيير الكمونات بتحويل قياسي كما يلي: φ′=φ-∂λ∂ت،أ′=أ+∇λ{\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}},\quad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }دون تغيير المجالين الكهربائي والمغناطيسي. يُطلق على زوجين من الكمونات المحولة قياسيًا ( φ , A ) و ( φ ′, A ′) اسم المتكافئين قياسيًا ، وتُسمى حرية اختيار أي زوج من الكمونات في فئة تكافؤها القياسي حرية القياس . وبحسب مبرهنة بوانكاريه (ووفقًا لافتراضاتها)، فإن حرية القياس هي المصدر الوحيد لعدم التحديد، لذا فإن صياغة المجال تُكافئ صياغة الكمون إذا اعتبرنا معادلات الكمون معادلات لفئات التكافؤ القياسي.

يمكن تبسيط معادلات الجهد باستخدام إجراء يُسمى تثبيت القياس . بما أن الجهود مُعرَّفة فقط حتى تكافؤ القياس، فإنه يُمكننا فرض معادلات إضافية عليها، طالما أن لكل زوج من الجهود زوجًا مكافئًا لها قياسًا يُحقق هذه المعادلات الإضافية (أي إذا كانت معادلات تثبيت القياس تُحدد شريحة لفعل القياس). تظل الجهود المُثبَّتة قياسًا تتمتع بحرية قياس تحت جميع تحويلات القياس التي تُبقي معادلات تثبيت القياس ثابتة. يُشير فحص معادلات الجهد إلى خيارين طبيعيين. في قياس كولوم ، نفرض ∇ ⋅ A = 0 ، وهو ما يُستخدم غالبًا في حالة المغناطيسية الساكنة عندما يُمكننا إهمال الحد c −2 ∂ 2 A /∂ t 2. في قياس لورنز (المُسمى نسبةً إلى الدنماركي لودفيج لورنز )، نفرض ∇⋅أ+1ج2∂φ∂ت=0.{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0\,.} يتميز شرط قياس لورنتز بميزة كونه ثابتًا لورنتز ويؤدي إلى معادلات ثابتة لورنتز للجهود.

نهج التغاير الواضح (الموتر)

تتوافق معادلات ماكسويل تمامًا مع النسبية الخاصة ، أي إذا كانت صحيحة في إطار مرجعي قصوري معين، فإنها تكون صحيحة تلقائيًا في جميع الأطر المرجعية القصورية الأخرى. في الواقع، كانت معادلات ماكسويل حاسمة في التطور التاريخي للنسبية الخاصة. مع ذلك، في الصيغة المعتادة لمعادلات ماكسويل، لا يكون توافقها مع النسبية الخاصة واضحًا؛ بل لا يمكن إثباته إلا من خلال حسابات معقدة.

على سبيل المثال، لنفترض وجود موصل يتحرك في مجال مغناطيسي . [ 8 ] في إطار المغناطيس، يتعرض هذا الموصل لقوة مغناطيسية . أما في إطار موصل يتحرك بالنسبة للمغناطيس، فإنه يتعرض لقوة ناتجة عن مجال كهربائي . الحركة متطابقة تمامًا في هذين الإطارين المرجعيين المختلفين، لكنها تنشأ رياضيًا بطرق مختلفة تمامًا.

لهذا السبب ولأسباب أخرى، من المفيد غالبًا إعادة صياغة معادلات ماكسويل بطريقة " متغايرة بشكل واضح " - أي متسقة بشكل جليّ مع النسبية الخاصة، حتى بمجرد إلقاء نظرة سريعة على المعادلات - باستخدام متجهات وموترات رباعية متغايرة ومتضادة . ويمكن تحقيق ذلك باستخدام موتر الكهرومغناطيسية F ، أو الجهد الرباعي A ، مع التيار الرباعي J.

نهج الأشكال التفاضلية

يمكن تجميع قانون جاوس للمغناطيسية وقانون فاراداي-ماكسويل معًا نظرًا لتجانس معادلاتهما، ويمكن اعتبارهما متطابقتين هندسيتين تعبران عن المجال F (شكل ثنائي)، والذي يمكن اشتقاقه من الجهد الرباعي A. ويمكن اعتبار قانون جاوس للكهرباء وقانون أمبير-ماكسويل معادلات ديناميكية لحركة المجالات، مستمدة من مبدأ لاغرانج لأقل فعل ، من "حد التفاعل" AJ (المُدخل عبر مشتقات متغيرة القياس )، والذي يربط المجال بالمادة. للاطلاع على صياغة المجال لمعادلات ماكسويل بدلالة مبدأ الفعل الأقصى ، انظر موتر الكهرومغناطيسية .

غالبًا ما يُبرر المشتق الزمني في معادلة فاراداي-ماكسويل وصف هذه المعادلة بأنها "ديناميكية"، وهو وصف مُضلل نوعًا ما في سياق التحليل السابق. إنما هو بالأحرى نتاج لكسر التغاير النسبي باختيار اتجاه زمني مُفضل. ولكي تنتشر درجات الحرية الفيزيائية بواسطة معادلات المجال هذه، يجب تضمين حد حركي F ⋆ F لـ A ، مع الأخذ في الاعتبار درجات الحرية غير الفيزيائية التي يُمكن إزالتها بتحويل القياس A ↦ A − d α . انظر أيضًا تثبيت القياس وأشباح فاديف-بوبوف .

نهج حساب التفاضل والتكامل الهندسي

تستخدم هذه الصيغة الجبر الذي يولده الزمكان من خلال إدخال ضرب توزيعي وتجميعي (وليس تبديليًا) يُسمى الضرب الهندسي . يمكن عمومًا ربط عناصر وعمليات هذا الجبر بمعنى هندسي. يمكن تحليل عناصر الجبر حسب الدرجة (كما في صيغة الأشكال التفاضلية)، ويتحلل الضرب الهندسي لمتجه مع متجه من الرتبة k إلى متجه من الرتبة ( k -1) ومتجه من الرتبة ( k +1) . يمكن تعريف مركبة المتجه من الرتبة ( k -1) بالضرب الداخلي، ومركبة المتجه من الرتبة ( k +1) بالضرب الخارجي. من الملائم جبريًا أن يكون الضرب الهندسي قابلًا للعكس، بينما لا يكون الضرب الداخلي والخارجي كذلك. وبذلك، يمكن استخدام تقنيات قوية مثل دوال غرين . المشتقات التي تظهر في معادلات ماكسويل هي متجهات، ويتم تمثيل المجالات الكهرومغناطيسية بواسطة متجه فاراداي الثنائي F. هذه الصيغة عامةٌ كصيغة الأشكال التفاضلية للمتشعبات ذات موتر القياس، إذ تُعرَّف هذه الأشكال بشكل طبيعي بأشكال r ، وتوجد عملياتٌ مقابلةٌ لها. تُختزل معادلات ماكسويل إلى معادلة واحدة في هذه الصيغة. ويمكن تقسيم هذه المعادلة إلى أجزاء كما هو موضح أعلاه لأغراض المقارنة.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ مقدمة في الديناميكا الكهربائية بقلم غريفيث
  2. ↑ الديناميكا الكهربائية الكمومية، عالم الرياضيات
  3. ↑ محاضرة ميدالية أورستد، ديفيد هيستينز ، "إصلاح اللغة الرياضية للفيزياء" (المجلة الأمريكية للفيزياء 71 (2)، فبراير 2003، ص 104-121)، ص 26
  4. ↑ هارلي فلاندرز (1963) الأشكال التفاضلية مع تطبيقات في العلوم الفيزيائية ، الصفحات من 44 إلى 46، دار النشر الأكاديمية
  5. ↑ ميسنر، تشارلز و.؛ ثورن ، كيب ؛ ويلر، جون أرشيبالد (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان. ص  81. ISBN 978-0-7167-0344-0.
  6. ↑ م. موراي (5 سبتمبر 2008). "حزم الخطوط. مرتبة الشرف 1996" (ملف PDF) . جامعة أديلايد . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 14 سبتمبر 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 نوفمبر 2010 .
  7. ↑ ر. بوت (1985). "حول بعض التفاعلات الحديثة بين الرياضيات والفيزياء" . النشرة الرياضية الكندية . 28 (2): 129-164 . doi : 10.4153/CMB-1985-016-3 .
  8. ↑ ألبرت أينشتاين (1905) حول الديناميكا الكهربائية للأجسام المتحركة

مراجع

  • وارنيك، كارل؛ روسر، بيتر (2014). "الأشكال التفاضلية ونظرية المجال الكهرومغناطيسي" (ملف PDF) . التقدم في بحوث الكهرومغناطيسية . 148 : 83-112 . doi : 10.2528/PIER14063009 . مؤرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 20 يوليو 2018. تاريخ الاسترجاع : 29 ديسمبر 2014 .
  • روسر، بيتر (2006). الكهرومغناطيسية، تصميم دوائر الميكروويف والهوائيات لهندسة الاتصالات (  الطبعة الثانية). دار أرتيك هاوس. رقم ISBN 978-1-58053-907-4.(مع مسائل محلولة في كتاب وارنيك، روسر 2006 ISBN) 1-59693-096-9)
  • هيل، فريدريش؛ أوبوخوف، يوري (2003). أسس الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية . بيركهاوزر. ISBN 978-0-8176-4222-8.
  • دورن، كريس؛ لاسنبي، أنتوني (2007). الجبر الهندسي للفيزيائيين . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-71595-9.