شبه مجموعة C0

في التحليل الرياضي ، تُعرف شبه المجموعة C ₀ أيضًا باسم شبه المجموعة المستمرة بقوة ذات معامل واحد ، وهي تعميم للدالة الأسية . وكما توفر الدوال الأسية حلولاً لمعادلات تفاضلية عادية ذات معامل ثابت خطي قياسي ، توفر شبه المجموعات المستمرة بقوة حلولاً لمعادلات تفاضلية عادية ذات معامل ثابت خطي في فضاءات باناخ . تنشأ مثل هذه المعادلات التفاضلية في فضاءات باناخ من معادلات التفاضل التأخيرية والمعادلات التفاضلية الجزئية .

رسميًا ، تعتبر شبه المجموعة المستمرة بقوة تمثيلًا لشبه المجموعة ( R ₊ ، +) على بعض فضاءات باناخ X المستمرة في طوبولوجيا المشغل القوي .

تعتبر شبه المجموعة المستمرة بقوة على فضاء باناخ عبارة عن خريطة (حيث تكون مساحة المشغلات المحدودة على ) بحيث ${\displaystyle X}$${\displaystyle T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)}$${\displaystyle L(X)}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle T(0)=I}$, ( عامل الهوية على )${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle \forall t,s\geq 0:\ T(t+s)=T(t)T(s)}$
3. ${\displaystyle \forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0}$، مثل .${\displaystyle t\downarrow 0}$

البديهيتان الأوليتان جبريتان ، وتنصان على أنهما تمثيل لشبه المجموعة ؛ أما البديهية الأخيرة فهي طوبولوجية ، وتنص على أن الخريطة متصلة في طوبولوجيا المشغل القوي . ${\displaystyle T}$${\displaystyle {(\mathbb {R} _{+},+)}}$${\displaystyle T}$

يتم تعريف المولد اللامتناهي في الصغر A للمجموعة شبه المستمرة بقوة T بواسطة

${\displaystyle A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {1}{t}}\,(T(t)-I)\,x}$

كلما كان الحد موجودًا. مجال A ، D ( A )، هو مجموعة x ∈ X التي يوجد لها هذا الحد؛ D ( A ) هي فضاء فرعي خطي و A خطي على هذا المجال. ^[1] المشغل A مغلق ، على الرغم من أنه ليس محدودًا بالضرورة ، والمجال كثيف في X. ^[2]

غالبًا ما يتم الإشارة إلى شبه المجموعة المستمرة بقوة T مع المولد A بالرمز (أو على نحو مكافئ، ). يتوافق هذا الترميز مع الترميز الخاص بأسس المصفوفات ، ووظائف المشغل المحددة عبر حساب التفاضل والتكامل الوظيفي (على سبيل المثال، عبر نظرية الطيف ). ${\displaystyle e^{At}}$${\displaystyle \exp(عند)}$

شبه المجموعة المتصلة بشكل موحد هي شبه مجموعة متصلة بقوة T بحيث

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\|T(t)-I\|=0}$

في هذه الحالة، يكون المولد اللامتناهي الصغر A لـ T محدودًا ولدينا

${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=X}$

و

${\displaystyle T(t)=e^{At}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.}$

وعلى العكس من ذلك ، أي عامل محدود

${\displaystyle A\colon X\to X}$

هو المولد اللامتناهي في الصغر لشبه المجموعة المتصلة بشكل منتظم والمعطى بواسطة

${\displaystyle T(t):=e^{At}}$.

وبالتالي، فإن العامل الخطي A هو المولد اللامتناهي في الصغر لشبه مجموعة متصلة بشكل موحد إذا وفقط إذا كان A عامل خطي محدود. ^[3] إذا كانت X فضاء باناخ محدود الأبعاد ، فإن أي شبه مجموعة متصلة بقوة هي شبه مجموعة متصلة بشكل موحد. بالنسبة لشبه مجموعة متصلة بقوة ليست شبه مجموعة متصلة بشكل موحد، فإن المولد اللامتناهي في الصغر A غير محدود. في هذه الحالة، لا يحتاج إلى التقارب. ${\displaystyle e^{At}}$

ضع في اعتبارك فضاء باناخ المزود بالمعيار sup . دع تكون دالة مستمرة مع . المشغل مع المجال هو مشغل مغلق محدد بكثافة ويولد شبه مجموعة الضرب حيث يمكن اعتبار مشغلات الضرب بمثابة تعميم لا نهائي الأبعاد للمصفوفات القطرية ويمكن اشتقاق الكثير من خصائص من خلال خصائص . على سبيل المثال، يكون محدودًا بـ إذا وفقط إذا كان محدودًا بـ . ^[4]${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ):=\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} {\text{ مستمر}}:\لكل \epsilon >0~\exists c>0{\text{ بحيث }}\vert f(x)\vert \leq \epsilon ~\لكل x\in \mathbb {R} \setminus [-c,c]\}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert :={\text{sup}}_{x\in \mathbb {R} }\vert f(x)\vert }$${\displaystyle q:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle {\text{sup}}_{s\in \mathbb {R} }{\text{Re}}(q(s))<\infty }$${\displaystyle M_{q}f:=q\cdot f}$${\displaystyle D(M_{q}):=\{f\in C_{0}(\mathbb {R} ):q\cdot f\in C_{0}(\mathbb {R} )\}}$${\displaystyle (T_{q}(t))_{t\geq 0}}$${\displaystyle T_{q}(t)f:=\mathrm {e} ^{qt}f.}$${\displaystyle M_{q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle M_{q}}$${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R)} }$${\displaystyle q}$

ليكن فضاء الدوال المحدودة والمتصلة بانتظام على والموهوبة بالمعيار الأعلى. شبه مجموعة الترجمة (اليسرى) تعطى بواسطة . ${\displaystyle C_{ub}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (T_{l}(t))_{t\geq 0}}$${\displaystyle T_{l}(t)f(s):=f(s+t),\quad s,t\in \mathbb {R} }$

مولدها هو المشتق ذو المجال . ^[5]${\displaystyle ع:=ف'}$${\displaystyle D(A):=\{f\in C_{ub}(\mathbb {R} ):f{\text{ قابلة للاشتقاق مع }}f'\in C_{ub}(\mathbb {R} )\}}$

خذ في الاعتبار مشكلة كوشي المجردة :

${\displaystyle u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,}$

حيث A هو عامل مغلق في فضاء باناخ X و x ∈ X . هناك مفهومان لحل هذه المشكلة:

• تسمى الدالة القابلة للاشتقاق المستمر u : [0, ∞) → X بالحل الكلاسيكي لمشكلة كوشي إذا كانت u ( t  ) ∈ D ( A ) لجميع t > 0 وتلبي مشكلة القيمة الأولية،
• تسمى الدالة المستمرة u : [0, ∞) → X حلاً معتدلاً لمشكلة كوشي إذا

${\displaystyle \int _{0}^{t}u(s)\,ds\in D(A){\text{ و }}A\int _{0}^{t}u(s)\,ds=u(t)-x.}$

أي حل كلاسيكي هو حل معتدل. الحل المعتدل هو حل كلاسيكي إذا وفقط إذا كان قابلاً للاشتقاق بشكل مستمر. ^[6]

النظرية التالية تربط بين مسائل كوشي المجردة وشبه المجموعات المتصلة بقوة.

المبرهنة: ^[7] ليكن A عاملًا مغلقًا على فضاء باناخ X. التأكيدات التالية متكافئة:

1. لكل x ∈ X يوجد حل بسيط وفريد ​​لمشكلة كوشي المجردة،
2. يقوم المشغل A بإنشاء شبه مجموعة متصلة بقوة،
3. مجموعة الحلول لـ A ليست فارغة ولكل x ∈ D ( A ) يوجد حل كلاسيكي فريد لمشكلة كوشي.

عندما تتحقق هذه التأكيدات ، فإن حل مشكلة كوشي يعطى بالعلاقة u ( t  ) =  T ( t  ) x مع T شبه المجموعة المستمرة بقوة والتي تولدها A.

فيما يتعلق بمسائل كوشي، عادةً ما يتم إعطاء عامل خطي A والسؤال هو ما إذا كان هذا هو مولد شبه مجموعة متصلة بقوة. تسمى النظريات التي تجيب على هذا السؤال نظريات التوليد . يتم تقديم توصيف كامل للعوامل التي تولد شبه مجموعات متصلة بقوة ومحدودة أسيًا بواسطة نظرية هيل-يوسيدا . ومع ذلك، فإن الشروط الأسهل بكثير للتحقق والتي تقدمها نظرية لومر-فيليبس أكثر أهمية من الناحية العملية .

تُسمى شبه المجموعة T المستمرة بقوة متصلة بشكل موحد إذا كانت الخريطة t  →  T ( t  ) متصلة من [0, ∞) إلى L ( X ).

مولد شبه المجموعة المستمرة بشكل منتظم هو عامل محدود .

 تُسمى شبه المجموعة A C ₀ Γ( t )، t ≥ 0، شبه مجموعة انكماشية إذا كان هناك ثابت ω بحيث يكون ||Γ( t )|| ≤ exp( ωt ) لجميع t  ≥ 0. تُسمى Γ( t ) شبه مجموعة انكماشية إذا كان ||Γ( t )|| ≤ 1 لجميع t  ≥ 0. ^[8]

تُسمى شبه المجموعة T المتصلة بقوة قابلة للاشتقاق في النهاية إذا كان هناك t ₀  > 0 بحيث يكون T ( t ₀ ) X ⊂ D ( A ) (أي ما يعادل: T ( t  ) X ⊂ D ( A ) لجميع t  ≥  t ₀ ) وتكون T قابلة للاشتقاق فورًا إذا كان T ( t  ) X  ⊂  D ( A ) لجميع t  > 0 .

كل شبه مجموعة تحليلية قابلة للاشتقاق على الفور.

التوصيف المكافئ من حيث مسائل كوشي هو التالي: شبه المجموعة المستمرة بقوة والتي تولدها A تكون قابلة للاشتقاق في النهاية إذا وفقط إذا كان هناك t ₁  ≥ 0 بحيث يكون الحل u لمسألة كوشي المجردة قابلاً للاشتقاق على ( t ₁ ، ∞) لجميع x  ∈  X. تكون شبه المجموعة قابلة للاشتقاق على الفور إذا كان من الممكن اختيار t ₁ ليكون صفرًا.

تُسمى شبه المجموعة T المستمرة بقوة مضغوطة في النهاية إذا كان هناك t ₀  > 0 بحيث يكون T ( t ₀ ) عامل مضغوط (على نحو مكافئ ^[9] إذا كان T ( t  ) عامل مضغوط لجميع t  ≥  t ₀ ). تُسمى شبه المجموعة مضغوطة على الفور إذا كان T ( t  ) عامل مضغوط لجميع t  > 0.

تُسمى شبه المجموعة المستمرة بقوة متصلة بشكل متقطع متصلة بشكل متقطع إذا كان هناك t ₀  ≥ 0 بحيث تكون الخريطة t  →  T ( t  ) متصلة من ( t ₀ ، ∞) إلى L ( X ). تُسمى شبه المجموعة متصلة بشكل متقطع إذا كان من الممكن اختيار t ₀ ليكون صفرًا.

لاحظ أنه بالنسبة لمجموعة شبه متصلة ذات معيار مباشر، قد لا تكون الخريطة t  →  T ( t  ) متصلة في t  = 0 (وهذا من شأنه أن يجعل المجموعة شبه متصلة بشكل موحد).

المجموعات شبه التحليلية، والمجموعات شبه القابلة للتفاضل (في النهاية)، والمجموعات شبه المدمجة (في النهاية) كلها متصلة بشكل معياري. ^[10]

حد النمو لشبه المجموعة T هو الثابت

${\displaystyle \omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.}$

يُطلق عليه هذا الاسم لأن هذا الرقم هو أيضًا الحد الأدنى لجميع الأعداد الحقيقية ω بحيث يوجد ثابت M (≥ 1) مع

${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega t}}$

لجميع t ≥ 0.

وفيما يلي ما يعادل: ^[11]

1. يوجد M ، ω >0 بحيث أنه بالنسبة لجميع t  ≥ 0: ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},}$
2. حد النمو سلبي: ω ₀  < 0،
3. تتقارب شبه المجموعة إلى الصفر في طوبولوجيا المشغل الموحد :${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0}$
4. يوجد t ₀  > 0 بحيث ،${\displaystyle \|T(t_{0})\|<1}$
5. يوجد t ₁  > 0 بحيث يكون نصف القطر الطيفي لـ T ( t ₁ ) أصغر تمامًا من 1،
6. يوجد p  ∈ [1, ∞) بحيث أنه بالنسبة لجميع x  ∈  X : ،${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty }$
7. لجميع p  ∈ [1, ∞) وجميع x  ∈  X :${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .}$

تُسمى شبه المجموعة التي تلبي هذه الشروط المكافئة مستقرة أسيًا أو مستقرة بشكل موحد (يتم أخذ أي من العبارات الثلاث الأولى أعلاه كتعريف في أجزاء معينة من الأدبيات). تسمى حقيقة أن شروط L ^p تعادل الاستقرار الأسي بنظرية داتكو بازي .

في حالة أن X هي فضاء هيلبرت، يوجد شرط آخر يعادل الاستقرار الأسي من حيث عامل الحل للمولد: ^[12] تنتمي جميع λ ذات الجزء الحقيقي الموجب إلى مجموعة الحل لـ A ويكون عامل الحل محدودًا بشكل موحد على نصف المستوى الأيمن، أي أن ( λI  −  A ) ⁻¹ ينتمي إلى فضاء هاردي . وهذا ما يسمى بنظرية جيرهارت-بروس . ${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))}$

الحد الطيفي للعامل A هو الثابت

${\displaystyle s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\,\lambda :\lambda \in \sigma (A)\}}$,

مع الاتفاقية التي تنص على أن s ( A ) = −∞ إذا كان طيف A فارغًا.

يرتبط حد نمو شبه المجموعة والحد الطيفي لمولدها بواسطة ^[13] s ( A ) ≤ ω ₀ ( T  ). هناك أمثلة ^[14] حيث s ( A ) <  ω ₀ ( T  ). إذا كانت s ( A ) =  ω ₀ ( T  )، فيقال إن T تلبي شرط النمو المحدد طيفيًا . في النهاية تلبي شبه المجموعات المتصلة بالمعيار شرط النمو المحدد طيفيًا. ^[15] وهذا يعطي توصيفًا مكافئًا آخر للاستقرار الأسي لهذه شبه المجموعات:

• تكون شبه المجموعة المتصلة المعيارية في النهاية مستقرة أسيًا إذا وفقط إذا كانت s ( A ) < 0.

لاحظ أن المجموعات شبه المنتظمة المدمجة في النهاية، والقابلة للتفاضل في النهاية، والتحليلية، والمتصلة بشكل موحد، تكون في النهاية متصلة معياريًا بحيث ينطبق شرط النمو المحدد طيفيًا بشكل خاص على تلك المجموعات شبه المنتظمة.

تُسمى شبه المجموعة T المستمرة بقوة مستقرة بقوة أو مستقرة بشكل مقارب إذا كان لجميع x  ∈  X : . ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0}$

الاستقرار الأسّي يعني استقرارًا قويًا، ولكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام إذا كان X لانهائي الأبعاد (وهو صحيح بالنسبة لـ X محدود الأبعاد).

الشرط الكافي التالي للاستقرار القوي يسمى نظرية أريندت-باتي-ليبيتش-فونج : ^{[16] [17]} افترض أن

1. T محدودة: يوجد M  ≥ 1 بحيث ،${\displaystyle \|T(t)\|\leq M}$
2. أ ليس له طيف نقطي على المحور التخيلي، و
3. طيف A الواقع على المحور التخيلي قابل للعد.

ثم يكون T مستقرا بقوة.

إذا كان X انعكاسيًا، فإن الشروط تتبسط: إذا كان T محدودًا، وليس لدى A أي قيم ذاتية على المحور التخيلي وكان طيف A الواقع على المحور التخيلي قابلاً للعد، فإن T يكون مستقرًا بقوة.

• إي هيل، آر إس فيليبس: التحليل الوظيفي وشبه المجموعات . الجمعية الرياضية الأمريكية، 1975.
• الستار الترددي الراديوي ، هـ. ج. زوارت: مقدمة إلى نظرية الأنظمة الخطية ذات الأبعاد اللانهائية . دار سبرينغر للنشر، 1995.
• EB Davies : شبه مجموعات ذات معلمة واحدة (دراسات LMS)، Academic Press، 1980، ISBN 0-12-206280-9 . 
• إنجل، كلاوس-يوشن؛ ناجل، راينر (2000)، مجموعات شبه جماعية ذات معلمة واحدة لمعادلات التطور الخطي ، سبرينغر
• أرندت، ولفجانج؛ باتي، تشارلز؛ هيبر، ماتياس؛ نيوبراندر، فرانك (2001)، تحويلات لابلاس ذات القيمة المتجهة ومشكلات كوشي ، بيركهاوزر
• ستافانز، أولوف (2005)، أنظمة خطية جيدة الوضع ، مطبعة جامعة كامبريدج
• لوه، تشنغ هوا؛ جيو، باو تشو؛ مورجول، عمر (1999)، استقرار واستقرار الأنظمة ذات الأبعاد اللانهائية مع التطبيقات ، سبرينغر
• بارتنجتون، جوناثان ر. (2004)، المشغلات الخطية والأنظمة الخطية ، نصوص طلاب الجمعية الرياضية في لندن ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-54619-2