النفي

الموسوعة الحرة

في المنطق ، النفي ، الذي يُسمى أيضًا النفي المنطقي أو المتمم المنطقي ، هو عملية تأخذ قضيةP{\displaystyle P}إلى اقتراح آخر "ليسP{\displaystyle P}، مكتوبة¬P{\displaystyle \neg P}،∼P{\displaystyle {\mathord {\sim }}P}،P′{\displaystyle P^{\prime }}[ 1 ] أوP¯{\displaystyle {\overline {P}}}[ 2 ] . يُفسَّر ذلك بديهيًا على أنه صحيح عندماP{\displaystyle P}خطأ، وخطأ عندماP{\displaystyle P}صحيح. [ 3 ] [ 4 ] على سبيل المثال، إذاP{\displaystyle P}إذا كان "الكلب يركض"، فإن "ليس"P{\displaystyle P}"هي "الكلب لا يركض". يُطلق على أحد عناصر النفي اسم النفي أو النفي . [ 5 ]

النفي رابط منطقي أحادي . ويمكن تطبيقه ليس فقط على القضايا، بل أيضًا على المفاهيم ، وقيم الصدق ، أو القيم الدلالية بشكل عام. في المنطق الكلاسيكي ، يُعرَّف النفي عادةً بدالة الصدق التي تنقل الصدق إلى الكذب (والعكس صحيح). أما في المنطق الحدسي ، وفقًا لتفسير براور-هيتينغ-كولموغوروف ، فإن نفي القضية هو نفيP{\displaystyle P}هي القضية التي تكون براهينها هي دحضها لـP{\displaystyle P}.

تعريف

النفي الكلاسيكي هو عملية تُجرى على قيمة منطقية واحدة ، عادةً ما تكون قيمة قضية ، وتُنتج قيمة صحيحة عندما يكون مُعاملها خاطئًا، وقيمة خاطئة عندما يكون مُعاملها صحيحًا. وبالتالي، فإن عبارة if P{\displaystyle P}إذا كان ذلك صحيحاً، فإذن¬P{\displaystyle \neg P}(يُنطق "ليس P") ستكون خاطئة؛ والعكس صحيح، إذا¬P{\displaystyle \neg P}إذا كان ذلك صحيحاً، فإذنP{\displaystyle P}سيكون ذلك خطأً.

جدول الحقيقة لـ¬P{\displaystyle \neg P}وهو كالتالي:

P{\displaystyle P}¬P{\displaystyle \neg P}
حقيقيخطأ شنيع
خطأ شنيعحقيقي

يمكن تعريف النفي من خلال عمليات منطقية أخرى. على سبيل المثال،¬P{\displaystyle \neg P}يمكن تعريفها على النحو التالي:P→⊥{\displaystyle P\rightarrow \bot }(أين→{\displaystyle \rightarrow }وهي نتيجة منطقية و⊥{\displaystyle \bot }( كذب مطلق ). وعلى العكس من ذلك، يمكن تعريف⊥{\displaystyle \bot }مثلسؤال∧¬سؤال{\displaystyle Q\land \neg Q}لأي قضية Q (حيث∧{\displaystyle \land }( الاقتران المنطقي ). الفكرة هنا هي أن أي تناقض خاطئ، وبينما تنجح هذه الأفكار في كل من المنطق الكلاسيكي والحدسي، فإنها لا تنجح في المنطق المتناقض ، حيث لا تكون التناقضات خاطئة بالضرورة. كمثال آخر، يمكن تعريف النفي بدلالة NAND، ويمكن تعريفه أيضًا بدلالة NOR.

جبرياً، يُقابل النفي الكلاسيكي التتميم في الجبر البولياني ، ويُقابل النفي الحدسي التتميم الزائف في جبر هيتينغ . توفر هذه الجبريات دلالات للمنطق الكلاسيكي والحدسي.

الترميز

يُرمز إلى نفي القضية p بطرق مختلفة، وذلك في سياقات نقاش ومجالات تطبيق متنوعة. يوضح الجدول التالي بعضًا من هذه الصيغ:

الترميزنص عاديغناء
¬ص{\displaystyle \neg p}¬p , 7p [ 6 ]ليس ص
∼ص{\displaystyle {\mathord {\sim }}p}~pليس ص
-ص{\displaystyle -p}-pليس ص
شمالص{\displaystyle Np}En p
ص′{\displaystyle p'}ص
  • p عدد أولي،
  • مكمل p
ص¯{\displaystyle {\overline {p}}}̅p
  • شريط p ،
  • بار ب
!ص{\displaystyle !p}!p
  • بانغ ب
  • ليس ص

الترميزشمالص{\displaystyle Np}هي الصيغة البولندية .

في نظرية المجموعات ،∖{\displaystyle \setminus }يُستخدم أيضًا للإشارة إلى "ليس ضمن المجموعة":يو∖أ{\displaystyle U\setminus A}هي مجموعة جميع عناصر U التي ليست عناصر في A.

بغض النظر عن كيفية تدوينها أو ترميزها ، فإن النفي¬P{\displaystyle \neg P}يمكن قراءتها على أنها "ليس الأمر كما لو أن P "، أو "ليس أن P "، أو عادةً ببساطة "ليس P ".

أسبقية

كوسيلة لتقليل عدد الأقواس الضرورية، يمكن إدخال قواعد الأسبقية : ¬ لها أسبقية أعلى من ∧ ، و∧ لها أسبقية أعلى من ∨ ، و∨ لها أسبقية أعلى من →. على سبيل المثال،P∨سؤال∧¬R→S{\displaystyle P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S}هو اختصار لـ(P∨(سؤال∧(¬R)))→S.{\displaystyle (P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S.}

إليكم جدول يوضح ترتيب استخدام عوامل التشغيل المنطقية بشكل شائع. [ 7 ]

المشغلأسبقية
¬{\displaystyle \neg }1
∧{\displaystyle \land }2
∨{\displaystyle \lor }3
→{\displaystyle \to }4
↔{\displaystyle \leftrightarrow }5

ملكيات

النفي المزدوج

في نظام المنطق الكلاسيكي ، النفي المزدوج، أي نفي نفي القضيةP{\displaystyle P}، وهو مكافئ منطقياً لـP{\displaystyle P}معبرًا عنها بعبارات رمزية،¬¬P≡P{\displaystyle \neg \neg P\equiv P}في المنطق الحدسي ، تستلزم القضية نفيها المزدوج، ولكن ليس العكس. وهذا يُمثل أحد الفروق المهمة بين النفي الكلاسيكي والنفي الحدسي. جبريًا، يُطلق على النفي الكلاسيكي اسم " الانقلاب الدوري الثاني".

لكن في المنطق الحدسي ، يكون التكافؤ الأضعف¬¬¬P≡¬P{\displaystyle \neg \neg \neg P\equiv \neg P}هذا صحيح. وذلك لأنه في المنطق الحدسي،¬P{\displaystyle \neg P}هو مجرد اختصار لـ P→⊥{\displaystyle P\rightarrow \bot }ولدينا أيضاًP→¬¬P{\displaystyle P\rightarrow \neg \neg P}تكوين ذلك الاستلزام الأخير بالنفي الثلاثي¬¬P→⊥{\displaystyle \neg \neg P\rightarrow \bot }يشير ذلك إلى أنP→⊥{\displaystyle P\rightarrow \bot }.

ونتيجة لذلك، في الحالة الافتراضية، تكون الجملة قابلة للإثبات كلاسيكيًا إذا كان نفيها المزدوج قابلًا للإثبات حدسيًا. تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية جليفنكو .

التوزيعية

توفر قوانين دي مورغان طريقة لتوزيع النفي على الفصل والربط :

¬(P∨سؤال)≡(¬P∧¬سؤال){\displaystyle \neg (P\lor Q)\equiv (\neg P\land \neg Q)}، و
¬(P∧سؤال)≡(¬P∨¬سؤال){\displaystyle \neg (P\land Q)\equiv (\neg P\lor \neg Q)}.

الخطية

يترك⊕{\displaystyle \oplus }يرمز إلى عملية XOR المنطقية . في الجبر البولياني ، الدالة الخطية هي دالة تحقق ما يلي:

إذا كان هناكأ0،أ1،...،أن∈{0،1}{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}، و(ب1،ب2،...،بن)=أ0⊕(أ1∧ب1)⊕⋯⊕(أن∧بن){\displaystyle f(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \dots \oplus (a_{n}\land b_{n})}للجميعب1،ب2،...،بن∈{0،1}{\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in \{0,1\}}.

بمعنى آخر، كل متغير يؤثر دائمًا على قيمة الصواب للعملية، أو لا يؤثر أبدًا. النفي عامل منطقي خطي.

ذاتي مزدوج

في الجبر البولياني ، الدالة المزدوجة الذاتية هي دالة بحيث:

و(أ1،...،أن)=¬و(¬أ1،...،¬أن){\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{n})=\neg f(\neg a_{1},\dots ,\neg a_{n})}للجميع أ1،...،أن∈{0،1}{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}النفي هو عامل منطقي ثنائي ذاتي.

نفي الكميات

في منطق الرتبة الأولى ، يوجد نوعان من المُكمِّمات، أحدهما هو المُكمِّم الكلي.∀{\displaystyle \forall }(تعني "للجميع") والآخر هو المحدد الوجودي∃{\displaystyle \exists }(تعني "يوجد"). نفي أحد المحددات الكمية هو المحدد الكمي الآخر (¬∀xP(x)≡∃x¬P(x){\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}و¬∃xP(x)≡∀x¬P(x){\displaystyle \neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)}على سبيل المثال، إذا كان المسند P هو " x فانٍ" وكان مجال x هو مجموعة جميع البشر،∀xP(x){\displaystyle \forall xP(x)}يعني ذلك أن "الشخص س من بين جميع البشر فانٍ" أو "جميع البشر فانون". ونفيه هو¬∀xP(x)≡∃x¬P(x){\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}، بمعنى "يوجد شخص س في جميع البشر ليس فانياً"، أو "يوجد شخص يعيش إلى الأبد".

قواعد الاستدلال

توجد عدة طرق متكافئة لصياغة قواعد النفي. إحدى الطرق الشائعة لصياغة النفي الكلاسيكي في سياق الاستدلال الطبيعي هي اعتبار مقدمة النفي (من اشتقاق) قواعد استدلال أولية.P{\displaystyle P}لكلاسؤال{\displaystyle Q}و¬سؤال{\displaystyle \neg Q}، استدلال¬P{\displaystyle \neg P}(وتسمى هذه القاعدة أيضًا بالاختزال إلى العبث )، وحذف النفي (منP{\displaystyle P}و¬P{\displaystyle \neg P}استدلالسؤال{\displaystyle Q}وتُسمى هذه القاعدة أيضًا ex falso quodlibet )، وحذف النفي المزدوج (من¬¬P{\displaystyle \neg \neg P}استدلالP{\displaystyle P}). يمكن الحصول على قواعد النفي الحدسي بنفس الطريقة ولكن عن طريق استبعاد حذف النفي المزدوج.

تنص مقدمة النفي على أنه إذا أمكن استخلاص نتيجة سخيفة منP{\displaystyle P}ثمP{\displaystyle P}لا ينبغي أن يكون الأمر كذلك (أيP{\displaystyle P}(خطأ (كلاسيكيًا) أو قابل للدحض (حدسيًا) أو ما شابه). تنصّ طريقة استبعاد النفي على أن أي شيء يترتب على تناقض. أحيانًا تُصاغ طريقة استبعاد النفي باستخدام علامة تناقض أولية.⊥{\displaystyle \bot }في هذه الحالة، تنص القاعدة على أنه منP{\displaystyle P}و¬P{\displaystyle \neg P}يتبع ذلك تناقضًا. وبالاقتران مع حذف النفي المزدوج، يمكن استنتاج القاعدة التي صغناها في الأصل، وهي أن أي شيء يتبع من تناقض.

عادةً ما يكون النفي الحدسي¬P{\displaystyle \neg P}لP{\displaystyle P}يُعرَّف بأنهP→⊥{\displaystyle P\rightarrow \bot }إذن، يُعدّ إدخال النفي وحذفه حالتين خاصتين من إدخال الاستلزام ( البرهان الشرطي ) وحذفه ( القياس المنطقي ). وفي هذه الحالة، يجب إضافة القاعدة الأساسية التالية: " من الكاذب يمكن أن يكون الشيء خاطئًا" .

لغة البرمجة واللغة العادية

كما هو الحال في الرياضيات، يتم استخدام النفي في علوم الحاسوب لبناء عبارات منطقية.

إذا لم يكن ( r == t ) { /*...العبارات التي يتم تنفيذها عندما لا يساوي r قيمة t...*/ }

تشير علامة التعجب " !" إلى النفي المنطقي في لغات B و C واللغات ذات البنية المستوحاة من C مثل C++ و Java و JavaScript و Perl و PHP . أما " NOT" فهو المعامل المستخدم في ALGOL 60 و BASIC واللغات ذات البنية المستوحاة من ALGOL أو BASIC مثل Pascal و Ada و Eiffel . توفر بعض اللغات (C++ و Perl وغيرها) أكثر من معامل واحد للنفي. تستخدم بعض اللغات مثل PL/I و Ratfor¬ معامل النفي. تسمح معظم اللغات الحديثة باختصار العبارة المذكورة أعلاه من if (!(r == t))إلى ، مما يسمح أحيانًا، عندما لا يتمكن المترجم/المفسر من تحسينها، بكتابة برامج أسرع.if (r != t)

في علوم الحاسوب، توجد أيضًا عملية النفي الثنائي . تقوم هذه العملية بتحويل جميع الأرقام الثنائية التي قيمتها 1 إلى 0 والعكس. تُستخدم هذه العملية غالبًا لإنشاء المتمم الأحادي (أو " ~" في لغتي C أو C++) والمتمم الثنائي (والذي يُبسط إلى " -" أو الإشارة السالبة ، حيث أن هذا يُعادل أخذ النفي الحسابي للعدد).

للحصول على القيمة المطلقة (المكافئ الموجب) لعدد صحيح معين، فإن ما يلي سيفي بالغرض حيث أن " -" يغيره من سالب إلى موجب (هو سالب لأن " x < 0" ينتج عنه قيمة صحيحة).

unsigned int abs ( int x ) { if ( x < 0 ) return - x ; else return x ; }

لتوضيح النفي المنطقي:

unsigned int abs ( int x ) { if ( ! ( x < 0 )) return x ; else return - x ; }

يؤدي عكس الشرط وعكس النتائج إلى إنتاج رمز مكافئ منطقيًا للرمز الأصلي، أي أنه سيكون له نتائج متطابقة لأي مدخلات (اعتمادًا على المترجم المستخدم، قد تختلف التعليمات الفعلية التي ينفذها الكمبيوتر).

في لغة C (وبعض اللغات الأخرى المشتقة منها)، !!xيُستخدم النفي المزدوج ( ) كأسلوب اصطلاحي للتحويل xإلى قيمة منطقية قياسية، أي عدد صحيح قيمته إما 0 أو 1 فقط. مع أن أي عدد صحيح غير 0 صحيح منطقيًا في لغة C، وأن 1 ليس له قيمة خاصة في هذا الصدد، إلا أنه من المهم أحيانًا التأكد من استخدام قيمة قياسية، على سبيل المثال عند الطباعة أو إذا استُخدم العدد لاحقًا في العمليات الحسابية. [ 8 ]

الاستخدام في اللغة العامية

يُستخدم مصطلح " !الاستثناء" أحيانًا للدلالة على النفي في اللغة العامية ، كما في لغة الحاسوب الدارجة بمعنى "ليس" . على سبيل المثال، تُستخدم هذه العبارة !clueكمرادف لعبارة "لا فكرة" أو "جاهل". [ 9 ] [ 10 ]

مثال آخر هو التعبير !voteالذي يعني "ليس تصويتًا". [ 11 ] في هذا السياق، تُستخدم علامة التعجب في ويكيبيديا لاستطلاع الآراء مع نفي "حكم الأغلبية"، من أجل "إجراء نقاش توافقي، حيث يتم تحديد المسار الصحيح بناءً على قوة الحجج المقدمة". [ 11 ]

دلالات كريبكي

في دلالات كريپكي حيث تكون القيم الدلالية للصيغ عبارة عن مجموعات من العوالم الممكنة ، يمكن اعتبار النفي بمثابة تكملة نظرية المجموعات (انظر أيضًا دلالات العالم الممكن لمزيد من المعلومات).

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ تستخدم جميع كتب الرياضيات المدرسية التركية تقريبًا الرمز p' للنفي نظرًا للكتب التي وزعتها وزارة التربية الوطنية والتي تمثله بالرمز p'.
  2. ↑ "تعريف النفي ومعناه | قاموس كولينز الإنجليزي" . www.collinsdictionary.com . ١٥ ديسمبر ٢٠٢٥. تم الاطلاع عليه بتاريخ ٢٠ ديسمبر ٢٠٢٥ .{{cite web}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  3. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "النفي" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه في 2 سبتمبر 2020 .
  4. ↑ "المنطق والعبارات الرياضية - أمثلة محلولة" . www.math.toronto.edu . تاريخ الاطلاع: 2 سبتمبر 2020 .
  5. ↑ بيال، جيفري سي. (2010). المنطق: الأساسيات (الطبعة الأولى المنشورة ). لندن: روتليدج. ص 57. ISBN   978-0-203-85155-5.
  6. ↑ استُخدمت كحل مؤقت في منشورات الآلة الكاتبة المبكرة، على سبيل المثال ريتشارد إي. لادنر (يناير 1975). "مسألة قيمة الدائرة كاملة المساحة اللوغاريتمية لـ P". أخبار ACM SIGACT . 7 (101): 18-20 . doi : 10.1145/990518.990519 .
  7. ↑ أودونيل، جون؛ هول، كورديليا؛ بيج، ريكس (2007)، الرياضيات المتقطعة باستخدام الحاسوب ، سبرينغر، ص 120، ISBN  9781846285981.
  8. ↑ إيغان، ديفيد. "تحويل عامل النفي المزدوج إلى قيمة منطقية في لغة C" . ملاحظات المطورين .
  9. ↑ ريموند، إريك وستيل، جاي. قاموس المخترق الجديد ، ص 18 (مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا 1996).
  10. ↑ مونات، جوديث. الإبداع المعجمي، النصوص والسياق ، ص 148 (دار نشر جون بنجامينز، 2007).
  11. 1 2 هاريسون، ستيفن. " حرب ويكيبيديا على صحيفة ديلي ميل "، مجلة سلات (1 يوليو 2021).

للمزيد من القراءة

  • جاباي، دوف ، ووانسينغ، هاينريش، محرران، 1999. ما هو النفي ؟، كلوير .
  • هورن، ل. ، 2001. تاريخ طبيعي للنفي ، مطبعة جامعة شيكاغو .
  • جي إتش فون رايت ، 1953-1959، "في منطق النفي"، تعليقات الفيزياء والرياضيات 22 .
  • Wansing, Heinrich, 2001, "النفي"، في Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic ، Blackwell .
  • تيتامانتي، ماركو؛ مانينتي، روزا؛ ديلا روزا، باسكوالي أ؛ فاليني، أندريا؛ بيراني، دانييلا؛ كابا، ستيفانو F.؛ مورو، أندريا (2008). “النفي في الدماغ: تعديل تمثيل الفعل”. صورة عصبية . 43 (2): 358–367 . دوى : 10.1016/j.neuroimage.2008.08.004 . بميد 18771737 . S2CID 17658822 .  
جداول الحقيقة للجمل المركبة