الدورة (نظرية الأعداد)

في الرياضيات، وتحديدًا في نظرية الأعداد ، تُعرف الدورة أو الدورة الجبرية ^{[ 1 ]} بأنها عدد مركب يُمكن التعبير عنه كتكامل لدالة جبرية على مجال جبري . تُمثل الدورات فئة من الأعداد تشمل، إلى جانب الأعداد الجبرية، العديد من الثوابت الرياضية المعروفة مثل العدد π . تبقى مجاميع وحاصل ضرب الدورات دورات، بحيث تكون الدورات${\displaystyle {\mathcal {P}}}$شكّل حلقة .

قدم ماكسيم كونتسيفيتش ودون زاغير مسحًا للفترات الزمنية وعرضا بعض التخمينات حولها.

تلعب الدورات دورًا هامًا في نظرية المعادلات التفاضلية والأعداد المتسامية ، فضلًا عن المسائل المفتوحة في الهندسة الجبرية الحسابية الحديثة. ^{[ 2 ]} كما تظهر أيضًا عند حساب التكاملات الناتجة عن مخططات فاينمان ، وقد بُذلت جهود مكثفة لفهم هذه الروابط. ^{[ 3 ]}

رقم${\displaystyle \alpha }$تُعتبر دورة إذا أمكن التعبير عنها كتكامل من الشكل

${\displaystyle \alpha =\int _{P(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq 0}Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ \mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}}$

أين${\displaystyle P}$هي متعددة الحدود و${\displaystyle Q}$دالة كسرية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بمعاملات نسبية . ^{[ 1 ]} يكون العدد المركب دوريًا إذا كانت أجزاؤه الحقيقية والخيالية دورات.

يسمح تعريف بديل${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$أن تكون دوالًا جبرية ؛ يبدو هذا أكثر عمومية، ولكنه مكافئ. يمكن أيضًا تعميم معاملات الدوال الكسرية ومتعددات الحدود لتشمل الأعداد الجبرية لأن الأعداد الجبرية غير النسبية قابلة للتعبير عنها بدلالة مساحات المجالات المناسبة.

في الاتجاه الآخر،${\displaystyle Q}$يمكن تقييدها لتكون دالة ثابتة${\displaystyle 1}$أو${\displaystyle -1}$، وذلك باستبدال الدالة المراد تكاملها بتكامل لـ${\displaystyle \pm 1}$على منطقة محددة بواسطة متعددة الحدود في متغيرات إضافية.

بمعنى آخر، الفترة (غير السالبة) هي حجم منطقة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تُعرَّف بواسطة متباينات متعددة الحدود ذات معاملات نسبية. ^{[ 2 ] [ 4 ]}

تهدف الفترات إلى سد الفجوة بين الأعداد الجبرية المنتظمة ، التي تشكل فئة ضيقة للغاية بحيث لا تشمل العديد من الثوابت الرياضية الشائعة، والأعداد المتسامية ، التي لا يمكن عدها ويصعب وصفها باستثناء أمثلة محددة قليلة جدًا. كما أن هذه الأخيرة غير قابلة للحساب بشكل عام .

حلقة الفترات${\displaystyle {\mathcal {P}}}$يقع بين مجالات الأعداد الجبرية${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$والأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$(أي${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} \subset {\mathcal {P}}\subset \mathbb {C} }$) وقابلة للعد . ^{[ 5 ]} الفترات نفسها كلها قابلة للحساب، ^{[ 6 ]} وقابلة للتعريف على وجه الخصوص .

تتضمن الدورات بعض تلك الأعداد المتسامية، التي يمكن وصفها بطريقة خوارزمية ولا تحتوي إلا على كمية محدودة من المعلومات. ^{[ 2 ]}

الأرقام التالية من بين الأرقام المعروفة بأنها نقاط: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 7 ]}

رقم	مثال على التكامل الدوري
أي عدد جبري${\displaystyle \alpha }$.	${\displaystyle \alpha =\int _{0}^{\alpha }\mathrm {d} x}$
اللوغاريتم الطبيعي لأي عدد جبري موجب${\displaystyle \alpha >0}$.	${\displaystyle \ln(\alpha )=\int _{1}^{\alpha }{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x}$
الدوال المثلثية العكسية عند الأعداد الجبرية${\displaystyle \alpha }$في نطاق اختصاصهم .	${\displaystyle \arctan(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \mathrm {d} x}$
الدوال الزائدية العكسية عند الأعداد الجبرية${\displaystyle \alpha }$في نطاق اختصاصهم .	${\displaystyle {\text{artanh}}(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }{\frac {1}{1-x^{2}}}\ \mathrm {d} x}$
الرقم​${\displaystyle \pi }$.	${\displaystyle \pi =\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x}$
القيم الصحيحة لدالة زيتا لريمان${\displaystyle \zeta (s)}$ل${\displaystyle s\geq 2}$بالإضافة إلى العديد من قيم زيتا المتعددة . على وجه الخصوص: حتى القوى${\displaystyle \pi ^{2n}}$وثابت أبيري${\displaystyle \zeta (3)}$.	${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z}{1-xyz}}}$
القيم الصحيحة لدالة بيتا ديريشليه${\displaystyle \beta (s)}$. على وجه الخصوص: القوى الفردية${\displaystyle \pi ^{2n+1}}$وثابت كاتالان${\displaystyle G}$.	${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1+x^{2}y^{2}}}}$
قيم معينة لدالة كلاوسن${\displaystyle {\text{Cl}}_{2}(z)}$بمضاعفات نسبية لـ${\displaystyle \pi }$. على وجه الخصوص: ثابت جيزيكينج${\displaystyle {\text{Cl}}_{2}({\tfrac {1}{3}}\pi )}$.	${\displaystyle {\text{Cl}}_{2}({\tfrac {1}{3}}\pi )=2\int _{0}^{1}\int _{1}^{1+y}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{x{\sqrt {(1-y)(3+y)}}}}}$
القيم النسبية لدالة بوليغاما${\displaystyle \psi _{m}(z)}$ل${\displaystyle z\in \mathbb {Q} ^{+}}$في نطاق اختصاصها و${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$.	${\displaystyle \psi _{m}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {y^{z-1}}{1-y}}\left[\int _{1}^{y}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right]^{m}\,\mathrm {d} y}$
اللوغاريتم المتعدد${\displaystyle {\text{Li}}_{s}(\alpha )}$عند الأعداد الجبرية${\displaystyle \alpha }$في نطاق اختصاصها و${\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}$.	${\displaystyle {\text{Li}}_{2}(\alpha )=-\int _{0}^{\alpha }\int _{1}^{1-y}{\frac {1}{xy}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$
التكامل الظلي العكسي${\displaystyle {\text{Ti}}_{n}(\alpha )}$عند الأعداد الجبرية${\displaystyle \alpha }$في نطاق اختصاصها و${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$.	${\displaystyle {\text{Ti}}_{2}(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{y}{\frac {1}{y(1+x^{2})}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$
قيم التكاملات الإهليلجية ذات الحدود الجبرية. على وجه الخصوص: المحيط${\displaystyle P}$لقطع ناقص ذي أنصاف أقطار جبرية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$.	${\displaystyle P=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}x^{2}}{b^{4}-b^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x}$
العديد من الأرقام المتعلقة بدالتي جاما وبيتا ، مثل القيم${\displaystyle \Gamma (p/q)^{q}}$ل${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ^{+}}$و${\displaystyle \mathrm {B} ({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}})}$ل${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$. على وجه الخصوص: ثابت lemniscate${\displaystyle \varpi }$.	${\displaystyle \mathrm {B} \left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)=2n\int _{0}^{1}{\sqrt[{n}]{1-x^{n}}}\ \mathrm {d} x}$
القيم الخاصة للدوال فوق الهندسية عند الوسائط الجبرية.	${\displaystyle _{2}F_{1}(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}};{\tfrac {4}{3}};-1)={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1+x}}{x^{2/3}}}\mathrm {d} x}$
القيم الخاصة للأشكال النمطية عند وسائط معينة.	[ 2 ]
مجموع ونواتج الدورات.

العديد من الثوابت المعروفة بأنها دورات تُعطى أيضًا بتكاملات الدوال المتسامية . ويشير كونتسيفيتش وزاغير إلى أنه "لا يبدو أن هناك قاعدة عامة تفسر سبب كون بعض المجاميع أو التكاملات اللانهائية للدوال المتسامية دورات".

افترض كونتسيفيتش وزاغير أنه إذا تم تحديد دورة ما بواسطة تكاملين مختلفين، فإنه يمكن تحويل كل تكامل إلى الآخر باستخدام خطية التكاملات فقط (في كل من الدالة المراد تكاملها والمجال)، وتغييرات المتغيرات ، وصيغة نيوتن - لايبنيز.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)}$

(أو بشكل أكثر عمومية، صيغة ستوكس ).

من الخصائص المفيدة للأعداد الجبرية إمكانية تحديد المساواة بين تعبيرين جبريين باستخدام خوارزمية. ويشير حدس كونتسيفيتش وزاغير إلى إمكانية تحديد مساواة الدورات أيضًا: فعدم مساواة الأعداد الحقيقية القابلة للحساب معروفة بأنها قابلة للتعداد التكراري ؛ وعلى العكس ، إذا اتفق تكاملان، فيمكن لخوارزمية ما تأكيد ذلك بتجربة جميع الطرق الممكنة لتحويل أحدهما إلى الآخر.

تتضمن الأسئلة المفتوحة الأخرى إثبات أي الثوابت الرياضية المعروفة لا تنتمي إلى حلقة الدورات. مثال على عدد حقيقي ليس دورة هو ثابت تشايتين Ω . أي عدد آخر غير قابل للحساب يُعد أيضًا مثالًا على عدد حقيقي ليس دورة. من الممكن أيضًا إنشاء أمثلة اصطناعية لأعداد قابلة للحساب ليست دورات. ^{[ 8 ]} مع ذلك، لا توجد أعداد قابلة للحساب مثبتة أنها ليست دورات، لم يتم إنشاؤها اصطناعيًا لهذا الغرض.

يُفترض أن 1/ π، وعدد أويلر e ، وثابت أويلر-ماسكيروني γ ليست دورات. ^{[ 2 ]}

يشتبه كونتسيفيتش وزاغير في أن هذه المشاكل صعبة للغاية وستبقى قائمة لفترة طويلة.

يمكن توسيع نطاق الفترات ليشمل نطاق الفترات الممتدة${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}$عن طريق ضم العنصر 1/ π. ^{[ 2 ]}

السماح للجزء المتكامل${\displaystyle Q}$ينتج عن كون حاصل ضرب دالة جبرية وأسية دالة جبرية امتداد آخر: الفترات الأسية${\displaystyle {\mathcal {E}}{\mathcal {P}}}$[ ^{2 ] [ 4 ] [ 9 ]} كما أنها تشكل حلقة وهي قابلة للعد ^.${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}\subset {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {EP}}\subset \mathbb {C} }$.

الأرقام التالية من بين الأرقام المعروفة بأنها فترات أسية: ^{[ 2 ] [ 4 ] [ 10 ]}

رقم	مثال على التكامل الدوري الأسي
أي فترة جبرية${\displaystyle I\in {\mathcal {P}}}$
أرقام من الشكل${\displaystyle e^{\alpha }}$مع${\displaystyle \alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}}$. على وجه الخصوص: الرقم${\displaystyle e}$.	${\displaystyle e^{\alpha }=\int _{-\infty }^{\alpha }e^{x}\mathrm {d} x}$
الوظائف​${\displaystyle \sin(\alpha )}$و${\displaystyle \cos(\alpha )}$عند القيم الجبرية.	${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}\int _{-\alpha }^{\alpha }e^{ix}\mathrm {d} x}$
الوظائف​${\displaystyle \sinh(\alpha )}$و${\displaystyle \cosh(\alpha )}$عند القيم الجبرية.	${\displaystyle \sinh(\alpha )={\frac {1}{2}}\int _{-\alpha }^{\alpha }e^{x}\mathrm {d} x}$
القيم النسبية لدالة غاما${\displaystyle \Gamma (p/q)}$مع${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ^{+}}$. بخاصة:${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$.	${\displaystyle \Gamma (p/q)=\int _{0}^{\infty }x^{{\frac {p}{q}}-1}e^{-x}\mathrm {d} x}$
ثابت أويلر${\displaystyle \gamma }$والقيم النسبية الموجبة لدالة ديغاما${\displaystyle \psi _{0}(p/q)}$[ 11 ]​	${\displaystyle \gamma =-\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{y}{\frac {e^{-y}}{x}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$
القيم الجبرية للتكامل الأسي وثابت جومبيرتز${\displaystyle \delta }$.	${\displaystyle \delta =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+x}}e^{-x}\mathrm {d} x}$
القيم الجبرية لعدة تكاملات مثلثية .	${\displaystyle {\text{Si}}(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }\int _{-y}^{y}{\frac {e^{ix}}{2y}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$
قيم معينة لدوال بيسل .	[ 2 ]
مجموع وضرب الفترات الأسية.

• نظرية الأعداد المتسامية
• ثابت رياضي
• وظيفة L
• صنف جاكوبيان
• اتصال جاوس-مانين
• دوافع مختلطة (رياضيات)
• الشكلية التاناكية

• بلانيت ماث: الفترة