رمز ليفي-تشيفيتا

في الرياضيات ، وخاصة في الجبر الخطي وتحليل الموترات والهندسة التفاضلية ، يُمثل رمز ليفي-تشيفيتا أو إبسيلون ليفي-تشيفيتا مجموعة من الأعداد تُعرَّف من إشارة تبديل الأعداد الطبيعية $1، 2، ...، ن$ ، حيث ن عدد صحيح موجب $.$ سُمي هذا الرمز نسبةً إلى عالم الرياضيات والفيزياء الإيطالي توليو ليفي-تشيفيتا . ومن أسمائه الأخرى رمز التبديل ، والرمز المضاد للتناظر ، والرمز المتناوب ، والتي تُشير إلى خاصيته المضادة للتناظر وتعريفه بدلالة التبديلات.

تُستخدم الأحرف اليونانية الصغيرة إبسيلون $ε$ أو $ϵ$ ، أو الحرف اللاتيني الصغير $e$ بشكل أقل شيوعًا، للدلالة على رمز ليفي-تشيفيتا . يسمح ترميز الفهرس بعرض التباديل بطريقة متوافقة مع تحليل الموترات. $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$ حيث يأخذ كل فهرس $i1 ، i2 ، ...، in القيم$ 1 $،$ $2$ $،$ $...،$ $n$ $.$ $يوجد$ n $قيمة$ مفهرسة لـ $ε ، والتي$ يمكن ترتيبها في مصفوفة $n-$ بعدية. الخاصية الأساسية المميزة للرمز هي التناظر العكسي التام في الفهارس. عند تبديل أي فهرسين، سواء $كانا متساويين أم$ $لا$ ، يُنفى الرمز. $\varepsilon _{\dots i_{p}\dots i_{q}\dots }=-\varepsilon _{\dots i_{q}\dots i_{p}\dots }.$

إذا تساوى أي مؤشرين، يكون الرمز صفرًا. أما إذا كانت جميع المؤشرات غير متساوية، فسنحصل على: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{1\,2\,\dots n},$ حيث يُمثل $p$ (ويُسمى زوجية التبديل) عدد عمليات تبديل الفهارس الثنائية اللازمة لفك تشفير $i1،$ $i2 ، ... ، in إلى الترتيب$ 1 $، 2، ...، n$ ، ويُسمى العامل $(-1) p$ إشارة التبديل. يجب تحديد قيمة $ε12 ... n$ ، وإلا ستكون القيم المحددة للرمز لجميع التبديلات غير محددة. يختار معظم المؤلفين $ε12 ... n = +1$ ، مما يعني أن رمز ليفي-سيفيتا يُساوي إشارة التبديل عندما تكون جميع الفهارس غير متساوية. يُستخدم هذا الاختيار في جميع أنحاء هذه المقالة.

يشير مصطلح " رمز ليفي-سيفيتا $ذو$ البعد n" إلى حقيقة أن عدد المؤشرات على الرمز $n$ يتطابق مع بُعد الفضاء المتجهي المعني ، والذي قد يكون إقليديًا أو غير إقليدي ، على سبيل المثال، $\mathbb {R} ^{3}$ أو فضاء مينكوفسكي . قيم رمز ليفي-تشيفيتا مستقلة عن أي موتر متري أو نظام إحداثيات . كما أن مصطلح "رمز" يؤكد أنه ليس موترًا نظرًا لكيفية تحوله بين أنظمة الإحداثيات؛ ومع ذلك، يمكن تفسيره على أنه كثافة موتر .

يسمح رمز ليفي-سيفيتا بالتعبير عن محدد المصفوفة المربعة، والضرب الاتجاهي لمتجهين في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، باستخدام تدوين مؤشر أينشتاين .

تعريف

يُستخدم رمز ليفي-تشيفيتا في أغلب الأحيان في ثلاثة وأربعة أبعاد، وإلى حد ما في بعدين، لذلك يتم ذكر هذه هنا قبل تعريف الحالة العامة.

بعدين

في بُعدين ، يُعرَّف رمز ليفي-تشيفيتا كما يلي: $\varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{إذا كان }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{إذا كان }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{إذا كان }}i=j\end{cases}}$ يمكن ترتيب القيم في مصفوفة متناظرة عكسية 2 × 2 : ${\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

يُعد استخدام الرمز ثنائي الأبعاد شائعًا في المادة المكثفة، وفي بعض المواضيع المتخصصة عالية الطاقة مثل ^{التناظر} الفائق ^{[ 1 ]} ونظرية التويستور [ ^{2 ]} حيث يظهر في سياق 2- سبينورز .

الأبعاد الثلاثة

في ثلاثة أبعاد ، يتم تعريف رمز ليفي-تشيفيتا على النحو التالي: ^{[ 3 ]} $\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{إذا كان }}(i,j,k){\text{ هو }}(1,2,3),(2,3,1),{\text{ أو }}(3,1,2),\\-1&{\text{إذا كان }}(i,j,k){\text{ هو }}(3,2,1),(1,3,2),{\text{ أو }}(2,1,3),\\\;\;\,0&{\text{إذا كان }}i=j,{\text{ أو }}j=k,{\text{ أو }}k=i\end{cases}}$

أي أن $ε <sub>ijk$ </sub> تساوي $1$ إذا كان $(i, j, k)$ تبديلاً زوجياً للتبديل $(1, 2, 3)$ ، $وتساوي -1$ إذا كان تبديلاً فردياً ، وتساوي 0 إذا تكرر أي فهرس. في ثلاثة أبعاد فقط، تكون جميع التبديلات الدورية للتبديل $(1, 2, 3) تبديلات زوجية، وبالمثل، تكون جميع$ التبديلات المضادة للدورية تبديلات فردية. هذا يعني أنه في ثلاثة أبعاد، يكفي أخذ التبديلات الدورية أو المضادة للدورية للتبديل $(1, 2, 3)$ والحصول بسهولة على جميع التبديلات الزوجية أو الفردية.

على غرار المصفوفات ثنائية الأبعاد، يمكن ترتيب قيم رمز ليفي-سيفيتا ثلاثي الأبعاد في مصفوفة 3 × 3 × 3 :

حيث $i$ هو العمق ( أزرق : $i = 1$ ؛ أحمر : $i$ $= 2$ ؛ أخضر : $i$ $= 3$ )، $j$ هو الصف و $k$ هو العمود.

بعض الأمثلة: $\displaystyle \begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}}$

أربعة أبعاد

في أربعة أبعاد ، يُعرَّف رمز ليفي-تشيفيتا على النحو التالي: $\varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{إذا كان }}(i,j,k,l){\text{ تبديلاً زوجياً لـ }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{إذا كان }}(i,j,k,l){\text{ تبديلاً فردياً لـ }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{فيما عدا ذلك}}\end{cases}}$

يمكن ترتيب هذه القيم في مصفوفة 4 × 4 × 4 × 4 ، على الرغم من أن رسمها في 4 أبعاد أو أكثر أمر صعب.

بعض الأمثلة: ${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}$

التعميم إلى n بُعدًا

وبشكل أكثر عمومية، في $n$ أبعاد ، يتم تعريف رمز ليفي-سيفيتا على النحو التالي: ^{[ 4 ]} $\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

وبالتالي، فهي إشارة التبديل في حالة التبديل، وصفر في غير ذلك.

باستخدام رمز باي الكبير $Π$ للضرب العادي للأعداد، يكون التعبير الصريح للرمز كما يلي: ${\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}$ حيث تُعيد دالة الإشارة (المُشار إليها بـ $sgn$ ) إشارة مُدخلها مع تجاهل القيمة المطلقة إذا كانت غير صفرية. الصيغة صالحة لجميع قيم الفهرس، ولأي قيمة لـ $n$ (عندما $n = 0$ أو $n = 1$ ، يكون هذا هو حاصل الضرب الفارغ ). مع ذلك، $فإن$ حساب الصيغة أعلاه ببساطة يتطلب تعقيدًا زمنيًا قدره $O(n²)$ ، بينما يمكن حساب الإشارة من زوجية التبديل من دوراته المنفصلة بتكلفة $O(n log(n))$ فقط .

ملكيات

يُطلق أحيانًا على الموتر الذي تُعطى مكوناته في أساس متعامد بواسطة رمز ليفي-سيفيتا (موتر من الرتبة المتغيرة $n ) اسم$ موتر التبديل .

وفقًا لقواعد التحويل العادية للموترات، يبقى رمز ليفي-تشيفيتا ثابتًا تحت الدوران البحت، بما يتوافق مع كونه (بحكم التعريف) نفسه في جميع أنظمة الإحداثيات المرتبطة بتحويلات متعامدة. مع ذلك، يُعد رمز ليفي-تشيفيتا موترًا زائفًا، لأنه تحت تحويل متعامد بمحدد جاكوبي يساوي -1، كالانعكاس في عدد فردي من الأبعاد، كان من المفترض أن يكتسب إشارة سالبة لو كان موترًا. ولأنه لا يتغير إطلاقًا، فإن رمز ليفي-تشيفيتا، بحكم التعريف، هو موتر زائف.

بما أن رمز ليفي-سيفيتا هو موتر زائف، فإن نتيجة أخذ الضرب الاتجاهي هي متجه زائف ، وليس متجهًا. ^{[ 5 ]}

في ظل تغيير عام للإحداثيات ، تُضرب مركبات موتر التبديل بمصفوفة جاكوبي الخاصة بمصفوفة التحويل . وهذا يعني أنه في أنظمة إحداثيات مختلفة عن النظام الذي عُرِّف فيه الموتر، قد تختلف مركباته عن مركبات رمز ليفي-سيفيتا بمعامل إجمالي. إذا كان النظام متعامدًا، فسيكون المعامل ±1 اعتمادًا على ما إذا كان اتجاه النظام هو نفسه أم لا. ^{[ 5 ]}

في تدوين الموتر الخالي من الفهرس، يتم استبدال رمز ليفي-سيفيتا بمفهوم الثنائي هودج .

يمكن الاستغناء عن رموز الجمع باستخدام ترميز أينشتاين ، حيث يشير تكرار الفهرس بين حدين أو أكثر إلى الجمع على ذلك الفهرس. على سبيل المثال،

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}

.

في الأمثلة التالية، يتم استخدام ترميز أينشتاين.

بعدين

في بعدين، عندما تأخذ جميع قيم $i و j و m و n$ القيمتين 1 و 2: ^{[ 3 ]}

\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta _{i}}^{m}{\delta _{j}}^{n}-{\delta _{i}}^{n}{\delta _{j}}^{m}

1

\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}={\delta _{j}}^{n}

2

\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2.

3

الأبعاد الثلاثة

قيم الفهرس والرمز

في ثلاثة أبعاد، عندما تأخذ جميع $i و j و k و m و n و p و q القيم$ 1 و 2 و 3: ^{[ 3 ]}

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{pqk}=\delta _{i}{}^{p}\delta _{j}{}^{q}-\delta _{i}{}^{q}\delta _{j}{}^{p}

4

\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta _{j}}^{i}

5

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.

6

منتج

يرتبط رمز ليفي-تشيفيتا بدالة كرونكر دلتا . في ثلاثة أبعاد، تُعطى العلاقة بالمعادلات التالية (تشير الخطوط الرأسية إلى المحدد): ^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}

تحدث حالة خاصة من هذه النتيجة عندما يتم تكرار أحد المؤشرات وجمعها:

\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}

في تدوين أينشتاين، يشير تكرار المؤشر $i$ إلى المجموع على $i$ . ويُرمز إلى السابق حينها $بـ ε ijk ε imn = δ jm δ kn - δ jn δ km$ .

إذا تكرر مؤشران (وتم جمعهما)، فإن هذا يختزل إلى:

\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}

الأبعاد n

قيم الفهرس والرمز

في $n$ بُعد، عندما تأخذ جميع القيم $i 1 ، ... ، i n ، j 1 ، ... ، j n$ $القيم 1 ، 2 ، ... ، n$ :

\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}

7

\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=\delta _{i_{1}\ldots i_{k}~i_{k+1}\ldots i_{n}}^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\ldots j_{n}}=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}

8

\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!

9

حيث تشير علامة التعجب ( $!$ ) إلى المضروب ، و $δ α ... β ...$ هي دالة كرونكر دلتا المعممة . لأي قيمة $n$ ، تكون الخاصية

\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!

ويستنتج من الحقائق التالية

كل تبديل إما زوجي أو فردي،
$(+1) 2 = (-1) 2 = 1$ ، و
عدد التباديل لأي مجموعة مكونة من $n$ عنصرًا هو بالضبط $n!.$

الحالة الخاصة لـ ( 8 ) مع ${\textstyle k=n-2}$ يكون $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-2}jk}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n-2}lm}=(n-2)!(\delta _{j}^{l}\delta _{k}^{m}-\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{l})\,.$

منتج

بشكل عام، بالنسبة للأبعاد $n$ ، يمكن كتابة حاصل ضرب رمزين من رموز ليفي-تشيفيتا على النحو التالي: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}.$ البرهان: يتغير كلا الطرفين عند تبديل مؤشرين، لذلك دون فقدان للعمومية نفترض $i_{1}\leq \cdots \leq i_{n},j_{1}\leq \cdots \leq j_{n}$ إذا كان بعض $i_{c}=i_{c+1}$ إذن، يكون الجانب الأيسر صفرًا، والجانب الأيمن صفرًا أيضًا لأن صفين منه متساويان. وبالمثل بالنسبة لـ $j_{c}=j_{c+1}$ وأخيرًا، إذا $i_{1}<\cdots <i_{n},j_{1}<\cdots <j_{n}$ إذاً، كلا الجانبين يساوي 1.

البراهين

بالنسبة للمعادلة ( 1 )، يكون كلا الطرفين متناظرين عكسيًا بالنسبة لـ $ij$ و $mn$ . لذلك، يكفينا النظر في الحالة $i \neq j$ و $m \neq n$ . بالتعويض، نلاحظ أن المعادلة صحيحة لـ $ε 12 ε 12$ ، أي عندما $i = m = 1$ و $j = n = 2.$ (في هذه الحالة، يكون كلا الطرفين واحدًا). بما أن المعادلة متناظرة عكسيًا بالنسبة لـ $ij$ و $mn$ ، يمكن اختزال أي مجموعة من قيمهما إلى الحالة المذكورة أعلاه (وهي صحيحة). وبالتالي، فإن المعادلة صحيحة لجميع قيم $ij$ و $mn$ .

باستخدام ( 1 )، نحصل على ( 2 )

\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{i}{}^{i}\delta _{j}{}^{n}-\delta _{i}{}^{n}\delta _{j}{}^{i}=2\delta _{j}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}=\delta _{j}{}^{n}\,.

هنا استخدمنا اصطلاح جمع أينشتاين مع $i$ من 1 إلى 2. بعد ذلك، يتبع ( 3 ) بشكل مماثل من ( 2 ).

لإثبات ( 5 )، لاحظ أن كلا الطرفين يساويان صفرًا عندما $i \neq j$ . في الواقع، إذا كان $i \neq j$ ، فلا يمكن اختيار $m$ و $n$ بحيث يكون كلا رمزي التبديل على اليسار غير صفريين. عندئذٍ، مع تثبيت $i = j$ ، لا توجد سوى طريقتان لاختيار $m$ و $n$ من المؤشرين المتبقيين. لأي مؤشرين من هذا القبيل، لدينا

\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=\left(\varepsilon ^{imn}\right)^{2}=1

(بدون جمع)، والنتيجة تتبع ذلك.

ثم يتبع ( 6 ) لأن 3! = 6 ، ولأي مؤشرات مميزة $i و j و k$ تأخذ القيم 1 و 2 و 3 ، لدينا

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=1

(بدون جمع، قيم مميزة

i ، j ، k

)

التطبيقات والأمثلة

المحددات

في الجبر الخطي، يمكن كتابة محدد المصفوفة المربعة 3 × 3 $A$ $= [$ $a$ $ij$ $] على النحو التالي$ ^[⁶^]

\det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}

وبالمثل، يمكن كتابة محدد المصفوفة $A$ $= [$ $a$ $ij$ $]$ من الرتبة $n \times n على النحو التالي$ ^[⁵^]

\det(\mathbf {A} )=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}\dots a_{ni_{n}},

حيث يجب جمع كل $i r$ $على 1، ...، n$ ، أو ما يعادل ذلك:

\det(\mathbf {A} )={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\dots a_{i_{n}j_{n}},

حيث يجب الآن جمع كل $i r$ وكل $j r$ $على 1، ...، n$ . وبشكل أعم، لدينا المتطابقة ^{[ 5 ]}

\sum _{i_{1},i_{2},\dots }\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{i_{1}\,j_{1}}\dots a_{i_{n}\,j_{n}}=\det(\mathbf {A} )\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}

حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات

الضرب الاتجاهي (متجهان)

يترك $(\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} )$ $أساس$ متعامد موجب التوجه $لفضاء$ متجهي. إذا كانت $(a1$ $, a2, a3) و ($ b1 $, b2, b3)$ $هي$ $إحداثيات$ المتجهين a $و$ $b$ $في$ $هذا الأساس ، فيمكن كتابة$ ^حاصل ضربهما الاتجاهي كمحدد ^: [ ⁵ $]$

\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k}

وبالتالي استخدام رمز ليفي-تشيفيتا أيضًا، وبشكل أبسط:

(\mathbf {a\times b} )^{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.

في تدوين أينشتاين، يمكن حذف رموز الجمع، ويكون المكون $i$ من حاصل الضرب الاتجاهي مساوياً لـ ^{[ 4 ].}

(\mathbf {a\times b} )^{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.

المكون الأول هو

(\mathbf {a\times b} )^{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\,,

ثم من خلال التبديلات الدورية للأرقام 1 و2 و3، يمكن اشتقاق الأرقام الأخرى مباشرة، دون حسابها صراحة من الصيغ المذكورة أعلاه:

{\begin{aligned}(\mathbf {a\times b} )^{2}&=a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\,,\\(\mathbf {a\times b} )^{3}&=a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\,.\end{aligned}}

الضرب القياسي الثلاثي (ثلاثة متجهات)

من التعبير أعلاه للضرب الاتجاهي، نحصل على:

\mathbf {a\times b} =-\mathbf {b\times a}

.

إذا كان $c$ $= (c1, c2, c3)$ متجهًا ثالثًا، فإن حاصل $الضرب$ الثلاثي $القياسي$ يساوي

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.

يتضح من هذا التعبير أن الضرب الثلاثي القياسي يكون مضادًا للتناظر عند تبديل أي زوج من الوسائط. على سبيل المثال،

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a\times c} )

.

التفاف (حقل متجه واحد)

إذا كان $F = (F1, F2, F3)$ حقلًا متجهيًا معرفًا $على$ مجموعة مفتوحة $ما$ $من$ $\mathbb {R} ^{3}$ كدالة للموضع $x$ $= ($ ^x1 $,$ $x2$ $,$ $x3$ $)$ $($ باستخدام ^{الإحداثيات} الديكارتية ). عندئذٍ ، $يكون$ المكون $i$ لدوران F مساويًا $لـ$ $[$ ⁴ $]$ .

(\nabla \times \mathbf {F} )^{i}(\mathbf {x} )=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(\mathbf {x} ),

والذي يتبع من تعبير الضرب الاتجاهي أعلاه، مع استبدال مكونات عامل متجه التدرج (nabla).

كثافة الموتر

في أي نظام إحداثيات منحني عشوائي، وحتى في غياب مقياس على المتشعب ، يمكن اعتبار رمز ليفي-تشيفيتا، كما هو مُعرَّف أعلاه، حقل كثافة موتر بطريقتين مختلفتين. يمكن اعتباره كثافة موتر متغايرة من الوزن +1 أو كثافة موتر متغايرة من الوزن -1. في n بُعد باستخدام دلتا كرونكر المعممة، ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

{\begin{aligned}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}&=\delta _{\,1\,\dots \,n}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\,\\\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}&=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\,1\,\dots \,n}\,.\end{aligned}}

لاحظ أن هذه القيم متطابقة عددياً. وعلى وجه الخصوص، فإن الإشارة هي نفسها.

موترات ليفي-تشيفيتا

على مشعب شبه ريماني ، يمكن تعريف حقل موتر متغاير ثابت الإحداثيات، يتوافق تمثيله الإحداثي مع رمز ليفي-سيفيتا، حيثما يكون نظام الإحداثيات بحيث يكون أساس الفضاء المماسي متعامدًا بالنسبة للمقياس ويطابق اتجاهًا محددًا. يجب عدم الخلط بين هذا الموتر وحقل كثافة الموتر المذكور أعلاه. يتبع العرض في هذا القسم بشكل وثيق كارول 2004 .

الموتر المتغير ليفي-سيفيتا (المعروف أيضًا باسم شكل حجم ريمان ) في أي نظام إحداثيات يطابق التوجيه المحدد هو

E_{a_{1}\dots a_{n}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}\,,

حيث يمثل $g ab$ تمثيل المقياس في نظام الإحداثيات هذا. وبالمثل، يمكننا اعتبار موتر ليفي-سيفيتا المتغاير برفع المؤشرات بالمقياس كالمعتاد.

E^{a_{1}\dots a_{n}}=E_{b_{1}\dots b_{n}}\prod _{i=1}^{n}g^{a_{i}b_{i}}={\frac {1}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}},,

لكن لاحظ أنه إذا احتوى التوقيع المتري على عدد فردي من القيم الذاتية السالبة $q$ ، فإن إشارة مكونات هذا الموتر تختلف عن رمز ليفي-سيفيتا القياسي: ^{[ 9 ]}

E^{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} \left(\det[g_{ab}]\right)}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}},

حيث $sgn(det[g ab]) = (-1) q$ , $\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}$ هو رمز ليفي-تشيفيتا المعتاد الذي نناقشه في بقية هذه المقالة، وقد استخدمنا تعريف المحدد المتري في الاشتقاق. وبشكل أكثر تحديدًا، عندما يتم اختيار اتجاه الموتر والأساس بحيث ${\textstyle E_{01\dots n}=+{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$ لدينا ذلك $E^{01\dots n}={\frac {\operatorname {sgn}(\det[g_{ab}])}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$ .

ومن هذا يمكننا استنتاج الهوية،

E^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}E_{\mu _{1}\dots \mu _{p}\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}=(-1)^{q}p!\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}\,,

أين

\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}=(n-p)!\delta _{\beta _{1}}^{\lbrack \alpha _{1}}\dots \delta _{\beta _{n-p}}^{\alpha _{n-p}\rbrack }

هي دلتا كرونكر المعممة.

مثال: فضاء مينكوفسكي

في فضاء مينكوفسكي ( الزمكان رباعي الأبعاد للنسبية الخاصة )، يكون موتر ليفي-سيفيتا المتغير هو

E_{\alpha \beta \gamma \delta }=\pm {\sqrt {\left|\det[g_{\mu \nu }]\right|}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,,

حيث تعتمد الإشارة على اتجاه الأساس. موتر ليفي-سيفيتا المتغاير هو

E^{\alpha \beta \gamma \delta }=g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }E_{\zeta \eta \theta \iota }\,.

فيما يلي أمثلة على المتطابقة العامة المذكورة أعلاه والمخصصة لفضاء مينكوفسكي (مع الإشارة السالبة الناتجة عن العدد الفردي للقيم السالبة في توقيع موتر القياس في أي من اصطلاحات الإشارة):

{\begin{aligned}E_{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu }&=-g_{\alpha \zeta }g_{\beta \eta }g_{\gamma \theta }g_{\delta \iota }\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\zeta \eta \theta \iota }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E^{\rho \sigma \mu \nu }&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }\delta _{\zeta \eta \theta \iota }^{\rho \sigma \mu \nu }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\alpha \beta \gamma \delta }&=-24\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \beta \gamma \delta }&=-6\delta _{\rho }^{\alpha }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \gamma \delta }&=-\delta _{\rho \sigma }^{\alpha \beta }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \theta \delta }&=-\delta _{\rho \sigma \theta }^{\alpha \beta \gamma }\,.\end{aligned}}

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ لابيل، ب. (2010). التناظر الفائق : تبسيط. ماكجرو هيل. ص 57-58 . ISBN 978-0-07-163641-4.
↑ هادروفيتش، ف. "مقدمة في لعبة تويستر" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2015-04-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2013-09-03 .
1 2 3 تايلدسلي، ج. ر. (1973). مقدمة في تحليل الموترات: للمهندسين والعلماء التطبيقيين . لونغمان. ISBN 0-582-44355-5.
1 2 3 4 كاي، دي سي (1988). حساب التفاضل والتكامل الموتر . الخطوط العريضة لشوم. ماكجرو هيل. رقم ISBN 0-07-033484-6.
1 2 3 4 5 رايلي، ك. ف.؛ هوبسون، م. ب.؛ بينس، س. ج. (2010). الأساليب الرياضية للفيزياء والهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ ليبشوتز، س.؛ ليبسون، م. (2009). الجبر الخطي . سلسلة شوم ( الطبعة الرابعة). ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-154352-1.
↑ مورناغان، ف. د. (1925)، "رمز كرونكر المعمم وتطبيقه على نظرية المحددات"، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية ، 32 (5): 233-241 ، doi : 10.2307/2299191 ، JSTOR 2299191
↑ لوفلوك، ديفيد؛ روند، هانو (1989). الموترات، والصيغ التفاضلية، ومبادئ التباين . منشورات كوريير دوفر. ص 113. ISBN 0-486-65840-6.
↑ ناكاهارا، ميكيو (31 يناير 2017). الهندسة، والطوبولوجيا، والفيزياء ( الطبعة الثانية). بوكا راتون: مطبعة سي آر سي. doi : 10.1201/9781315275826 . ISBN 978-1-315-27582-6.

مراجع

ميسنر، سي.؛ ثورن، ك. س.؛ ويلر، ج. أ. (1973). الجاذبية . دبليو. إتش . فريمان وشركاه. الصفحات 85-86 ، §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
نوينشفاندر، دي إي (2015). حساب التفاضل والتكامل الموتر للفيزياء . مطبعة جامعة جونز هوبكنز. ص 11، 29، 95. ISBN 978-1-4214-1565-9.
كارول، شون م. (2019) [2003]. الزمكان والهندسة: مقدمة في النسبية العامة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-108-48839-6.

روابط خارجية

تتضمن هذه المقالة مواد من رمز التبديل ليفي-سيفيتا على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .

وايسشتاين، إريك دبليو. “موتر التقليب” . عالم الرياضيات .

[1] لابيل، ب. (2010). التناظر الفائق : تبسيط. ماكجرو هيل. ص 57-58 . ISBN 978-0-07-163641-4.

[2] هادروفيتش، ف. "مقدمة في لعبة تويستر" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2015-04-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2013-09-03 .

[Tyldesley-3] 1 2 3 تايلدسلي، ج. ر. (1973). مقدمة في تحليل الموترات: للمهندسين والعلماء التطبيقيين . لونغمان. ISBN 0-582-44355-5.

[Kay-4] 1 2 3 4 كاي، دي سي (1988). حساب التفاضل والتكامل الموتر . الخطوط العريضة لشوم. ماكجرو هيل. رقم ISBN 0-07-033484-6.

[Riley_et_al-5] 1 2 3 4 5 رايلي، ك. ف.؛ هوبسون، م. ب.؛ بينس، س. ج. (2010). الأساليب الرياضية للفيزياء والهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-86153-3.

[6] ليبشوتز، س.؛ ليبسون، م. (2009). الجبر الخطي . سلسلة شوم ( الطبعة الرابعة). ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-154352-1.

[7] مورناغان، ف. د. (1925)، "رمز كرونكر المعمم وتطبيقه على نظرية المحددات"، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية ، 32 (5): 233-241 ، doi : 10.2307/2299191 ، JSTOR 2299191

[8] لوفلوك، ديفيد؛ روند، هانو (1989). الموترات، والصيغ التفاضلية، ومبادئ التباين . منشورات كوريير دوفر. ص 113. ISBN 0-486-65840-6.

[9] ناكاهارا، ميكيو (31 يناير 2017). الهندسة، والطوبولوجيا، والفيزياء ( الطبعة الثانية). بوكا راتون: مطبعة سي آر سي. doi : 10.1201/9781315275826 . ISBN 978-1-315-27582-6.

التناظر

[ 1 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗