مصفوفة الكثافة

في ميكانيكا الكم ، تُستخدم مصفوفة الكثافة (أو مؤثر الكثافة ) لحساب احتمالات نتائج القياسات التي تُجرى على الأنظمة الفيزيائية . ^{[ 1 ]} وهي تعميم لمتجهات الحالة أو الدوال الموجية : فبينما لا تستطيع هذه الأخيرة تمثيل سوى الحالات النقية ، تستطيع مصفوفات الكثافة تمثيل مجموعات مختلطة من الحالات. ^{[ 2 ] : 73 [ 3 ] : 100} وتظهر هذه المصفوفات في ميكانيكا الكم في حالتين مختلفتين:

1. عندما يمكن أن ينتج عن تحضير نظام ما حالات نقية مختلفة بشكل عشوائي، وبالتالي يجب التعامل مع إحصائيات مجموعة التحضيرات الممكنة؛
2. عندما نرغب في وصف نظام فيزيائي متشابك مع نظام آخر، دون وصف حالتهما المدمجة. هذه الحالة نموذجية لنظام يتفاعل مع بيئة ما (مثل فقدان الترابط ). في هذه الحالة، تختلف مصفوفة الكثافة لنظام متشابك عن مصفوفة الكثافة لمجموعة من الحالات النقية التي، عند دمجها، تعطي نفس النتائج الإحصائية عند القياس.

وبالتالي فإن مصفوفات الكثافة هي أدوات حاسمة في مجالات ميكانيكا الكم التي تتعامل مع الحالات المختلطة (لا ينبغي الخلط بينها وبين الحالات المتراكبة )، مثل ميكانيكا الكم الإحصائية ، وأنظمة الكم المفتوحة ، ومعلومات الكم .

مصفوفة الكثافة هي تمثيل لمؤثر خطي يُسمى مؤثر الكثافة . تُستخلص مصفوفة الكثافة من مؤثر الكثافة باختيار أساس متعامد في الفضاء الأساسي. ^{[ 4 ]} عمليًا، يُستخدم مصطلحا مصفوفة الكثافة ومؤثر الكثافة غالبًا بشكل متبادل.

اختر أساسًا مع الولايات${\displaystyle |0\rangle }$،${\displaystyle |1\rangle }$في فضاء هيلبرت ثنائي الأبعاد ، يتم تمثيل عامل الكثافة بواسطة المصفوفة $${\displaystyle (\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)}$$ حيث تكون العناصر القطرية أعدادًا حقيقية مجموعها يساوي واحدًا (وتسمى أيضًا عدد سكان الولايتين).${\displaystyle |0\rangle }$،${\displaystyle |1\rangle }$العناصر غير القطرية هي مرافقات معقدة لبعضها البعض (وتسمى أيضًا التماسك)؛ وهي مقيدة في قيمتها بالشرط التالي:${\displaystyle (\rho _{ij})}$ليكن عاملًا شبه محدد موجبًا ، انظر أدناه.

مؤثر الكثافة هو مؤثر شبه موجب ، ذاتي الترافق، أثره يساوي واحدًا ، ويعمل على فضاء هيلبرت للنظام. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} يمكن تبرير هذا التعريف بالنظر إلى حالة توجد فيها بعض الحالات النقية${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$(التي ليست بالضرورة متعامدة) يتم إعدادها باحتمالية${\displaystyle p_{j}}$كل منها. ^{[ 8 ]} يُعرف هذا باسم مجموعة من الحالات النقية. احتمال الحصول على نتيجة قياس إسقاطي${\displaystyle m}$عند استخدام أجهزة العرض${\displaystyle \Pi _{m}}$يُعطى بواسطة ^{[ 3 ] : 99}$${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle ,}$$ والتي يمكن إثبات أنها تساوي $${\displaystyle p(m)=\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right].}$$ وبالتالي، فإن عامل الكثافة ، المعرّف على النحو التالي $${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,}$$ يمثل هذا تمثيلاً مناسباً لحالة هذه المجموعة. هذا المؤثر شبه موجب، وذاتي الترافق، وله أثر يساوي واحد. وبالعكس، يترتب من نظرية الطيف أن كل مؤثر بهذه الخصائص يمكن كتابته على النحو التالي:${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$بالنسبة لبعض الولايات${\displaystyle \left|\psi _{j}\right\rangle }$والمعاملات${\displaystyle p_{j}}$الأعداد غير السالبة التي مجموعها يساوي واحدًا. ^{[ 9 ] [ 3 ] : 102} ومع ذلك، لن يكون هذا التمثيل فريدًا، كما هو موضح في نظرية شرودنغر-HJW .

ثمة دافع آخر لتعريف مؤثرات الكثافة، وهو النظر في القياسات المحلية على الحالات المتشابكة.${\displaystyle |\Psi \rangle }$ليكن حالة متشابكة نقية في فضاء هيلبرت المركب${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$احتمالية الحصول على نتيجة القياس${\displaystyle m}$عند قياس أجهزة العرض${\displaystyle \Pi _{m}}$في مساحة هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$وحده معطى بواسطة ^{[ 3 ] : 107}$${\displaystyle p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle ,}$$ والتي تصبح بعد المعالجة الجبرية $${\displaystyle p(m)=\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],}$$ أين${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$يشير إلى الأثر الجزئي على فضاء هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$وهذا يجعل المشغل $${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$$ أداة ملائمة لحساب احتمالات هذه القياسات المحلية. يتمتع هذا المؤثر بجميع خصائص مؤثر الكثافة، ويُعرف باسم مصفوفة الكثافة المختزلة لـ${\displaystyle |\Psi \rangle }$في النظام الفرعي 1. وعلى العكس من ذلك، تنص نظرية شرودنغر-هاميلتون-جونز-ويليامز على أنه يمكن كتابة جميع معاملات الكثافة على النحو التالي:${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$بالنسبة لبعض الولايات${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }$.

الحالة الكمومية النقية هي حالة لا يمكن كتابتها كمزيج احتمالي، أو توليفة محدبة ، من حالات كمومية أخرى. ^{[ 7 ]} توجد عدة توصيفات مكافئة للحالات النقية في لغة مؤثرات الكثافة. ^{[ 2 ] : 73} يمثل مؤثر الكثافة حالة نقية إذا وفقط إذا:

• يمكن كتابتها كحاصل ضرب خارجي لمتجه حالة${\displaystyle |\psi \rangle }$مع نفسه، أي$${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$$
• إنه إسقاط ، وخاصة من الرتبة الأولى.
• إنها متطابقة ، أي$${\displaystyle \rho =\rho ^{2}.}$$
• أي أن نقاوته واحدة.$${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.}$$

من المهم التأكيد على الفرق بين مزيج احتمالي (أي مجموعة) من الحالات الكمومية وتراكب حالتين . إذا تم تحضير مجموعة بحيث يكون نصف أنظمتها في الحالة${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$والنصف الآخر في${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ويمكن وصفها بواسطة مصفوفة الكثافة:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

أين${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$و${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$يُفترض أن تكون متعامدة وذات بُعد 2، تبسيطًا للأمر. من ناحية أخرى، ينتج عن التراكب الكمومي لهاتين الحالتين بسعات احتمالية متساوية الحالة النقية.${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$مع مصفوفة الكثافة

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

بخلاف الخليط الاحتمالي، يمكن لهذا التراكب أن يُظهر تداخلًا كميًا . ^{[ 3 ] : 81}

هندسيًا، تُعدّ مجموعة مؤثرات الكثافة مجموعة محدبة ، والحالات النقية هي النقاط القصوى لتلك المجموعة. أبسط حالة هي حالة فضاء هيلبرت ثنائي الأبعاد، المعروف باسم الكيوبت . يمكن كتابة أي حالة مختلطة للكيوبت كمزيج خطي من مصفوفات باولي ، والتي تُشكّل مع مصفوفة الوحدة أساسًا لـ${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات ذاتية الترافق : ^{[ 10 ] : 126}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

حيث الأعداد الحقيقية${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$هي إحداثيات نقطة داخل كرة الوحدة و

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

نقاط مع${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$تمثل الحالات النقية، بينما تمثل الحالات المختلطة بنقاط في الداخل. يُعرف هذا باسم صورة كرة بلوخ لفضاء حالة الكيوبت.

مثال: استقطاب الضوء

من الأمثلة على الحالات النقية والمختلطة استقطاب الضوء . يمكن وصف الفوتون الواحد بأنه ذو استقطاب دائري يميني أو يساري ، ويتم وصف ذلك بواسطة الحالات الكمومية المتعامدة.${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$و${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$أو تراكب الاثنين: يمكن أن يكون في أي حالة${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$(مع${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$) المقابلة للاستقطاب الخطي أو الدائري أو الإهليلجي . لنفترض الآن فوتونًا مستقطبًا رأسيًا، موصوفًا بالحالة${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$إذا مررناه عبر مستقطب دائري يسمح فقط بأحد الخيارين${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$الضوء المستقطب، أو فقط${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$في الضوء المستقطب، يتم امتصاص نصف الفوتونات في كلتا الحالتين. قد يُوحي هذا بأن نصف الفوتونات في حالة استقطاب.${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$والنصف الآخر في الولاية${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$لكن هذا غير صحيح: إذا مررنا${\displaystyle (|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$لا يحدث امتصاص على الإطلاق عند تمرير الضوء عبر مستقطب خطي ، ولكن إذا مررنا بأي من الحالتين${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$أو${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$يتم امتصاص نصف الفوتونات.

لا يمكن وصف الضوء غير المستقطب (مثل الضوء المنبعث من مصباح متوهج ) بأنه أي حالة من حالات الشكل${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$(استقطاب خطي، أو دائري، أو بيضاوي). على عكس الضوء المستقطب، يمر الضوء غير المستقطب عبر مستقطب مع فقدان 50% من شدته بغض النظر عن اتجاه المستقطب؛ ولا يمكن استقطابه بتمريره عبر أي صفيحة موجية . مع ذلك، يمكن وصف الضوء غير المستقطب بأنه مجموعة إحصائية، على سبيل المثال، كل فوتون له إما${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$الاستقطاب أو${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$الاستقطاب باحتمالية 1/2. سيحدث السلوك نفسه إذا كان لكل فوتون استقطاب رأسي.${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$أو الاستقطاب الأفقي${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$باحتمالية 1/2. لا يمكن التمييز بين هاتين المجموعتين تجريبياً، ولذلك تُعتبران حالة مختلطة واحدة. في هذا المثال للضوء غير المستقطب، يساوي معامل الكثافة ^{[ 2 ] : 75}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

توجد أيضًا طرق أخرى لتوليد ضوء غير مستقطب: إحدى هذه الطرق هي إدخال عنصر عدم اليقين في تحضير الفوتون، على سبيل المثال، تمريره عبر بلورة ثنائية الانكسار ذات سطح خشن، بحيث تكتسب أجزاء مختلفة قليلاً من شعاع الضوء استقطابات مختلفة. وثمة طريقة أخرى تتمثل في استخدام الحالات المتشابكة: إذ يمكن أن يُصدر الاضمحلال الإشعاعي فوتونين يسيران في اتجاهين متعاكسين، في الحالة الكمومية.${\displaystyle (|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}}$تكون الحالة المشتركة للفوتونين نقية، لكن مصفوفة الكثافة لكل فوتون على حدة، والتي تُحسب بأخذ الأثر الجزئي لمصفوفة الكثافة المشتركة، تكون مختلطة تمامًا. ^{[ 3 ] : 106}

لا يُحدد مُؤثر الكثافة المُعطى بشكلٍ فريد أي مجموعة من الحالات النقية تُنتجه؛ فعمومًا، هناك عدد لا نهائي من المجموعات المختلفة التي تُولد مصفوفة الكثافة نفسها. ^{[ 11 ]} ولا يُمكن التمييز بينها بأي قياس. ^{[ 12 ]} يُمكن توصيف المجموعات المُكافئة توصيفًا كاملًا: ليكن${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$ليكن مجموعة. إذن لأي مصفوفة مركبة${\displaystyle U}$بحيث${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$( تماثل جزئي )، المجموعة${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$محدد بواسطة

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

سيؤدي ذلك إلى نفس عامل الكثافة، وجميع المجموعات المتكافئة تكون من هذا الشكل.

ومن الحقائق ذات الصلة الوثيقة أن لمؤثر الكثافة المعطى عددًا لا نهائيًا من عمليات التنقية المختلفة ، وهي حالات نقية تولد مؤثر الكثافة عند أخذ أثر جزئي.

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

ليكن عامل الكثافة الناتج عن المجموعة${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$، مع الولايات${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ليس بالضرورة متعامدًا. إذن، بالنسبة لجميع التماثلات الجزئية${\displaystyle U}$لدينا ذلك

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

هو تنقية لـ${\displaystyle \rho }$، أين${\displaystyle |a_{j}\rangle }$هو أساس متعامد، وعلاوة على ذلك جميع عمليات تنقية${\displaystyle \rho }$وهي من هذا الشكل.

يترك${\displaystyle A}$ليكن متغيرًا قابلًا للملاحظة للنظام، ولنفترض أن المجموعة في حالة مختلطة بحيث تكون كل حالة من الحالات النقية${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$يحدث باحتمالية${\displaystyle p_{j}}$ثم يساوي عامل الكثافة المقابل

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

يمكن حساب القيمة المتوقعة للقياس عن طريق التوسع من حالة الحالات النقية:

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

أين${\displaystyle \operatorname {tr} }$يشير إلى الأثر . وبالتالي، فإن التعبير المألوف${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$يتم استبدال الحالات النقية بـ

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

بالنسبة للولايات المختلطة. ^{[ 2 ] : 73}

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle A}$يتمتع بدقة طيفية

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

أين${\displaystyle P_{i}}$هو عامل الإسقاط في الفضاء الذاتي المقابل للقيمة الذاتية${\displaystyle a_{i}}$، يتم إعطاء عامل الكثافة بعد القياس بواسطة ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

عند الحصول على النتيجة i . في حالة عدم معرفة نتيجة القياس، يتم وصف المجموعة بدلاً من ذلك بواسطة

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

إذا افترضنا أن احتمالات نتائج القياس هي دوال خطية للمسقطات${\displaystyle P_{i}}$إذاً، يجب أن تُعطى هذه القيم بأثر المسقط مع مؤثر الكثافة. تُبين نظرية غليسون أنه في فضاءات هيلبرت ذات البعد 3 أو أكبر، يمكن استبدال افتراض الخطية بافتراض عدم السياقية . ^{[ 15 ]} يمكن إزالة هذا القيد على البعد بافتراض عدم السياقية لـ POVMs أيضًا، ^{[ 16 ] [ 17 ]} ولكن هذا الأمر وُوجه بانتقادات لعدم وجود أساس فيزيائي له. ^{[ 18 ]}

إنتروبيا فون نيومان${\displaystyle S}$يمكن التعبير عن خصائص الخليط بدلالة القيم الذاتية لـ${\displaystyle \rho }$أو بدلالة أثر ولوغاريتم عامل الكثافة${\displaystyle \rho }$. منذ${\displaystyle \rho }$هو مؤثر شبه موجب، وله تحليل طيفي بحيث${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$، أين${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$هي متجهات متعامدة،${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$، و${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$ثم إنتروبيا نظام كمومي ذي مصفوفة كثافة${\displaystyle \rho }$يكون

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

يشير هذا التعريف إلى أن إنتروبيا فون نيومان لأي حالة نقية تساوي صفرًا. ^{[ 19 ] : 217} إذا${\displaystyle \rho _{i}}$إذا كانت الحالات التي لها دعم على الفضاءات الفرعية المتعامدة، فإن إنتروبيا فون نيومان لمجموعة محدبة من هذه الحالات،

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

يتم تحديدها بواسطة إنتروبيا فون نيومان للحالات${\displaystyle \rho _{i}}$وإنتروبيا شانون لتوزيع الاحتمالية${\displaystyle p_{i}}$:

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

عندما تكون الولايات${\displaystyle \rho _{i}}$إذا لم يكن للمصفوفات دعامات متعامدة، فإن المجموع على الجانب الأيمن يكون أكبر تمامًا من إنتروبيا فون نيومان للتركيبة المحدبة.${\displaystyle \rho }$[ ^{3 ] : 518​}

بالنظر إلى عامل الكثافة${\displaystyle \rho }$وقياس إسقاطي كما في القسم السابق، الدولة${\displaystyle \rho '}$مُعرَّف بواسطة التركيبة المحدبة

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

والتي يمكن تفسيرها على أنها الحالة الناتجة عن إجراء القياس دون تسجيل النتيجة التي حدثت، ^{[ 10 ] : 159} لها إنتروبيا فون نيومان أكبر من إنتروبيا فون نيومان لـ${\displaystyle \rho }$إلا إذا${\displaystyle \rho =\rho '}$ومع ذلك، من الممكن أن${\displaystyle \rho '}$ينتج عن القياس المعمم ، أو POVM ، أن يكون له إنتروبيا فون نيومان أقل من${\displaystyle \rho }$[ ^{3 ] : 514​}

كما تصف معادلة شرودنغر كيفية تطور الحالات النقية مع الزمن، تصف معادلة فون نيومان (المعروفة أيضًا باسم معادلة ليوفيل-فون نيومان ) كيفية تطور مؤثر الكثافة مع الزمن. وتنص معادلة فون نيومان على ما يلي ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho =[H,\rho ]~,}$

حيث تشير الأقواس إلى المبدل .

لا تصح هذه المعادلة إلا عندما يتم اعتبار عامل الكثافة في صورة شرودنغر ، على الرغم من أن هذه المعادلة تبدو للوهلة الأولى وكأنها تحاكي معادلة هايزنبرغ للحركة في صورة هايزنبرغ ، مع اختلاف جوهري في الإشارة:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}=-[H_{\text{H}},A_{\text{H}}]~,}$

أين${\displaystyle A_{\text{H}}(t)}$هو أحد عوامل صورة هايزنبرغ ؛ ولكن في هذه الصورة، لا تعتمد مصفوفة الكثافة على الزمن ، وتضمن الإشارة النسبية أن المشتق الزمني للقيمة المتوقعة${\displaystyle \langle A\rangle }$^{[ 7 ]} النتيجة هي نفسها كما في صورة شرودنغر .

إذا كان الهاميلتوني مستقلاً عن الزمن، فيمكن حل معادلة فون نيومان بسهولة للحصول على

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

بالنسبة لهاملتونيان أكثر عمومية، إذا${\displaystyle G(t)}$إذا كان لدينا مُوَصِّل دالة الموجة على فترة زمنية معينة، فإن التطور الزمني لمصفوفة الكثافة على نفس الفترة الزمنية يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

إذا دخل المرء في صورة التفاعل ، يختار التركيز على أحد المكونات${\displaystyle H_{1}}$من الهاميلتوني${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}}$، معادلة تطور عامل كثافة صورة التفاعل${\displaystyle \rho _{\,\mathrm {I} }(t)}$يمتلك بنية مطابقة لمعادلة فون نيومان، باستثناء أنه يجب أيضًا تحويل الهاميلتوني إلى الصورة الجديدة:

${\displaystyle {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}}$

أين${\displaystyle {\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }H_{1}e^{-iH_{0}t/\hbar }}}$.

يمكن أيضًا تمثيل مؤثر مصفوفة الكثافة في فضاء الطور . في ظل تحويل ويغنر ، تتحول مصفوفة الكثافة إلى دالة ويغنر المكافئة .

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

إن معادلة التطور الزمني لدالة ويغنر، والمعروفة باسم معادلة مويال ، هي تحويل ويغنر لمعادلة فون نيومان المذكورة أعلاه.

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

أين${\displaystyle H(x,p)}$هو الهاميلتوني، و${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$هو قوس مويال ، وهو تحويل المبدل الكمي .

تكون معادلة تطور دالة ويغنر مماثلة لمعادلة حدها الكلاسيكي، وهي معادلة ليوفيل في الفيزياء الكلاسيكية . في حالة انعدام ثابت بلانك${\displaystyle \hbar }$،${\displaystyle W(x,p,t)}$يختزل إلى دالة كثافة الاحتمال الكلاسيكية لليوفيل في فضاء الطور .

تُعدّ مصفوفات الكثافة أداة أساسية في ميكانيكا الكم، وتظهر بشكل متقطع في جميع أنواع حسابات ميكانيكا الكم تقريبًا. وفيما يلي بعض الأمثلة المحددة التي تكون فيها مصفوفات الكثافة مفيدة وشائعة الاستخدام:

• تستخدم الميكانيكا الإحصائية مصفوفات الكثافة، وخاصة للتعبير عن فكرة تحضير النظام عند درجة حرارة غير صفرية. ويؤدي بناء مصفوفة الكثافة باستخدام مجموعة متعارف عليها إلى نتيجة على الشكل التالي:${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$، أين${\displaystyle \beta }$هي درجة الحرارة المعكوسة${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$و${\displaystyle H}$هو هاميلتونيان النظام. شرط التطبيع الذي يكون فيه أثر${\displaystyle \rho }$إن كون القيمة تساوي 1 يحدد دالة التقسيم على النحو التالي:${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$إذا لم يكن عدد الجسيمات المشاركة في النظام مؤكدًا، فيمكن تطبيق مجموعة إحصائية كبرى ، حيث تُستمد الحالات التي جُمعت لتكوين مصفوفة الكثافة من فضاء فوك . ^{[ 23 ] : 174}
• تتضمن نظرية التفكك الكمومي عادةً أنظمة كمومية غير معزولة تُطوّر تشابكًا مع أنظمة أخرى، بما في ذلك أجهزة القياس. تُسهّل مصفوفات الكثافة وصف العملية وحساب نتائجها. يُفسّر التفكك الكمومي سبب انتقال نظام يتفاعل مع بيئة من حالة نقية، تُظهر تراكبات، إلى حالة مختلطة، وهي مزيج غير متماسك من البدائل الكلاسيكية. هذا الانتقال قابل للانعكاس جوهريًا، لأن الحالة المُدمجة للنظام والبيئة تظل نقية، ولكنه عمليًا غير قابل للانعكاس، لأن البيئة نظام كمومي كبير ومعقد للغاية، وليس من الممكن عكس تفاعلهما. لذا، يُعدّ التفكك الكمومي بالغ الأهمية لتفسير الحد الكلاسيكي لميكانيكا الكم، ولكنه لا يُفسّر انهيار الدالة الموجية، لأن جميع البدائل الكلاسيكية لا تزال موجودة في الحالة المختلطة، ولا يختار انهيار الدالة الموجية سوى واحد منها. ^{[ 24 ]}
• وبالمثل، في الحوسبة الكمومية ، ونظرية المعلومات الكمومية ، والأنظمة الكمومية المفتوحة ، وغيرها من المجالات التي تتسم فيها عملية تحضير الحالة بالتشويش وإمكانية حدوث فقدان الترابط الكمومي، تُستخدم مصفوفات الكثافة بشكل متكرر. غالبًا ما يتم نمذجة التشويش عبر قناة إزالة الاستقطاب أو قناة تخميد السعة . التصوير المقطعي الكمومي هو عملية يتم من خلالها، بالنظر إلى مجموعة من البيانات التي تمثل نتائج القياسات الكمومية، حساب مصفوفة كثافة تتوافق مع نتائج تلك القياسات. ^{[ 25 ] [ 26 ]}
• عند تحليل نظام يحتوي على العديد من الإلكترونات، مثل الذرة أو الجزيء ، فإن التقريب الأولي غير الكامل ولكنه مفيد هو اعتبار الإلكترونات غير مترابطة أو أن لكل منها دالة موجية مستقلة. هذه هي نقطة البداية المعتادة عند بناء محدد سلاتر في طريقة هارتري-فوك .${\displaystyle N}$الإلكترونات تملأ${\displaystyle N}$دوال الموجة للجسيم الواحد${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$وإذا اقتصر الأمر على رصد الجسيمات المفردة فقط، فإن قيمها المتوقعة لـ${\displaystyle N}$يمكن حساب نظام الإلكترونات باستخدام مصفوفة الكثافة${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$( مصفوفة كثافة الجسيمات المفردة لـ${\displaystyle N}$نظام الإلكترونات). ^{[ 27 ]}

من المقبول عمومًا الآن أن وصف ميكانيكا الكم الذي تُمثل فيه جميع المؤثرات ذاتية الترافق الكميات القابلة للرصد غير مقبول. ^{[ 28 ] [ 29 ]} لهذا السبب، تُعرَّف الكميات القابلة للرصد بعناصر جبر C* مجرد A (أي جبر بدون تمثيل مميز كجبر للمؤثرات)، وتُعرَّف الحالات بأنها دوال خطية موجبة على A. مع ذلك، باستخدام بناء GNS ، يمكننا استعادة فضاءات هيلبرت التي تُجسد A كجبر فرعي للمؤثرات.

هندسياً، الحالة النقية على جبر C* -A هي حالة تمثل نقطة قصوى لمجموعة جميع الحالات على A. وبحسب خصائص بناء GNS، فإن هذه الحالات تتوافق مع التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ A.

تتوافق حالات الجبر C* للمؤثرات المدمجة K ( H ) تمامًا مع مؤثرات الكثافة، وبالتالي فإن الحالات النقية لـ K ( H ) هي بالضبط الحالات النقية بمعنى ميكانيكا الكم.

يمكن ملاحظة أن الصيغة الجبرية C* تشمل الأنظمة الكلاسيكية والكمومية على حد سواء. عندما يكون النظام كلاسيكيًا، يصبح جبر الكميات القابلة للرصد جبرًا تبديليًا C*. في هذه الحالة، تصبح الحالات مقاييس احتمالية.

طُوِّر هذا الشكل الرسمي للمؤثرات والمصفوفات عام 1927 على يد جون فون نيومان ^{[ 30 ]} ، وبشكل مستقل، ولكن بشكل أقل منهجية، على يد ليف لانداو ^{[ 31 ]} ، ولاحقًا عام 1946 على يد فيليكس بلوخ ^{[ 32 ]} . قدّم فون نيومان المصفوفة لتطوير كلٍّ من الميكانيكا الإحصائية الكمومية ونظرية القياسات الكمومية. أُدخل مصطلح الكثافة على يد ديراك عام 1931 عندما استخدم مؤثر فون نيومان لحساب سحب كثافة الإلكترونات ^{[ 33 ] [ 34 ] .}

في الوقت الحاضر، اكتسب مصطلح "مصفوفة الكثافة" أهمية خاصة به، ويتوافق مع مقياس احتمالية فضاء الطور الكلاسيكي (توزيع احتمالية الموضع والزخم) في الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية ، والذي قدمه يوجين ويجنر في عام 1932. ^{[ 5 ]}

في المقابل، كان الدافع الذي ألهم لاندو هو استحالة وصف نظام فرعي من نظام كمي مركب بواسطة متجه حالة. ^{[ 31 ]}