معادلة بواسون

معادلة بواسون هي معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية ذات فائدة واسعة في الفيزياء النظرية . على سبيل المثال، حل معادلة بواسون هو المجال المحتمل الناتج عن شحنة كهربائية معينة أو توزيع كثافة الكتلة؛ ومع معرفة المجال المحتمل، يمكن للمرء بعد ذلك حساب المجال الكهروستاتيكي أو مجال الجاذبية (القوة) المقابل. إنها تعميم لمعادلة لابلاس ، والتي تُرى أيضًا بشكل متكرر في الفيزياء. سميت المعادلة على اسم عالم الرياضيات والفيزياء الفرنسي سيميون دينيس بواسون الذي نشرها في عام 1823. ^{[1] [2]}

معادلة بواسون هي حيث يكون عامل لابلاس ، و و هما دالة ذات قيم حقيقية أو معقدة على متعدد الشعب . عادة، يتم إعطاء، ويتم البحث عنها. عندما يكون متعدد الشعب فضاء إقليدي ، غالبًا ما يتم الإشارة إلى عامل لابلاس على أنه ∇ ² ، وبالتالي غالبًا ما تُكتب معادلة بواسون على أنها $${\displaystyle \Delta \varphi =f,}$$${\displaystyle \دلتا }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f.}$$

في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد ، يأخذ الشكل $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$$

عندما يكون الأمر متطابقًا، نحصل على معادلة لابلاس . ${\displaystyle f=0}$

يمكن حل معادلة بواسون باستخدام دالة جرين : حيث يكون التكامل على كامل المساحة. يوجد شرح عام لدالة جرين لمعادلة بواسون في المقالة حول معادلة بواسون المفحوصة . هناك طرق مختلفة للحل العددي، مثل طريقة الاسترخاء ، وخوارزمية تكرارية. $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}} \,\mathrm {د} ^{3}r',}$$

في حالة وجود مجال جاذبية g بسبب جسم ضخم جاذب بكثافة ρ ، يمكن استخدام قانون جاوس للجاذبية في شكل تفاضلي للحصول على معادلة بواسون المقابلة للجاذبية. قانون جاوس للجاذبية هو $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$$

نظرًا لأن المجال الجاذبي محافظ ( وغير دوراني )، فيمكن التعبير عنه من حيث الإمكانات القياسية ϕ : $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$

وباستبدال هذا في قانون جاوس، نحصل على معادلة بواسون للجاذبية: $${\displaystyle \nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

إذا كانت كثافة الكتلة صفرًا، فإن معادلة بواسون تُختزل إلى معادلة لابلاس. يمكن استخدام دالة جرين المقابلة لحساب الجهد عند مسافة r من نقطة مركزية كتلة m (أي الحل الأساسي ). في ثلاثة أبعاد يكون الجهد هو وهو ما يعادل قانون نيوتن للجاذبية الكونية . $${\displaystyle \phi (r)={\frac {-Gm}{r}},}$$

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Poisson's equation" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2024) (Learn how and when to remove this message)

يتم التحكم في العديد من المشاكل في الكهروستاتيكية بواسطة معادلة بواسون، والتي تربط الجهد الكهربائي φ بكثافة الشحنة الحرة ، مثل تلك الموجودة في الموصلات . ${\displaystyle \rho _{f}}$

التفاصيل الرياضية لمعادلة بواسون، والتي يتم التعبير عنها عادة بوحدات النظام الدولي للوحدات (على عكس الوحدات الغوسية )، تصف كيف يؤدي توزيع الشحنات الحرة إلى توليد الجهد الكهروستاتيكي في منطقة معينة (الرياضيات) .

بدءًا من قانون جاوس للكهرباء (أحد معادلات ماكسويل أيضًا ) في الشكل التفاضلي، يكون لدينا حيث هو عامل التباعد ، و D هو مجال الإزاحة الكهربائية ، و ρ _f هي كثافة الشحنة الحرة (التي تصف الشحنات القادمة من الخارج). $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f},}$$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$

بافتراض أن الوسط خطي ومتماثل الخواص ومتجانس (انظر كثافة الاستقطاب )، لدينا المعادلة التأسيسية حيث ε هي نفاذية الوسط، و E هو المجال الكهربائي . $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,}$$

استبدال هذا في قانون جاوس وافتراض أن ε ثابت مكانيًا في منطقة الاهتمام ينتج في الكهروستاتيكية، نفترض أنه لا يوجد مجال مغناطيسي (الحجة التالية صحيحة أيضًا في وجود مجال مغناطيسي ثابت). ^[3] ثم لدينا حيث ∇× هو عامل التجعيد . تعني هذه المعادلة أنه يمكننا كتابة المجال الكهربائي كمنحدر لدالة قياسية φ (تسمى الجهد الكهربي )، لأن تجعيد أي تدرج يساوي صفرًا. وبالتالي يمكننا كتابة المكان الذي يتم فيه تقديم علامة الطرح بحيث يتم تحديد φ على أنها طاقة الوضع الكهربي لكل وحدة شحنة. ^[4]$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0,}$$$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi ,}$$

إن اشتقاق معادلة بواسون في ظل هذه الظروف أمر مباشر. فاستبدال تدرج الجهد بالمجال الكهربائي ينتج عنه مباشرة معادلة بواسون للكهرباء الساكنة، وهي $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }},}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$

يتطلب تحديد معادلة بواسون للجهد معرفة توزيع كثافة الشحنة. إذا كانت كثافة الشحنة صفرًا، فإن معادلة لابلاس تنتج. إذا كانت كثافة الشحنة تتبع توزيع بولتزمان ، فإن معادلة بواسون-بولتزمان تنتج. تلعب معادلة بواسون-بولتزمان دورًا في تطوير نظرية ديباي-هوكل لمحاليل الإلكتروليت المخففة .

باستخدام دالة جرين، فإن الجهد عند مسافة r من شحنة نقطة مركزية Q (أي الحل الأساسي ) هو قانون كولومب للكهرباء الساكنة. (لأسباب تاريخية، وعلى عكس نموذج الجاذبية أعلاه، يظهر العامل هنا وليس في قانون جاوس.) $${\displaystyle \varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}},}$$${\displaystyle 4\pi }$

تفترض المناقشة أعلاه أن المجال المغناطيسي لا يتغير بمرور الوقت. تنشأ نفس معادلة بواسون حتى لو تغيرت بمرور الوقت، طالما تم استخدام مقياس كولومب . في هذه الفئة الأكثر عمومية من الحالات، لم يعد حساب φ كافياً لحساب E ، لأن E يعتمد أيضًا على جهد المتجه المغناطيسي A ، والذي يجب حسابه بشكل مستقل. راجع معادلة ماكسويل في صياغة الجهد لمزيد من المعلومات حول φ و A في معادلات ماكسويل وكيفية الحصول على معادلة بواسون مناسبة في هذه الحالة.

إذا كانت هناك كثافة شحنة غاوسية متناظرة كرويًا ثابتة حيث Q هي الشحنة الكلية، فإن الحل φ ( r ) لمعادلة بواسون يعطى بواسطة حيث erf ( x ) هي دالة الخطأ . ^[5]$${\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}}$$$${\displaystyle \varphi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\operatorname {erf} \left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$$

يمكن التحقق من هذا الحل صراحةً عن طريق تقييم ∇ ² φ .

لاحظ أنه بالنسبة لـ r أكبر بكثير من σ ، يقترب من الواحد، ^[6] ويقترب الجهد φ ( r ) من جهد الشحنة النقطية ، كما هو متوقع. علاوة على ذلك، تقترب دالة الخطأ من 1 بسرعة كبيرة مع زيادة حجتها؛ في الممارسة العملية، بالنسبة لـ r > 3 σ، يكون الخطأ النسبي أصغر من جزء واحد في الألف. ^[6]${\textstyle \operatorname {erf} (r/{\sqrt {2}}\sigma )}$$${\displaystyle \varphi \approx {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}},}$$

إعادة بناء السطح هي مشكلة عكسية . والهدف هو إعادة بناء سطح أملس رقميًا بناءً على عدد كبير من النقاط p _i ( سحابة النقاط ) حيث تحمل كل نقطة أيضًا تقديرًا للسطح المحلي الطبيعي n _i . ^[7] يمكن الاستفادة من معادلة بواسون لحل هذه المشكلة بتقنية تسمى إعادة بناء سطح بواسون. ^[8]

الهدف من هذه التقنية هو إعادة بناء دالة ضمنية f قيمتها صفر عند النقاط p _i ويكون تدرجها عند النقاط p _i مساويًا للمتجهات العمودية n _i . وبالتالي يتم نمذجة مجموعة ( p _i , n _i ) كحقل متجه متصل V . يتم إيجاد الدالة الضمنية f عن طريق تكامل حقل المتجه V . نظرًا لأن ليس كل حقل متجه هو تدرج دالة، فقد يكون للمشكلة حل أو لا يكون لها حل: الشرط الضروري والكافي لحقل متجه سلس V ليكون تدرج دالة f هو أن يكون تجعيد V مساويًا للصفر تمامًا. في حالة صعوبة فرض هذا الشرط ، لا يزال من الممكن إجراء ملاءمة أقل المربعات لتقليل الفرق بين V وتدرج f .

من أجل تطبيق معادلة بواسون بشكل فعال على مشكلة إعادة بناء السطح، من الضروري إيجاد تقسيم جيد لحقل المتجه V. النهج الأساسي هو ربط البيانات بشبكة ذات فروق محدودة . بالنسبة للدالة التي يتم تقييمها عند عقد مثل هذه الشبكة، يمكن تمثيل تدرجها على أنه مقدر على شبكات متدرجة، أي على شبكات تقع عقدها بين عقد الشبكة الأصلية. من المناسب تحديد ثلاث شبكات متدرجة، كل منها يتم إزاحتها في اتجاه واحد فقط يتوافق مع مكونات البيانات الطبيعية. على كل شبكة متدرجة، نقوم بإجراء استيفاء ثلاثي الخطوط على مجموعة النقاط. تُستخدم بعد ذلك أوزان الاستيفاء لتوزيع حجم المكون المرتبط بـ n _i على عقد خلية الشبكة المتدرجة المعينة التي تحتوي على p _i . يقدم كازدان وزملاؤه طريقة أكثر دقة للتقسيم باستخدام شبكة الفروق المحدودة التكيفية، أي أن خلايا الشبكة أصغر (الشبكة مقسمة بشكل أكثر دقة) حيث يوجد المزيد من نقاط البيانات. ^[8] يقترحون تنفيذ هذه التقنية باستخدام شجرة ثماني متكيفة .

بالنسبة لمعادلات نافير-ستوكس غير القابلة للضغط ، والتي تعطى بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}}$$

معادلة مجال الضغط هي مثال لمعادلة بواسون غير الخطية: لاحظ أن الأثر أعلاه ليس محدد الإشارة. ${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}.\end{aligned}}}$$

• معادلة بواسون المنفصلة
• معادلة بواسون بولتزمان
• معادلة هلمهولتز
• نظرية التفرد لمعادلة بواسون
• صياغة ضعيفة
• وظيفة التوافقية
• معادلة الحرارة
• نظرية الإمكانات

• إيفانز، لورانس سي. (1998). المعادلات التفاضلية الجزئية . بروفيدنس (رود آيلاند): الجمعية الرياضية الأمريكية. رقم ISBN 0-8218-0772-2.
• ماثيوز، جون؛ ووكر، روبرت ل. (1970). الأساليب الرياضية في الفيزياء (الطبعة الثانية). نيويورك: دبليو إيه بنجامين. ISBN 0-8053-7002-1.
• بوليانين، أندريه د. (2002). دليل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية للمهندسين والعلماء . بوكا راتون (فلوريدا): تشابمان وهول/سي آر سي برس. رقم ISBN 1-58488-299-9.

• "معادلة بواسون"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• معادلة بواسون في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية