متجه الإشارة

في الفيزياء ، يُمثل متجه بوينتينغ (أو متجه أوموف-بوينتينغ ) تدفق الطاقة الاتجاهي (نقل الطاقة لكل وحدة مساحة، لكل وحدة زمن) أو تدفق القدرة في مجال كهرومغناطيسي . وحدة قياس متجه بوينتينغ في النظام الدولي للوحدات هي الواط لكل متر مربع (واط/م² ⁾ ، أو كيلوغرام/ثانية³ ^في وحدات النظام الدولي الأساسية . سُمي المتجه نسبةً إلى مكتشفه جون هنري بوينتينغ الذي اشتقّه لأول مرة عام 1884. ^{[ 1 ] : 132.} يُنسب الفضل أيضًا إلى نيكولاي أوموف في صياغة هذا المفهوم. ^{[ 2 ]} كما اكتشفه أوليفر هيفسايد بشكل مستقل في صيغته الأكثر عمومية التي تسمح بإضافة دوران أي حقل متجه إلى التعريف. ^{[ 3 ]} يُستخدم متجه بوينتينغ في جميع فروع الكهرومغناطيسية بالاقتران مع نظرية بوينتينغ ، وهي معادلة الاستمرارية التي تُعبّر عن حفظ الطاقة الكهرومغناطيسية ، لحساب تدفق القدرة في المجالات الكهرومغناطيسية.

في ورقة بوينتينغ الأصلية وفي معظم الكتب الدراسية، متجه بوينتينغ${\displaystyle \mathbf {S} }$يُعرَّف بأنه حاصل الضرب الاتجاهي ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$$ حيث تمثل الأحرف الغامقة المتجهات و

• يمثل E متجه المجال الكهربائي ؛
• H هو متجه المجال المساعد للمجال المغناطيسي أو مجال التمغنط .

يُطلق على هذا التعبير غالبًا اسم صيغة أبراهام وهو الأكثر استخدامًا. ^{[ 7 ]} يُرمز عادةً إلى متجه بوينتينغ بالرمز S أو N.

ببساطة، يُعطي متجه بوينتينغ S ، عند نقطة ما ، مقدار واتجاه كثافة الطاقة السطحية الناتجة عن المجالات الكهرومغناطيسية عند تلك النقطة . وبشكل أدق، هو الكمية اللازمة لجعل نظرية بوينتينغ صحيحة. تنص نظرية بوينتينغ أساسًا على أن الفرق بين الطاقة الكهرومغناطيسية الداخلة إلى منطقة ما والطاقة الكهرومغناطيسية الخارجة منها يجب أن يساوي الطاقة المُحوَّلة أو المُبدَّدة في تلك المنطقة، أي المُتحوِّلة إلى شكل آخر من أشكال الطاقة (غالبًا الحرارة). تُعدّ نظرية بوينتينغ ببساطة بيانًا لقانون حفظ الطاقة محليًا .

إذا لم يتم اكتساب الطاقة الكهرومغناطيسية أو فقدانها لأشكال أخرى من الطاقة داخل منطقة معينة (مثل الطاقة الميكانيكية أو التسخين)، فإن الطاقة الكهرومغناطيسية تُحفظ محليًا داخل تلك المنطقة، مما ينتج عنه معادلة استمرارية كحالة خاصة من نظرية بوينتينغ: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$$ أين${\displaystyle u}$تمثل كثافة طاقة المجال الكهرومغناطيسي. يتحقق هذا الشرط الشائع في المثال البسيط التالي حيث يتم حساب متجه بوينتينغ، ويتبين أنه متوافق مع الحساب المعتاد للطاقة في الدائرة الكهربائية.

يمكننا إيجاد حل بسيط نسبيًا في حالة نقل الطاقة عبر جزء من كابل محوري مُحلل بإحداثيات أسطوانية كما هو موضح في الرسم التخطيطي المرفق. يشير تناظر النموذج إلى عدم وجود اعتماد على θ (تناظر دائري) ولا على Z (الموقع على طول الكابل). يمكن اعتبار النموذج (والحل) ببساطة كدائرة تيار مستمر بدون اعتماد على الزمن، ولكن الحل التالي ينطبق أيضًا على نقل طاقة الترددات الراديوية، طالما أننا نأخذ في الاعتبار لحظة زمنية (لا يتغير خلالها الجهد والتيار)، وعبر جزء قصير بما فيه الكفاية من الكابل (أصغر بكثير من الطول الموجي، بحيث لا تعتمد هذه الكميات على Z ).

يُحدد الكابل المحوري بموصل داخلي نصف قطره R1 وموصل خارجي نصف قطره الداخلي _{R2 (} لا يؤثر سمكه بعد R2 على التحليل التالي). يحتوي الكابل بين R1 و _{R2 على مادة} عازلة مثالية ذات سماحية نسبية εr _، ونفترض أن الموصلات غير مغناطيسية (أي μ = μ0 ) _وعديمة الفقد (موصلات مثالية)، وكلها تقريبات جيدة للكابلات المحورية في الواقع العملي في الظروف _{النموذجية .}

الموصل المركزي عند جهد V ويسحب تيارًا I باتجاه اليمين، لذا نتوقع تدفقًا إجماليًا للطاقة مقداره P = V · I وفقًا لقوانين الكهرباء الأساسية . ومع ذلك، من خلال تقييم متجه بوينتينغ، يمكننا تحديد شكل تدفق الطاقة بدلالة المجالين الكهربائي والمغناطيسي داخل الكابل المحوري. المجال الكهربائي يساوي صفرًا داخل كل موصل، ولكن بين الموصلات (${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$)، يفرض التناظر أن يكون في الاتجاه القطري، ويمكن إثبات (باستخدام قانون جاوس ) أنه يجب أن يتبع الشكل التالي: $${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {W}{r}}}$$يمكن حساب W عن طريق تكامل المجال الكهربائي من${\displaystyle r=R_{2}}$ل${\displaystyle R_{1}}$والذي يجب أن يكون معكوس الجهد V : $${\displaystyle -V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$$ لهذا السبب: $${\displaystyle W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}}$$

بحسب التناظر، لا يمكن أن يكون المجال المغناطيسي صفراً إلا في اتجاه θ ، أي في اتجاه متجه يلتف حول الموصل المركزي عند كل نصف قطر بين _R1 و R2 _. داخل الموصلات نفسها ، قد يكون المجال المغناطيسي صفراً أو لا، ولكن هذا لا يُشكل مشكلة لأن متجه بوينتينغ في هذه المناطق يساوي صفراً بسبب انعدام المجال الكهربائي. خارج الكابل المحوري بأكمله، يكون المجال المغناطيسي صفراً أيضاً لأن المسارات في هذه المنطقة تُحيط بتيار صافٍ يساوي صفراً (+ _I في الموصل المركزي و- I في الموصل الخارجي)، والمجال الكهربائي يساوي صفراً هناك أيضاً. باستخدام قانون أمبير في المنطقة من R1 إلى R2 ، والتي تُحيط بالتيار + I في الموصل المركزي دون أي مساهمة من التيار في الموصل الخارجي، نجد عند نصف _القطر r : $${\displaystyle {\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$$ الآن، انطلاقًا من مجال كهربائي في الاتجاه القطري، ومجال مغناطيسي مماس، فإن متجه بوينتينغ، المُعطى بالضرب الاتجاهي لهذين المجالين، لا يساوي الصفر إلا في الاتجاه Z ، على امتداد اتجاه الكابل المحوري نفسه، كما هو متوقع. وبما أنه دالة لـ r فقط ، يمكننا حساب S ( r ): $${\displaystyle S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)={\frac {W}{r}}{\frac {I}{2\pi r}}={\frac {W\,I}{2\pi r^{2}}}}$$ حيث تم إعطاء W أعلاه بدلالة جهد الموصل المركزي V. يمكن حساب إجمالي الطاقة المتدفقة عبر الكابل المحوري عن طريق التكامل على كامل المقطع العرضي A للكابل بين الموصلات: $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{1}}^{R_{2}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}}$$

وباستبدال الحل السابق بالثابت W، نجد: $${\displaystyle P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I}$$ أي أن القدرة التي يتم الحصول عليها من خلال تكامل متجه بوينتينغ على مقطع عرضي من الكابل المحوري تساوي تمامًا حاصل ضرب الجهد والتيار كما كان سيتم حساب القدرة التي يتم توصيلها باستخدام القوانين الأساسية للكهرباء.

ومن الأمثلة الأخرى المماثلة التي يمكن فيها حساب نتيجة P = V · I تحليليًا: خط النقل ذو الألواح المتوازية، ^{[ 8 ]} باستخدام الإحداثيات الديكارتية ، وخط النقل ذو السلكين، ^{[ 9 ]} باستخدام الإحداثيات الأسطوانية ثنائية القطب .

في النسخة "المجهرية" من معادلات ماكسويل، يجب استبدال هذا التعريف بتعريف من حيث المجال الكهربائي E وكثافة التدفق المغناطيسي B (الموصوفة لاحقًا في المقالة).

من الممكن أيضًا دمج مجال الإزاحة الكهربائية D مع التدفق المغناطيسي B للحصول على صيغة مينكوفسكي لمتجه بوينتينغ، أو استخدام D و H لإنشاء صيغة أخرى. وقد أثار هذا الاختيار جدلًا واسعًا: إذ لخص فايفر وآخرون ^{[ 10 ]} ، وحسموا إلى حد ما، الخلاف الذي دام قرنًا من الزمان بين مؤيدي صيغتي أبراهام ومينكوفسكي (انظر جدل أبراهام-مينكوفسكي ).

يمثل متجه بوينتينغ حالة خاصة من متجهات تدفق الطاقة الكهرومغناطيسية. مع ذلك، لكل نوع من أنواع الطاقة اتجاه حركة في الفضاء، بالإضافة إلى كثافته، لذا يمكن تعريف متجهات تدفق الطاقة لأنواع أخرى من الطاقة أيضًا، مثل الطاقة الميكانيكية . يصف متجه أوموف-بوينتينغ ^{[ 11 ]،} الذي اكتشفه نيكولاي أوموف عام 1874، تدفق الطاقة في الأوساط السائلة والمرنة بنظرة معممة تمامًا.

يظهر متجه بوينتينغ في نظرية بوينتينغ (انظر تلك المقالة للاطلاع على الاشتقاق)، وهي قانون لحفظ الطاقة: $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$$ حيث J _f هي كثافة التيار للشحنات الحرة و u هي كثافة الطاقة الكهرومغناطيسية للمواد الخطية غير المشتتة ، والتي تُعطى بواسطة $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$$ أين

• E هو المجال الكهربائي؛
• D هو مجال الإزاحة الكهربائية؛
• B هي كثافة التدفق المغناطيسي؛
• يمثل H المجال المغناطيسي. ^{[ 12 ] : 258-260}

يمثل الحد الأول في الجانب الأيمن تدفق الطاقة الكهرومغناطيسية إلى حجم صغير، بينما يطرح الحد الثاني العمل الذي يقوم به المجال على التيارات الكهربائية الحرة، والذي يخرج بالتالي من الطاقة الكهرومغناطيسية على شكل تبديد وحرارة وما إلى ذلك. في هذا التعريف، لا يتم تضمين التيارات الكهربائية المقيدة في هذا الحد، وبدلاً من ذلك تساهم في S و u .

بالنسبة للضوء في الفضاء الحر، فإن كثافة الزخم الخطي هي ${\displaystyle {\frac {\langle S\rangle }{c^{2}}}.}$

بالنسبة للمواد الخطية، وغير المشتتة (حيث تنتقل جميع مكونات التردد بنفس السرعة)، والمتجانسة (لتبسيط الأمر)، يمكن كتابة العلاقات التكوينية على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,}$$ أين

• ε هي سماحية المادة؛
• μ هي نفاذية المادة. ^{[ 12 ] : 258-260}

هنا ε و μ عبارة عن ثوابت قياسية ذات قيم حقيقية مستقلة عن الموضع والاتجاه والتردد.

من حيث المبدأ، يقتصر تطبيق نظرية بوينتينغ بهذا الشكل على الحقول في الفراغ والمواد الخطية غير المشتتة. ويمكن تعميمها لتشمل المواد المشتتة في ظروف معينة، ولكن مع إضافة حدود أخرى. ^{[ 12 ] : 262-264}

من نتائج معادلة بوينتينغ أنه لكي يقوم المجال الكهرومغناطيسي بعمل، يجب أن يكون كل من المجال المغناطيسي والمجال الكهربائي موجودين. لا يستطيع المجال المغناطيسي وحده أو المجال الكهربائي وحده القيام بأي عمل. ^{[ 13 ]}

في موجة كهرومغناطيسية مستوية تنتشر في وسط متجانس عديم الفقد، يشير متجه بوينتينغ اللحظي دائمًا إلى اتجاه الانتشار بينما يتذبذب مقداره بسرعة. ويمكن ملاحظة ذلك ببساطة بالنظر إلى أنه في الموجة المستوية، يُعطى مقدار المجال المغناطيسي H ( r , t ) بمقدار متجه المجال الكهربائي E ( r , t ) مقسومًا على η ، وهي المعاوقة الذاتية لوسط النقل. $${\displaystyle |\mathbf {H} |={\frac {|\mathbf {E} |}{\eta }},}$$ حيث يمثل | A | معيار المتجه A. بما أن المجالين الكهربائي والمغناطيسي متعامدان، فإن مقدار حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي حاصل ضرب مقداريهما. دون الإخلال بعمومية الحل، لنفترض أن X هو اتجاه المجال الكهربائي و Y هو اتجاه المجال المغناطيسي. عندئذٍ ، يكون متجه بوينتينغ اللحظي، المُعطى بالضرب الاتجاهي للمجالين الكهربائي والمغناطيسي ، في الاتجاه الموجب للمحور Z.$${\displaystyle \left|{\mathsf {S_{z}}}\right|=\left|{\mathsf {E_{x}}}{\mathsf {H_{y}}}\right|={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}.}$$

يتطلب إيجاد القدرة المتوسطة زمنيًا في الموجة المستوية حساب المتوسط ​​على مدى فترة الموجة (مقلوب تردد الموجة): $${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\left\langle \left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}\right\rangle }{\eta }}={\frac {\mathsf {E_{\text{rms}}^{2}}}{\eta }},}$$ حيث E _rms هي الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS) لسعة المجال الكهربائي. في الحالة المهمة التي يتغير فيها E ( t ) بشكل جيبي بتردد معين وسعة ذروة E _peak ، فإن E _rms هي${\displaystyle {\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}}$، حيث يُعطى متجه بوينتينغ المتوسط ​​بالصيغة التالية: $${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\mathsf {E_{peak}^{2}}}{2\eta }}.}$$ هذا هو الشكل الأكثر شيوعًا لتدفق الطاقة في الموجة المستوية، حيث تُعبّر سعات المجال الجيبي غالبًا عن قيمها القصوى، وعادةً ما تُحلّ المسائل المعقدة بأخذ تردد واحد فقط في الاعتبار. مع ذلك، فإن التعبير باستخدام E _rms عام تمامًا، وينطبق، على سبيل المثال، في حالة الضوضاء التي يمكن قياس سعتها الفعّالة، ولكن سعة "الذروة" فيها غير ذات معنى. في الفضاء الحر، تُعطى المعاوقة الذاتية _η ببساطة بمعاوقة الفضاء الحر η₀ ≈ 377 Ω. في المواد العازلة غير المغناطيسية (مثل جميع المواد الشفافة عند الترددات البصرية) ذات ثابت عزل كهربائي محدد εr _، أو في البصريات ذات مادة معامل انكسارها  ${\displaystyle {\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}}$، يتم إيجاد المعاوقة الذاتية على النحو التالي: $${\displaystyle \eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}.}$$

في علم البصريات، تُعرف قيمة التدفق الإشعاعي الذي يعبر سطحًا ما، وبالتالي متوسط ​​مركبة متجه بوينتينغ في الاتجاه العمودي على ذلك السطح، من الناحية الفنية باسم الإشعاع ، وغالبًا ما يشار إليها ببساطة باسم الشدة (مصطلح غامض إلى حد ما).

لا تقبل النسخة "المجهرية" (التفاضلية) من معادلات ماكسويل سوى المجالين الأساسيين E و B ، دون نموذج مُدمج للوسط المادي. يُستخدم فقط سماحية ونفاذية الفراغ، ولا يوجد D أو H. عند استخدام هذا النموذج، يُعرَّف متجه بوينتينغ على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$$ أين

• μ ₀ هي نفاذية الفراغ ؛
• يمثل E متجه المجال الكهربائي؛
• B هو التدفق المغناطيسي.

هذا في الواقع هو التعبير العام لمتجه بوينتينغ . ^{[ 14 ]} والصيغة المقابلة لنظرية بوينتينغ هي $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$$ حيث J هي كثافة التيار الكلية ، وكثافة الطاقة u معطاة بالعلاقة التالية: $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}\right)\!,}$$ حيث ε ₀ هي سماحية الفراغ . ويمكن اشتقاقها مباشرة من معادلات ماكسويل بدلالة الشحنة الكلية والتيار وقانون قوة لورنتز فقط.

يتساوى التعريفان البديلان لمتجه بوينتينغ في الفراغ أو في المواد غير المغناطيسية، حيث B = μ₀H . في جميع الحالات الأخرى، يختلفان في أن S ₌ (1/ μ₀ ) _E × B و u المقابلة لهما إشعاعية بحتة، لأن حد التبديد −J ⋅ E يغطي التيار الكلي، بينما يتضمن تعريف E × H مساهمات من التيارات المقيدة التي تُستبعد بالتالي من حد التبديد . ^{[ 15 ]}

بما أن المجالين المجهريين E و B فقط _هما اللذان يظهران في اشتقاق S = (1/ μ₀ ) E × B وكثافة الطاقة، يتم تجنب الافتراضات المتعلقة بأي مادة موجودة. ويُعدّ متجه بوينتينغ ونظريته وتعبيره عن كثافة الطاقة صالحين عالميًا في الفراغ وفي جميع المواد. ^{[ 15 ]}

يمثل الشكل أعلاه لمتجه بوينتينغ تدفق الطاقة اللحظي الناتج عن المجالات الكهربائية والمغناطيسية اللحظية . في الغالب، تُحل مسائل الكهرومغناطيسية بدلالة مجالات متغيرة جيبياً بتردد محدد. ويمكن تطبيق النتائج بشكل أعم، على سبيل المثال، بتمثيل الإشعاع غير المتماسك كتراكب لموجات مماثلة بترددات مختلفة وسعات متذبذبة.

وبالتالي، لن نأخذ بعين الاعتبار قيم E ( t ) و H ( t ) اللحظية المستخدمة سابقًا، بل سعة مركبة (متجهة) لكل منهما، تصف طور الموجة المتماسكة (بالإضافة إلى سعتها) باستخدام ترميز الطور . لا تُعد متجهات السعة المركبة هذه دوالًا للزمن، إذ يُفهم أنها تشير إلى تذبذبات على مدار الزمن. يُفهم من الطور، مثل Em _، أنه يدل على مجال متغير جيبيًا، حيث تتبع سعته اللحظية E ( t ) الجزء الحقيقي من Em _e ^jωt ، حيث ω هو التردد (بالراديان) للموجة الجيبية قيد الدراسة.

في المجال الزمني، يُلاحظ أن تدفق القدرة اللحظي يتذبذب بتردد 2ω . لكن ما يهمنا عادةً هو متوسط ​​تدفق القدرة دون الأخذ في الاعتبار هذه التذبذبات. في المعادلات الرياضية أدناه، يتم ذلك بالتكامل على مدار دورة كاملة T = 2π / ω . الكمية التالية، والتي لا تزال تُعرف باسم "متجه بوينتينغ"، تُعبّر عنها مباشرةً بدلالة المتجهات الطورية كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},}$$ حيث يرمز ^{∗ إلى} المرافق المركب . يُعطى تدفق القدرة المتوسط ​​زمنيًا (وفقًا لمتجه بوينتينغ اللحظي المتوسط ​​على دورة كاملة، على سبيل المثال) بالجزء الحقيقي من S_{_m} . عادةً ما يُهمل الجزء التخيلي ^{[ 12 ]} ، إلا أنه يدل على "القدرة التفاعلية" مثل التداخل الناتج عن موجة مستقرة أو المجال القريب للهوائي. في موجة كهرومغناطيسية مستوية واحدة (بدلاً من موجة مستقرة يمكن وصفها بأنها موجتان من هذا النوع تسيران في اتجاهين متعاكسين)، يكون E و H متوافقين تمامًا في الطور، لذا فإن S _{_m} هو ببساطة عدد حقيقي وفقًا للتعريف أعلاه.

يمكن إثبات تكافؤ Re( S _m ) مع المتوسط ​​الزمني لمتجه بوينتينغ اللحظي S على النحو التالي.$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}}$$

يُعطى متوسط ​​متجه بوينتينغ اللحظي S بمرور الوقت بالصيغة التالية:$${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.}$$

الحد الثاني هو المكون ذو التردد المزدوج والذي يبلغ متوسط ​​قيمته صفرًا، لذلك نجد: $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)}$$

وفقًا لبعض الاصطلاحات، يمكن حذف العامل 1/2 في التعريف أعلاه. يُعدّ الضرب في 1/2 ضروريًا لوصف تدفق الطاقة بدقة، لأن قيم E _{_m} و H_{_m} تشير إلى ذروة المجالات للكميات المتذبذبة. أما إذا وُصفت المجالات بدلالة قيم الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS) (والتي يقل كل منها بمقدار العامل 1/2)، فإن ذلك يُحسّن دقة الوصف.${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$)، ثم يتم الحصول على متوسط ​​تدفق الطاقة الصحيح دون الضرب في 1/2.

إذا كان للموصل مقاومة كبيرة، فإن متجه بوينتينغ، بالقرب من سطحه، يميل نحوه ويصطدم به. ^{[ 9 ] : الشكلان 7 و8.} بمجرد دخول متجه بوينتينغ إلى الموصل، ينحني في اتجاه عمودي تقريبًا على سطحه. ^{[ 16 ] : 61.} هذا نتيجة لقانون سنيل وبطء سرعة الضوء داخل الموصل. يمكن تقديم تعريف وحساب سرعة الضوء في الموصل. ^{[ 17 ] : 402.} داخل الموصل، يمثل متجه بوينتينغ تدفق الطاقة من المجال الكهرومغناطيسي إلى السلك، مما ينتج عنه تسخين جول مقاوم في السلك. للاطلاع على اشتقاق يبدأ بقانون سنيل، انظر صفحة 454 من كتاب ريتز. ^{[ 18 ] : 454}

كثافة الزخم الخطي للمجال الكهرومغناطيسي هي S / c² ^، حيث S هي مقدار متجه بوينتينغ و c هي سرعة الضوء في الفراغ. يُعطى ضغط الإشعاع الذي تُمارسه موجة كهرومغناطيسية على سطح هدف ما بالعلاقة التالية: $${\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.}$$

يظهر متجه بوينتينغ في نظرية بوينتينغ فقط من خلال تباعده ∇ ⋅ S ، أي أنه يكفي أن يصف التكامل السطحي لمتجه بوينتينغ حول سطح مغلق التدفق الكلي للطاقة الكهرومغناطيسية داخل أو خارج الحجم المغلق. هذا يعني أن إضافة حقل متجه لولبي (ذي تباعد صفري) إلى S سينتج عنه حقل آخر يحقق هذه الخاصية المطلوبة لحقل متجه بوينتينغ وفقًا لنظرية بوينتينغ. وبما أن تباعد أي التفاف يساوي صفرًا ، فإنه يمكن إضافة التفاف أي حقل متجه إلى متجه بوينتينغ، وسيظل حقل المتجه الناتج S ′ يحقق نظرية بوينتينغ.

مع ذلك، ورغم أن متجه بوينتينغ قد صِيغ في الأصل لغرض نظرية بوينتينغ فقط، والتي يظهر فيها تباعده فقط، فقد تبيّن أن اختيار شكله المذكور أعلاه فريد من نوعه. ^{[ 12 ] : 258-260، 605-612.} يقدم القسم التالي مثالاً يوضح سبب عدم جواز إضافة حقل لولبي عشوائي إلى E × H.

يُظهر تحليل متجه بوينتينغ في الحقول الساكنة الطبيعة النسبية لمعادلات ماكسويل، ويُتيح فهمًا أفضل للمركبة المغناطيسية لقوة لورنتز ، q ( v × B ) . وللتوضيح، نأخذ في الاعتبار الصورة المرفقة التي تصف متجه بوينتينغ في مكثف أسطواني موضوع في مجال مغناطيسي H (يتجه نحو داخل الصفحة) مُوَلَّد بواسطة مغناطيس دائم. على الرغم من وجود مجالين كهربائي ومغناطيسي ساكنين فقط، فإن حساب متجه بوينتينغ يُنتج تدفقًا دائريًا للطاقة الكهرومغناطيسية باتجاه عقارب الساعة، بلا بداية ولا نهاية.

على الرغم من أن تدفق الطاقة الدائري قد يبدو غير منطقي، إلا أن وجوده ضروري للحفاظ على قانون حفظ الزخم الزاوي . زخم الموجة الكهرومغناطيسية في الفضاء الحر يساوي قدرتها مقسومة على سرعة الضوء (c) . لذا، فإن التدفق الدائري للطاقة الكهرومغناطيسية يستلزم وجود زخم زاوي . ^{[ 19 ]} إذا وُصِل سلك بين لوحي مكثف مشحون، فستكون هناك قوة لورنتز مؤثرة على هذا السلك أثناء تفريغ المكثف نتيجة لتيار التفريغ والمجال المغناطيسي المتقاطع؛ ستكون هذه القوة محيطية بالنسبة للمحور المركزي، وبالتالي ستضيف زخمًا زاويًا إلى النظام. سيتطابق هذا الزخم الزاوي مع الزخم الزاوي "الخفي"، الذي يكشفه متجه بوينتينغ، والذي كان يدور قبل تفريغ المكثف.

• متجه الموجة

• بيكر، ريتشارد (1982). المجالات الكهرومغناطيسية والتفاعلات (  الطبعة الأولى). مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-64290-1.
• إدمينستر، جوزيف؛ نحوي، محمود (2013). الكهرومغناطيسية (الطبعة الرابعة  ). نيويورك: ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-183149-9.