النظام البديهي

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الرياضيات والمنطق ، يُعدّ النظام البديهي أو نظام البديهيات نوعًا قياسيًا من البنية المنطقية الاستنتاجية، ويُستخدم أيضًا في علوم الحاسوب النظرية . ويتألف من مجموعة من العبارات الرسمية المعروفة بالبديهيات ، والتي تُستخدم للاستنتاج المنطقي لعبارات أخرى. في الرياضيات، تُعرف هذه النتائج المنطقية للبديهيات باللمات أو النظريات . أما النظرية الرياضية فهي مصطلح يُستخدم للإشارة إلى النظام البديهي وجميع النظريات المشتقة منه.

البرهان في النظام البديهي هو سلسلة من الخطوات الاستنتاجية التي تُثبت عبارة جديدة كنتيجة للبديهيات. وبحد ذاته، يُعد نظام البديهيات، عن قصد، بناءً نحويًا: فعندما تُصاغ البديهيات بلغة طبيعية ، وهو أمر شائع في الكتب والأوراق التقنية، تُستخدم الأسماء ككلمات رمزية . ويمثل استخدام المنهج البديهي تحولًا من الاستدلال غير الرسمي، الذي قد تحمل فيه الأسماء دلالات واقعية، إلى البرهان الرسمي . وفي بيئة رسمية تمامًا، يجب استخدام نظام منطقي، مثل حساب المسندات، في البراهين. ويختلف التطبيق المعاصر للاستدلال البديهي الرسمي عن الأساليب التقليدية في استبعاد الاعتبارات الدلالية، وفي تحديد نظام المنطق المستخدم.

المنهج البديهي في الرياضيات

يرتكز البحث الرياضي على اختزال مجموعة من القضايا إلى مجموعة محددة من البديهيات . وقد برز هذا الاختزال، بل وأثار جدلاً واسعاً، في رياضيات النصف الأول من القرن العشرين، وهي الفترة التي شهدت ظهور بعض المعالم الرئيسية للمنهج البديهي. وتُعد بديهيات الاحتمالات لأندريه كولموغوروف ، من عام ١٩٣٣، مثالاً بارزاً على ذلك. [ ١ ] وقد وُجهت انتقادات لهذا المنهج أحياناً بوصفه "شكلية"، لأنه استبعد جوانب من الحدس العملي للرياضيين، ولمن يطبقون الرياضيات. وفي السياق التاريخي، يُناقش هذا المنهج الشكلي المزعوم اليوم بوصفه استنتاجية ، وهو منهج فلسفي لا يزال شائعاً في الرياضيات. [ ٢ ]

الجدول الزمني للأنظمة البديهية حتى عام 1900

تم تطوير أنظمة بديهية رئيسية في القرن التاسع عشر. وشملت هذه الأنظمة الهندسة غير الإقليدية ، ونظرية المجموعات المجردة لجورج كانتور ، وبديهيات هيلبرت التنقيحية للهندسة الإقليدية .

تاريخمؤلفعملتعليقات
القرن الرابع قبل الميلاد إلى القرن الثالث قبل الميلادإقليدس الإسكندري​العناصريُعرف بأنه أقدم عرض بديهي موجود للهندسة المستوية الإقليدية ، ويغطي أيضًا أجزاء من نظرية الأعداد . [ 3 ]
نُشر عام 1677باروخ سبينوزاأخلاقيات، ترتيب هندسي يوضحكما هو الحال في كتابه "مبادئ الفلسفة الديكارتية" الصادر عام 1663، ادعى سبينوزا في كتابه "الأخلاق " أنه يستخدم "المنهج الهندسي" لإقليدس. ويُرى في الرأي الحديث أن "التناقض صارخ بين السعي لإثبات النقاط عن طريق الاستدلال الاستنتاجي من البديهيات الواضحة، وبين المصدر البديهي لتلك النقاط، وهو تجربة الحياة، وفي أحسن الأحوال مزيج من النظرية والحدس". [ 4 ]
1829نيكولاي لوباتشيفسكيО началан геометрии ("في أصل الهندسة")تُعتبر ورقة لوباتشيفسكي الآن أول منشور حول الهندسة المستوية البديهية التي تم تطويرها بدون بديهية التوازي لإقليدس، وبالتالي تأسيس موضوع الهندسة غير الإقليدية .
1879غوتلوب فريجBegriffsschriftنشر فريجه نظامًا رسميًا لأسس الرياضيات. في المصطلحات الحديثة، كان هذا النظام منطقًا من الدرجة الثانية ، [ 5 ] مع علاقة تطابق . وقد تم التعبير عنه بصيغة خطية لأشجار التحليل النحوي .
1882/3 إلى تسعينيات القرن التاسع عشروالتر فون ديكبديهيات نظرية الزمر المجردةيُنسب إلى فون دايك وضع بديهيات نظرية الزمر التي أصبحت الآن معيارًا. [ 6 ] ويتضح من تقديمه للزمر الحرة أنه كان يعمل وفقًا للمفهوم القياسي للزمرة المجردة . ومع ذلك، ليس من الواضح ما إذا كان وجود العناصر المعكوسة بديهيًا: إذ كان ذلك سيترتب على الافتراض الدلالي بأن الزمر هي زمر تبديل (التبديلات قابلة للعكس بحكم التعريف) أو تحويلات هندسية لها الخاصية نفسها. لم يُسهب أسلوب الخطاب السائد في تلك الفترة في شرح هذه النقاط. كان لدى جيمس بيربونت ، أحد "نظريي المسلمات" الأمريكيين، بحلول عام 1896 مجموعة من بديهيات الزمر. وهي من النوع الحديث، على الرغم من أن تفرد عنصر المحايد (على سبيل المثال) لم يكن مفترضًا. [ 7 ]
1888ريتشارد ديديكيندبناء الأعداد الحقيقيةعندما قدّم ديديكيند بناءه للأعداد الحقيقية باستخدام قطوع ديديكيند ، كانت بديهيات الأعداد الحقيقية مجرد مفاهيم رياضية شائعة ؛ إذ سيُعرّف جزء منها لاحقًا الحقل المرتب . وكان الشرط الإضافي هو وجود نظرية للنهايات الرياضية . [ 8 ] على سبيل المثال، يتطلب فهم فكرة أن خط الأعداد الحقيقية يُشكّل سلسلة متصلة خطية معالجة مفارقات زينون التاريخية ؛ وكذلك توضيح مسألة عدم تفرّد التمثيلات العشرية ، بحيث يكون 0.999... = 1، من خلال إخضاعها لبرهان رياضي . وقد أرست نمذجة ديديكيند لبديهيات الأعداد الحقيقية هذه المسائل على أسس متينة. عمليًا، يمكن أيضًا إثبات النظريات التي تم إثباتها باستخدام قطوع ديديكيند، والتي كانت نتائج أساسية في التحليل الحقيقي ، باستخدام بنى أخرى، مثل متواليات كوشي للأعداد النسبية. بعبارة أخرى، كانت بديهيات قابلة للتحقق، ومن أمثلتها خاصية أرخميدس .
1889جوزيبي بيانومبادئ الحساب، شرح طريقة جديدةبعد بعض الأعمال السابقة للآخرين، وفرت بديهيات بيانو أساسًا بديهيًا للعمليات الحسابية على الأعداد الطبيعية ، والاستقراء الرياضي ، الذي حظي بقبول واسع.
1898ألفريد نورث وايتهيدرسالة في الجبر الشاملقدم وايتهيد أول نظام بديهي للجبر البولياني ، كما قدمه جورج بول في عمل أساسي حول المنطق والاحتمالات. [ 9 ]
1899ديفيد هيلبرتأسس الهندسةقدم ما يُعرف الآن باسم بديهيات هيلبرت ، وهي عبارة عن صياغة بديهية منقحة للهندسة الصلبة .

الوضع في بداية القرن العشرين

كان ديفيد هيلبرت أول من تبنى المنهج البديهي صراحةً كإطار بحثي لدراسة أسس الرياضيات . [ 10 ] بالنسبة لهيلبرت، كانت إحدى القضايا التأسيسية الرئيسية هي الوضع المنطقي لنظرية المجموعات لكانتور . في قائمته التي تضم 23 مسألة غير محلولة في الرياضيات من عام 1900، جعل هيلبرت فرضية الاستمرارية المسألة الأولى في القائمة. [ 11 ]

تطلّبت المسألة السادسة لهيلبرت "وضع أسس بديهية لجميع فروع العلوم التي تلعب فيها الرياضيات دورًا هامًا". وكان يقصد على الأقل المجالات الرئيسية في الفيزياء الرياضية والاحتمالات. [ 12 ] [ 13 ] وقد كتب جورجيو إسرائيل عن أثر ذلك على العلم:

أسسها عالم الرياضيات فيليكس كلاين ... ووجهت مدرسة غوتنغن، بتأثير من ديفيد هيلبرت، جهودها نحو... نظرية المجموعات، والتحليل الوظيفي، وميكانيكا الكم، والمنطق الرياضي. وقد فعلت ذلك من خلال تبنيها المنهج البديهي كمبدأ منهجي لها، وهو المنهج الذي أحدث ثورة في علوم القرن العشرين، من نظرية الاحتمالات إلى الفيزياء النظرية. [ 14 ]

يعلق إسرائيل أيضًا على المقاومة الثقافية، على الأقل في فرنسا وإيطاليا، لهذا "النموذج الألماني" ونطاقه الدولي. [ 14 ] استمع المؤتمر الدولي الأول للرياضيات إلى آراء هنري بوانكاريه من فرنسا حول الفيزياء الرياضية؛ وكانت قائمة هيلبرت بمثابة مساهمة في المؤتمر الثاني. [ 15 ] اتخذت المدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية موقفًا مختلفًا تجاه العمل البديهي في بناء النظرية والتدريس. [ 16 ]

الجدول الزمني للأنظمة البديهية منذ عام 1901

في الفترة التي سبقت عام 1950، حظيت معظم فروع الرياضيات البحتة بأسس بديهية مقبولة على نطاق واسع. وتعايشت أنظمة متعددة في نظرية المجموعات البديهية . وبدأ كتابة الرياضيات بأسلوب أكثر إحكاماً وأقل إسهاباً، وإن كان لا يزال غير رسمي.

من جهة أخرى، تعرض النهج المرتبط بهيلبرت، والذي يعتبر المنهج البديهي أساسيًا، للنقد. وقد أسفر جزء من نقد إل إي جيه براور لبرنامج هيلبرت برمته عن وضع بديهيات للمنطق الافتراضي الحدسي على يد أرند هيتينغ . [ 17 ] وقد سمح هذا النهج بالتوفيق بين البنائية في الرياضيات و"الاستنتاجية"، من خلال تبادل حساب التفاضل والتكامل المنطقي، تحت مسمى تفسير براور-هيتينغ-كولموغوروف .

تاريخمؤلفعملتعليقات
من عام 1908 إلى عام 1922إرنست زيرميلو وأبراهام فرانكلنظرية المجموعات لزيرميلو-فرانكلاستنادًا إلى نظرية زيرميلو للمجموعات من عام 1908، قدمت نظرية زيرميلو-فرانكل (ZF) أساسًا بديهيًا لنظرية المجموعات مع نظام بديهي مُوضَّح (مع اعتماد قيد على منطق الرتبة الأولى ). وبإضافة بديهية الاختيار ، وفرت نظرية ZFC أساسًا عمليًا لجزء كبير من الرياضيات الكلاسيكية. [ 18 ]
1910إرنست شتاينيتزنظرية الجبر دير كوربرقدم شتاينيتز، متأثراً بتقديم كورت هينسل للأعداد p-adic ، نظرية بديهية لمفهوم الحقل في الجبر المجرد. [ 19 ]
من عام 1911 إلى عام 1913ألفريد نورث وايتهيد وبرتراند راسلمبادئ الرياضيات (3 مجلدات)عملٌ مُكرَّسٌ لمبدأ الصياغة البديهية للرياضيات، تناول مفارقات نظرية المجموعات من خلال نسخةٍ فريدةٍ من نظرية الأنواع ( النظرية المتفرعة للأنواع ). لا يتضمن هذا النظام بديهية الامتداد . [ 20 ] [ 21 ]
1913هيرمان ويلDie Idee der Riemannschen Fläche [ 22 ]أعطى فايل مفهوم سطح ريمان في التحليل المركب معالجة بديهية، حيث عرّفه بأنه متعدد الشعب المركب ذو البعد الواحد من حيث أنظمة الجوار . [ 23 ]
1914فيليكس هاوسدورفGrundzüge der Mengenlehreتضمن الكتاب بديهيات لما يسمى الآن بالفضاء الطوبولوجي هاوسدورف ، بالاعتماد على استخدام فايل للجوار. [ 23 ]
1915موريس فريشيهالمقاييس المجردة على فضاءات القياستم التعامل مع أفكار مقياس ليبيغ والتكامل المرتبط به، والتي تم تقديمها أولاً على الخط الحقيقي والفضاءات الإقليدية ، بشكل بديهي على أنظمة المجموعات . [ 24 ]
1920ستيفان باناشفضاء متجهي معياري كامليُعرف الآن باسم فضاء باناخ ، وهو الإطار الكلاسيكي للتحليل الوظيفي ؛ في البداية تم افتراض فضاء متجه حقيقي . [ 25 ]
1921جون ماينارد كينزرسالة في الاحتمالاتأخضعت أعمال كينز الاحتمالات للمنطق، متأثرة بكتابه "مبادئ الرياضيات" . وقدمت معالجة بديهية لتفسيرات الاحتمالات .
1921إيمي نوثرالنظرية المثالية في Ringbereichen [ 26 ]قدّمت ورقة نوثر شرط السلسلة الصاعدة على المُثُل كمسلّمة في الحلقات التبديلية ، مما أدى إلى ظهور فئة فرعية تُعرف الآن باسم الحلقات النوثرية . وقد سمحت هذه الورقة بإثبات استقرائي مباشر لنظرية أساس هيلبرت . كما تُعتبر بداية حقبة في الجبر المجرد. [ 27 ] [ 28 ]
1923نوربرت وينرعملية وينرقام وينر بوضع مقياس يحدد نموذج عملية عشوائية للحركة البراونية . [ 29 ]
1932أوزوالد فيبلين وجيه إتش سي وايتهيدأسس الهندسة التفاضلية (1932)قدم العمل التعريف البديهي المقبول للمتشعب التفاضلي ، [ 30 ] بصرف النظر عن بعض المشكلات المتعلقة ببديهيات الفصل .
1932جون فون نيومانالرياضيات الكبرى في الميكانيك الكمي ، بديهيات ديراك-فون نيومانمساهمة في الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم ، تعود إلى ورقة بحثية نشرها فون نيومان عام 1927، تقترح وضع بديهيات للأعمال التأسيسية لميكانيكا الكم ، مصممة رسميًا على رموز بول ديراك . وقد استخدمت أساليب فضاء هيلبرت المجردة والمؤثرات غير المحدودة . [ 31 ]
1933أندريه كولموغوروفبديهيات الاحتمالأخضع عمل كولموغوروف، في الواقع، الاحتمال الرياضي لنظرية القياس ، مع إبقاء تفسيرها مفتوحًا. ولذلك، بنى القيم المتوقعة على تكامل لوبيغ . [ 32 ] ومنذ جورج بولمان في بداية القرن، ظهرت العديد من الصيغ البديهية. وكان جعل الاحتمال دالة مجموعة سيجما جمعية بشكل تعسفي أمرًا حاسمًا. [ 33 ]
1945صموئيل إيلنبرغ ونورمان ستينرودبديهيات إيلنبرغ-ستينرودنظام بديهي لنظرية التماثل في الطوبولوجيا الجبرية ، وقد عكس التطورات منذ أن دعا نوثر إلى تنظيم فئات التماثل على مبادئ الجبر المجرد. [ 27 ]
1945–1950لوران شوارتزنظرية التوزيعاتباستخدام الازدواجية للفضاءات المتجهة الطوبولوجية لدوال الاختبار، قدم شوارتز معالجة بديهية موحدة لدالة ديراك دلتا وعدد من طرق المؤثرات الرسمية الأخرى ، والنظرية الهندسية للتيارات . [ 34 ]

الوضع في منتصف القرن العشرين

كانت ثلاث سمات بارزة للرياضيات في عام 1950 هي:

البديهيات على طريقة بورباكي

كانت أهداف بورباكي تقديم معالجة شاملة للرياضيات، تتسم بما يلي: (أ) أن تكون بديهية، تستند إلى أساس منطقي مبسط في نظرية المجموعات؛ (ب) أن تتبع نهج هيلبرت ومدرسة غوتنغن، مع استبعاد متطلبات الفيزياء والحوسبة؛ (ج) أن تكون بمثابة استقبال فرنسي للتطورات المعاصرة. وقد أُنجز العمل الأولي كرد فعل حاد من جيل الشباب الأتراك على كتاب "Cours d'analyse mathématique" ، وهو نص مرجعي في التحليل الكلاسيكي من مطلع القرن العشرين، من تأليف إدوارد غورسات ، وتأييدًا لكتاب "Moderne Algebra" من أوائل ثلاثينيات القرن العشرين حول الجبر المجرد ، من تأليف بارتل ليندرت فان دير فاردن . [ 35 ]

شرحت ورقة بحثية مجهولة المصدر من عام 1950، وهي في الواقع من تأليف جان ديودونيه ، موقف بورباكي من المنهج البديهي. [ 36 ] [ 37 ] ويُزعم أن الميزة الرئيسية للعمل البديهي تكمن في "تطوير" "الأشكال" الرياضية، أو البنى ؛ وهذا له الأولوية على العمل التأسيسي وتوضيح الاستدلال . ما كتبه ديودونيه كان يعكس عصره، كونه خروجًا عن مناهج هيلبرت، ولم يكن بعدُ وصولًا إلى البنية بالمعنى الذي تنطوي عليه تشاكلات نظرية الفئات . [ 37 ]

الجدول الزمني للأنواع التجريدية

لأغراض شرح برهانه لفرضية ريمان للمنحنيات فوق الحقول المنتهية ، استعان ويل بمصفوفة جاكوبي للمنحنى ، وبعض نتائج نظرية التقاطع . ولأنه كان يعمل على حقل ذي خاصية p بدلاً من الأعداد المركبة ، فقد استلزم تطبيق النتائج الكلاسيكية براهين جبرية بحتة. علاوة على ذلك، استخدم ويل بناءً لمصفوفة جاكوبي باعتبارها "تنوعًا مجردًا": كائنًا رياضيًا جوهريًا، وليس تنوعًا جبريًا إسقاطيًا موجودًا في فضاء إسقاطي مركب .

بعد جيل، ومع نشر كتاب الهندسة الجبرية لروبن هارتشورن ، اكتسب "التنوع المجرد" تعريفًا قياسيًا ضمن نظرية المخططات . [ 38 ]

تاريخمؤلفعملتعليقات
1882ريتشارد ديديكيند وهاينريش مارتن ويبرTheorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichenبالنسبة لمنحنى جبري غير قابل للاختزال C ، المعرّف على الأعداد المركبة، وحقل دالته F ، درس ديديكيند وويبر حلقة جزئية R بحيث يكون F حقل قسمتها . وقد أعادت دراسة المُثُل في R نقاط C ، مع عدد محدود من الاستثناءات. وكان هذا الإطار كافيًا لإثبات نظرية ريمان-روخ . [ 39 ]
1910إرنست شتاينيتزالإغلاق الجبريأي حقل K له إغلاق جبري، وهو حقل فريد أساسًا، يتألف من جميع جذور جميع كثيرات الحدود في متغير واحد ذات معاملات في K. [ 40 ] ويُمكن تلخيص مضمون النظرية الأساسية للجبر في القول بأن الأعداد المركبة هي الإغلاق الجبري للأعداد الحقيقية. ويمكن تصور الهندسة الجبرية على أي حقل K على أنها دراسة لمجموعات الحلول في إغلاقه الجبري لأنظمة كثيرات الحدود في أي عدد من المتغيرات.
حوالي 1911-1921هاينريش كورنبلوم (1890–1914)، إميل أرتيندوال زيتا المحليةبعد أن استخدمت أطروحة كورنبلوم حول نظير حلقة كثيرات الحدود لنظرية ديريشليه حول المتتابعات الحسابية نظير عدم تلاشي دالة L ، ناقشت أطروحة آرتين بعنوان " الأجسام التربيعية في مجال المنحنيات الفائقة فوق حقل منتهٍ" الدالة المولدة التي تُسمى الآن دالة زيتا المحلية لمتنوعة فوق حقل منتهٍ. [ 41 ] وباعتبارها دالة كسرية ، فقد كانت لها أقطاب واضحة؛ وأصبحت أصفارها موضوعًا بحثيًا، باعتبارها نظيرًا لفرضية ريمان .
1931فريدريش كارل شميدتالمعادلة الوظيفية لدالة زيتا المحلية للمنحنياتعلّق ويل قائلاً إن عمل شميدت، الذي طبّق نظرية ريمان-روخ لإثبات نظير لمعادلة ريمان الدالية ، ونظرية هاس حول المنحنيات الإهليلجية ، استخدما امتدادًا مباشرًا لأسس ديديكيند-ويبر. فقد اعتبرا الإغلاق الجبري لحقل منتهٍ حقلًا من الثوابت. [ 42 ]
1932فولفغانغ كرولألجماينه Bewertungstheorie [ 43 ]وضع كرول بديهيات لمفهوم التقييم . ترتبط مجموعة تقييمات حقل الدوال لمتنوعة جبرية بالهندسة الثنائية النسبية لتلك المتنوعة؛ ولا تكون العلاقة بنقاط التنوع واضحة إلا في حالة المنحنيات. وقد استخدم عالما الهندسة أوسكار زاريسكي وشري رام أبهيانكار مصطلح " المواضع "، المبني على التقييمات . [ 44 ] وذكر زاريسكي أن عمله تأثر منذ ثلاثينيات القرن العشرين بورقة ديديكيند-ويبر. [ 39 ]
1941أندريه ويلأنواع مجردةفي ربيع عام ١٩٤١، وخلال دراسته في جامعة برينستون، سعى ويل، في محاولته وضع أسس كاملة لإثبات فرضية ريمان للمنحنيات فوق الحقول المنتهية ، إلى استخدام نوع من تنوع جاكوبيان على الإغلاق الجبري. وقد علّق لاحقًا بأن جبرائيي مدرسة إيمي نوثر كانوا قريبين جدًا من النظرة الثنائية النسبية للهندسة الإيطالية، وأن حاجته لم تُلبَّ بالنهج الثنائي النسبي للجاكوبيان عبر الضرب المتناظر . لذا، استخدم "جزءًا" من جاكوبيان، ببنيته الجمعية، كتنوع "مجرد". ثم وجد أن فرانشيسكو سيفيري قد أشار إلى هذه الفكرة في كتابه "Trattato di geometria algebrica: pt. 1. Geometria delle serie lineari" (١٩٢٦)، الصفحات  ٢٨٣-٢٨٤. [ ٤٥ ]
1944أوسكار زاريسكيسطح ريمان المجرد لزاريسكي (متعدد الشعب)ظهرت طوبولوجيا زاريسكي ، التي تجعل المجموعات الجبرية مجموعات مغلقة في الفضاء الأفيني ، حوالي عام 1941، بعد محاضرة ألقاها زاريسكي في جامعة برينستون . [ 46 ] بعد سنوات من شيوعها في الأوساط الرياضية، نشر زاريسكي نتيجة ذات صلة تتعلق بالتقييمات. بالنسبة للحقل K والحلقة الفرعية A ، درس زاريسكي مجموعة حلقات التقييم في K التي تحتوي على A ، والتي يكون حقل قسمتها مساويًا لـ K. وفرت هذه المجموعات الفرعية من جميع حلقات التقييم هذه في K أساس المجموعات المفتوحة للطوبولوجيا؛ وأثبت زاريسكي في الحالات الهندسية أن فضاء حلقات التقييم يصبح بذلك شبه متراص (أي ليس فضاءات هاوسدورف بشكل عام، ولكنه يتمتع بخاصية الغطاء المفتوح للفضاءات المتراصة ). [ 47 ]
1942–1944أندريه ويلمخططات للأصناف المجردةبحسب روايته الشخصية، كان ويل يكتب الفصل السابع من كتابه " أسس الهندسة الجبرية" ، الذي نُشر بعد بضع سنوات، بناءً على بعض الافتراضات العملية. وقد اعتمد الطريقة الخرائطية ، كما سماها، كما طبقها ويل وهاوسدورف وفيبلين ووايتهيد؛ ولم يستخدم طوبولوجيا زاريسكي، التي لم تكن قد نُشرت بعد للأصناف والمرتبطة بالهندسة الثنائية النسبية. وقد عرّف عدد التقاطع محليًا فقط. [ 48 ]
حوالي عام 1954كلود شوفاليالمخططات (النسخة الأولى)توصل شيڤالي إلى مفهوم أساسي يتألف من مجموعة من الحلقات المحلية ، مثل الحلقات المحلية المرتبطة بالتقييمات. [ 49 ] وقد ألقى محاضرة حول هذا الموضوع في اليابان عام 1954. [ 50 ] ومع ظهور نظرية الحزم ، أصبح من الممكن اعتبارها فضاءً حلقيًا . وكان هذا التعريف انتقاليًا.
حوالي عام 1956ألكسندر غروتينديكنظرية المخططاتبدأت بداية جديدة في وضع أسس بديهية مجردة للهندسة الجبرية بتعريف المخطط على أنه فضاء حلقي، حيث لكل نقطة فيه جوار على شكل Spec( A )، حيث A حلقة تبديلية و Spec تعني طيف حلقة تبديلية ، ونقاطها هي المُثُل الأولية . كان غروتينديك يعمل على هذه النظرية، الخاصة بالحلقات النويثرية، في ندوة شيڤالي عام 1956. وقد طُوّرت هذه النظرية في سلسلة كتب " عناصر الهندسة الجبرية" (Éléments de géométrie algébrique) ، التي شارك في تأليفها غروتينديك وديودونيه، والتي بدأت عام 1958. [ 51 ]

نظرية الحقل الكمومي البديهية

قدم آرثر وايتمان بديهيات معقولة لنظرية الحقل الكمومي، وهي بديهيات وايتمان . وقد أدت الحاجة إلى أمثلة غير بديهية لهذه البديهيات إلى ظهور نظرية الحقل الكمومي البنّاءة ، التي انطلقت بفضل أعمال آرثر جافي وأوسكار لانفورد ، في أطروحات الدكتوراه التي أشرف عليها وايتمان في منتصف الستينيات. [ 52 ]

مناقشة الأنظمة البديهية

في الرياضيات ، تُعرف عملية وضع البديهيات بأنها عملية أخذ مجموعة من المعارف والعمل عكسيًا للوصول إلى بديهياتها. وهي صياغة نظام من العبارات (أي البديهيات ) التي تربط عددًا من المصطلحات الأولية، بحيث يمكن استخلاص مجموعة متسقة من القضايا استنتاجيًا من هذه العبارات. بعد ذلك، ينبغي أن يكون برهان أي قضية، من حيث المبدأ، قابلًا للتتبع إلى هذه البديهيات. تتضمن عملية وضع البديهيات عادةً خيارات، وبمجرد أن تصبح النظرية بديهية، قد يكون من الممكن تغيير مجموعة البديهيات دون التأثير على النتائج الرياضية المترتبة عليها.

البديهيات والمسلمات

في المنطق اليوناني القديم ، كان يُعترف بالتباين بين البديهيات والمسلمات (مع العلم أن مصطلح "المسلمة" مصطلح إنجليزي مأخوذ من اللاتينية في العصور الوسطى ). وقد عكس هذا التباين، دون تطبيق متسق، البديهيات باعتبارها تتحدث عن مفاهيم أولية بطريقة ينبغي أن تكون أرضية مشتركة ؛ والمسلمات باعتبارها "طلبات" أو "مطالب" لأغراض الجدال . وكان رأي أرسطو بشأن المسلمات بسيطًا . [ 53 ]

منذ أعمال بول في أربعينيات القرن التاسع عشر، وفي إطار تقليد جبر المنطق ، تطور المنطق نفسه انطلاقًا من "المسلمات" وحدها. وبحلول نهاية القرن التاسع عشر، اعتُبرت النظرة التبسيطية بمثابة بحث في استقلال البديهيات. كما أُخذت الأناقة الرياضية في الاعتبار. [ 54 ] انتقد فريدريك شور عدم استقلال بديهيات هيلبرت في الهندسة الواردة في كتابه "أسس الهندسة" . [ 55 ]

الجدول الزمني للتحليل الافتراضي

بحسب سوزان ستيبينغ ، يُستخدم التحليل الافتراضي في بناء نظام استنتاجي . [ 56 ] وهو مصطلح يُطلق على تصحيح أو تعديل الأنظمة البديهية. يمكن إضافة البديهيات إلى النظام أو حذفها منه، كما يمكن تقويتها أو إضعافها. ومن الممكن أيضًا تغيير الحساب المنطقي المستخدم في الاستنتاج.

تاريخمؤلفعملتعليقات
القرن الرابع قبل الميلاد إلى القرن الثالث قبل الميلادإقليدس الإسكندري​العناصرالمصطلح اليوناني الذي استخدمه إقليدس هو αἰτήματα (aitēmata). [ 53 ] ترجمته الإنجليزية القياسية هي "postulate". [ 57 ]
1882موريتز باشبديهية باشقدّم باش بديهية في الهندسة المستوية لم يبرهنها إقليدس، لكنه استخدمها ضمنيًا. [ 58 ] لم تكن هذه البديهية نتيجةً لبديهيات إقليدس، أي أنها كانت مستقلة عن نظام إقليدس.
نشط بين عامي 1890 و 1930المدرسة الأمريكيةنظرية المسلماتكتب أبرامز: "بدأت الرياضيات في الولايات المتحدة تتطور على غرار التدقيق الداخلي والصرامة النظرية التي كانت قد بدأت تتطور بالفعل في أماكن مثل فرنسا وألمانيا منذ أوائل القرن التاسع عشر". وكانت "نظرية المسلّمات" جزءًا رئيسيًا من هذا التوجه المميز في الرياضيات البحتة الأمريكية . [ 59 ] ويشير سكانلان إلى "معايير المدرسة في وضع المسلّمات للنظريات الرياضية"، وإلى العمل على " الخصائص ما وراء النظرية مثل الاستقلال والاكتمال والاتساق ". وكان إي. في. هنتنغتون وأوزوالد فيبلين من الشخصيات البارزة في هذه المدرسة. وقد ساهموا، إلى جانب إي . إتش . مور وروبرت لي مور ، بشكل كبير في المساعي الدولية نحو الرياضيات المسلّماتية. [ 60 ] [ 61 ]
1904أوزوالد فيبلينالنظرية الفئويةأطلق فيبلن على النظرية اسم النظرية القطعية إذا كانت تحتوي أساسًا على نموذج واحد فقط. [ 62 ]
1910أكسل ثيوهناك مشاكل خاصة تتعلق بالسجلاتقدّم مسألة الكلمات لنظرية المعادلات ، وهي جانب من جوانب الجبر الشامل. [ 63 ] [ 64 ]
1915ليوبولد لوفنهايمÜber Möglichkeiten im Relativkalkülالشكل الأول لما يُعرف الآن بنظرية لوفنهايم-سكوليم ، وهي خطوة هامة في تحديد دور منطق الرتبة الأولى في الأعمال التأسيسية. وقد قام ثورالف سكوليم بتوضيح عمله وتعزيزه في عشرينيات القرن العشرين. [ 65 ]
1926أدولف ليندنبومجبر ليندنبوم-تارسكيأدى عمل ليندنبوم إلى ظهور المنطق الجبري . [ 66 ]
1933ألفريد تارسكيتعريف الحقيقةأدى نهج تارسكي، مع التمييز الواضح بين "لغة الموضوع" واللغة الفوقية المستخدمة لوصفها، إلى نظرية النموذج القائمة على تعريف الحقيقة من خلال الاستقراء البنيوي على المصطلحات في منطق الرتبة الأولى. [ 67 ]
1935غاريت بيركوفنظرية HSPأعاد بيركوف تأسيس الجبر الشامل ، متخذاً عنوان كتاب وايتهيد الذي صدر قبل جيل، حول مفهوم "تنوع الجبر". وبالاستناد إلى الأمثلة القديمة كالجبر البولياني والأعداد الرباعية ، كانت الدوافع هي الجبر الحر ، وتطبيقات من نظرية الترتيب ، مثل الشبكة المعيارية التي استغلها أويستين أور في سياق مدرسة نوثر للجبر المجرد. [ 68 ]
خمسينيات القرن العشرينمدرسة تارسكي في بيركلينظرية النموذج الكلاسيكيةتم تطوير نظرية النموذج إلى حد كبير من قبل طلاب تارسكي في جامعة كاليفورنيا، بيركلي منذ عام 1942، واستفادت من الأعمال السابقة لإنتاج دلالات مبدئية للأنظمة البديهية ضمن المنطق الرياضي . [ 69 ]
2024تيرينس تاومشروع النظريات المعادلات [ 70 ]مشروعٌ يهدف إلى معايرةٍ شاملةٍ للنظريات في منطق المعادلات للصهارة ، حيث تُستخدم العملية الثنائية أربع مراتٍ على الأكثر. يُحقق الترتيب الجزئي للنظريات T ≤ U عندما تستلزم T جميع النظريات التي تستلزمها U. كان الغرض من المشروع تحديد جميع حالات ≤، بحيث يُمكن رسم مخطط هاس دقيق للترتيب الجزئي. استُخدم برنامج مساعد البرهان في بعض الحالات. أُنجز المشروع في أبريل 2025. [ 71 ]

ملكيات

تتمثل أربع خصائص مهمة لنظام البديهيات في الاتساق، والاتساق النسبي، والشمولية، والاستقلالية. يُقال إن النظام البديهي متسق إذا كان خاليًا من التناقض . أي أنه يستحيل استنتاج كل من عبارة ونفيها من بديهيات النظام. [ 72 ] يُعد الاتساق شرطًا أساسيًا لمعظم الأنظمة البديهية، إذ أن وجود التناقض يسمح بإثبات أي عبارة ( مبدأ الانفجار ). أما الاتساق النسبي فيظهر عندما يتعذر علينا إثبات اتساق نظام البديهيات. مع ذلك، في بعض الحالات، يمكننا إثبات أن نظام البديهيات (أ) متسق إذا كانت مجموعة بديهيات أخرى (ب) متسقة. [ 72 ]

في النظام البديهي، يُطلق على البديهية اسم "مستقلة" إذا لم يكن بالإمكان إثباتها أو دحضها باستخدام بديهيات أخرى في النظام. ويُطلق على النظام اسم "مستقل" إذا كانت كل بديهية من بديهياته الأساسية مستقلة. [ 72 ] وعلى عكس الاتساق، فإن الاستقلال في كثير من الحالات ليس شرطًا ضروريًا لعمل النظام البديهي، مع أنه يُسعى إليه عادةً لتقليل عدد البديهيات في النظام.

يُطلق على النظام البديهي اسم النظام الكامل إذا كان بالإمكان اشتقاق كل عبارة، سواءً كانت هي نفسها أو نفيها، من بديهيات النظام، أي أنه يمكن إثبات صحة أو خطأ كل عبارة باستخدام البديهيات. [ 72 ] [ 73 ] مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه في بعض الحالات قد يكون من غير الممكن تحديد ما إذا كان بالإمكان إثبات صحة عبارة ما أم لا.

البديهيات والنماذج

النموذج لنظام بديهي هو بنية رسمية تُحدد معاني المصطلحات غير المُعرَّفة في النظام، بما يتوافق مع العلاقات المُعرَّفة فيه. إذا كان لنظام بديهي نموذج، يُقال إن البديهيات مُحققة . [ 74 ] وجود نموذج يُحقق نظامًا بديهيًا يُثبت اتساق النظام. [ 75 ]

يمكن أيضًا استخدام النماذج لإظهار استقلالية بديهية ما في النظام. فبناء نموذج لنظام فرعي (بدون بديهية محددة) يُظهر أن البديهية المحذوفة مستقلة إذا لم تكن صحتها بالضرورة ناتجة عن النظام الفرعي. [ 74 ]

يُقال إن نموذجين متماثلان إذا أمكن إيجاد تطابق تام بين عناصرهما، بطريقة تحافظ على علاقتهما. [ 76 ] يُطلق على النظام البديهي الذي يكون فيه كل نموذج متماثلًا مع نموذج آخر اسم النظام الفئوي . مع ذلك، يجب عدم الخلط بين هذا المصطلح وموضوع نظرية الفئات . تضمن خاصية الفئوية اكتمال النظام، لكن العكس ليس صحيحًا: فالاكتمال لا يضمن فئوية النظام، إذ يمكن أن يختلف نموذجان في خصائص لا يمكن التعبير عنها بدلالات النظام .

عدم الاكتمال

إذا لم يكن النظام الرسمي كاملاً ، فلا يمكن إرجاع كل برهان إلى بديهيات النظام الذي ينتمي إليه. على سبيل المثال، قد يكون من الممكن التعبير عن عبارة في نظرية الأعداد بلغة الحساب (أي لغة بديهيات بيانو)، وقد يُقدَّم برهان يستند إلى الطوبولوجيا أو التحليل المركب . وقد لا يكون من الواضح فوراً ما إذا كان بالإمكان إيجاد برهان آخر يستمد نفسه حصراً من بديهيات بيانو.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ غاوتش، هيو ج. (2012). المنهج العلمي باختصار . مطبعة جامعة كامبريدج. ص  136. ISBN 978-1-107-01962-1.
  2. ↑ باسيو، ألكسندر؛ بريجل، فابيان (25 أغسطس 2023). "الاستنتاجية في فلسفة الرياضيات" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  3. ↑ ليمان، إريك؛ ماير، ألبرت ر؛ لايتون، ف توم. الرياضيات لعلوم الحاسوب (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 10 يونيو 2023. تم الاطلاع عليه في 2 مايو 2023 .
  4. ↑ وونغ، ديفيد (5 سبتمبر 2024). "الفلسفة المقارنة: الصينية والغربية" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة خريف 2024). الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 . رقم OCLC 429049174 .   
  5. ↑ زالتا، إدوارد ن. (5 أغسطس 2023). "نظرية فريجه وأسس الحساب" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  6. ↑ كلاين، موريس (1 مارس 1990). الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة، المجلد 3. مطبعة جامعة أكسفورد. ص 1141. ISBN  978-0-19-977048-9.
  7. ↑ زيتاريلي، ديفيد إي.؛ دومباو، ديلا؛ كينيدي، ستيفن إف. (28 يوليو 2022). تاريخ الرياضيات في الولايات المتحدة وكندا: المجلد 2: 1900-1941 . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 72. ISBN  978-1-4704-6730-2.
  8. ↑ نارينز، لويس (11 سبتمبر 2014). نظريات المعنى . دار النشر النفسية. ص 8. ISBN  978-0-415-65456-2.
  9. ↑ بادمانابهان، رانغاناثان؛ رودينو، سيرجيو (2008). بديهيات الشبكات والجبر البولياني . وورلد ساينتيفيك. ص 73. ISBN  978-981-283-454-6.
  10. ↑ بالدوين، توماس (27 نوفمبر 2003). تاريخ كامبريدج للفلسفة 1870-1945 . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 142. ISBN  978-0-521-59104-1.
  11. ↑ غراي، جيريمي (2000). تحدي هيلبرت . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 7. ISBN  978-0-19-850651-5.
  12. ↑ عطية، مايكل فرانسيس (2014). الأعمال الكاملة . المجلد السابع. مطبعة كلارندون. ص 70. ISBN   978-0-19-968926-2.
  13. ^ كوري ، إل. (1 نوفمبر 2004). ديفيد هيلبرت وبديهية الفيزياء (1898-1918): من Grundlagen der Geometrie إلى Grundlagen der Physik . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص. 101. ردمك  978-1-4020-2777-2.
  14. 1 2 إيمر، ميشيل، محررة. (2 ديسمبر 2003). الرياضيات والثقافة 1. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 10. ISBN  978-3-540-01770-7.
  15. ↑ أرنولد، السادس (14 يوليو 2015). الرياضيات التجريبية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 4-5 . ISBN  978-0-8218-9416-3.
  16. ↑ سينتينا، أندريا ديل؛ جيميجليانو، أليساندرو (3 مارس 2025). من هنا إلى اللانهاية: تتبع أصل وتطور الهندسة الإسقاطية . سبرينغر نيتشر. ص 1739. ISBN  978-3-031-72585-2.
  17. ↑ بالدوين، توماس (27 نوفمبر 2003). تاريخ كامبريدج للفلسفة 1870-1945 . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 589. ISBN  978-0-521-59104-1.
  18. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "بديهيات زيرميلو-فرانكل" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31-10-2019 .
  19. ↑ كوري، ليو (6 ديسمبر 2012). الجبر الحديث ونشأة البنى الرياضية . بيركهاوزر. ص 195. ISBN  978-3-0348-7917-0.
  20. ↑ إيوالد، ويليام (17 نوفمبر 2018). "ظهور منطق الرتبة الأولى". في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  21. ↑ مارشيزوسكي، و. (29 يونيو 2013). قاموس المنطق كما يُطبَّق في دراسة اللغة: المفاهيم/الأساليب/النظريات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 401. ISBN  978-94-017-1253-8.
  22. ^ ويل ، هيرمان (1913). Die Idee der Riemannschen Fläche . لايبزيغ: بي جي تيوبنر.
  23. 1 2 ويلارد، ستيفن (12 يوليو 2012). الطوبولوجيا العامة . شركة كورير. ص 298. ISBN  978-0-486-13178-8.
  24. ↑ هايدي، سي سي؛ سينيتا، إي. (9 أغسطس 2001). إحصائيو القرون . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 331. ISBN  978-0-387-95283-3.
  25. ↑ جايلز، جيه آر (13 مارس 2000). مقدمة في تحليل الفضاءات الخطية المعيارية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 259. ISBN  978-0-521-65375-6.
  26. ^ نويثر ، إيمي (1 مارس 1921). "النظرية المثالية في Ringbereichen" . Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 83 ( 1 – 2): 24 – 66. دوى : 10.1007 / BF01464225 .
  27. 1 2 نيومان، هارفي ب.؛ إيبسيلانتس، توماس (6 ديسمبر 2012). تاريخ الأفكار الأصلية والاكتشافات الأساسية في فيزياء الجسيمات . 955: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-1-4613-1147-8.{{cite book}}: CS1 maint: location ( link )
  28. ↑ كلاينر، إسرائيل (2 أكتوبر 2007). تاريخ الجبر المجرد . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 94. ISBN  978-0-8176-4684-4.
  29. ↑ بروخوروف، يوري ف.؛ شيريايف، ألبرت ن. (14 مارس 2013). نظرية الاحتمالات 3: حساب التفاضل والتكامل العشوائي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 7. ISBN  978-3-662-03640-2.
  30. ↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "جون هنري قسطنطين وايتهيد" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
  31. ↑ غراتان-غينيس، إيفور (11 فبراير 2005). كتابات بارزة في الرياضيات الغربية 1640-1940 . إلسيفير. ص 194-195 . ISBN  978-0-08-045744-4.
  32. ↑ فيلينكين، ن. يا (29 يونيو 2013). في البحث عن اللانهاية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 107. ISBN  978-1-4612-0837-2.
  33. ^ أوجنجانوفيتش، زوران. راسكوفيتش، ميودراغ؛ ماركوفيتش ، زوران (24 أكتوبر 2016). المنطق الاحتمالي: إضفاء الطابع الرسمي على الاستدلال غير المؤكد على أساس الاحتمالية . سبرينغر. ص. 58. ردمك  978-3-319-47012-2.
  34. ↑ لوتزن، ج. (6 ديسمبر 2012). تاريخ نظرية التوزيعات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 2-3 . ISBN  978-1-4613-9472-3.
  35. ↑ مشعل، موريس (2006). بورباكي . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 47. ISBN  978-0-8218-3967-6.
  36. ↑ بورباكي، نيكولاس (1950). "هندسة الرياضيات" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 57 (4): 221-232 . doi : 10.2307/2305937 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2305937 .  
  37. 1 2 فيريرا، فرناندو؛ كالي، رينهارد. سوماروغا ، جيوفاني (13 أكتوبر 2022). التفكير البديهي أنا . طبيعة سبرينغر. ص. 86. ردمك  978-3-030-77657-2.
  38. ↑ هارتشورن، روبن (29 يونيو 2013). الهندسة الجبرية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 105. ISBN  978-1-4757-3849-0.
  39. 1 2 كوري، ليو (6 ديسمبر 2012). الجبر الحديث ونشأة البنى الرياضية . بيركهاوزر. ص 119 والملاحظة 128. ISBN  978-3-0348-7917-0.
  40. ↑ شامبير-لوار، أنطوان (21 ديسمبر 2007). دليل ميداني للجبر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 36. ISBN  978-0-387-26955-9.
  41. ↑ غولدشتاين، كاثرين ؛ شاباشر، نوربرت ؛ شويرمر، يواكيم ، محرران. (3 فبراير 2007). تشكيل علم الحساب بعد كتاب غاوس "Disquisitiones Arithmeticae" . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 176-177 . ISBN  978-3-540-34720-0.
  42. ↑ ويل، أندريه (1979). الأوراق المجمعة (بالفرنسية). المجلد الأول. سبرينغر. الصفحات 540-541 . ISBN   978-3-540-90330-7.
  43. ↑ كرول، فولفغانغ (1999). الأوراق المجمعة (بالألمانية). والتر دي غرويتر. ص 580. ISBN  978-3-11-012771-3.
  44. ↑ لانغ، سيرج (20 مارس 2019). مقدمة في الهندسة الجبرية . منشورات كوريير دوفر. ص 19. ISBN  978-0-486-83422-1.
  45. ↑ ويل، أندريه (1979). الأوراق المجمعة (بالفرنسية). المجلد الأول. سبرينغر. الصفحات 552-553 . ISBN   978-3-540-90330-7.
  46. ↑ جيمس، إيوان (2002). علماء رياضيات بارزون: من أويلر إلى فون نيومان . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 405. ISBN  978-0-521-52094-2.
  47. ↑ فونتانا، ماركو؛ فريش، صوفي؛ غلاز، سارة (15 يوليو 2014). الجبر التبادلي: التطورات الحديثة في الحلقات التبادلية، ومتعددات الحدود ذات القيم الصحيحة، ودوال متعددات الحدود . سبرينغر. ص 154. ISBN  978-1-4939-0925-4.
  48. ↑ ويل، أندريه (1979). الأوراق المجمعة (بالفرنسية). المجلد الأول. سبرينغر. ص 556. ISBN   978-3-540-90330-7.
  49. ↑ كرومر، رالف (25 يونيو 2007). الأداة والشيء: تاريخ وفلسفة نظرية الفئات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 164. ISBN  978-3-7643-7524-9.
  50. ↑ فانتيتشي، باربرا، محررة. (2005). الهندسة الجبرية الأساسية: شرح نظرية غروتينديك للهندسة الجبرية الأساسية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 248. ISBN  978-0-8218-4245-4.
  51. ↑ فانتيتشي، باربرا، محررة. (2005). الهندسة الجبرية الأساسية: شرح نظرية غروتينديك للهندسة الجبرية الأساسية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 249. ISBN  978-0-8218-4245-4.
  52. ↑ جيزتسي، فريتز (2007). نظرية الأطياف والفيزياء الرياضية: كتاب تذكاري بمناسبة عيد ميلاد باري سيمون الستين . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 71-72 . ISBN  978-0-8218-4248-5.
  53. 1 2 سميث، ديفيد إي. (1 يونيو 1958). تاريخ الرياضيات . شركة كورير. ص 280 والحاشية 5. ISBN  978-0-486-20430-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  54. ↑ بوريس، ستانلي؛ ليغريس، خافيير (12 فبراير 2021). "جبر التقاليد المنطقية". في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  55. ↑ غراي، جيريمي (2000). تحدي هيلبرت . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 104. ISBN  978-0-19-850651-5.
  56. ↑ بيني، مايكل؛ تشابمان، سيوبان (7 مايو 2025). "سوزان ستيبينغ". في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  57. ↑ توريتي، روبرتو (20 أكتوبر 2016). "هندسة القرن التاسع عشر". في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  58. ^ هفيدستن ، مايكل (8 ديسمبر 2016). استكشاف الهندسة . الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. ص. 66. ردمك  978-1-4987-6082-9.
  59. ↑ أبرامز، إيلين (2020). ""غير مدين لأحد": تأصيل وتصنيف عالم الرياضيات العصامي من منظور النوع الاجتماعي . دراسات تاريخية في العلوم الطبيعية . 50 (3): 218. ISSN 1939-1811 . JSTOR 48736256 .  
  60. ↑ سكانلان، مايكل (سبتمبر 1991). "من هم منظرو المسلّمات الأمريكيون؟". مجلة المنطق الرمزي . 56 (3): 981-1002 . doi : 10.2307/2275066 . JSTOR 2275066 . 
  61. ↑ بارشال، كارين هانغر ؛ رو، ديفيد إي. (1994). نشأة مجتمع البحث الرياضي الأمريكي، 1876-1900: جيه جيه سيلفستر، وفيليكس كلاين، وإي إتش مور . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 451. ISBN  978-0-8218-0907-5.
  62. ↑ مدخل "نظرية النموذج من الدرجة الأولى"بقلم ويلفريد هودجز في موسوعة ستانفورد للفلسفة ، 25 يناير 2024
  63. ↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "أكسل ثيو" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
  64. ↑ روزنبرغ، غريغورز؛ سالوما، أرتو (6 ديسمبر 2012). دليل اللغات الرسمية: المجلد 3 ما وراء الكلمات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 269. ISBN  978-3-642-59126-6.
  65. ↑ مدخل "ظهور منطق الرتبة الأولى"بقلم ويليام إيوالد في موسوعة ستانفورد للفلسفة ، 17 نوفمبر 2018
  66. ↑ جانسانا، رامون (20 مايو 2022). "المنطق الافتراضي الجبري". في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  67. ↑ ويلفريد، هودجز (21 سبتمبر 2022). "تعريفات تارسكي للحقيقة". في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة خريف 2022). الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 . رقم OCLC 429049174 .   
  68. ↑ أوليفيرا، جيه إس؛ روتا، جي سي، محرران. (1 يناير 1987). أوراق مختارة في الجبر والطوبولوجيا لغاريت بيركوف . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 111-113 . ISBN  978-0-8176-3114-7.
  69. ^ مانزانو ، ماريا (1999). نظرية النموذج . مطبعة كلارندون. ص. الحادي عشر. رقم ISBN  978-0-19-853851-6.
  70. ↑ "مشروع النظريات المعادلة" . teorth.github.io . تم ​​الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2025 .
  71. ↑ سيبيلويتش، جوردانا (30 أبريل 2025). "الجمال الرياضي والحقيقة والبرهان في عصر الذكاء الاصطناعي" . مجلة كوانتا .
  72. 1 2 3 4 أ. ج. هاوسون، دليل المصطلحات المستخدمة في الجبر والتحليل، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0521084342، 1972، 6 صفحات
  73. ↑ وايسشتاين، إريك و. "النظرية البديهية الكاملة" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31-10-2019 .
  74. 1 2 سي سي تشانغ وإتش جيه كيسلر "نظرية النموذج" إلسيفير 1990، ص 1-7
  75. ↑ سي سي تشانغ وإتش جيه كيسلر "نظرية النموذج" إلسيفير 1990، الصفحات 1-7، النظرية 1.2.11
  76. ↑ هودجز، ويلفريد ؛ سكانلون، توماس (2018)، "نظرية النموذج من الدرجة الأولى" ، في زالتا، إدوارد ن. (محرر)، موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة شتاء 2018)، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 أكتوبر 2019 

للمزيد من القراءة