قائمة أنواع الدوال

في الرياضيات ، يمكن تحديد الدوال وفقًا لخصائصها. وتصف هذه الخصائص سلوك الدوال في ظل ظروف معينة.

تتعلق هذه الخصائص بمجال الدوال ، ومجالها المقابل ، وصورتها .

• الدالة أحادية التقابل : لها قيمة مميزة لكل مدخل مميز. تُسمى أيضًا بالدالة أحادية التقابل، أو أحيانًا بالدالة أحادية التقابل. بعبارة أخرى، كل عنصر في المجال المقابل للدالة هو صورة لعنصر واحد على الأكثر من مجالها.
• الدالة الشاملة : لها صورة عكسية لكل عنصر من عناصر المجال المقابل ، أي أن المجال المقابل يساوي الصورة. وتسمى أيضاً بالدالة الشاملة أو الدالة المتداخلة .
• الدالة التقابلية : هي دالة حقن ودالة شاملة ، وبالتالي فهي قابلة للعكس .
• دالة الهوية : تربط أي عنصر معطى بنفسه.
• الدالة الثابتة : لها قيمة ثابتة بغض النظر عن مدخلاتها.
• الدالة الفارغة : التي يكون مجالها مساوياً للمجموعة الفارغة .
• دالة المجموعة : التي يكون مُدخلها مجموعة.
• دالة ذات قيم متعددة : قيمها عبارة عن مجموعات.
• دالة الاختيار تسمى أيضًا دالة التحديد أو دالة التوحيد : تقوم بتعيين أحد عناصر كل مجموعة.

تتعلق هذه الخصائص بكيفية تأثر الدالة بالعمليات الحسابية على وسيطها.

فيما يلي أمثلة خاصة على التماثل في عملية ثنائية :

• الدالة الجمعية : تحافظ على عملية الجمع: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ).
• الدالة الضربية : تحافظ على عملية الضرب: f ( xy ) = f ( x ) f ( y ).

بالنسبة للنفي :

• الدالة الزوجية متناظرة بالنسبة للمحور Y. بصورة رسمية، لكل x : f ( x ) = f ( −x ).
• الدالة الفردية : متناظرة بالنسبة إلى نقطة الأصل . بصورة رسمية، لكل x : f (−x ) = −f ( x ).

بالنسبة لعملية ثنائية وترتيب :

• الدالة شبه الجمعية : التي تكون قيمة f ( x + y ) فيها أقل من أو تساوي f ( x ) + f ( y ).
• الدالة فوق الجمعية : التي تكون قيمة f ( x + y ) فيها أكبر من أو تساوي f ( x ) + f ( y ).

• الدالة المتصلة : التي تكون فيها الصور العكسية للمجموعات المفتوحة مفتوحة.
• الدالة غير المتصلة في أي مكان : ليست متصلة عند أي نقطة من مجالها؛ على سبيل المثال، دالة ديريشليه .
• الدالة الثابتة محلياً : دالة متصلة في فضاء منفصل.
• التشاكل الموضعي : هو دالة تقابلية متصلة أيضًا، ودالتها العكسية متصلة.
• دالة الفتح : تربط المجموعات المفتوحة بالمجموعات المفتوحة.
• الدالة المغلقة : تربط المجموعات المغلقة بالمجموعات المغلقة.
• دالة مدعومة بشكل مضغوط : تختفي خارج مجموعة مضغوطة.
• دالة Càdlàg ، وتسمى أيضًا دالة RCLL، ودالة corlol، وما إلى ذلك: متصلة من اليمين، مع حدود من اليسار.
• الدالة شبه المتصلة : تقريبًا، قريبة من f ( x ) لبعض قيم y القريبة من x ولكن ليس كل قيم y (مصطلح تقني نوعًا ما).

بالنسبة للطوبولوجيا والترتيب:

• الدالة شبه المتصلة : شبه متصلة علوية أو سفلية.
• الدالة المتصلة من اليمين : لا يوجد قفزة عند الاقتراب من نقطة النهاية من اليمين. الدالة المتصلة من اليسار: تُعرَّف بشكل مشابه.
• دالة محدودة محلياً : محدودة حول كل نقطة.

• الدالة الرتيبة : لا تعكس ترتيب أي زوج من المدخلات.
• الدالة الرتيبة الصارمة : تحافظ على الترتيب المعطى.

• الدالة الحقيقية : دالة يكون مجالها حقيقياً .
• الدالة المركبة : دالة يكون مجالها مركباً .
• الدالة الهولومورفية : دالة ذات قيم مركبة لمتغير مركب قابلة للتفاضل عند كل نقطة في مجالها.
• الدالة الميرومورفية : دالة ذات قيم مركبة وهي هولومورفية في كل مكان، باستثناء النقاط المعزولة حيث توجد الأقطاب .
• الدالة الكاملة : دالة هولومورفية يكون مجالها هو المستوى المركب بأكمله .
• الدالة الرباعية : دالة يكون مجالها رباعيًا .
• الدالة فائقة التعقيد : دالة يكون مجالها فائق التعقيد (مثل الرباعيات، والثمانيات ، والسيدينيات ، والثلاثيات، وما إلى ذلك).
• الدالة p -adic : دالة يكون مجالها p -adic .
• الدالة المحدبة : القطعة المستقيمة الواصلة بين أي نقطتين على الرسم البياني تقع فوق الرسم البياني. وكذلك الدالة المقعرة .
• الدالة الحسابية : دالة من الأعداد الصحيحة الموجبة إلى الأعداد المركبة.
• الدالة التحليلية : يمكن تعريفها محلياً بواسطة متسلسلة قوى متقاربة .
• الدالة شبه التحليلية : ليست تحليلية، ولكنها لا تزال محددة محليًا بواسطة مشتقاتها عند نقطة ما.
• الدالة القابلة للتفاضل : لها مشتقة .
• دالة قابلة للتفاضل باستمرار : قابلة للتفاضل، مع مشتقة مستمرة.
• الدالة السلسة : لها مشتقات من جميع الرتب.
• دالة ليبشيتز ، دالة هولدر : أكثر من مجرد دالة متصلة بشكل منتظم .
• الدالة التوافقية : قيمتها في مركز الكرة تساوي متوسط ​​قيمتها على سطح الكرة (خاصية القيمة المتوسطة) . وهناك أيضاً الدالة التوافقية الفرعية والدالة التوافقية العليا .
• الدالة الأولية : تركيب العمليات الحسابية، والدوال الأسية ، واللوغاريتمات ، والثوابت، وحلول المعادلات الجبرية .
• الوظائف الخاصة : وظائف غير أساسية لها أسماء ورموز محددة نظراً لأهميتها.
  • قائمة أسماء الوظائف الخاصة
• الدوال المثلثية : تربط زوايا المثلث بأطوال أضلاعه.
• دالة غير قابلة للتفاضل في أي مكان تسمى أيضًا دالة وييرشتراس : متصلة في كل مكان ولكنها غير قابلة للتفاضل حتى عند نقطة واحدة.
• دالة سريعة النمو (أو متزايدة بسرعة)؛ على وجه الخصوص، دالة أكرمان .
• الدالة البسيطة : دالة ذات قيم حقيقية على مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية، تشبه دالة الخطوة .

• الدالة القابلة للقياس : الصورة العكسية لكل مجموعة قابلة للقياس هي دالة قابلة للقياس.
• دالة بوريل : الصورة العكسية لكل مجموعة بوريل هي مجموعة بوريل.
• دالة باير تسمى أيضًا دالة باير القابلة للقياس : يتم الحصول عليها من الدوال المستمرة عن طريق التكرار المتجاوز لعملية تشكيل النهايات النقطية لتسلسلات الدوال.
• الدالة المنفردة : دالة متصلة، ذات مشتقة صفرية في كل مكان تقريبًا ، ولكنها غير ثابتة.

• الدالة القابلة للتكامل : لها قيمة تكاملية (محدودة).
• الدالة القابلة للتكامل التربيعي : مربع قيمتها المطلقة قابل للتكامل.

بالنسبة للقياس والطوبولوجيا:

• دالة قابلة للتكامل محلياً : قابلة للتكامل حول كل نقطة.

• الدالة متعددة الحدود : تُعرَّف بتقييم متعددة الحدود .
  • الدالة الخطية ؛ وكذلك الدالة الأفينية .
  • الدالة التربيعية
  • الدالة التكعيبية
  • دالة من الدرجة الرابعة
  • الدالة الخماسية
• الدالة الكسرية : هي نسبة دالتين كثيرتي الحدود. وعلى وجه الخصوص، يُطلق على تحويل موبيوس أيضاً اسم الدالة الكسرية الخطية .
• الدالة الجبرية : تُعرَّف بأنها جذر معادلة متعددة الحدود.
• الدالة المتسامية : دالة تحليلية وليست جبرية. وتُعرف أيضاً بالدالة المتسامية الفائقة .
• الدالة المركبة : تتكون من تركيب دالتين f و g ، عن طريق تعيين x إلى f ( g ( x )).
• الدالة العكسية : يتم تعريفها عن طريق "فعل العكس" لدالة معينة (على سبيل المثال، دالة الجيب العكسية هي عكس دالة الجيب ).
• الدالة الضمنية : يتم تعريفها ضمنيًا من خلال علاقة بين الوسيط (الوسائط) والقيمة.
• الدالة متعددة التعريف : تُعرَّف بتعبيرات مختلفة على فترات مختلفة.
• الدالة القابلة للحساب : هي الدالة التي يمكن للخوارزمية أن تؤدي وظيفتها. وتُعرف أيضاً بالدالة شبه القابلة للحساب ، والدالة التكرارية الأولية ، والدالة التكرارية الجزئية .

بشكل عام، تُعرَّف الدوال غالبًا بتحديد اسم المتغير التابع، وطريقة حساب القيمة التي يجب أن يُقابلها. ولهذا الغرض، فإن${\displaystyle \mapsto }$رمز أو كنيسة${\displaystyle \lambda }$يُستخدم هذا الأسلوب بكثرة. كما يستخدم بعض علماء الرياضيات أحيانًا رموزًا لمجال الدالة ومجالها المقابل ، على سبيل المثال، .${\displaystyle f:A\rightarrow B}$تمتد هذه المفاهيم مباشرة إلى حساب التفاضل والتكامل لامدا ونظرية النوع ، على التوالي.

هذه دوال تعمل على دوال أخرى أو تُنتج دوالًا أخرى؛ انظر: الدوال ذات الرتبة العليا . ومن الأمثلة على ذلك:

• تركيب الدوال .
• المؤثرات التكاملية والتفاضلية .
• تحويلات فورييه .
• عمليات الطي والرسم .
• الكاري

نظرية الفئات هي فرع من الرياضيات يُضفي طابعًا رسميًا على مفهوم الدالة الخاصة باستخدام الأسهم أو التشكلات . الفئة هي كائن جبري يتكون (بشكل مجرد) من فئة من الكائنات ، ولكل زوج من الكائنات، مجموعة من التشكلات . تُوفر عملية ثنائية جزئية (مكافئة، ذات نوع تابع ) تُسمى التركيب على التشكلات، ولكل كائن تشكل خاص واحد منه إلى نفسه يُسمى التشكل المحايد على ذلك الكائن، ويجب أن تخضع كل من عملية التركيب والتشكلات المحايدة لعلاقات معينة.

في ما يُسمى بالفئة الملموسة ، ترتبط الكائنات ببنى رياضية مثل المجموعات ، والمجموعات المتجانسة ، والزمر ، والحلقات ، والفضاءات الطوبولوجية ، والفضاءات المتجهة ، والفضاءات المترية ، والترتيبات الجزئية ، والمشعبات التفاضلية ، والفضاءات المنتظمة ، وما إلى ذلك. وترتبط التشاكلات بين كائنين بدوال تحافظ على البنية بينهما. في الأمثلة المذكورة أعلاه، ستكون هذه الدوال ، وتشاكلات المجموعات المتجانسة ، وتشاكلات الزمر ، وتشاكلات الحلقات ، والدوال المتصلة ، والتحويلات الخطية (أو المصفوفات )، والخرائط المترية ، والدوال الرتيبة ، والدوال القابلة للتفاضل ، والدوال المتصلة بانتظام ، على التوالي.

باعتبارها نظرية جبرية، تتمثل إحدى مزايا نظرية الفئات في تمكين المرء من إثبات العديد من النتائج العامة بأقل قدر من الافتراضات. ويمكن تعريف العديد من المفاهيم الشائعة في الرياضيات (مثل الشمولية ، والحقنية ، والكائن الحر ، والأساس ، والتمثيل المنتهي ، والتشاكل ) بشكل خالص باستخدام مصطلحات نظرية الفئات (انظر: أحادية الشكل ، والتشاكل الفوقي ).

تم اقتراح نظرية الفئات كأساس للرياضيات على قدم المساواة مع نظرية المجموعات ونظرية الأنواع (انظر إلى التوبوس ).

توفر نظرية المجاز ^{[ 1 ]} تعميمًا مشابهًا لنظرية الفئات للعلاقات بدلاً من الدوال.

• الدالة المتناظرة : قيمتها مستقلة عن ترتيب وسائطها

• الدالة المعممة : تعميم واسع لدالة ديراك دلتا ، قادرة على وصف الضوضاء البيضاء وما إلى ذلك.
  • دالة ديراك دلتا : مفيدة لوصف الظواهر الفيزيائية مثل الشحنات النقطية.
• الدالة متعددة القيم : علاقة واحد إلى متعدد.
• الدالة العشوائية : عنصر عشوائي من مجموعة من الدوال.

• دالة ذات قيمة عددية
• دالة متعددة المتغيرات
• دالة ذات قيم متجهة

• قائمة الدوال الرياضية
• قائمة أنواع المجموعات