التطابق (الهندسة)

الموسوعة الحرة

المثلثان على اليسار متطابقان. المثلث الثالث مشابه لهما. أما المثلث الأخير فليس متطابقاً ولا مشابهاً لأي من المثلثات الأخرى. يسمح التطابق بتغيير بعض الخصائص، مثل الموقع والاتجاه، ولكنه يُبقي خصائص أخرى ثابتة، مثل المسافات والزوايا . تُسمى الخصائص الثابتة بالثوابت .

في الهندسة ، يكون شكلان أو جسمان متطابقين إذا كان لهما نفس الشكل والحجم ، أو إذا كان لأحدهما نفس الشكل والحجم كصورة معكوسة للآخر. [ 1 ]

بصورة أدق، يُقال إن مجموعتين من النقاط متطابقتان إذا، وفقط إذا، أمكن تحويل إحداهما إلى الأخرى بتحويل هندسي متساوي القياس ، أي بدمج حركات صلبة ، وهي: الإزاحة ، والدوران ، والانعكاس . وهذا يعني أنه يمكن إعادة وضع أي من الجسمين وعكسه (ولكن ليس تغيير حجمه) بحيث يتطابق تمامًا مع الجسم الآخر. لذلك، يكون شكلان مستويان مختلفان على ورقة متطابقين إذا أمكن قصهما ثم مطابقتهما تمامًا. ويُسمح بقلب الورقة.

يوضح هذا الرسم البياني المبدأ الهندسي لتطابق زوايا المثلثات وأضلاعها: إذا كان لدينا المثلث ABC والمثلث A'B'C'، فإن المثلث ABC يتطابق مع المثلث A'B'C' إذا وفقط إذا: كانت الزاوية CAB متطابقة مع الزاوية C'A'B'، والزاوية ABC متطابقة مع الزاوية A'B'C'، والضلع BC متطابق مع الضلع B'C'. لاحظ أن علامات التظليل تُستخدم هنا لإظهار تساوي الزوايا والأضلاع.

في الهندسة الابتدائية، يُستخدم مصطلح "متطابق" غالبًا على النحو التالي. [ 2 ] ويُستخدم مصطلح " متساوي" غالبًا بدلاً من "متطابق" لهذه الأشكال.

وبهذا المعنى، فإن جملة "شكلان مستويان متطابقان" تعني أن خصائصهما المتناظرة متطابقة (أو متساوية ) بما في ذلك ليس فقط أضلاعهما وزواياهما المتناظرة، ولكن أيضًا أقطارهما ومحيطاتهما ومساحاتهما المتناظرة.

ينطبق مفهوم التشابه ذو الصلة إذا كانت الأشياء لها نفس الشكل ولكن ليس بالضرورة أن يكون لها نفس الحجم. (تعتبر معظم التعريفات التطابق شكلاً من أشكال التشابه، على الرغم من أن قلة منها تشترط أن تكون الأشياء مختلفة الأحجام لكي تُعتبر متشابهة).

تحديد تطابق المضلعات

الأشكال الرباعية البرتقالية والخضراء متطابقة، أما الشكل الرباعي الأزرق فليس متطابقاً معهما. جميعها لها نفس المحيط والمساحة . (ترتيب أضلاع الشكل الرباعي الأزرق "مختلط"، مما ينتج عنه عدم تطابق زاويتين داخليتين وأحد الأقطار).

لكي يكون مضلعان متطابقين، يجب أن يكون لهما عدد متساوٍ من الأضلاع (وبالتالي عدد متساوٍ من الرؤوس ) . يكون مضلعان لهما n ضلعًا متطابقين إذا وفقط إذا كان لكل منهما تسلسل عددي متطابق (حتى لو كان باتجاه عقارب الساعة لأحد المضلعين وعكس اتجاه عقارب الساعة للآخر) ضلع-زاوية-ضلع-زاوية-... لـ n ضلعًا و n زاوية.

يمكن إثبات تطابق المضلعات بيانياً على النحو التالي:

  • أولاً، قم بمطابقة وتسمية الرؤوس المتناظرة للشكلين.
  • ثانيًا، ارسم متجهًا من أحد رؤوس أحد الشكلين إلى الرأس المقابل له في الشكل الآخر. ثم انقل الشكل الأول بمقدار هذا المتجه بحيث يتطابق هذان الرأسان.
  • ثالثًا، قم بتدوير الشكل المترجم حول الرأس المتطابق حتى يتطابق زوج واحد من الأضلاع المتناظرة .
  • رابعاً، اعكس الشكل المُدار حول هذا الجانب المتطابق حتى تتطابق الأشكال.

إذا تعذر إكمال الخطوة في أي وقت، فإن المضلعات لا تكون متطابقة.

تطابق المثلثات

يكون المثلثان متطابقين إذا كانت أضلاعهما المتناظرة متساوية في الطول، وزواياهما المتناظرة متساوية في القياس.

نكتب رمزياً تطابق وعدم تطابق مثلثين △ ABC و △ A′B′C′ على النحو التالي:

أبج≅أ′ب′ج′{\displaystyle ABC\cong A'B'C'}أبج≆أ′ب′ج′{\displaystyle ABC\ncong A'B'C'} في كثير من الحالات يكفي إثبات تساوي ثلاثة أجزاء متناظرة واستخدام إحدى النتائج التالية لاستنتاج تطابق المثلثين.

تحديد التطابق

يُحدد شكل المثلث، حتى التطابق، بتحديد ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (ضلع-زاوية-ضلع)، أو زاويتين والضلع المحصور بينهما (زاوية-زاوية-ضلع)، أو زاويتين والضلع المجاور لهما (زاوية-زاوية-ضلع). أما تحديد ضلعين وزاوية مجاورة لهما (ضلع-زاوية-ضلع)، فيمكن أن ينتج عنه مثلثان مختلفان.

يمكن إثبات وجود أدلة كافية على التطابق بين مثلثين في الفضاء الإقليدي من خلال المقارنات التالية:

  • SAS (ضلع-زاوية-ضلع): إذا كان زوجان من أضلاع مثلثين متساويين في الطول، وكانت الزوايا المحصورة بينهما متساوية في القياس، فإن المثلثين متطابقان.
  • SSS (ضلع-ضلع-ضلع): إذا كانت ثلاثة أزواج من أضلاع مثلثين متساوية في الطول، فإن المثلثين متطابقان.
  • ASA (زاوية-ضلع-زاوية): إذا كان زوجان من زوايا مثلثين متساويين في القياس، وكانت الأضلاع المحصورة بينهما متساوية في الطول، فإن المثلثين متطابقان.

تُنسب مسلمة ASA إلى طاليس الملطي . في معظم أنظمة البديهيات، تُثبت المعايير الثلاثة - SAS وSSS وASA - كنظريات . في نظام مجموعة دراسة الرياضيات المدرسية، تُعتبر SAS إحدى المسلمات الـ 22 (المسلمة رقم 15).

  • شرط الزاوية-الزاوية-الضلع ( AAS ): إذا تساوى قياس زاويتين في مثلثين، وتساوي طول ضلعين متناظرين غير محصورين بينهما، فإن المثلثين متطابقان. يُكافئ شرط AAS شرط الزاوية-الزاوية-الضلع (ASA)، حيث أنه إذا عُلمت أي زاويتين، فإن قياس الزاوية الثالثة يكون مُعطى أيضًا، لأن مجموعهما يساوي 180 درجة. يُدمج شرطا ASA وAAS أحيانًا في شرط واحد، وهو الزاوية-الضلع-الضلع المتناظر (AAcorrS) . [ 3 ]
  • RHS (الزاوية القائمة - الوتر - الضلع)، والمعروف أيضًا باسم HL (الوتر - الساق): إذا كان للمثلثين القائمين الزاوية أوتار متساوية في الطول، وكان زوج من الأضلاع الأخرى متساويًا في الطول، فإن المثلثين متطابقان.

زاوية جانبية

لا يُثبت شرط التطابق (ضلع-ضلع-زاوية) الذي يُحدد ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما (ويُعرف أيضًا بشرط التطابق (زاوية-ضلع-ضلع)) التطابقَ بحد ذاته. ولإثبات التطابق، يلزم توفر معلومات إضافية، مثل قياس الزوايا المتناظرة، وفي بعض الحالات أطوال زوجي الأضلاع المتناظرة. وهناك عدة حالات مُحتملة:

إذا حقق مثلثان شرط التطابق (ضلع-ضلع-زاوية) وكان طول الضلع المقابل للزاوية أكبر من أو يساوي طول الضلع المجاور (أي الضلع الطويل - الضلع القصير - الزاوية)، فإن المثلثين متطابقان. قد يكون الضلع المقابل أطول أحيانًا عندما تكون الزوايا المتناظرة حادة، ولكنه يكون دائمًا أطول عندما تكون الزوايا المتناظرة قائمة أو منفرجة. عندما تكون الزاوية قائمة، وهو ما يُعرف أيضًا بمسلمة الوتر-الضلع (HL) أو شرط الزاوية القائمة-الوتر-الضلع (RHS)، يمكن حساب طول الضلع الثالث باستخدام نظرية فيثاغورس، مما يسمح بتطبيق مسلمة التطابق (ضلع-ضلع-ضلع).

إذا حقق مثلثان شرط SSA وكانت الزوايا المتناظرة حادة وكان طول الضلع المقابل للزاوية يساوي طول الضلع المجاور مضروبًا في جيب الزاوية، فإن المثلثين متطابقان.

إذا حقق مثلثان شرط التطابق (ضلع-زاوية-ضلع) وكانت زواياهما المتناظرة حادة، وكان طول الضلع المقابل للزاوية أكبر من طول الضلع المجاور مضروبًا في جيب الزاوية (ولكنه أصغر من طول الضلع المجاور)، فلا يمكن إثبات تطابق المثلثين. هذه حالة غامضة ، ويمكن تكوين مثلثين مختلفين من المعلومات المعطاة، ولكن الحصول على معلومات إضافية تميز بينهما قد يؤدي إلى إثبات التطابق.

زاوية-زاوية-زاوية

في الهندسة الإقليدية، فإن AAA (زاوية-زاوية-زاوية) (أو AA فقط، لأنه في الهندسة الإقليدية مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة) لا يوفر معلومات حول حجم المثلثين، وبالتالي يثبت التشابه فقط وليس التطابق في الفضاء الإقليدي.

ومع ذلك، في الهندسة الكروية والهندسة الزائدية (حيث يختلف مجموع زوايا المثلث باختلاف حجمه) فإن AAA كافية للتطابق على سطح ذي انحناء معين. [ 4 ]

CPCTC

يشير هذا الاختصار إلى عبارة "الأجزاء المتناظرة في المثلثات المتطابقة متطابقة" ، وهي نسخة مختصرة من تعريف المثلثات المتطابقة. [ 5 ] [ 6 ]

بتفصيل أكثر، إنها طريقة مختصرة للقول بأنه إذا كان المثلثان ABC و DEF متطابقين، أي

△أبج≅△دهـF،{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF,}

إذا كانت لدينا أزواج متناظرة من الزوايا عند الرؤوس A و D و B و E و C و F ، وأزواج متناظرة من الأضلاع AB و DE و BC و EF و CA و FD ، فإن العبارات التالية صحيحة:

أب¯≅دهـ¯{\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}}بج¯≅هـF¯{\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}}أج¯≅دF¯{\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}}∠بأج≅∠هـدF{\displaystyle \angle BAC\cong \angle EDF}∠أبج≅∠دهـF{\displaystyle \angle ABC\cong \angle DEF}∠بجأ≅∠هـFد.{\displaystyle \angle BCA\cong \angle EFD.}

تُستخدم هذه العبارة غالبًا كمبرر في براهين الهندسة الابتدائية عندما تكون هناك حاجة إلى استنتاج تطابق أجزاء مثلثين بعد إثبات تطابقهما. على سبيل المثال، إذا تم إثبات تطابق مثلثين باستخدام معيار تطابق أضلاع المثلثات الثلاثة ( SSS) ، وكان مطلوبًا في البرهان إثبات تطابق الزوايا المتناظرة، فيمكن استخدام قاعدة تطابق أضلاع المثلثات المتناظرة (CPCTC) كمبرر لهذا الاستنتاج.

هناك نظرية ذات صلة هي CPCFC ، حيث يتم استبدال "المثلثات" بـ "الأشكال" بحيث تنطبق النظرية على أي زوج من المضلعات أو المجسمات المتطابقة.

تعريف التطابق في الهندسة التحليلية

في النظام الإقليدي ، يُعدّ التطابق أساسيًا؛ فهو المقابل للمساواة في الأعداد. في الهندسة التحليلية ، يُمكن تعريف التطابق بشكلٍ بديهي على النحو التالي: يكون تحويلان لأشكال هندسية إلى نظام إحداثيات ديكارتية واحد متطابقين إذا وفقط إذا كانت المسافة الإقليدية بين أي نقطتين في التحويل الأول مساوية للمسافة الإقليدية بين النقطتين المتناظرتين في التحويل الثاني.

ينص تعريف أكثر رسمية على أن مجموعتين جزئيتين A و B من الفضاء الإقليدي R n تُسميان متطابقتين إذا وُجد تقابل f :  R n → R n ( عنصر من المجموعة الإقليدية E ( n )) بحيث f ( A ) = B. التطابق هو علاقة تكافؤ .

القطوع المخروطية المتطابقة

يكون القطعان المخروطيان متطابقين إذا تساوت درجة انحرافهما المركزي مع أحد المعايير المميزة الأخرى التي تميزهما. تحدد درجة الانحراف المركزي شكليهما، ويكفي تساويهما لتحديد التشابه، بينما يحدد المعيار الثاني حجمهما. وبما أن الدائرتين أو القطعين المكافئين أو القطعين الزائدين المستطيلين لهما دائمًا نفس درجة الانحراف المركزي (وتحديدًا 0 في حالة الدوائر، و1 في حالة القطع المكافئ، و1 في حالة القطع الزائد)، فإن درجة الانحراف المركزي لهما تكون متطابقة.2{\displaystyle {\sqrt {2}}}في حالة القطع الزائد المستطيل)، تحتاج دائرتان أو قطعان مكافئة أو قطع زائد مستطيلة إلى قيمة معلمة مشتركة واحدة فقط، تحدد حجمهما، لكي تكون متطابقة.

متعددات السطوح المتطابقة

بالنسبة لمجسمين متعددَي السطوح من النوع التوافقي نفسه (أي لهما نفس عدد الحواف E ، ونفس عدد الأوجه ، ونفس عدد الأضلاع على الأوجه المتناظرة)، توجد مجموعة من E قياسات تُحدد ما إذا كان المجسمان متطابقين أم لا. [ 7 ] [ 8 ] هذا العدد محدود، بمعنى أن أقل من E قياسات غير كافية إذا كان المجسمان متشابهين ضمن نوعهما التوافقي. لكن يمكن استخدام عدد أقل من القياسات في حالات خاصة. على سبيل المثال، للمكعبات 12 حافة، لكن 9 قياسات تكفي لتحديد ما إذا كان مجسم متعدد السطوح من هذا النوع التوافقي متطابقًا مع مكعب منتظم مُعطى.

مثلثات متطابقة على كرة

كما هو الحال مع المثلثات المستوية، على سطح الكرة، يكون المثلثان اللذان يشتركان في نفس ترتيب الزوايا (زاوية-ضلع-زاوية) متطابقين بالضرورة (أي أن لهما ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا متطابقة). [ 9 ] ويمكن توضيح ذلك كما يلي: يمكن تحديد أحد رؤوس المثلث بزاوية معينة عند القطب الجنوبي، ثم رسم ضلع بطول معين على طول خط غرينتش. بمعرفة الزاويتين عند طرفي القطعة المستقيمة ذات الطول الثابت، نضمن أن الضلعين الآخرين ينطلقان في مسار محدد بشكل فريد، وبالتالي سيلتقيان في نقطة محددة بشكل فريد؛ ومن ثم فإن ترتيب الزوايا (زاوية-ضلع-زاوية) صحيح.

تنطبق نظريات التطابق ضلع-زاوية-ضلع (SAS) وضلع-ضلع-ضلع (SSS) أيضًا على الكرة؛ بالإضافة إلى ذلك، إذا كان لمثلثين كرويين تسلسل زوايا-زوايا-زوايا متطابق (AAA)، فإنهما متطابقان (على عكس المثلثات المستوية). [ 9 ]

لا تنطبق نظرية تطابق المثلثات المستوية (زاوية-زاوية-ضلع) على المثلثات الكروية. [ 10 ] وكما هو الحال في الهندسة المستوية، فإن نظرية تطابق الضلع-الضلع-الزاوية (ضلع-ضلع-زاوية) لا تستلزم التطابق.

الترميز

يُستخدم رمز المساواة مع علامة المد فوقه، ≅ ، بشكل شائع للدلالة على التطابق، وهو ما يُقابل حرف يونيكود "يساوي تقريبًا" (U+2245). في المملكة المتحدة، يُستخدم أحيانًا رمز المساواة بثلاثة خطوط ≡ (U+2261).

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كلافام، سي.؛ نيكلسون، ج. (2009). "قاموس أكسفورد الموجز للرياضيات، الأشكال المتطابقة" (ملف PDF) . أديسون-ويسلي. ص  167. مؤرشف من الأصل في 29 أكتوبر 2013. تم الاطلاع عليه في 2 يونيو 2017 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط )
  2. ↑ "التطابق" . مرجع الرياضيات المفتوح. 2009. تم الاطلاع عليه في 2 يونيو 2017 .
  3. ↑ بار، هـ. إي. (1970). دورة مراجعة في الرياضيات المدرسية . كتب الرياضيات المدرسية، الطبعة الثانية. جي. بيل وأولاده المحدودة. رقم ISBN 0-7135-1717-4.
  4. ↑ كورنيل، أنطونيو (2002). الهندسة للمدارس الثانوية . كتب الرياضيات، الطبعة الثانية. بوكمارك إنك. ISBN 971-569-441-1.
  5. ↑ جاكوبس، هارولد ر. (1974). الهندسة . دبليو إتش فريمان. ص 160. ISBN  0-7167-0456-0.يستخدم جاكوبس صيغة مختلفة قليلاً من العبارة.
  6. ↑ "المثلثات المتطابقة" . ملخصات كليف . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 فبراير 2014 .
  7. ↑ بوريسوف، ألكسندر؛ ديكنسون، مارك؛ هاستينغز، ستيوارت (مارس 2010). "مسألة تطابق للمجسمات متعددة الأوجه". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 117 (3): 232-249 . arXiv : 0811.4197 . doi : 10.4169/000298910X480081 . S2CID 8166476 . 
  8. ↑ كريتش، أليكسا. "مشكلة التطابق" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 11 نوفمبر 2013.
  9. 1 2 بولين، مايكل (9 سبتمبر 2003). "استكشاف الهندسة الكروية" (ملف PDF) . الصفحات 6-7 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022. 
  10. ↑ هولير، ل. "الشريحة 89 من 112" .