مكعب قصير

في الهندسة ، يُعرف المكعب المقطوع ، أو المكعب الثماني الأوجه المقطوع ، بأنه مجسم أرخميدسي ذو 38 وجهًا: 6 مربعات و32 مثلثًا متساوي الأضلاع . وله 60 ضلعًا و24 رأسًا . أطلق عليه كيبلر هذا الاسم لأول مرة باللاتينية " cubus simus" عام 1619 في كتابه "Harmonices Mundi" . ^{[ 1 ]} وأشار إتش إس إم كوكسيتر ، إلى إمكانية اشتقاقه من ثماني الأوجه كما من المكعب، وأطلق عليه اسم " المكعب الثماني الأوجه المقطوع" ، مع رمز شلافلي ممتد رأسيًا.${\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$، ويمثل تناوبًا لمكعب ثماني الأوجه مقطوع ، والذي له رمز شلافلي${\displaystyle t\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$.

المكعب المشوه، مثل المجسم الاثني عشري المشوه ، هو كيرالي ، مما يعني أنه لا يساوي صورته المرآوية؛ فله شكلان صحيحان بنفس القدر.

يمكن توليد المكعب المقطوع عن طريق أخذ الوجوه الستة للمكعب، وسحبها للخارج بحيث لا تتلامس، ثم إعطاء كل منها دورانًا صغيرًا حول مركزها (جميعها في اتجاه عقارب الساعة أو جميعها عكس اتجاه عقارب الساعة) حتى يمكن ملء الفراغات بينها بمثلثات متساوية الأضلاع . ^{[ 2 ]}

يمكن أيضًا بناء المكعب المشوه من مجسم ثماني الأوجه مكعب معيني . يبدأ بتدوير وجهه المربع (باللون الأزرق)، مما يسمح بتدوير مثلثاته (باللون الأحمر) تلقائيًا في اتجاهين متعاكسين، لتشكيل وجوه مربعة أخرى (باللون الأبيض) على هيئة أشكال رباعية مائلة يمكن ملؤها بمثلثين متساويي الأضلاع. ^{[ 3 ]}

يمكن اشتقاق المكعب المقطوع من المكعب الثماني الأوجه المبتور بعملية التناوب . تشكل 24 رأسًا من رؤوس المكعب الثماني الأوجه المبتور متعدد السطوح مكافئًا طوبولوجيًا للمكعب المقطوع؛ بينما تشكل الرؤوس الـ 24 الأخرى صورته المرآوية. متعدد السطوح الناتج متعدٍ على الرؤوس ولكنه غير منتظم.

تناوب منتظم لمكعب ثماني الأوجه مقطوع

نموذج ثلاثي الأبعاد لمكعب قصير ومرآته

المكعب المقطوع هو مجسم أرخميدسي ، أي أنه متعدد السطوح متناظر للغاية وشبه منتظم، وتلتقي فيه وجهان أو أكثر من الأوجه المضلعة المنتظمة المختلفة عند رأس واحد. ^{[ 5 ]} وهو كيرالي ، أي أن له شكلين مختلفين عند انعكاسه . لذلك، يتمتع المكعب المقطوع بتناظر ثماني السطوح الدوراني.${\displaystyle \mathrm {O} }$[ ^{6 ] [ 7 ]} الوجوه المضلعة التي تلتقي عند كل رأس هي أربعة مثلثات متساوية الأضلاع ومربع واحد، وشكل ^رأس المكعب المقطوع هو${\displaystyle 3^{4}\cdot 4}$المجسم الثنائي لمكعب مقطوع هو مجسم خماسي ذو عشرين وجهًا ، وهو مجسم كاتالاني . ^{[ 8 ]} وهو أيضًا مجسم كيرالي: في تدوين ديفيد ماكوي للشكلين الكيراليين لكل مجسم، يكون المجسم الثنائي لمكعب مقطوع يميني مجسمًا خماسيًا ذا عشرين وجهًا، والمجسم الثنائي لمكعب مقطوع ليفي مجسمًا خماسيًا ذا عشرين وجهًا. ^{[ 9 ]}

لمكعب قصير ذي طول حافة${\displaystyle a}$سواء كان الشكل كيراليًا يساريًا أو يمينيًا، فإن مساحة سطحه${\displaystyle A}$والحجم${\displaystyle V}$هي: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle A=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 19.856a^{2},\qquad V={\frac {8t+6}{3{\sqrt {2(t^{2}-3)}}}}a^{3}\approx 7.889a^{3}.}$$

نصف القطر المحيط${\displaystyle r_{\text{c}}}$(نصف قطر الكرة المماس للرؤوس) ونصف القطر المنتصف${\displaystyle r_{\text{m}}}$(نصف قطر الكرة المماسية للحواف) لمكعب مقطوع يتم صياغته بدلالة ثابت تريبوناتشي: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle r_{\text{c}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {t^{3}+1}},\quad r_{\text{m}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {t^{3}}}.}$$ يتميز المكعب القصير بمركز نصف قطر مربع${\displaystyle r_{4}}$ومركز نصف قطر المثلث${\displaystyle r_{3}}$، مصاغة على النحو التالي: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle r_{4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {t^{3}-1}},\quad r_{3}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {t^{3}-{\tfrac {1}{3}}}}.}$$ يحتوي المكعب المقطوع على زاويتين ثنائيتي السطوح (زاوية تتكون من وجهين مضلعين). وتتكون هاتان الزاويتان، على التوالي، من مربع ومثلث ومثلثين متجاورين ^{[ 11 ].}$${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(2-t^{2})\right),\quad \arccos \left({\tfrac {1}{3}}(1-2t)\right).}$$

يحتوي المكعب المقطوع على زاوية محصورة بواسطة حافة من المركز ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \arccos \left((t^{2}-2)^{-1}\right).}$$

يمكن تمثيل الهيكل العظمي لمكعب الحذف كرسم بياني يحتوي على 24 رأسًا و 60 حافة، وهو رسم بياني أرخميدسي . ^{[ 13 ]}

يوجد مكعب قصير عند نافورة معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا . ^{[ 14 ]}

في دراسة الكيمياء فوق الجزيئية ، يُعد المكعب المقطوع تطبيقًا لمتعدد السطوح الاصطناعي لمحاكاة بنية القفيصات الفيروسية وبروتين الفيريتين . ^{[ 15 ]}

• جاياتيلاكي، أودايا (مارس 2005). "حسابات على متعددات السطوح المنتظمة ذات الوجوه والرؤوس". المجلة الرياضية . 89 (514): 76-81 . doi : 10.1017/S0025557200176818 . S2CID 125675814 . 
• مكوي، ديفيد آي. (2015). "المجسمات المرئية" . تم الاسترجاع في 8 ديسمبر 2025 .

• وايسشتاين، إريك دبليو ، " المكعب المقطوع " (" المجسم الأرخميدي ") في عالم الرياضيات .
  • وايسشتاين، إريك دبليو. "الرسم البياني المكعب المقطوع" . عالم الرياضيات .
• كليتزينغ، ريتشارد. "متعددات السطوح المحدبة المنتظمة ثلاثية الأبعاد s3s4s - snic" .
• المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة
• المجسمات متعددة الأوجه في الواقع الافتراضي، موسوعة المجسمات متعددة الأوجه
• شبكة قابلة للتعديل والطباعة لمكعب سنوب مع عرض ثلاثي الأبعاد تفاعلي