مجسم ذو اثني عشر وجهًا قصيرًا

في الهندسة ، يعتبر المجسم ذو الاثني عشر وجهًا المقطوع ، أو المجسم ذو العشرين وجهًا المقطوع، مجسمًا أرخميديًا ، وهو واحد من ثلاثة عشر مجسمًا محدبًا متساوي الزوايا غير موشوري الشكل يتم بناؤه بواسطة نوعين أو أكثر من وجوه المضلعات المنتظمة .

يحتوي المجسم ذو الاثني عشر وجهاً المقطوع على 92 وجهاً (وهو العدد الأكبر بين المجسمات الأرخميدية الثلاثة عشر): 12 منها خماسية الأضلاع ، والـ 80 المتبقية مثلثات متساوية الأضلاع . كما يحتوي على 150 ضلعاً و60 رأساً.

له شكلان متميزان، وهما صورتان معكوسة (أو " متماثلان ضوئياً ") لبعضهما البعض. اتحاد كلا الشكلين هو مركب من اثنين من المجسمات ذات الاثني عشر وجهاً المقطوعة ، والغطاء المحدب لكلا الشكلين هو مجسم ذو عشرين وجهاً مقطوعاً .

بناء

يمكن بناء المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع من مجسم منتظم ذي اثني عشر وجهًا، وذلك بفصل جميع أوجهه الخماسية وملء الفراغات بمثلثات متساوية الأضلاع . يعود أصل التسمية إلى كتاب كيبلر " هارمونيسيس موندي" عام 1619، المكتوب باللغة اللاتينية باسم " dodecahedron simum" . وقد لاحظ إتش إس إم كوكسيتر أنه يمكن اشتقاقه بالتساوي من المجسم الثماني الأوجه المنتظم أو المجسم ذي العشرين وجهًا. ^{[ 1 ]}

رسم متحرك لمجسم ذي اثني عشر وجهًا مقطوعًا عن طريق التدوير

في المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم، يمكن توليد المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع عن طريق سحب الأوجه الخماسية الاثني عشر إلى الخارج بحيث لا تتلامس. عند مسافة مناسبة، يمكن تكوين المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا عن طريق ملء الفراغات بين الحواف المقسمة بالأوجه المربعة والفراغات بين الرؤوس المقسمة بالأوجه المثلثة. أما بالنسبة للشكل المقطوع، فيتم سحب الأوجه الخماسية إلى الخارج بشكل أقل قليلًا، وإضافة الأوجه المثلثة فقط، وترك الفراغات الأخرى فارغة (تكون هذه الفراغات مستطيلات في هذه المرحلة). ثم يتم تطبيق دوران متساوٍ على مراكز الخماسيات والمثلثات، مع الاستمرار في الدوران حتى يمكن ملء الفراغات بمثلثين متساويي الأضلاع. (يمكن ملاحظة حقيقة أن المقدار المناسب لسحب الوجوه للخارج أقل في حالة المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع بطريقتين: إما أن نصف قطر الدائرة المحيطة بالمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع أصغر من نصف قطر الدائرة المحيطة بالمجسم ذي العشرين وجهًا؛ أو أن طول ضلع المثلثات متساوية الأضلاع التي تشكلها الرؤوس المقسمة يزداد عند تدوير الوجوه الخماسية.)

تناوب منتظم لعشروني الوجوه مقطوع

يمكن اشتقاق المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع من المجسم ذي العشرين وجهًا المبتور عن طريق عملية التناوب . يشكل ستون رأسًا من رؤوس المجسم ذي العشرين وجهًا المبتور متعدد السطوح مكافئًا طوبولوجيًا لأحد المجسمات ذات الاثني عشر وجهًا المقطوعة؛ أما الستون رأسًا المتبقية فتشكل صورته المرآوية. متعدد السطوح الناتج متعدٍ على الرؤوس ولكنه غير منتظم.

الإحداثيات الديكارتية

ليكن $ξ \approx$ $ليكن$ $0.943$ $151$ $259$ $24$ هو الصفر الحقيقي لكثير الحدود التكعيبي $x³ + 2x² - φ² ،$ حيث $φ$ هي النسبة الذهبية . ولتكن النقطة $p$ معطاة بالعلاقة التالية $:$ $p={\begin{pmatrix}\varphi ^{2}-\varphi ^{2}\xi \\-\varphi ^{3}+\varphi \xi +2\varphi \xi ^{2}\\\xi \end{pmatrix}}.$ لنفترض أن $مصفوفات$ الدوران $M1$ و $M2$ معطاة كما $يلي$ $M_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2\varphi }}&-{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}&{\frac {\varphi }{2}}\end{pmatrix}},\quad M_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.$ $يمثل M1$ الدوران حول المحور ( $0، 1، φ)$ بزاوية 2π $/$ 5 عكس اتجاه عقارب $الساعة$ ، بينما يمثل $M2 ،$ وهو إزاحة دورية للمحور $(x ، y ، z)$ ، الدوران حول المحور $(1، 1، 1)$ بزاوية 2π / 3 . وبالتالي، فإن رؤوس المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع ، $وعددها$ 60 رأسًا، هي صور النقطة $p$ الستين الناتجة عن الضرب المتكرر بـ $M1$ $و$ /أو $M2$ $،$ حتى الوصول إلى التقارب. $($ تُنتج المصفوفتان $M1$ و $M2$ مصفوفات الدوران الستين التي تُقابل التناظرات الدورانية الستين لمجسم عشريني الوجوه منتظم .) إحداثيات الرؤوس هي تراكيب خطية صحيحة من $1،$ $φ$ $،$ $ξ$ $،$ $φξ$ $،$ $ξ2$ $،$ و $φξ2$ $.$ طول الحافة $يساوي$ $2\xi {\sqrt {1-\xi }}\approx 0.449\,750\,618\,41.$ إن عكس جميع الإحداثيات يعطي صورة معكوسة لهذا المجسم ذي الاثني عشر وجهاً المقطوع.

ملكيات

قياس

بالنسبة لمجسم ذي اثني عشر وجهًا مقطوعًا طول ضلعه 1، فإن مساحة سطحه هي $A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.287.$ حجمه هو $V={\frac {(3\varphi +1)\xi ^{2}+(3\varphi +1)\xi -\varphi /6-2}{\sqrt {3\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}}\حوالي 37.617.$

توجد كرتان داخليتان، إحداهما تلامس الأوجه المثلثية والأخرى، أصغر قليلاً، تلامس الأوجه الخماسية. أنصاف أقطارهما هي، على التوالي: ${\begin{aligned}r_{3}&={\frac {\varphi {\sqrt {3}}}{6\xi }}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2.077\,089\,659\,74\\[4pt]r_{5}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi ^{2}\xi ^{2}+3\varphi ^{2}\xi +{\frac {11}{5}}\varphi +{\frac {12}{5}}}}\approx 1.980\,915\,947\,28.\end{aligned}}$ بدلاً من ذلك، يمكن التعبير عن r ₃ و r ₅ كجذور لكثيرات الحدود التالية على التوالي:

$2985984x^{12}-14183424x^{10}+5723136x^{8}-478656x^{6}+12528x^{4}-360x^{2}+1$

$512000x^{12}-1920000x^{10}-460800x^{8}+424000x^{6}+53040x^{4}-20600x^{2}+961$

الجذور الحقيقية الأربعة الموجبة للمعادلة السداسية في R ² $4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$ هي أنصاف الأقطار المحيطة بالمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع ( U ₂₉ )، والمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع الكبير ( U ₅₇ )، والمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع الكبير المقلوب ( U ₆₉ )، والمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع العكسي الكبير ( U ₇₄ ).

كروية

يتمتع المجسم ذو الاثني عشر وجهًا المقطوع بأعلى نسبة كروية بين جميع المجسمات الأرخميدية. إذا عُرّفت الكروية بأنها نسبة مربع الحجم إلى مكعب مساحة السطح، مضروبة في ثابت يساوي 36π $($ حيث يجعل هذا الثابت كروية الكرة مساوية لـ 1)، فإن كروية المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع تبلغ حوالي 0.947. ^{[ 2 ]}

العلاقات الهندسية

بدلاً من ذلك، يمكن دمج رؤوس المجسم ذي الاثني عشر وجهاً المقطوع، المحدد بالإحداثيات الديكارتية (أعلاه)، مع صورته المرآوية، لتشكيل مجسم ذي عشرين وجهاً مقطوعاً شبه منتظم. يوضح الشكل على اليمين مقارنة بين هذه المجسمات المنتظمة وشبه المنتظمة.

تُحسب الإحداثيات الديكارتية لرؤوس هذا المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع البديل باختيار مجموعات من 12 (من أصل 24 تبديلًا زوجيًا ممكنًا موجودة في مجموعات الإحداثيات الديكارتية الخمسة للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع ). التبديلات هي تلك التي تحتوي على عدد فردي من الإشارات السالبة في هذه المجموعات الثلاث:

تراكب المجسمات العشرية الوجوه المبتورة المنتظمة وشبه المنتظمة والمجسمات الاثني عشرية الوجوه المقطوعة

${\begin{array}{cccccc}{\Bigl (}&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm [3+\varphi ]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm {\tfrac {1}{\varphi) }}&,&\pm \,\varphi ^{2}&,&\pm [3\varphi -1]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm [2\varphi -1]&,&\pm \,2&,&\pm [2+\varphi ]&{\Bigr )},\end{array}}$ وعدد زوجي من علامات السالب في هاتين المجموعتين: ${\begin{array}{cccccc}{\Bigl (}&\pm {\tfrac {2}{\varphi }}&,&\pm \,\varphi &,&\pm [1+2\varphi ]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm \,\varphi &,&\pm \,3&,&\pm \,2\varphi &{\Bigr )},\end{array}}$

أين $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ هي النسبة الذهبية . يتم الحصول على مرايا كل من المجسم العشري عشري المقتطع المنتظم وهذا المجسم الاثني عشري المقطوع البديل عن طريق تبديل المراجع الزوجية والفردية لكل من تبديلات الإشارة والموضع.

الأشكال متعددة السطوح والتبليطات ذات الصلة

عائلة من متعددات السطوح العشرية الوجوه المنتظمة v ت هـ
التناظر : [5,3] ، (*532)							[5,3] ⁺ , (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
ثنائيات متعددة السطوح منتظمة

الإصدار 5.5.5	الإصدار 3.10.10	الإصدار 3.5.3.5	الإصدار 5.6.6	الإصدار 3.3.3.3.3	الإصدار 3.4.5.4	الإصدار 4.6.10	الإصدار 3.3.3.3.5

هذا المجسم شبه المنتظم هو أحد عناصر سلسلة من المجسمات المقطوعة والتبليطات ذات شكل الرأس (3.3.3.3. n ) ومخطط كوكسيتر-دينكين . تتمتع هذه الأشكال وأشكالها الثنائية بتناظر دوراني ( n 32) ، حيث تقع في المستوى الإقليدي عندما n = 6، وفي المستوى الزائدي لأي قيمة أعلى من n . يمكن اعتبار السلسلة تبدأ من n = 2، حيث تتحول مجموعة واحدة من الأوجه إلى ثنائيات .

32 طفرة تناظرية للتبليطات المقطوعة: 3.3.3.3 . ن v ت هـ
التناظر ن 32	كروي				إقليدي	القطع الزائد المضغوط		Paracomp.
التناظر ن 32	232	332	432	532	632	732	832	∞ 32
أرقام غير مكتملة
التكوين	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3. ∞
شخصيات الجيروسكوب
التكوين	الإصدار 3.3.3.3.2	الإصدار 3.3.3.3.3	الإصدار 3.3.3.3.4	الإصدار 3.3.3.3.5	الإصدار 3.3.3.3.6	الإصدار 3.3.3.3.7	الإصدار 3.3.3.3.8	V3.3.3.3. ∞

رسم بياني ذو اثني عشر وجهًا مقطوعًا

في مجال نظرية المخططات الرياضية ، يُعرف مخطط الاثني عشري المقطوع بأنه مخطط رؤوس وحواف المجسم الاثني عشري المقطوع، وهو أحد المجسمات الأرخميدية . يحتوي على 60 رأسًا و150 حافة، وهو مخطط أرخميدي . ^[³^]

انظر أيضاً

رسوم متحركة لتحويل المضلع المستوي إلى متعدد السطوح
مجسم ذو اثني عشر وجهًا دوارًا من اليمين واليسار

مراجع

↑ كونواي، جون هـ.؛ بورجيل، هايدي؛ غودمان-ستروس، حاييم (2008)، تناظرات الأشياء ، مطبعة سي آر سي ، ص 287، رقم ISBN 978-1-4398-6489-0.
↑ أرافيند، ب.ك. (مارس 2011)، "ما مدى كروية الأجسام الأرخميدية ونظائرها؟"، مجلة الرياضيات الجامعية ، 42 (2): 98-107 ، doi : 10.4169/college.math.j.42.2.098
↑ ريد، آر سي؛ ويلسون، آر جيه (1998)، أطلس الرسوم البيانية ، مطبعة جامعة أكسفورد ، ص 269

جاياتيلاكي، أودايا (مارس 2005). "حسابات على متعددات السطوح المنتظمة ذات الوجوه والرؤوس". المجلة الرياضية . 89 (514): 76-81 . doi : 10.1017/S0025557200176818 . S2CID 125675814 .
ويليامز، روبرت (1979). الأساس الهندسي للبنية الطبيعية: كتاب مرجعي في التصميم . منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-23729-X.

(القسم 3-9)

كرومويل، ب. (1997). متعددات السطوح . المملكة المتحدة: كامبريدج. الصفحات 79-86 . المجسمات الأرخميدية . ISBN 0-521-55432-2.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو ، " المجسم ذو الاثني عشر وجهًا المقطوع " (" المجسم الأرخميدي ") في عالم الرياضيات .
- وايسستين ، إريك دبليو. “الرسم البياني ثنائي السطوح Snub” . عالم الرياضيات .
كليتزينغ، ريتشارد. "مجسمات متعددة السطوح محدبة منتظمة ثلاثية الأبعاد s3s5s - snid" .
شبكة قابلة للتعديل والطباعة لمجسم ذي اثني عشر وجهًا مقطوعًا مع عرض ثلاثي الأبعاد تفاعلي
المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة
المجسمات متعددة الأوجه في الواقع الافتراضي، موسوعة المجسمات متعددة الأوجه
مارك س. آدامز ومينو ت. كوسترز. حلول الحجم للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المقطوع

[1] كونواي، جون هـ.؛ بورجيل، هايدي؛ غودمان-ستروس، حاييم (2008)، تناظرات الأشياء ، مطبعة سي آر سي ، ص 287، رقم ISBN 978-1-4398-6489-0.

[2] أرافيند، ب.ك. (مارس 2011)، "ما مدى كروية الأجسام الأرخميدية ونظائرها؟"، مجلة الرياضيات الجامعية ، 42 (2): 98-107 ، doi : 10.4169/college.math.j.42.2.098

[3] ريد، آر سي؛ ويلسون، آر جيه (1998)، أطلس الرسوم البيانية ، مطبعة جامعة أكسفورد ، ص 269

[ 1 ]

[ 2 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗