قانون ستوكس

عند السرعة النهائية (أو سرعة الاستقرار) ، تُعطى القوة الزائدة Fe الناتجة عن الفرق بين وزن الكرة وقوة الطفو (وكلاهما ناتج عن الجاذبية [ 7 ^{] ) بالصيغة} _{التالية :}

${\displaystyle F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},}$

حيث ( بوحدات النظام الدولي للوحدات ):

• ρ _p هي كثافة كتلة الكرة [كجم/م ³ ]
• ρ _f هي كثافة كتلة السائل [كجم/م ³ ]
• g هو تسارع الجاذبية الأرضية [م/ ^ث² ]

بافتراض توازن القوى F _{_d} = F_{_e}، وبحل المعادلة لإيجاد السرعة v، نحصل على السرعة النهائية v _{_s} . لاحظ أنه بما أن القوة الزائدة تزداد مع R ^³، ومقاومة ستوكس تزداد مع R ، فإن السرعة النهائية تزداد مع R^²، وبالتالي تتغير بشكل كبير مع حجم الجسيم كما هو موضح أدناه. إذا تعرض الجسيم لوزنه فقط أثناء سقوطه في سائل لزج، فإنه يصل إلى سرعة نهائية عندما يتوازن مجموع قوى الاحتكاك والطفو المؤثرة على الجسيم بفعل السائل تمامًا مع قوة الجاذبية . تُعطى هذه السرعة v [م/ث] بالمعادلة: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ عموديًا لأسفل}}\\\rho _{p}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ عموديًا لأعلى}}\end{cases}}}$$

حيث (بوحدات النظام الدولي للوحدات):

• g هي شدة مجال الجاذبية [م/ ^ث² ]
• R هو نصف قطر الجسيم الكروي [م]
• ρ _p هي كثافة كتلة الجسيم [كجم/م ³ ]
• ρ _f هي كثافة كتلة السائل [كجم/م ³ ]
• μ هي اللزوجة الديناميكية [كجم/(م•ث)].

في تدفق ستوكس ، عند أرقام رينولدز المنخفضة جدًا ، يتم إهمال حدود التسارع الحملي في معادلات نافيير-ستوكس . عندئذٍ تصبح معادلات التدفق، بالنسبة لتدفق مستقر غير قابل للانضغاط ، كما يلي : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{محاذاة}}}$

أين:

• يمثل p ضغط السائل (بالباسكال)،
• u هي سرعة التدفق (بالمتر/ثانية)، و
• ω هي الدوامة (بوحدة ثانية⁻¹ ⁾ ، وتُعرَّف على النحو التالي: ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .}$

باستخدام بعض متطابقات حساب المتجهات ، يمكن إثبات أن هذه المعادلات تؤدي إلى معادلات لابلاس للضغط ولكل مكون من مكونات متجه الدوامة: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0}$ و ${\displaystyle \nabla ^{2}p=0.}$

لم يتم أخذ قوى إضافية مثل تلك الناتجة عن الجاذبية والطفو في الاعتبار، ولكن يمكن إضافتها بسهولة لأن المعادلات المذكورة أعلاه خطية، لذلك يمكن تطبيق التراكب الخطي للحلول والقوى المرتبطة بها.

في حالة كرة في تدفق منتظم بعيد المدى ، يُفضّل استخدام نظام إحداثيات أسطواني ( r ، φ ، z ) . يمر المحور z بمركز الكرة ويتوافق مع اتجاه التدفق المتوسط، بينما r هو نصف القطر المقاس عموديًا على المحور z . نقطة الأصل هي مركز الكرة. ولأن التدفق متناظر حول المحور z ، فهو مستقل عن السمت φ .

في نظام الإحداثيات الأسطواني هذا، يمكن وصف التدفق غير القابل للانضغاط بدالة تدفق ستوكس ψ ، اعتمادًا على r و z : ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}$

حيث يمثل u _{_r} و u_{_z} مركبتي سرعة التدفق في الاتجاهين r و z على التوالي. أما مركبة السرعة السمتية في الاتجاه φ فتساوي صفرًا في هذه الحالة المتناظرة محوريًا. ويكون التدفق الحجمي عبر أنبوب محصور بسطح ذي قيمة ثابتة ψ مساويًا لـ 2πψ وهو ثابت . ^{[ 9 ]}

في هذه الحالة من التدفق المحوري المتناظر، فإن المكون الوحيد غير الصفري لمتجه الدوامة ω هو المكون السمتي φ ω _φ ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}$

يصبح عامل لابلاس ، المطبق على الدوامة ω _φ ، في نظام الإحداثيات الأسطواني هذا مع التناظر المحوري: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.}$

من المعادلتين السابقتين، ومع الشروط الحدودية المناسبة، بالنسبة لسرعة التدفق المنتظم في المجال البعيد u في الاتجاه z وكرة نصف قطرها R ، تم العثور على الحل ليكون ^{[ 13 ].}

${\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}$

يُمكن إيجاد حل السرعة في الإحداثيات الأسطوانية ومركباتها على النحو التالي:

$\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}}$

يُمكن إيجاد حل الدوامة في الإحداثيات الأسطوانية على النحو التالي:

${\displaystyle \omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

يكون حل الضغط في الإحداثيات الأسطوانية كما يلي:

${\displaystyle p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

يكون حل الضغط في الإحداثيات الكروية كما يلي:

${\displaystyle p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}}$

تُسمى صيغة الضغط أيضًا بجهد ثنائي القطب، وهو مفهوم مشابه للمفهوم في علم الكهرباء الساكنة.

صيغة أكثر عمومية، مع متجه سرعة المجال البعيد التعسفي${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }}$، في الإحداثيات الديكارتية${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{T}}$يتبع ذلك ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{conservative: curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

في هذه الصيغة، يُمثل الحد غير المحافظ نوعًا من ما يُسمى بـ "ستوكسليت" . ستوكسليت هي دالة غرين لمعادلات تدفق ستوكس. أما الحد المحافظ فيُساوي مجال تدرج ثنائي القطب . صيغة الدوامة تُشابه قانون بيو-سافار في الكهرومغناطيسية .

أو بدلاً من ذلك، وبطريقة أكثر إيجازًا، يمكن صياغة حقل السرعة على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R}$،

أين${\displaystyle \mathrm {H} =\nabla \otimes \nabla }$هو عامل تفاضلي لمصفوفة هيسيان و${\displaystyle \mathrm {S} =\mathbf {I} \nabla ^{2}-\mathrm {H} }$هو مؤثر تفاضلي مُكوَّن من الفرق بين لابلاس وهيسيان. وبهذه الطريقة، يتضح جليًا أن الحل مُكوَّن من مشتقات جهد كولوم (${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$) وجهد ثنائي التوافقي (${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$). المؤثر التفاضلي${\displaystyle \mathrm {S} }$مطبق على معيار المتجه${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$يقوم بتوليد ستوكسليت.

تصف الصيغة التالية موتر الإجهاد اللزج في حالة خاصة من تدفق ستوكس. وهي ضرورية لحساب القوة المؤثرة على الجسيم. في الإحداثيات الديكارتية، يمثل متجه التدرج${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$هي مطابقة لمصفوفة جاكوبي . تمثل المصفوفة I مصفوفة الوحدة .

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)}$

يمكن حساب القوة المؤثرة على الكرة من خلال تكامل موتر الإجهاد على سطح الكرة، حيث يمثل e _متجه الوحدة الشعاعي للإحداثيات الكروية :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}$