تاو (الرياضيات)

الأرقام العشرية الـ 51 الأولى من τ هي: 6.28318 53071 79586 47692 52867 66559 00576 83943 38798 75021... ^{[ 4 ]}

في عام 1424، قام جمشيد الكاشي بحساب قيمة τ إلى 9 أرقام ستينية ( أساس 60). ^{[ 5 ]} الأرقام الستة عشر الأولى من τ هي: 6، 16، 59، 28، 1، 34، 51، 46، 14، 49، 55، 12، 35، 26، 8 ، 58، ... ^{[ 6 ]}

كما هو الحال مع π ، يمكن تعريف τ تحليليًا أيضًا، بدلالة التكاملات أو المتسلسلات أو الدوال المثلثية. يمكن تعريف τ بأنه أصغر عدد حقيقي موجب x بحيث يكون cos ( x ) = 1 ، أو طول دورة دالتي الجيب وجيب التمام. ويمكن تعريف دالتي الجيب وجيب التمام بشكل مستقل عن الهندسة باستخدام متسلسلات تايلور .

يمكن تعريف τ على أنه التكامل${\displaystyle \textstyle \int _{-2}^{2}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx}$، وهو نصف مساحة دائرة نصف قطرها 2، أو كمجموع متسلسلة لانهائية ، مثل$${\displaystyle \tau =8\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=8-{\frac {8}{3}}+{\frac {8}{5}}-{\frac {8}{7}}+{\frac {8}{9}}...}$$يمكن العثور على المزيد من تعريفات المتسلسلات في قائمة الصيغ التي تتضمن π .

كان هناك عدد من المقترحات السابقة لثابت دائرة جديد يساوي 2π ، إلى جانب اقتراحات مختلفة لاسمه ورمزه.

في عام 2001، أكد الدكتور بوب باليه من جامعة يوتا أن π "خاطئة" كثابت أساسي للدائرة، مُجادلاً بأن 2π هي القيمة الصحيحة. ^{[ 9 ]} واقترح استخدام رمز " π بثلاثة أرجل" للدلالة على الثابت (${\displaystyle \pi \!\;\!\!\!\pi =2\pi }$) ، وأشار إلى الزوايا على أنها أجزاء من "دورة" ( ).${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi \!\;\!\!\!\pi ={\tfrac {1}{4}}\,\mathrm {turn} }$) . ذكر باليه أن كلمة "turn" كانت بمثابة اسم الثابت الجديد وإشارة إلى المعنى اللغوي العادي لكلمة turn . ^{[ 10 ]}

في عام 2008، اقترح روبرت ب. كريز تعريف الثابت بأنه نسبة المحيط إلى نصف القطر، وهي فكرة أيدها جون هورتون كونواي . استخدم كريز الحرف اليوناني بسي : ψ = 2π . ^{[ 11 ]}

في العام نفسه، اقترح توماس كوليغناتوس الحرف اليوناني الكبير ثيتا ، Θ ، لتمثيل 2π نظرًا لتشابهه البصري مع الدائرة. ^{[ 12 ]} ولسبب مماثل، اقترح آخرون الحرف الفينيقي والعبري تيث ، Δ أو ט، (الذي اشتُق منه الحرف ثيتا)، لارتباطه بالعجلات والدوائر في الحضارات القديمة. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

لم يتم تعريف معنى الرمز π في الأصل على أنه نسبة المحيط إلى القطر، وفي بعض الأحيان كان يستخدم في تمثيلات الثابت 6.28...  .

استخدمت الأعمال المبكرة في هندسة الدائرة الحرف π للدلالة على المحيط (أي محيط الدائرة ) في تمثيلات كسرية مختلفة لثوابت الدائرة، وفي عام 1697 استخدم ديفيد غريغوري π / ρ ( باي على رو) للدلالة على المحيط مقسومًا على نصف القطر (6.28...). ^{[ 15 ] [ 16 ]}

لاحقًا، أصبح الرمز π يُستخدم كرمزٍ منفردٍ لتمثيل النسب بشكلٍ كامل. استخدم ليونارد أويلر في البداية الحرف π للدلالة على الثابت 6.28... في مقالته "شرح خصائص الهواء " عام 1727. ^{[ 17 ] [ 18 ]} ثم استخدم أويلر الحرف π للدلالة على 3.14... في كتابه "الميكانيكا" عام 1736 ^{[ 19 ]} وكتابه "مقدمة في تحليل اللانهائيات" عام 1748 ، ^{[ 20 ]} مع تعريفه بأنه نصف محيط دائرة نصف قطرها 1، وليس نسبة المحيط إلى القطر. وفي موضعٍ آخر من "الميكانيكا" ، استخدم أويلر الحرف π للدلالة على ربع محيط دائرة الوحدة، أو 1.57... ^{[ 21 ] [ 22 ]} شاع استخدام الحرف π ، أحيانًا للدلالة على 3.14... وأحيانًا أخرى للدلالة على 6.28...، مع اختلاف التعريف حتى عام 1761؛ ^{[ 23 ]} بعد ذلك، تم توحيد π على أنه يساوي 3.14... . ^{[ 24 ] [ 25 ]}

جادل هارتل وروبرت باليه ^{[ 10 ]} بأن τ يسمح بالتعبير عن الزوايا بالراديان بشكل مباشر وبطريقة توضح العلاقة بين قياس الراديان والدوران حول دائرة الوحدة. على سبيل المثال، يمكن تفسير ⁠ 3/4 ⁠ τ rad بسهولة على أنها ⁠ 3/4 ⁠ دورة حول دائرة الوحدة، على عكس الزاوية نفسها المكتوبة بـ ⁠ 3/2 ⁠ π rad ، حيث قد يكون المعنى غامضًا، خاصةً بالنسبة للأطفال وطلاب الرياضيات .

وقد ردّ النقاد بأن الدوران الكامل ليس بالضرورة المقياس المرجعي الصحيح أو الأساسي للزوايا، وأن هناك احتمالين آخرين، وهما الزاوية القائمة والزاوية المستقيمة، ولكل منهما سوابق تاريخية. استخدم إقليدس الزاوية القائمة كوحدة أساسية للزاوية، واقترح ديفيد بتلر أن 1/4 τ = 1/2 π ≈ 1.57 ، والذي يرمز إليه بالحرف اليوناني إيتا ( ^η ) ، يجب اعتباره ثابت الدائرة الأساسي. ^{[ 29} ]

وقد جادل هارتل بأن الدوال المثلثية الدورية يتم تبسيطها عند استخدام τ ، حيث أنها تطابق وسيط الدالة مع دورة الدالة: تتكرر دالة sin θ بدورة T = τ rad ، وتصل إلى أقصى قيمة لها عند 1 / 4 T = 1 / 4 τ rad وإلى أدنى قيمة لها عند 3 / 4 T = 3 / 4 τ rad .

جادل النقاد بأن صيغة مساحة الدائرة تصبح أكثر تعقيدًا عند إعادة صياغتها على النحو التالي: A = 1/2 τr². ويرد هارتل وآخرون بأن العامل 1/2 ذو ^دلالة ، وينشأ إما من التكامل أو من البراهين الهندسية لمساحة الدائرة على أنها نصف محيط الدائرة مضروبًا في نصف قطرها .

من الانتقادات الشائعة لـ τ أن متطابقة أويلر ، e iπ +1 = 0 ، والتي يُزعم أحيانًا أنها "أجمل نظرية في الرياضيات" [ 30 ] ، تُصبح أقل أناقةً عند صياغتها على النحو التالي: e  iτ /2 +1 = 0. [ 31 ] وقد أكد هارتل أن e iτ =1 (والتي أطلق عليها أيضًا "متطابقة أويلر") أكثر جوهريةً ودلالةً. وأشار جون كونواي [ 11 ] إلى أن متطابقة أويلر هي حالة خاصة من الصيغة العامة للجذور النونية للوحدة ، n√1 = e  iτk /n ( حيث k = 1، 2، ...، n ) ، والتي اعتبرها أفضل وأكثر اقتصادًا من متطابقة أويلر.

يوضح الجدول التالي كيفية ظهور المتطابقات المختلفة عند استخدام τ = 2π بدلاً من π . ^{[ 32 ] [ 9 ]} للاطلاع على قائمة أكثر شمولاً، انظر قائمة الصيغ التي تتضمن π .

صيغة	باستخدام π	باستخدام τ	ملحوظات
الزاوية المقابلة لربع دائرة​​​	${\displaystyle {\color {orangered}{\frac {\pi }{2}}}{\text{ راديان}}}$	${\displaystyle {\color {orangered}{\frac {\tau }{4}}}{\text{ rad}}}$	⁠ τ / 4 ⁠ راد = ⁠ 1 / 4 ⁠ دورة
محيط الدائرة	${\displaystyle C={\color {orangered}2\pi }r}$	${\displaystyle C={\color {orangered}\tau }r}$	طول قوس الزاوية θ هو L = θr .
مساحة الدائرة	${\displaystyle A={\color {orangered}\pi }r^{2}}$	${\displaystyle A={\color {orangered}{\frac {1}{2}}\tau }r^{2}}$	مساحة القطاع الدائري ذي الزاوية θ هي A = 1 / 2 θr 2 .
مساحة شكل منتظم ذي n ضلع ونصف قطر محيطي يساوي واحدًا	${\displaystyle A={\frac {n}{2}}\sin {\frac {\color {orangered}2\pi }{n}}}$	${\displaystyle A={\frac {n}{2}}\sin {\frac {\color {orangered}\tau }{n}}}$
العلاقة التكرارية لحجم الكرة n والكرة n	${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {r}{n}}S_{n-1}(r)}$ ${\displaystyle S_{n}(r)={\color {orangered}2\pi }rV_{n-1}(r)}$	${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {r}{n}}S_{n-1}(r)}$ ${\displaystyle S_{n}(r)={\color {orangered}\tau }rV_{n-1}(r)}$	V 0 ( r ) = 1 S 0 ( r ) = 2
صيغة كوشي التكاملية	${\displaystyle f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}2\pi }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,dz}$	${\displaystyle f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}\tau }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,dz}$	γ هو حدود قرص يحتوي على a في المستوى المركب.
التوزيع الطبيعي القياسي	${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$	${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}\tau }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$
تقريب ستيرلينغ	${\displaystyle n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}2\pi }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$	${\displaystyle n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}\tau }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$
الجذور النونية للوحدة	${\displaystyle e^{{\color {orangered}2\pi }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}+i\sin {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}}$	${\displaystyle e^{{\color {orangered}\tau }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}+i\sin {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}}$
ثابت بلانك	${\displaystyle h={\color {orangered}2\pi }\hbar }$	${\displaystyle h={\color {orangered}\tau }\hbar }$	ħ هو ثابت بلانك المختزل .
التردد الزاوي	${\displaystyle \omega ={\color {orangered}2\pi }f}$	${\displaystyle \omega ={\color {orangered}\tau }f}$
معادلة ريمان الوظيفية	$${\displaystyle \zeta (s)={\color {orangered}2^{s}\pi ^{s-1}}\ \sin \left(s{\color {orangered}{\frac {\pi }{2}}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)}$$	$${\displaystyle \zeta (s)={\color {orangered}2\tau ^{s-1}}\ \sin \left(s{\color {orangered}{\frac {\tau }{4}}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)}$$	${\displaystyle 2^{s}({\frac {\tau }{2}})^{s-1}}$يتقلص إلى${\displaystyle 2\tau ^{s-1}}$