مشعب قابل للتفاضل

ليكن M فضاءً طوبولوجيًا . يتكون المخطط ( U , φ ) على M من مجموعة جزئية مفتوحة U من M ، وتماثل φ من U إلى مجموعة جزئية مفتوحة من فضاء إقليدي Rⁿ ^. ويمكن الإشارة إليه بشكل غير رسمي إلى مخطط φ  : U → Rⁿ ^، بمعنى أن صورة φ هي مجموعة جزئية مفتوحة من Rⁿ ^، وأن φ تماثل على صورتها؛ ^وفي استخدام بعض المؤلفين، قد يعني هذا أن φ  : U → Rⁿ هو نفسه تماثل.

يشير وجود مخطط إلى إمكانية إجراء حساب التفاضل والتكامل على M ؛ على سبيل المثال، إذا أعطيت دالة u  : M → R ومخطط ( U , φ ) على M ، فيمكن للمرء أن ينظر في التركيب u ∘ φ ⁻¹ ، وهي دالة حقيقية القيمة مجالها مجموعة فرعية مفتوحة من فضاء إقليدي؛ على هذا النحو، إذا كانت قابلة للتفاضل، فيمكن للمرء أن ينظر في مشتقاتها الجزئية .

هذا الوضع غير مُرضٍ تمامًا للسبب التالي. لنفترض وجود مخطط ثانٍ ( V , ψ ) على M ، ولنفترض أن U و V تحتويان على بعض النقاط المشتركة. الدالتان المتناظرتان u ∘ φ ⁻¹ و u ∘ ψ ⁻¹ مرتبطتان بمعنى أنه يمكن إعادة تمثيلهما ببعضهما البعض: $${\displaystyle u\circ \varphi ^{-1}={\big (}u\circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ \varphi ^{-1}{\big )},}$$ المجال الطبيعي للطرف الأيمن هو φ ( U ∩ V ) . بما أن φ و ψ تماثلان، فإن ψ ∘ φ ⁻¹ تماثل من φ ( U ∩ V ) إلى ψ ( U ∩ V ) . بالتالي، فهي دالة ثنائية الاستمرارية، لذا حتى لو كانت كلتا الدالتين u ∘ φ ⁻¹ و u ∘ ψ ⁻¹ قابلتين للتفاضل، فإن خصائصهما التفاضلية لن تكون بالضرورة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا، إذ لا يُضمن أن تكون ψ ∘ φ ⁻¹ قابلة للتفاضل بدرجة كافية لحساب المشتقات الجزئية للطرف الأيسر بتطبيق قاعدة السلسلة على الطرف الأيمن. وتُلاحظ المشكلة نفسها عند النظر في الدوال c  : R → M ؛ مما يؤدي إلى صيغة إعادة التحديد. $${\displaystyle \varphi \circ c={\big (}\varphi \circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ c{\big )},}$$ وعند هذه النقطة يمكن للمرء أن يلاحظ نفس الملاحظة السابقة.

يُحلّ هذا الأمر بإدخال "أطلس قابل للتفاضل" للمخططات، والذي يُحدد مجموعة من المخططات على M حيث تكون جميع دوال الانتقال ψ ∘ φ ⁻¹ قابلة للتفاضل. وهذا يُبسط الوضع تمامًا: إذا كانت u ∘ φ ⁻¹ قابلة للتفاضل، فبفضل صيغة إعادة التحديد الأولى المذكورة أعلاه، تكون الدالة u ∘ ψ ⁻¹ قابلة للتفاضل أيضًا على المنطقة ψ ( U ∩ V ) ، والعكس صحيح. علاوة على ذلك، ترتبط مشتقات هاتين الدالتين ببعضها البعض بواسطة قاعدة السلسلة. وبالمقارنة مع الأطلس المُعطى، يُسهّل هذا مفهوم الدوال القابلة للتفاضل التي يكون مجالها أو مداها M ، بالإضافة إلى مفهوم مشتقة هذه الدوال.

من الناحية الرسمية، تُعتبر كلمة "قابل للتفاضل" غامضة إلى حد ما، إذ يُفسرها مؤلفون مختلفون بمعانٍ متباينة؛ فتارةً تعني وجود المشتقات الأولى، وتارةً أخرى تعني وجود مشتقات أولى متصلة، وتارةً ثالثة تعني وجود عدد لا نهائي من المشتقات. فيما يلي تعريف رسمي لمختلف المعاني (غير الغامضة) لمصطلح "أطلس قابل للتفاضل". عمومًا، سيُستخدم مصطلح "قابل للتفاضل" كمصطلح شامل يتضمن جميع هذه الاحتمالات، بشرط أن يكون k ≥ 1 .

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي M ...
أ${\displaystyle C^{k}}$أطلس	هي مجموعة من الرسوم البيانية	${\displaystyle \{\varphi _{a}:U_{a}\to \mathbb {R} ^{n}\}_{a\in A}}$	بحيث${\displaystyle \{U_{a}\}_{a\in A}}$يغطي M ، بحيث يكون لكل α و β في A ، خريطة الانتقال${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}}$	هي خريطة C k
ناعم أو${\displaystyle C^{\infty }}$أطلس		${\displaystyle \{\varphi _{a}:U_{a}\to \mathbb {R} ^{n}\}_{a\in A}}$		هي خريطة سلسة
تحليلي أو${\displaystyle C^{\omega }}$أطلس		${\displaystyle \{\varphi _{a}:U_{a}\to \mathbb {R} ^{n}\}_{a\in A}}$		هي خريطة تحليلية حقيقية
أطلس هولومورفي		${\displaystyle \{\varphi _{a}:U_{a}\to \mathbb {C} ^{n}\}_{a\in A}}$		هي خريطة هولومورفية

${\displaystyle M}$

${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle U_{\beta }}$

${\displaystyle \phi _{\alpha }}$

${\displaystyle \phi _{\beta }}$

${\displaystyle \phi _{\beta \alpha }}$

${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

خريطة الانتقال بين مخططين بيانيين.${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }}$يشير${\displaystyle \phi _{\alpha }\circ \phi _{\beta }^{-1}}$و${\displaystyle \phi _{\beta \alpha }}$يشير${\displaystyle \phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}}$.

بما أن كل دالة تحليلية حقيقية ملساء، وكل دالة ملساء تنتمي إلى C k لأي قيمة لـ k ، فإنه يمكن اعتبار أي أطلس تحليلي أطلسًا أملسًا، وكل أطلس أملس أطلسًا من C k . ويمكن توسيع هذه السلسلة لتشمل الأطالس التحليلية، مع العلم أن أي دالة تحليلية بين مجموعات مفتوحة من C n يمكن اعتبارها دالة تحليلية حقيقية بين مجموعات مفتوحة من R  2n .

بفرض وجود أطلس تفاضلي على فضاء طوبولوجي، يُقال إن مخططًا ما متوافق تفاضليًا مع الأطلس، أو قابل للتفاضل بالنسبة للأطلس المعطى، إذا أدى إدراج هذا المخطط في مجموعة المخططات المكونة للأطلس التفاضلي المعطى إلى تكوين أطلس تفاضلي. يُحدد الأطلس التفاضلي أطلسًا تفاضليًا أقصى ، يتألف من جميع المخططات المتوافقة تفاضليًا مع الأطلس المعطى. الأطلس الأقصى دائمًا ما يكون كبيرًا جدًا. على سبيل المثال، بفرض وجود أي مخطط في أطلس أقصى، فإن تقييده على أي مجموعة فرعية مفتوحة من نطاقه سيكون موجودًا أيضًا في الأطلس الأقصى. يُعرف الأطلس الأملس الأقصى أيضًا باسم البنية الملساء ؛ ويُعرف الأطلس الهولومورفي الأقصى أيضًا باسم البنية المعقدة .

ثمة تعريف بديل ومكافئ، يتجنب الاستخدام المباشر للأطالس القصوى، وهو النظر في فئات التكافؤ للأطالس القابلة للتفاضل، حيث يُعتبر أطلسان قابلان للتفاضل متكافئين إذا كان كل مخطط في أحدهما متوافقًا تفاضليًا مع الآخر. وبعبارة أخرى، يعني هذا أنه عند التعامل مع مشعب أملس، يمكن العمل بأطلس واحد قابل للتفاضل، يتألف من عدد قليل من المخططات، مع الفهم الضمني بأن العديد من المخططات والأطالس القابلة للتفاضل الأخرى مشروعة بنفس القدر.

وفقًا لثبات المجال ، فإن لكل مكون متصل في فضاء طوبولوجي ذي أطلس تفاضلي بُعدًا محددًا جيدًا n . يُسبب هذا غموضًا طفيفًا في حالة الأطلس الهولومورفي، إذ يكون البُعد المقابل نصف قيمة بُعده عند اعتباره أطلسًا تحليليًا أو أملسًا أو من الفئة C ^k . لهذا السبب، يُشار بشكل منفصل إلى البُعد "الحقيقي" و"المركب" للفضاء الطوبولوجي ذي الأطلس الهولومورفي.

الفضاء التفاضلي هو فضاء طوبولوجي M قابل للعد من الدرجة الثانية وهاوسدورف ، بالإضافة إلى أطلس تفاضلي أقصى على M. يمكن تطوير جزء كبير من النظرية الأساسية دون الحاجة إلى شرطي هاوسدورف وقابلية العد من الدرجة الثانية، على الرغم من أهميتهما البالغة في كثير من النظريات المتقدمة. وهما مكافئان أساسًا للوجود العام لدوال النتوءات وتقسيمات الوحدة ، وكلاهما يُستخدم على نطاق واسع.

^إن مفهوم المتشعب C₀ مطابق لمفهوم المتشعب الطوبولوجي . مع ذلك، ثمة فرق جوهري جدير بالذكر. فبالنظر إلى فضاء طوبولوجي، يكون من المنطقي التساؤل عما إذا كان هذا الفضاء متشعبًا طوبولوجيًا أم لا. في المقابل، لا يكون من المنطقي التساؤل عما إذا كان فضاء طوبولوجي معين (على سبيل المثال) متشعبًا أملسًا أم لا، لأن مفهوم المتشعب الأملس يتطلب تحديد أطلس أملس، وهو بنية إضافية. مع ذلك، قد يكون من المنطقي القول بأن فضاءً طوبولوجيًا معينًا لا يمكن أن يُعطى بنية متشعب أملس. من الممكن إعادة صياغة التعريفات بحيث لا يكون هذا النوع من عدم التوازن موجودًا؛ إذ يمكن البدء بمجموعة M ( بدلًا من فضاء طوبولوجي M )، باستخدام النظير الطبيعي للأطلس الأملس في هذا السياق لتعريف بنية فضاء طوبولوجي على M.

يمكن استخلاص منظورٍ من التعريفات السابقة لفهم كيفية بناء المتشعبات. الفكرة هي البدء بصور المخططات وخرائط الانتقال، ثم بناء المتشعب انطلاقًا من هذه البيانات. وكما في المناقشة السابقة، نستخدم سياق "السلاسة"، لكن كل شيء يعمل بكفاءة في سياقات أخرى.

بالنظر إلى مجموعة فهرسة${\displaystyle A,}$يترك${\displaystyle V_{\alpha }}$لتكن مجموعة من المجموعات الفرعية المفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ولكل${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$يترك${\displaystyle V_{\alpha \beta }}$لتكن مجموعة فرعية مفتوحة (ربما فارغة) من${\displaystyle V_{\beta }}$ودع${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }:V_{\alpha \beta }\to V_{\beta \alpha }}$لتكن دالة سلسة. لنفترض أن${\displaystyle \phi _{\alpha \alpha }}$هي خريطة الهوية، التي${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }\circ \phi _{\beta \alpha }}$هي خريطة الهوية، وهذا${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }\circ \phi _{\beta \gamma }\circ \phi _{\gamma \alpha }}$هي دالة التطابق. ثم عرّف علاقة تكافؤ على الاتحاد المنفصل${\textstyle \bigsqcup _{\alpha \in A}V_{\alpha }}$عن طريق الإعلان${\displaystyle p\in V_{\alpha \beta }}$أن يكون مكافئًا لـ${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }(p)\in V_{\beta \alpha }.}$ببعض العمل التقني، يمكن إثبات أن مجموعة فئات التكافؤ يمكن إعطاؤها بنية طوبولوجية بشكل طبيعي، وأن المخططات المستخدمة في ذلك تُشكل أطلسًا سلسًا. للاطلاع على كيفية تجميع البنى التحليلية (مجموعة فرعية)، انظر إلى الأصناف التحليلية .

توجد طرقٌ عديدة لتعريف مشتقة دالة على مشعب قابل للتفاضل، وأهمها المشتقة الاتجاهية . ويُعقّد تعريف المشتقة الاتجاهية افتقار المشعب إلى بنية خطية مناسبة لتعريف المتجهات . لذا، تُركّز المشتقة الاتجاهية على المنحنيات في المشعب بدلاً من المتجهات.

من السمات الطوبولوجية لحزمة الدوال القابلة للتفاضل على مشعب قابل للتفاضل أنها تقبل تجزئات الوحدة . وهذا ما يميز البنية التفاضلية على المشعب عن البنى الأقوى (مثل البنى التحليلية والهولومورفية) التي لا تمتلك عمومًا تجزئات الوحدة.

لنفترض أن M متعدد شعب من الفئة C ^k ، حيث 0 ≤ k ≤ ∞ . ولتكن { U _α } غطاءً مفتوحًا لـ M. عندئذٍ، يكون تجزئة الوحدة التابعة للغطاء { U _α } عبارة عن مجموعة من الدوال الحقيقية φ _i من الفئة C ^k على M التي تحقق الشروط التالية:

• تكون دعامات φ _i مضغوطة ومحدودة محليًا ؛​​
• يتم احتواء دعم φ _i بالكامل في U _α لبعض α ؛
• مجموع φ _i يساوي واحدًا عند كل نقطة من M :$${\displaystyle \sum _{i}\phi _{i}(x)=1.}$$

(لاحظ أن هذا الشرط الأخير هو في الواقع مجموع محدود عند كل نقطة بسبب محدودية الدعم المحلي لـ φ _i .)

كل غطاء مفتوح لمتشعب Ck ، ^M ، ^له تجزئة Ck للوحدة. وهذا يسمح بنقل بعض الإنشاءات من طوبولوجيا ^دوال Ck على Rn إلى فئة المتشعبات التفاضلية. على وجه الخصوص، من الممكن مناقشة التكامل باختيار تجزئة للوحدة تابعة لأطلس إحداثيات معين، وإجراء التكامل في كل مخطط من مخططات Rn ^{. وبالتالي ،} تسمح تجزئات الوحدة بالنظر في أنواع أخرى من فضاءات الدوال : على سبيل المثال ، فضاءات Lp ^، وفضاءات سوبوليف ، وأنواع أخرى من الفضاءات التي تتطلب التكامل.

لنفترض أن M و N فضاءان قابلان للتفاضل، أبعادهما m و n على التوالي، وأن f دالة من M إلى N. بما أن الفضاءات القابلة للتفاضل هي فضاءات طوبولوجية، فإننا نعرف معنى أن تكون f متصلة. ولكن ماذا يعني " f هي C k ( M , N ) " عندما k ≥ 1 ؟ نعرف معنى ذلك عندما تكون f دالة بين فضاءات إقليدية، لذا إذا ركبنا f مع مخطط M ومخطط N بحيث نحصل على دالة تنتقل من الفضاء الإقليدي إلى M ثم إلى N ثم إلى الفضاء الإقليدي، فإننا نعرف معنى أن تكون هذه الدالة C k ( R m , R n ) . نُعرّف " f هي C k ( M , N ) " بأنها تعني أن جميع تركيبات f مع المخططات هي C k  ( R m , R n ) . مرة أخرى، تضمن قاعدة السلسلة أن فكرة قابلية التفاضل لا تعتمد على أي مخططات من الأطالس المختارة على M و N. لكن تعريف المشتقة نفسها أكثر تعقيداً. فإذا كان M أو N فضاءً إقليدياً بالفعل، فلا نحتاج إلى مخطط لربطه به.

يتكون الفضاء المماسي لنقطة ما من المشتقات الاتجاهية الممكنة عند تلك النقطة، وله نفس البعد n الذي يمتلكه الفضاء المتشعب. بالنسبة لمجموعة من الإحداثيات (غير المنفردة) x _k المحلية للنقطة، فإن مشتقات الإحداثيات${\displaystyle \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$نُعرّف أساسًا هولونوميًا للفضاء المماسي. يمكن تحويل مجموعة الفضاءات المماسية عند جميع النقاط إلى متشعب، يُسمى الحزمة المماسية ، بُعده 2^ n . الحزمة المماسية هي المكان الذي تقع فيه متجهات المماس ، وهي بحد ذاتها متشعب قابل للتفاضل. دالة لاغرانج هي دالة على الحزمة المماسية. يمكن أيضًا تعريف الحزمة المماسية على أنها حزمة من النفاثات من الرتبة 1 من R ( الخط الحقيقي ) إلى M.

يمكن إنشاء أطلس للحزمة المماسية يتألف من مخططات مبنية على U _α × R ⁿ ، حيث يرمز U _α إلى أحد المخططات في الأطلس لـ M. كل مخطط من هذه المخططات الجديدة هو الحزمة المماسية للمخططات U _α . تُعرَّف خرائط الانتقال على هذا الأطلس من خرائط الانتقال على المتشعب الأصلي، وتحتفظ بفئة التفاضل الأصلية.

الفضاء الثنائي للفضاء المتجهي هو مجموعة الدوال الخطية الحقيقية على هذا الفضاء. الفضاء المماسي عند نقطة ما هو الفضاء الثنائي للفضاء المماسي عند تلك النقطة، وتُسمى عناصره متجهات مماسية؛ أما الحزمة المماسية فهي مجموعة جميع المتجهات المماسية، بالإضافة إلى بنية التشعب التفاضلي الطبيعي.

كما هو الحال مع حزمة المماس، فإن حزمة المماس المشترك هي أيضًا فضاء متعدد التفاضل. الهاميلتوني هو كمية قياسية على حزمة المماس المشترك. يتميز الفضاء الكلي لحزمة المماس المشترك ببنية فضاء متعدد التبسيط . تُسمى متجهات المماس المشترك أحيانًا بالمتجهات المرافقة . يمكن أيضًا تعريف حزمة المماس المشترك على أنها حزمة من نفاثات أحادية من الدوال من M إلى R.

يمكن اعتبار عناصر فضاء المماس المشترك إزاحات متناهية الصغر : إذا كانت f دالة قابلة للتفاضل، فيمكننا تعريف متجه المماس المشترك df( _p) عند كل نقطة p ، والذي يرسل متجه المماس X( _p) إلى مشتقة f المرتبطة بـ X( _p) . مع ذلك، لا يمكن التعبير عن كل حقل متجه مشترك بهذه الطريقة. تُعرف تلك التي يمكن التعبير عنها بالتفاضلات التامة . بالنسبة لمجموعة معينة من الإحداثيات المحلية x( ^k) ، تُشكل التفاضلات dx( ^k) _(p) أساسًا لفضاء المماس المشترك عند p .

تُمثل حزمة الموترات المجموع المباشر لجميع نواتج الموترات لحزمة المماس وحزمة المماس المرافق. كل عنصر من عناصر الحزمة هو حقل موترات ، والذي يمكن أن يعمل كمؤثر متعدد الخطية على حقول المتجهات، أو على حقول موترات أخرى.

لا تُعدّ حزمة الموترات فضاءً تفاضليًا بالمعنى التقليدي، نظرًا لكونها لانهائية الأبعاد. مع ذلك، فهي جبرٌ على حلقة الدوال العددية. يتميز كل موتر برتبته، التي تُشير إلى عدد عوامل المماس والمماس المرافق له. يُشار أحيانًا إلى هذه الرتب بالرتب المتغايرة والرتب المتضادة ، للدلالة على رتب المماس والمماس المرافق على التوالي.

الإطار (أو بتعبير أدق، الإطار المماسي) هو أساس مُرتب لفضاء مماسي مُحدد. وبالمثل، فإن الإطار المماسي هو تماثل خطي من ^Rⁿ إلى هذا الفضاء المماسي. الإطار المماسي المتحرك هو قائمة مُرتبة من حقول المتجهات التي تُشكل أساسًا عند كل نقطة من نطاقها. يُمكن أيضًا اعتبار الإطار المتحرك مقطعًا من حزمة الإطار F( M )، وهي حزمة رئيسية من GL( n , R ) تتكون من مجموعة جميع الإطارات على M. تُعد حزمة الإطار مفيدة لأن حقول الموترات على M يُمكن اعتبارها دوالًا متجهة القيم مُتغيرة على F( M ).

على سطح متعدد الشعب ذي نعومة كافية، يمكن أيضًا دراسة أنواع مختلفة من حزم النفاثات. حزمة المماس (من الرتبة الأولى) لمتعدد الشعب هي مجموعة المنحنيات في متعدد الشعب وفقًا لعلاقة التكافؤ للتماس من الرتبة الأولى . وبالمثل، فإن حزمة المماس من الرتبة k هي مجموعة المنحنيات وفقًا لعلاقة التماس من الرتبة k . كذلك، فإن حزمة المماس المشترك هي حزمة النفاثات من الرتبة 1 للدوال على متعدد الشعب؛ وحزمة النفاثات من الرتبة k هي حزمة نفاثاتها من الرتبة k . تلعب هذه الأمثلة وغيرها من الأمثلة على الفكرة العامة لحزم النفاثات دورًا هامًا في دراسة المؤثرات التفاضلية على متعددات الشعب.

يُمكن تعميم مفهوم الإطار ليشمل حالة النفاثات ذات الرتب العليا. يُعرَّف الإطار من الرتبة k بأنه النفاثة k لتشاكل تفاضلي من Rⁿ إلى M. ^{[ 6} ] تُمثل مجموعة جميع الإطارات من الرتبة k، ^Fₖ ( ^{M)، حزمة رئيسية Gₖ على M، حيث Gₖ} هي زمرة النفاثات ^k ؛ أي الزمرة المُكوَّنة من نفاثات k لتشاكلات Rⁿ التي تُثبِّت نقطة الأصل ^. تجدر الإشارة إلى أن ^GL (n, R ) متماثلة طبيعيًا ^مع G₁ ، وهي ^زمرة جزئية من كل Gₖ ^، حيث k ≥ 2. على وجه الخصوص، يُعطي مقطع من ^F₂ ( M ) مُكوِّنات الإطار لاتصال على M. بالتالي ، فإن حزمة القسمة F₂ ⁽ M ) / GL( n , R ) هي حزمة الاتصالات الخطية المتناظرة على M.

تُعدّ الدوال القابلة للتفاضل بين فضاءين متعددي الشعب ضرورية لصياغة مفاهيم مناسبة للفضاءات الجزئية ، وغيرها من المفاهيم ذات الصلة. إذا كانت f  : M → N دالة قابلة للتفاضل من فضاء متعدد الشعب قابل للتفاضل M ذي بُعد m إلى فضاء متعدد الشعب قابل للتفاضل N ذي بُعد n ، فإن تفاضل f هو تطبيق df  : TM → TN . يُرمز إليه أيضًا بـ Tf ويُسمى تطبيق المماس . عند كل نقطة من M ، يكون هذا تحويلًا خطيًا من فضاء مماس إلى آخر. $${\displaystyle df(p)\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N.}$$ رتبة الدالة f عند النقطة p هي رتبة هذا التحويل الخطي.

عادةً ما تكون رتبة الدالة خاصيةً نقطية. مع ذلك، إذا كانت للدالة رتبة قصوى، فإن رتبتها ستظل ثابتة في جوار تلك النقطة. عادةً ما تكون للدالة القابلة للتفاضل رتبة قصوى، بالمعنى الدقيق الذي تحدده نظرية سارد . تُسمى الدوال ذات الرتبة القصوى عند نقطة ما بالدوال الغمرية والدوال شبه الغمرية .

• إذا كان m ≤ n ، وكانت الدالة f  : M → N من الرتبة m عند النقطة p ∈ M ، فإن f تُسمى غمرًا عند p . إذا كانت f غمرًا عند جميع نقاط M ، وكانت تماثلًا طوبولوجيًا على صورتها، فإن f تُسمى تضمينًا . تُضفي التضمينات طابعًا رسميًا على مفهوم كون M فضاءً جزئيًا من N. بشكل عام، التضمين هو غمر خالٍ من التقاطعات الذاتية وأنواع أخرى من الشذوذات الطوبولوجية غير المحلية.
• إذا كان m ≥ n ، وكانت الدالة f  : M → N من الرتبة n عند النقطة p ∈ M ، فإن f تُسمى غمرًا عند p . تنص نظرية الدالة الضمنية على أنه إذا كانت f غمرًا عند p ، فإن M _تكون محليًا حاصل ضرب N و R ^{m − n} بالقرب من p . بعبارة أخرى، توجد إحداثيات ( y1 _, ..., yn ₎ في جوار f ( p ) في N _، و m − n دالة x1 , ..., xm _{− n} معرفة في جوار p في M بحيث$${\displaystyle (y_{1}\circ f,\dotsc ,y_{n}\circ f,x_{1},\dotsc ,x_{m-n})}$$هو نظام إحداثيات محلية لـ M في جوار p . تشكل عمليات الغمر أساس نظرية التليف وحزم الألياف .

مشتق لي ، نسبةً إلى سوفوس لي ، هو اشتقاق على جبر حقول الموترات فوق مشعب M. يشكل الفضاء المتجهي لجميع مشتقات لي على M جبر لي لانهائي الأبعاد بالنسبة لقوس لي المعرف بـ

$${\displaystyle [A,B]:={\mathcal {L}}_{A}B=-{\mathcal {L}}_{B}A.}$$

يتم تمثيل مشتقات لي بواسطة حقول متجهة ، كمولدات متناهية الصغر للتدفقات ( التشاكلات النشطة ) على M. وبالنظر إلى الأمر من منظور آخر، فإن مجموعة التشاكلات لـ M لها بنية جبر لي المرتبطة بها، من مشتقات لي، بطريقة مماثلة مباشرة لنظرية مجموعة لي .

يسمح حساب التفاضل والتكامل الخارجي بتعميم عوامل التدرج والتباعد والالتفاف .

تتألف حزمة الأشكال التفاضلية ، عند كل نقطة، من جميع التطبيقات متعددة الخطية المتناظرة تمامًا على الفضاء المماسي عند تلك النقطة. وهي تُقسّم بشكل طبيعي إلى أشكال من الرتبة n ، حيث n لا يتجاوز بُعد الفضاء المتشعب؛ والشكل من الرتبة n هو شكل ذو n متغير، ويُسمى أيضًا شكلًا من الدرجة n . الأشكال من الرتبة 1 هي متجهات الظل التمام، بينما الأشكال من الرتبة 0 هي دوال قياسية. بشكل عام، الشكل من الرتبة n هو موتر ذو رتبة ظل تمام n ورتبة ظل صفر. ولكن ليس كل موتر من هذا النوع شكلًا، إذ يجب أن يكون الشكل متناظرًا.

لنفترض أن${\displaystyle M}$هو طوبولوجي${\displaystyle n}$-متعدد الشعب.

إذا تم إعطاء أي أطلس سلس${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$من السهل إيجاد أطلس أملس يحدد بنية متعددة الشعب ملساء مختلفة على${\displaystyle M;}$لنفترض وجود تماثل شكلي${\displaystyle \Phi :M\to M}$وهو ليس سلسًا بالنسبة للأطلس المعطى؛ على سبيل المثال، يمكن تعديل خريطة التطابق باستخدام نتوء موضعي غير أملس. ثم ضع في اعتبارك الأطلس الجديد${\displaystyle \{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\phi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A},}$وهو ما يمكن التحقق منه بسهولة باعتباره أطلسًا سلسًا. ومع ذلك، فإن الخرائط في الأطلس الجديد لا تتوافق بسلاسة مع الخرائط في الأطلس القديم، لأن ذلك يتطلب أن${\displaystyle \phi _{\alpha }\circ \Phi \circ \phi _{\beta }^{-1}}$و${\displaystyle \phi _{\alpha }\circ \Phi ^{-1}\circ \phi _{\beta }^{-1}}$سلسة لأي${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta ,}$وهذه الشروط هي بالضبط التعريف الذي ينطبق على كليهما${\displaystyle \Phi }$و${\displaystyle \Phi ^{-1}}$سلسة، على عكس كيف${\displaystyle \Phi }$تم اختياره.

انطلاقاً من هذه الملاحظة كدافع، يمكن تعريف علاقة تكافؤ على فضاء الأطالس الملساء على${\displaystyle M}$من خلال الإعلان عن أن الأطالس الملساء${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$و${\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B}}$تكون متكافئة إذا كان هناك تماثل شكلي${\displaystyle \Phi :M\to M}$بحيث${\displaystyle \{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\phi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A}}$متوافق بسلاسة مع${\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B},}$ومثل ذلك${\displaystyle \{(\Phi (V_{\beta }),\psi _{\beta }\circ \Phi ^{-1})\}_{\beta \in B}}$متوافق بسلاسة مع${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}.}$

باختصار، يمكن القول إن أطلسين أملسين متكافئان إذا وُجد تماثل تفاضلي${\displaystyle M\to M,}$حيث يتم أخذ أطلس أملس واحد للمجال ويتم أخذ أطلس أملس آخر للمدى.

لاحظ أن علاقة التكافؤ هذه هي تحسين لعلاقة التكافؤ التي تحدد بنية متعددة الشعب سلسة، حيث أن أي أطلسين متوافقين بسلاسة يكونان متوافقين أيضًا بالمعنى الحالي؛ يمكن للمرء أن يأخذ${\displaystyle \Phi }$لتكون بمثابة خريطة الهوية.

إذا كان بُعد${\displaystyle M}$إذا كانت القيمة 1 أو 2 أو 3، فإنه يوجد هيكل أملس على${\displaystyle M}$وجميع البنى الملساء المتميزة متكافئة بالمعنى المذكور أعلاه. يصبح الوضع أكثر تعقيدًا في الأبعاد الأعلى، على الرغم من أنه لم يُفهم تمامًا بعد.

• بعض المتشعبات الطوبولوجية لا تقبل بنى ملساء، كما بيّن كيرفاير (1960) في مثال ذي عشرة أبعاد . ويُظهر تطبيقٌ رئيسي للمعادلات التفاضلية الجزئية في الهندسة التفاضلية _، من ابتكار سيمون دونالدسون ، بالاشتراك مع نتائج مايكل فريدمان ، أن العديد من المتشعبات الطوبولوجية المدمجة ذات الاتصال البسيط رباعية الأبعاد لا تقبل بنى ملساء. ومن الأمثلة المعروفة على ذلك متشعب E8 .
• تسمح بعض المتشعبات الطوبولوجية بوجود العديد من البنى الملساء التي لا تتكافئ بالمعنى المذكور أعلاه. وقد اكتشف جون ميلنور هذا الأمر في الأصل في شكل الكرات السبعة الغريبة . ^{[ 7 ]}

كل مشعب أملس متصل أحادي البعد يكون متماثلاً تفاضلياً مع إما${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle S^{1},}$كل منها بهيكلها الأملس القياسي.

للاطلاع على تصنيف للمتشعبات الملساء ثنائية الأبعاد، انظر السطح . ومن النتائج الخاصة أن كل متشعب ملساء متصل ثنائي الأبعاد يكون متماثلاً تفاضلياً مع أحد المتشعبات التالية:${\displaystyle S^{2},}$أو${\displaystyle (S^{1}\times S^{1})\sharp \cdots \sharp (S^{1}\times S^{1}),}$أو${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\sharp \cdots \sharp \mathbb {RP} ^{2}.}$ يصبح الوضع أكثر تعقيداً إذا نظرنا إلى البنية المعقدة القابلة للتفاضل بدلاً من البنية الملساء.

الوضع في ثلاثة أبعاد أكثر تعقيدًا، والنتائج المعروفة غير مباشرة. ومن النتائج اللافتة، التي أُثبتت عام ٢٠٠٢ باستخدام طرق المعادلات التفاضلية الجزئية ، فرضية الهندسة ، التي تنص بشكل عام على إمكانية تقسيم أي فضاء ثلاثي الأبعاد أملس ومضغوط إلى أجزاء مختلفة، كل منها يقبل مقاييس ريمانية ذات تناظرات متعددة. وهناك أيضًا نتائج تعريفية متنوعة للفضاءات الثلاثية الأبعاد القابلة للهندسة، مثل صلابة موستو وخوارزمية سيلا لمسألة التشاكل للمجموعات الزائدية. ^{[ ٨ ]}

من المعروف أن تصنيف المتشعبات من الرتبة n ، حيث n أكبر من ثلاثة، مستحيل، حتى في حالة التكافؤ التشاكلي . بفرض وجود أي زمرة ذات عرض منتهٍ ، يمكن إنشاء متشعب مغلق من الرتبة 4 يكون لتلك الزمرة دور أساسي فيه. وبما أنه لا توجد خوارزمية لحل مشكلة التشاكل للزمر ذات العرض المنتهي، فلا توجد خوارزمية لتحديد ما إذا كان لمتشعبين من الرتبة 4 نفس الزمرة الأساسية. ولأن الإنشاء الموصوف سابقًا ينتج عنه فئة من المتشعبات من الرتبة 4 تكون متماثلة شكليًا إذا وفقط إذا كانت زمرها متماثلة، فإن مشكلة التشاكل لمتشعبات الرتبة 4 غير قابلة للحل . إضافةً إلى ذلك، ولأن حتى تحديد الزمرة التافهة غير قابل للحل، فإنه من غير الممكن عمومًا تحديد ما إذا كان للمتشعب زمرة أساسية تافهة، أي ما إذا كان متصلًا ببساطة .

صُنِّفت المشعبات الرباعية المتصلة ببساطة حتى التشاكل الموضعي بواسطة فريدمان باستخدام صيغة التقاطع وثابت كيربي-سييبنمان . ومن المعروف أن نظرية المشعبات الرباعية الملساء أكثر تعقيدًا بكثير، كما يتضح من البنى الملساء الغريبة على R⁴ ^.

مع ذلك، يصبح الوضع أكثر سهولةً بالنسبة للمشعبات الملساء المتصلة ببساطة ذات البعد ≥ 5، حيث يمكن استخدام نظرية التماثل h لتقليل التصنيف إلى تصنيف يصل إلى تكافؤ التماثل، ويمكن تطبيق نظرية الجراحة . ^{[ 9 ]} وقد تم ذلك لتوفير تصنيف صريح للمشعبات الخماسية المتصلة ببساطة بواسطة دينيس باردن.

تتألف المتشعبات الريمانية من متشعب أملس بالإضافة إلى جداء داخلي موجب التحديد على كل فضاء مماس من الفضاءات المماسية. تُسمى هذه المجموعة من الجداءات الداخلية بالمقياس الريماني ، وهو بطبيعته حقل موتر ثنائي متناظر. يُحدد هذا "المقياس" تماثلًا طبيعيًا بين فضاءات المتجهات.${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}^{\ast }M}$لكل${\displaystyle p\in M.}$على مشعب ريماني، يمكن تعريف مفاهيم الطول والحجم والزاوية. ويمكن إعطاء أي مشعب أملس العديد من المقاييس الريمانية المختلفة.

المتشعب شبه الريماني (أو شبه الريماني) هو تعميم لمفهوم المتشعب الريماني، حيث يُسمح للجداءات الداخلية بأن يكون لها إشارة غير محددة ، بدلاً من أن تكون موجبة التحديد ؛ ومع ذلك، لا يزال يُشترط أن تكون غير منعدمة. يُعرّف كل متشعب شبه ريماني أو ريماني أملس عددًا من حقول الموترات المرتبطة به، مثل موتر انحناء ريمان . المتشعبات اللورنتزية هي متشعبات شبه ريمانية ذات إشارة${\displaystyle (n-1,1)}$القضية${\displaystyle n=4}$يُعدّ هذا الأمر أساسياً في النسبية العامة . لا يمكن إعطاء كل مشعب أملس بنية شبه ريمانية غير ريمانية؛ فهناك قيود طوبولوجية على القيام بذلك.

إن مشعب فينسلر هو تعميم مختلف لمشعب ريمان، حيث يتم استبدال الضرب الداخلي بمعيار متجه ؛ وعلى هذا النحو، يسمح هذا بتعريف الطول، ولكن ليس الزاوية.

المتشعب التماثلي هو متشعب مزود بصيغة ثنائية مغلقة وغير متدهورة . هذا الشرط يُجبر المتشعبات التماثلية على أن تكون زوجية الأبعاد، نظرًا لحقيقة أن التناظر المعكوس${\displaystyle (2n+1)\times (2n+1)}$جميع المصفوفات لها محدد يساوي صفرًا. وهناك مثالان أساسيان:

• تُعد حزم الظل المشترك، التي تنشأ كفضاءات طور في ميكانيكا هاميلتون ، مثالًا محفزًا، لأنها تقبل شكلًا تماثليًا طبيعيًا .
• جميع المشعبات الريمانية ثنائية الأبعاد الموجهة${\displaystyle (M,g)}$هي، بطريقة طبيعية، سيمبليكتية، من خلال تحديد الشكل${\displaystyle \omega (u,v)=g(u,J(v))}$حيث، لأي${\displaystyle v\in T_{p}M,}$${\displaystyle J(v)}$يرمز إلى المتجه الذي بحيث${\displaystyle v,J(v)}$هو موجه${\displaystyle g_{p}}$-الأساس المتعامد لـ${\displaystyle T_{p}M.}$

تتكون زمرة لي من متعدد الشعب C ^∞${\displaystyle G}$بالإضافة إلى هيكل المجموعة${\displaystyle G}$بحيث تكون خرائط المنتج والانعكاس${\displaystyle m:G\times G\to G}$و${\displaystyle i:G\to G}$تكون هذه الكائنات سلسة مثل خرائط المتشعبات. وغالبًا ما تنشأ هذه الكائنات بشكل طبيعي عند وصف التناظرات (المستمرة)، وهي تشكل مصدرًا مهمًا لأمثلة المتشعبات السلسة.

مع ذلك، لا يمكن إعطاء العديد من الأمثلة المألوفة للمشعبات الملساء بنية زمرة لي، لأنه عند إعطاء زمرة لي${\displaystyle G}$وأي${\displaystyle g\in G}$يمكن للمرء أن ينظر إلى الخريطة${\displaystyle m(g,\cdot ):G\to G}$والذي يرسل عنصر الهوية${\displaystyle e}$ل${\displaystyle g}$وبالتالي، من خلال النظر في التفاضل${\displaystyle T_{e}G\to T_{g}G,}$يُتيح هذا تعريفًا طبيعيًا بين أي فضاءين مماسين لمجموعة لي. على وجه الخصوص، من خلال النظر في متجه غير صفري عشوائي في${\displaystyle T_{e}G,}$يمكن استخدام هذه التعريفات لإعطاء حقل متجه سلس غير متلاشٍ على${\displaystyle G.}$يُظهر هذا، على سبيل المثال، أنه لا يمكن لأي كرة ذات أبعاد زوجية أن تدعم بنية زمرة لي. وتُظهر الحجة نفسها، بشكل أعم، أن كل زمرة لي يجب أن تكون قابلة للتوازي .

يُقدّم مفهوم الزمرة الزائفة ^{[ 10 ]} تعميمًا مرنًا للأطالس، مما يسمح بتعريف مجموعة متنوعة من البنى المختلفة على المشعبات بطريقة موحدة. تتكون الزمرة الزائفة من فضاء طوبولوجي S ومجموعة Γ تتألف من التشاكلات الموضعية من المجموعات الفرعية المفتوحة من S إلى مجموعات فرعية مفتوحة أخرى من S بحيث

1. إذا كان f ∈ Γ ، و U هي مجموعة فرعية مفتوحة من مجال f ، فإن التقييد f | _U موجود أيضًا في Γ.
2. إذا كان f تماثلًا شكليًا من اتحاد مجموعات جزئية مفتوحة من S ،${\displaystyle \cup _{i}\,U_{i}}$، إلى مجموعة جزئية مفتوحة من S ، ثم f ∈ Γ بشرط${\displaystyle f|_{U_{i}}\in \Gamma }$لكل i .
3. لكل مجموعة مفتوحة U ⊂ S ، يكون التحويل المحايد لـ U في Γ.
4. إذا كان f ∈ Γ ، فإن f ⁻¹ ∈ Γ .
5. تركيب عنصرين من Γ موجود في Γ.

تُشابه هذه الشروط الثلاثة الأخيرة تعريف المجموعة . تجدر الإشارة إلى أن Γ ليست بالضرورة مجموعة، لأن الدوال غير مُعرَّفة عالميًا على S. على سبيل المثال، تُشكِّل مجموعة جميع التشاكلات التفاضلية المحلية من الفئة C ^k على R ⁿ مجموعة زمرة زائفة. كما تُشكِّل جميع التشاكلات الثنائية بين المجموعات المفتوحة في C ⁿ مجموعة زمرة زائفة. ومن الأمثلة الأخرى: الدوال الحافظة للاتجاه على R ⁿ ، والتشاكلات التبسيطية ، وتحويلات موبيوس ، والتحويلات الأفينية ، وما إلى ذلك. وبالتالي، تُحدِّد مجموعة واسعة من فئات الدوال مجموعات زمرة زائفة.

يُقال أن أطلس ( U _i , φ _i ) من التشاكلات φ _i من U _i ⊂ M إلى المجموعات الفرعية المفتوحة من فضاء طوبولوجي S متوافق مع مجموعة زائفة Γ بشرط أن تكون دوال الانتقال φ _j ∘ φ _i ⁻¹  : φ _i ( U _i ∩ U _j ) → φ _j ( U _i ∩ U _j ) كلها في Γ.

تُعدّ المتشعبات التفاضلية أطلسًا متوافقًا مع الزمرة الزائفة للدوال C ^k على R ⁿ . والمتشعبات المركبة أطلسًا متوافقًا مع الدوال ثنائية الشكل على المجموعات المفتوحة في C ⁿ . وهكذا. بالتالي، توفر الزمر الزائفة إطارًا واحدًا لوصف العديد من البنى على المتشعبات ذات الأهمية في الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا.

أحيانًا، قد يكون من المفيد استخدام منهج بديل لتزويد متعدد الشعب ببنية C  k . هنا k = 1، 2، ...، ∞، أو ω لمتعددات الشعب التحليلية الحقيقية. بدلًا من النظر في مخططات الإحداثيات، من الممكن البدء بالدوال المعرفة على متعدد الشعب نفسه. حزمة البنية لـ M ، والتي يُرمز لها بـ C  k  ، هي نوع من الدوال التي تُعرّف، لكل مجموعة مفتوحة U ⊂ M ، جبرًا C k ( U ) من الدوال المتصلة U → R. يُقال إن حزمة البنية C  k  تُعطي M بنية متعدد شعب C  k ذي بُعد n بشرط أنه، لأي p ∈ M ، توجد جوار U لـ p و n دالة x 1 ، ...، x n ∈ C k ( U ) بحيث يكون التطبيق f = ( x 1 ، ...، x n )  : U → R n تشاكلًا تماثليًا على مجموعة مفتوحة في R n ، بحيث C  k | U هو السحب العكسي لحزمة الدوال القابلة للتفاضل بشكل مستمر k مرة على R n . [ 11 ]

على وجه الخصوص، يعني هذا الشرط الأخير أنه يمكن كتابة أي دالة h في C ^k ( V )، من أجل V ، بشكل فريد على الصورة h ( x ) = H ( x ¹ ( x ), ..., x ⁿ ( x )) ، حيث H دالة قابلة للتفاضل k مرة على f ( V ) (مجموعة مفتوحة في R ⁿ ). وبالتالي، من وجهة نظر نظرية الحزم، يمكن التعبير عن الدوال على مشعب قابل للتفاضل في إحداثيات محلية كدوال قابلة للتفاضل على R ⁿ ، ومن باب أولى، هذا يكفي لتوصيف البنية التفاضلية على المشعب.

بالنسبة لمتشعب C ^k، M ، تُشكّل مجموعة الدوال الحقيقية C ^k على المتشعب جبرًا تحت الجمع والضرب النقطيين، يُسمى جبر الحقول العددية أو ببساطة جبر الكميات العددية . يحتوي هذا الجبر على الدالة الثابتة 1 كعنصر محايد ضربي، وهو نظير قابل للتفاضل لحلقة الدوال المنتظمة في الهندسة الجبرية.

من الممكن إعادة بناء متعدد الشعب من جبره القياسي، أولًا كمجموعة، ثم كفضاء طوبولوجي - وهذا تطبيق لنظرية باناش-ستون ، ويُعرف رسميًا باسم طيف جبر C* . أولًا، توجد مطابقة أحادية بين نقاط M وتشاكلات الجبر φ : C ^k ( M ) → R ، حيث يقابل كل تشاكل φ مثاليًا ذا بُعد مشترك واحد في C ^k ( M ) (أي نواة φ )، وهو بالضرورة مثالي أعظمي. وعلى العكس، كل مثالي أعظمي في هذا الجبر هو مثالي دوال تتلاشى عند نقطة واحدة، مما يُثبت أن MSpec (المواصفات العظمى) لـ C ^k ( M ) يستعيد M كمجموعة نقاط، مع أنه في الواقع يستعيد M كفضاء طوبولوجي.

يمكن تعريف العديد من البنى الهندسية جبريًا باستخدام جبر الكميات القياسية، وغالبًا ما تُعمَّم هذه التعريفات لتشمل الهندسة الجبرية (تفسير الحلقات هندسيًا) ونظرية المؤثرات (تفسير فضاءات باناخ هندسيًا). على سبيل المثال، يمكن تعريف الحزمة المماسية للفضاء M على أنها مشتقات جبر الدوال الملساء على M.

يؤدي هذا "التحويل الجبري" للمتشعب (استبدال الشكل الهندسي بالجبر) إلى مفهوم الجبر C* - وهو جبر C* تبادلي، بحسب باناش-ستون، يُمثل حلقة الأعداد القياسية للمتشعب، ويتيح اعتبار الجبر C* غير التبادلي تعميمات غير تبادلية للمتشعبات. وهذا هو أساس مجال الهندسة غير التبادلية .