مجموعة متجانسة

في الرياضيات ، تُستخدم مجموعات التماثل في الطوبولوجيا الجبرية لتصنيف الفضاءات الطوبولوجية . أول وأبسط مجموعة تماثل هي المجموعة الأساسية ، ويرمز لها بـ${\displaystyle \pi _{1}(X),}$والتي تسجل معلومات حول الحلقات في الفضاء . وبشكل بديهي، تسجل مجموعات التماثل معلومات حول الشكل الأساسي، أو الثقوب ، للفضاء الطوبولوجي.

لتعريف مجموعة التماثل من الرتبة n ، تُجمع التطبيقات التي تحافظ على نقطة الأساس من كرة ذات n بُعد ( بنقطة أساس ) إلى فضاء مُعطى (بنقطة أساس ) في فئات تكافؤ تُسمى فئات التماثل . يكون تطبيقان متماثلين إذا أمكن تحويل أحدهما بشكل متصل إلى الآخر. تُشكل فئات التماثل هذه مجموعة تُسمى مجموعة التماثل من الرتبة n .${\displaystyle \pi _{n}(X),}$للفضاء المعطى X بنقطة أساسية. الفضاءات الطوبولوجية ذات مجموعات التماثل المختلفة لا تكون متماثلة طوبولوجيًا أبدًا ، ولكن الفضاءات الطوبولوجية غير المتماثلة طوبولوجيًا يمكن أن يكون لها نفس مجموعات التماثل.

تم تقديم مفهوم التماثل بين المسارات بواسطة كاميل جوردان . ^{[ 1 ]}

في الرياضيات الحديثة، من الشائع دراسة فئة ما بربط كل عنصر من عناصر هذه الفئة بعنصر أبسط يحتفظ بمعلومات كافية عن العنصر محل الدراسة. تُعدّ زمر التماثل إحدى هذه الطرق لربط الزمر بالفضاءات الطوبولوجية.

تُمكّن هذه الصلة بين الطوبولوجيا والمجموعات الرياضيين من تطبيق رؤى نظرية المجموعات على الطوبولوجيا . فعلى سبيل المثال، إذا كان لجسمين طوبولوجيين مجموعات تماثل مختلفة، فلا يمكن أن يكون لهما نفس البنية الطوبولوجية ، وهي حقيقة قد يصعب إثباتها باستخدام الوسائل الطوبولوجية وحدها. فعلى سبيل المثال، يختلف الشكل الحلقي عن الكرة : فالحلقي يحتوي على "ثقب"، بينما الكرة لا تحتوي عليه. ومع ذلك، بما أن الاستمرارية (المفهوم الأساسي في الطوبولوجيا) لا تتعامل إلا مع البنية المحلية، فقد يصعب تعريف الاختلاف الكلي الواضح تعريفًا رسميًا. لكن مجموعات التماثل تحمل معلومات حول البنية الكلية.

أما بالنسبة للمثال: مجموعة التماثل الأولى للسطح الحلقي${\displaystyle T}$يكون $${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$$ لأن الغطاء الشامل للسطح الحلقي هو المستوى الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$رسم الخرائط إلى الطارة${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$هنا، يندرج خارج القسمة ضمن فئة الفضاءات الطوبولوجية، وليس ضمن فئة الزمر أو الحلقات. من ناحية أخرى، الكرة${\displaystyle S^{2}}$يرضي: $${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,}$$ لأن كل حلقة يمكن اختزالها إلى دالة ثابتة (انظر مجموعات التماثل الكروي لهذا المثال ولأمثلة أكثر تعقيدًا لمجموعات التماثل). لذا، فإن الطارة ليست متماثلة شكليًا مع الكرة.

في المجال n${\displaystyle S^{n}}$نختار نقطة أساس a . بالنسبة للفضاء X ذي نقطة الأساس b ، نُعرّف${\displaystyle \pi _{n}(X)}$أن تكون مجموعة فئات التماثل للخرائط $${\displaystyle f:S^{n}\to X\mid f(a)=b}$$ التي تربط نقطة الأساس a بنقطة الأساس b . على وجه الخصوص، تُعطى فئات التكافؤ بواسطة عمليات التماثل الثابتة عند نقطة أساس الكرة. وبصورة مكافئة، عرّف${\displaystyle \pi _{n}(X)}$أن تكون مجموعة فئات التماثل للخرائط${\displaystyle g:[0,1]^{n}\to X}$من المكعب ذي البعد n إلى X الذي يأخذ حدود المكعب ذي البعد n إلى b .

ل${\displaystyle n\geq 1,}$تشكل فئات التماثل مجموعة . ولتعريف عملية المجموعة، تذكر أنه في المجموعة الأساسية ، يكون حاصل الضرب${\displaystyle f\ast g}$من حلقتين${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$يتم تحديده عن طريق التعيين $${\displaystyle (f*g)(t)={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

تتمثل فكرة التركيب في المجموعة الأساسية في السير على المسار الأول ثم الثاني بالتتابع، أو بعبارة أخرى، ضم نطاقيهما معًا. وينطبق المفهوم نفسه على مجموعة التماثل من الرتبة n ، إلا أن النطاقات التي نلصقها الآن هي مكعبات، ويجب علينا لصقها على طول أحد أوجهها. ولذلك، نُعرّف مجموع التطبيقات.${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$وفقًا للصيغة $${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

أما بالنسبة للتعريف المقابل بدلالة الكرات، فعرّف المجموع${\displaystyle f+g}$من الخرائط${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$يكون${\displaystyle \Psi }$مُؤلَّف من h ، حيث${\displaystyle \Psi }$هل الخريطة من${\displaystyle S^{n}}$إلى مجموع إسفيني لكرتين من الرتبة n يؤدي إلى انهيار خط الاستواء، و h هي الخريطة من المجموع الإسفيني لكرتين من الرتبة n إلى X والتي تُعرف بأنها f على الكرة الأولى و g على الثانية.

لو${\displaystyle n\geq 2,}$ثم${\displaystyle \pi _{n}}$هي مجموعة تبديلية . ^{[ 2 ]} علاوة على ذلك، على غرار المجموعة الأساسية، بالنسبة للفضاء المتصل مساريًا ، فإن أي اختيارين لنقطة الأساس يؤديان إلى فضاء متماثل.${\displaystyle \pi _{n}.}$^{[ 3 ]}

قد يميل البعض إلى تبسيط تعريف زمر التماثل بحذف نقاط الأساس، لكن هذا لا ينجح عادةً في الفضاءات غير المتصلة اتصالاً بسيطاً ، حتى في الفضاءات المتصلة مسارياً. إن مجموعة فئات التماثل للتطبيقات من كرة إلى فضاء متصل مسارياً ليست زمرة التماثل، بل هي في جوهرها مجموعة مدارات الزمرة الأساسية على زمرة التماثل، وعموماً لا تمتلك بنية زمرة طبيعية.

تم التوصل إلى حل لهذه الصعوبات بتعريف زمر التماثل العليا للفضاءات المُرشَّحة والمكعبات من الرتبة n للفضاءات. وترتبط هذه الزمر بزمر التماثل النسبية وزمر التماثل n -adic على التوالي. ومن ثم، تُمكِّن نظرية فان كامبن للتماثل الأعلى من استخلاص معلومات جديدة حول زمر التماثل، بل وحتى حول أنواع التماثل. لمزيد من المعلومات والمراجع، انظر "نظرية الزمر ذات الأبعاد الأعلى" والمراجع أدناه.

يترك${\displaystyle p:E\to B}$أن تكون تليف سيريه محافظًا على نقطة الأساس مع ألياف${\displaystyle F,}$أي، خريطة تمتلك خاصية رفع التماثل بالنسبة لمجمعات CW . لنفترض أن B متصلة مساريًا. عندئذٍ توجد متتالية تامة طويلة من مجموعات التماثل. $${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$$

هنا الخرائط التي تتضمن${\displaystyle \pi _{0}}$ليست هذه تماثلات زمر لأن${\displaystyle \pi _{0}}$ليست مجموعات، لكنها دقيقة بمعنى أن الصورة تساوي النواة .

مثال: تليف هوبف . ليكن B يساوي${\displaystyle S^{2}}$و E يساوي${\displaystyle S^{3}.}$ليكن p هو تليف هوبف ، الذي له ألياف${\displaystyle S^{1}.}$من التسلسل الدقيق الطويل $${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$$

وحقيقة أن${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$ل${\displaystyle n\geq 2,}$وجدنا أن${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})}$ل${\displaystyle n\geq 3.}$بخاصة،${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .}$

في حالة مساحة التغطية، عندما تكون الألياف منفصلة، ​​لدينا ذلك${\displaystyle \pi _{n}(E)}$متماثل مع${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ل${\displaystyle n>1,}$الذي - التي${\displaystyle \pi _{n}(E)}$يندمج بشكل حقني في${\displaystyle \pi _{n}(B)}$لكل الإيجابيات${\displaystyle n,}$وأن المجموعة الفرعية من${\displaystyle \pi _{1}(B)}$وهذا يتوافق مع تضمين${\displaystyle \pi _{1}(E)}$لها مجموعات مشاركة في تقابل مع عناصر الألياف.

عندما يكون التليف هو الليف المسقط ، أو بشكل مزدوج، يكون التليف المشترك هو المخروط المسقط ، فإن التسلسل الدقيق الناتج (أو بشكل مزدوج، التسلسل المشترك الدقيق) يتم إعطاؤه بواسطة تسلسل Puppe .

يُعدّ حساب مجموعات التماثل، عمومًا، أكثر صعوبةً من بعض ثوابت التماثل الأخرى التي تُدرس في الطوبولوجيا الجبرية. فعلى عكس نظرية سيفرت-فان كامبن للمجموعة الأساسية ونظرية الاستئصال للتماثل والتماثل المشترك المفردين ، لا توجد طريقة بسيطة معروفة لحساب مجموعات التماثل لفضاء ما عن طريق تقسيمه إلى فضاءات أصغر. مع ذلك، فقد أتاحت الطرق التي طُوّرت في ثمانينيات القرن الماضي، والتي تتضمن نظرية من نوع فان كامبن لمجموعات التماثل العليا، إجراء حسابات جديدة على أنواع التماثل، وبالتالي على مجموعات التماثل. انظر، على سبيل المثال، ورقة إليس وميخائيلوف البحثية لعام ٢٠١٠. ^{[ ٦ ]}

في بعض الفضاءات، مثل الأسطح الحلقية ، تكون جميع مجموعات التماثل العليا (أي مجموعات التماثل الثانية وما فوقها) تافهة . تُعرف هذه الفضاءات بالفضاءات غير الكروية . ومع ذلك، على الرغم من الأبحاث المكثفة في حساب مجموعات التماثل للكرات، فإنه حتى في بعدين، لا توجد قائمة كاملة معروفة. لحساب حتى مجموعة التماثل الرابعة لـ${\displaystyle S^{2}}$يحتاج المرء إلى تقنيات أكثر تطوراً بكثير مما قد توحي به التعريفات. وعلى وجه الخصوص، تم تصميم تسلسل سير الطيفي لهذا الغرض تحديداً.

يمكن حساب مجموعات التماثل الخاصة بالفضاءات المتصلة من الرتبة n عن طريق المقارنة مع مجموعات التماثل عبر نظرية هوريفيتش .

• التسلسل الدقيق الطويل لمجموعات التماثل في التليف.
• نظرية هوريفيتش ، التي لها عدة صيغ.
• نظرية بلاكرز-ماسي ، والمعروفة أيضًا باسم الاستئصال لمجموعات التماثل .
• نظرية تعليق فرويدنتال ، وهي نتيجة طبيعية للاستئصال بالنسبة لمجموعات التماثل.

يوجد أيضًا تعميم مفيد لمجموعات التماثل،${\displaystyle \pi _{n}(X),}$تسمى مجموعات التماثل النسبي${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$للزوج​${\displaystyle (X,A),}$حيث A هي فضاء جزئي من${\displaystyle X.}$

يستند هذا التصميم إلى الملاحظة التي تفيد بأنه بالنسبة للتضمين${\displaystyle i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),}$توجد خريطة مستحثة على كل مجموعة تماثل${\displaystyle i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$وهذا ليس حقنًا بشكل عام. في الواقع، تُعرف عناصر النواة من خلال النظر في نموذج تمثيلي.${\displaystyle f:I^{n}\to X}$وأخذ التماثل الأساسي${\displaystyle F:I^{n}\times I\to X}$إلى الخريطة الثابتة${\displaystyle x_{0},}$أو بعبارة أخرى${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f,}$بينما يقتصر التقييد على أي مكون حدودي آخر من${\displaystyle I^{n+1}}$هذا بديهي. لذا، لدينا التركيب التالي:

عناصر هذه المجموعة هي فئات تماثلية للخرائط الأساسية${\displaystyle D^{n}\to X}$التي تحمل الحدود${\displaystyle S^{n-1}}$إلى أ . خريطتان${\displaystyle f,g}$تُسمى هذه العناصر متماثلة بالنسبة إلى A إذا كانت متماثلة بواسطة تماثل يحافظ على نقطة الأساس.${\displaystyle F:D_{n}\times [0,1]\to X}$بحيث يكون لكل p في${\displaystyle S^{n-1}}$و t في ⁠${\displaystyle [0,1]}$، العنصر${\displaystyle F(p,t)}$يقع في المجموعة A. لاحظ أنه يتم استعادة مجموعات التماثل العادية في الحالة الخاصة التي يكون فيها${\displaystyle A=\{x_{0}\}}$هو العنصر الوحيد الذي يحتوي على نقطة الأساس.

هذه المجموعات تبديلية لـ${\displaystyle n\geq 3}$لولا${\displaystyle n=2}$تشكل المجموعة العلوية لوحدة متقاطعة مع المجموعة السفلية${\displaystyle \pi _{1}(A).}$

يوجد أيضًا تسلسل دقيق طويل من مجموعات التماثل النسبي التي يمكن الحصول عليها عبر تسلسل Puppe :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

تُعدّ مجموعات التماثل أساسية في نظرية التماثل ، والتي بدورها حفّزت تطوير فئات النماذج . ومن الممكن تعريف مجموعات تماثل مجردة للمجموعات التبسيطية .

تتشابه مجموعات التماثل مع مجموعات التماثل الطوبولوجي في قدرتها على تمثيل "الفجوات" في الفضاء الطوبولوجي. مع ذلك، غالبًا ما تكون مجموعات التماثل الطوبولوجي معقدة للغاية ويصعب حسابها. في المقابل، تكون مجموعات التماثل تبادلية (كما هو الحال في مجموعات التماثل الطوبولوجي الأعلى). بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle X,}$يُرمز إلى مجموعة التماثل من الرتبة n بالرمز التالي:${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ويُرمز إلى مجموعة التماثل من الرتبة n الخاصة بها بـ${\displaystyle H_{n}(X)}$أو${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} ).}$

• التليف
• تليف هوبف
• ثابت هوبف
• نظرية العقدة
• فئة التماثل
• مجموعات التماثل الكروي
• ثابت طوبولوجي
• مجموعة التماثل ذات المعاملات
• مجموعة مدببة

• رونالد براون ، "المجموعات الجزئية والأجسام المتقاطعة في الطوبولوجيا الجبرية"، علم التماثل، علم التماثل والتطبيقات ، 1 (1999) 1-78.
• رونالد براون ، فيليب ج. هيغينز، رافائيل سيفيرا، الطوبولوجيا الجبرية غير التبادلية: الفضاءات المُرشَّحة، والمُركَّبات المُتقاطعة، وزمر التماثل المكعبة، سلسلة منشورات الجمعية الأوروبية للرياضيات، المجلد 15، 703 صفحات، زيورخ، 2011. doi : 10.4171/083 MR 2841564 
• Čech، Eduard (1932)، “Höher Dimensione Homopiegruppen”، Verhandlungen des Internationalen Mathematicerkongress، زيورخ.
• هاتشر، ألين (2002)، الطوبولوجيا الجبرية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-79540-1
• "مجموعة التماثل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• هوبف، هاينز (1931)، “Über die Abbildungen der drei Dimensionen Sphäre auf die Kugelfläche” ، مجلة الرياضيات ، 104 (1): 637–665 ، دوى : 10.1007 / BF01457962.
• كامبس، كلاوس هـ.؛ بورتر، تيموثي (1997). نظرية التماثل المجرد ونظرية التماثل البسيط . ريفر إيدج، نيوجيرسي: دار النشر العالمية العلمية. doi : 10.1142/9789812831989 . ISBN 981-02-1602-5. MR 1464944 . 
• تودا، هيروشي (1962). طرق التركيب في مجموعات التماثل الكروي . دراسات حوليات الرياضيات. المجلد  49. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-09586-8MR 0143217 .​ {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• وايت هيد، جورج ويليام (1978). عناصر نظرية التماثل . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  61 (  الطبعة الثالثة). نيويورك-برلين: سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات  744+21. ISBN 978-0-387-90336-1MR 0516508 .​