ترياكيس إيكوساهيدرون

في الهندسة ، يُعرف المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع بأنه مجسم ثنائي أرخميدسي ، أو مجسم كاتالاني ، ذو 60 وجهًا مثلثيًا متساوي الساقين . ونظيره هو المجسم الاثني عشري المقطوع . ويُطلق عليه أيضًا اسم المجسم العشري الوجوه غير المتساوي الأضلاع . ^{[ 1 ]} وقد رُسم لأول مرة، بشكل غير محدب ذي أوجه مثلثية متساوية الأضلاع، بواسطة ليوناردو دافنشي في كتاب لوكا باتشولي " النسبة الإلهية" ، حيث سُمي المجسم العشري الوجوه المرتفع . ^{[ 2 ]} ويتخذ غلاف فيروس التهاب الكبد الوبائي أ شكل المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع. ^{[ 3 ]}

يمكن تكوين المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع عن طريق لصق أهرامات مثلثة على كل وجه من أوجه المجسم العشري الوجوه المنتظم . وبحسب ارتفاع هذه الأهرامات بالنسبة لقاعدتها، قد يكون المجسم الناتج محدبًا أو غير محدب. يُعد هذا البناء، المتمثل في لصق الأهرامات على كل وجه، مثالًا على بناء عام يُسمى " كليتوب" ؛ فالمجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع هو "كليتوب" المجسم العشري الوجوه. ^{[ 2 ]} ويتجلى هذا التفسير أيضًا في الاسم " ثلاثي الأضلاع" ، الذي يُستخدم للإشارة إلى "كليتوب" المجسمات متعددة الوجوه ذات الأوجه المثلثة. ^{[ 1 ]}

ترياكيس عشروني الوجوه غير محدب رسمه ليوناردو دا فينشي في التناسب الإلهي للوكا باسيولي

الأجزاء المرئية من مجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأضلاع صغير لها نفس شكل مجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأضلاع غير محدب

المجسم النجمي العظيم ذو الاثني عشر وجهًا ، والذي يحتوي على 12 وجهًا خماسيًا، له غلاف خارجي من نوع المجسم العشرين ثلاثي الأوجه

عند تصويره على هيئة ليوناردو، بأوجه مثلثية متساوية الأضلاع، يُعد مثالًا على دلتاهيدرون غير محدب ، وهو أحد الدلتاهيدرات القليلة المعروفة التي تتميز بتناظرها (أي أن جميع أوجهها متناظرة). ^{[ 4 ]} في شكل آخر غير محدب من أشكال ثلاثي الأوجه العشرين، تقع المثلثات الثلاثة المجاورة لكل هرم في مستوى واحد، ويمكن اعتبارها تشكل الأجزاء المرئية من سداسي محدب، في متعدد السطوح متقاطع ذاتيًا ذي 20 وجهًا سداسيًا، والذي يُطلق عليه اسم ثلاثي الأوجه العشرين الصغير . ^{[ 5 ]} بدلاً من ذلك، بالنسبة للشكل نفسه من ثلاثي الأوجه العشرين، تشكل ثلاثيات المثلثات متساوية الساقين الواقعة في مستوى واحد أوجه النجمة الأولى لعشرين وجهًا . ^{[ 6 ]} وهناك شكل آخر غير محدب، ذو أوجه مثلثية متساوية الساقين ذهبية اللون ، يشكل الغلاف الخارجي للمجسم النجمي ذي الاثني عشر وجهاً ، وهو متعدد السطوح من نوع كبلر-بوانسو ذو اثني عشر وجهاً خماسياً . ^{[ 7 ]}

لكل ضلع من أضلاع المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع نقاط نهاية ذات درجة إجمالية لا تقل عن 13. وبحسب نظرية كوتزيغ ، فإن هذه الدرجة هي الحد الأقصى الممكن لأي مجسم متعدد الوجوه. ويمكن الحصول على الدرجة الإجمالية نفسها من كليتوب أي مجسم متعدد الوجوه ذي درجة دنيا خمسة، إلا أن المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع هو أبسط مثال على هذا البناء. ^{[ 8 ]} على الرغم من أن هذا الكليتوب له أوجه مثلثية متساوية الساقين، فإن تكرار بناء الكليتوب عليه ينتج مجسمات متعددة الوجوه محدبة ذات أوجه مثلثية لا يمكن أن تكون جميعها متساوية الساقين. ^{[ 9 ]}

المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع هو مجسم كاتالاني ، وهو المجسم الثنائي للمجسم الاثني عشري الوجوه المقطوع . المجسم الاثني عشري الوجوه المقطوع هو مجسم أرخميدسي ، وجوهه عبارة عن مضلعات عشرية منتظمة ومثلثات متساوية الأضلاع ، وجميع أضلاعه لها طول وحدة واحدة؛ تقع رؤوسه على كرة مشتركة، وهي الكرة المحيطة بالمجسم الاثني عشري الوجوه المقطوع. ^{[ 10 ]} الانعكاس القطبي لهذا المجسم عبر هذه الكرة هو شكل محدب للمجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع، حيث تكون جميع وجوهه مماسية لنفس الكرة، وهي الآن كرة داخلية ، بإحداثيات وأبعاد يمكن حسابها كما يلي.

يترك${\displaystyle \varphi }$يرمز إلى النسبة الذهبية . يبلغ طول الحواف القصيرة لهذا الشكل من المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع${\displaystyle (5\varphi +15)/11\approx 2.099}$والحواف الطويلة لها طول${\displaystyle \varphi +2\approx 3.618}$[ ^{11 ] وجوهها مثلثات متساوية الساقين} بزاوية منفرجة واحدة وزاويتين حادتين قياسهما: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{-1}{\frac {-3\varphi }{10}}&\approx 119^{\circ },\\\cos ^{-1}{\frac {\varphi +7}{10}}&\approx 30.5^{\circ }.\end{aligned}}}$$

باعتباره جسمًا صلبًا كاتالانيًا، فإن زواياه ثنائية السطوح متساوية جميعها $${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {6\varphi +3}{4\varphi +7}}\approx 160.61^{\circ }.}$$

يمكن توليد مجموعة واحدة محتملة من 32 إحداثية ديكارتية لرؤوس المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع المتمركز عند نقطة الأصل (بمقياس مختلف عن المجسم أعلاه) عن طريق دمج رؤوس مجسمين أفلاطونيين بمقياس مناسب ، وهما المجسم العشري الوجوه المنتظم والمجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم : ^{[ 13 ]}

• اثنا عشر رأسًا لمجسم عشريني الوجوه منتظم ، تم تغيير حجمها بحيث يكون نصف قطر محيطها وحدة واحدة، مع الإحداثيات التالية:$${\displaystyle {\frac {(0,\pm 1,\pm \varphi )}{\sqrt {\varphi ^{2}+1}}},{\frac {(\pm 1,\pm \varphi ,0)}{\sqrt {\varphi ^{2}+1}}},{\frac {(\pm \varphi ,0,\pm 1)}{\sqrt {\varphi ^{2}+1}}}.}$$
• عشرون رأسًا لمجسم اثني عشري منتظم ، تم تغيير حجمها بحيث يكون نصف قطر الدائرة المحيطة بها$${\displaystyle {\frac {2+\varphi }{3+2\varphi }}{\sqrt {\frac {3}{2-1/\varphi }}}={\frac {1}{11}}{\sqrt {75+6{\sqrt {5}}}}\approx 0.8548,}$$مع الإحداثيات$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}}}$$و$${\displaystyle (0,\pm \varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }}){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}},(\pm {\frac {1}{\varphi }},0,\pm \varphi ){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}},(\pm \varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }},0){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}}.}$$

في أي من أشكاله القياسية المحدبة أو غير المحدبة، يتمتع المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع بنفس تناظرات المجسم العشري الوجوه المنتظم. ^{[ 4 ]} تصبح أنواع محاور التناظر الثلاثة للمجسم العشري الوجوه، المارة برأسين متقابلين، ومنتصفات الحواف، ومراكز الأوجه، على التوالي محاور تمر بأزواج متقابلة من رؤوس الدرجة العاشرة للمجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع، ومنتصفات الحواف المتقابلة بين رؤوس الدرجة العاشرة، وأزواج متقابلة من رؤوس الدرجة الثالثة.

• التبليط المثلثي Triakis لأشكال متعددة الأوجه أخرى من نوع "triakis".
• مجسم ثلاثي الوجوه عظيم