النهاية (نظرية الفئات)

يترك${\displaystyle F:J\to C}$كن رسمًا تخطيطيًا للشكل${\displaystyle J}$في فئة${\displaystyle C}$مخروط إلى​${\displaystyle F}$هو كائن${\displaystyle N}$ل${\displaystyle C}$مع عائلة${\displaystyle \psi }$من التشكلات${\displaystyle \psi _{X}:N\to F(X)}$مفهرسة بواسطة الكائنات${\displaystyle X}$ل${\displaystyle J}$بحيث يكون لكل تشاكل${\displaystyle f:X\to Y}$في${\displaystyle J}$لدينا${\displaystyle F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}}$.

أحد حدود الرسم التخطيطي${\displaystyle F:J\to C}$هو مخروط${\displaystyle (L,\phi )}$ل${\displaystyle F}$بحيث يكون لكل مخروط${\displaystyle (N,\psi )}$ل${\displaystyle F}$يوجد تشاكل فريد${\displaystyle u:N\to L}$بحيث${\displaystyle \phi _{X}\circ u=\psi _{X}}$للجميع${\displaystyle X}$في${\displaystyle J}$.

يقول أحدهم أن المخروط${\displaystyle (N,\psi )}$العوامل عبر المخروط${\displaystyle (L,\phi )}$مع التحليل الفريد${\displaystyle u}$التشوه${\displaystyle u}$يُطلق عليه أحيانًا اسم التشكل الوسيط .

تُعرف النهايات أيضًا باسم المخاريط الشاملة ، لأنها تتميز بخاصية شاملة (انظر أدناه لمزيد من المعلومات). وكما هو الحال مع كل خاصية شاملة، يصف التعريف أعلاه حالة متوازنة من العمومية: كائن النهاية${\displaystyle L}$يجب أن يكون عامًا بما يكفي للسماح لأي مخروط بالمرور من خلاله؛ من ناحية أخرى،${\displaystyle L}$يجب أن يكون محددًا بدرجة كافية، بحيث لا يكون هناك سوى تحليل واحد ممكن لكل مخروط.

يمكن أيضًا وصف الحدود بأنها كائنات نهائية في فئة المخاريط إلى F.

من الممكن ألا يكون للمخطط نهاية على الإطلاق. مع ذلك، إذا كان للمخطط نهاية، فإن هذه النهاية تكون فريدة أساسًا: فهي فريدة حتى تماثل وحيد . لهذا السبب، غالبًا ما يُشار إلى نهاية F.

المفهومان المزدوجان للنهايات والمخاريط هما النهايات المشتركة والمخاريط المشتركة. على الرغم من سهولة الحصول على تعريفاتهما عن طريق عكس جميع التشكلات في التعريفات السابقة، إلا أننا سنذكرها صراحةً هنا:

مخروط مشترك للرسم التخطيطي${\displaystyle F:J\to C}$هو كائن${\displaystyle N}$ل${\displaystyle C}$بالإضافة إلى عائلة من التشكلات $${\displaystyle \psi _{X}:F(X)\to N}$$

لكل كائن${\displaystyle X}$ل${\displaystyle J}$بحيث يكون لكل تشاكل${\displaystyle f:X\to Y}$في${\displaystyle J}$لدينا${\displaystyle \psi _{Y}\circ F(f)=\psi _{X}}$.

الحد المشترك للرسم التخطيطي${\displaystyle F:J\to C}$هو مخروط مشترك${\displaystyle (L,\phi )}$ل${\displaystyle F}$بحيث يكون ذلك لأي مخروط آخر${\displaystyle (N,\psi )}$ل${\displaystyle F}$يوجد تشاكل فريد${\displaystyle u:L\to N}$بحيث${\displaystyle u\circ \phi _{X}=\psi _{X}}$للجميع${\displaystyle X}$في${\displaystyle J}$.

تُعرف النهايات المشتركة أيضًا باسم المخاريط المشتركة الشاملة . ويمكن وصفها بأنها كائنات أولية في فئة المخاريط المشتركة من${\displaystyle F}$.

كما هو الحال مع الحدود، إذا كان الرسم التخطيطي${\displaystyle F}$إذا كان للمتجه نهاية مشتركة، فإن هذه النهاية المشتركة تكون فريدة حتى تماثل فريد.

يمكن أيضًا تعريف النهايات والنهايات المشتركة لمجموعات من الكائنات والتشاكلات دون استخدام المخططات. التعريفات هي نفسها (لاحظ أنه في التعريفات أعلاه لم نحتج أبدًا إلى استخدام تركيب التشاكلات).${\displaystyle J}$ومع ذلك، لا يُضيف هذا التباين أي معلومات جديدة. أي مجموعة من الكائنات والتشاكلات تُعرّف رسمًا بيانيًا موجهًا (قد يكون كبيرًا).${\displaystyle G}$إذا سمحنا${\displaystyle J}$كن الفئة المجانية التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle G}$يوجد مخطط عالمي${\displaystyle F:J\to C}$صورته تحتوي${\displaystyle G}$. إن حد (أو حد مشترك) هذا الرسم التخطيطي هو نفسه حد (أو حد مشترك) المجموعة الأصلية من الكائنات والتشكلات.

يتم تعريف النهاية الضعيفة والنهايات المشتركة الضعيفة مثل النهايات والنهايات المشتركة، باستثناء أنه يتم إسقاط خاصية التفرد للتشاكل الوسيط.

إن تعريف النهايات عام بما يكفي ليشمل العديد من الإنشاءات المفيدة في التطبيقات العملية. سنتناول فيما يلي النهاية ( L , φ ) للمخطط F  : J → C.

• الكائنات النهائية . إذا كانت J هي الفئة الفارغة، فلا يوجد سوى مخطط واحد على شكل J : المخطط الفارغ (على غرار الدالة الفارغة في نظرية المجموعات). المخروط المتصل بالمخطط الفارغ هو في الأساس كائن من الفئة C. نهاية F هي أي كائن يمكن تحليله بشكل فريد من خلال كل كائن آخر. هذا هو تعريف الكائن النهائي .
• المنتجات . إذاكانت J فئة منفصلة، ​​فإن المخطط F ليس في جوهره سوى عائلة من كائنات C ، مفهرسة بواسطة J. تُسمىالنهاية L لـ F ناتج هذه الكائنات. يتكون المخروط φ من عائلة من التشكلات φ _X  : L → F ( X ) تُسمى إسقاطات الناتج. في فئة المجموعات ، على سبيل المثال، تُعطى المنتجات بواسطة المنتجات الديكارتية ، والإسقاطات هي ببساطة الإسقاطات الطبيعية على العوامل المختلفة.
  • القوى . حالة خاصة من الضرب هي عندما يكون المخطط F دالة ثابتة لكائن X من C. تسمى نهاية هذا المخطط ^القوة J لـ X ويرمز لها بـ X ^J.
• المعادلات . إذا كانت J فئة تحتوي على كائنين ومورفيزين متوازيين من كائن إلى آخر، فإن مخططًا على شكل J هو زوج من المورفيزات المتوازية في C. تسمىالنهاية L لمثل هذا المخطط معادلًا لتلك المورفيزات.
  • النوى . النواة هي حالة خاصة من المعادل حيث يكون أحد التشكلات تشكلاً صفرياً .
• عمليات السحب العكسي . ليكن F مخططًا يختار ثلاثة عناصر X و Y و Z في C ، حيث التشكلات غير التطابقية الوحيدة هي f  : X → Z و g  : Y → Z. تُسمىالنهاية L لـ F عملية سحب عكسي أو ضرب ليفي . ويمكن تصورها بشكل جيد على أنها مربع تبديلي .

• النهايات العكسية . ليكنJ مجموعة موجهة (تُعتبر فئة صغيرة بإضافة الأسهم i → j إذا وفقط إذا كان i ≤ j )، وليكن F  : J ^⊆ J → C مخططًا.تُسمى نهاية F النهاية العكسية أو النهاية الإسقاطية .
• إذا كانت J = 1 ، وهي الفئة التي تحتوي على عنصر واحد وتشاكل واحد، فإن مخططًا من الشكل J هو في جوهره عنصر X من الفئة C. والمخروط المؤدي إلى عنصر X هو تشاكل له المجال المقابل X. والتشاكل f  : Y → X هو نهاية للمخطط X إذا وفقط إذا كان f تشاكلًا . وبشكل أعم، إذا كانت J أي فئة تحتوي على عنصر ابتدائي i ، فإن أي مخطط من الشكل J له نهاية، وهي أي عنصر متشاكل مع F ( i ) . ويحدد هذا التشاكل بشكل فريد مخروطًا شاملًا لـ F.
• النهايات الطوبولوجية . تُعدّ نهايات الدوال حالة خاصة من نهايات المرشحات ، والتي ترتبط بالنهايات الفئوية كما يلي: بالنظر إلى فضاء طوبولوجي X ، نرمز بـ F إلى مجموعة المرشحات على X ، و x ∈ X إلى نقطة، و V ( x ) ∈ F إلى مرشح الجوار لـ x ، و A ∈ F إلى مرشح معين.${\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}}$مجموعة المرشحات الأدق من A والتي تتقارب إلى x . تُعطى المرشحات F بنية فئة صغيرة ورقيقة بإضافة سهم A → B إذا وفقط إذا كان A ⊆ B. الحقن${\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F}$يصبح دالة، ويتحقق التكافؤ التالي  :

x هو حد طوبولوجي لـ A إذا وفقط إذا كان A حدًا فئويًا لـ${\displaystyle I_{x,A}}$

تُعطى أمثلة على النهايات المشتركة من خلال النسخ الثنائية للأمثلة المذكورة أعلاه:

• الكائنات الأولية هي نهايات مشتركة للمخططات الفارغة.
• المنتجات المشتركة هي نهايات مشتركة للمخططات المفهرسة بفئات منفصلة.
  • القوى المشتركة هي نهايات مشتركة للمخططات الثابتة من الفئات المنفصلة.
• المتساويات المشتركة هي النهايات المشتركة لزوج متوازي من التشكلات.
  • النوى المشتركة هي معادلات مشتركة لتشكل وتشكل صفري متوازٍ.
• تُعتبر عمليات الدفع النهايات المشتركة لزوج من التشكلات ذات المجال المشترك.
• النهايات المباشرة هي النهايات المشتركة للمخططات المفهرسة بواسطة المجموعات الموجهة.

قد يكون للمخطط المعطى F  : J → C نهاية (أو نهاية مشتركة) في C أو لا . في الواقع، قد لا يكون هناك مخروط لـ F ، ناهيك عن مخروط شامل.

يُقال إن الفئة C لها حدود من الشكل J إذا كان لكل رسم تخطيطي من الشكل J حد في C. وبالتحديد، يُقال إن الفئة C

• يجب أن يكون هناك منتجات إذا كانت لها حدود شكل J لكل فئة منفصلة صغيرة J (لا يشترط أن يكون لديها منتجات كبيرة).
• يجب أن يحتوي على معادلات إذا كانت له حدود شكلية${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$(أي أن كل زوج متوازي من التشكلات له مُعادل)،
• قد تحدث ارتدادات إذا كانت لها حدود شكلية${\displaystyle \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }$(أي أن كل زوج من التشكلات ذات المجال المشترك له سحب خلفي).

الفئة الكاملة هي فئة لها جميع الحدود الصغيرة (أي جميع الحدود ذات الشكل J لكل فئة صغيرة J ).

يمكن أيضاً وضع تعريفات ثنائية. تحتوي الفئة على نهايات مشتركة من الشكل J إذا كان لكل مخطط من الشكل J نهاية مشتركة في C. الفئة الكاملة هي تلك التي تحتوي على جميع النهايات المشتركة الصغيرة.

تنص نظرية الوجود للنهايات على أنه إذا كانت الفئة C تحتوي على مُعادلات وجميع نواتج مُفهرسة بالفئتين Ob( J ) و Hom( J )، فإن C تحتوي على جميع النهايات ذات الشكل J. ^{[ 1 ] : §V.2 نظرية 1.} في هذه الحالة، يمكن إنشاء نهاية المخطط F  : J → C كمعادل للتشاكلين ^{[ 1 ] : §V.2 نظرية 2.}

${\displaystyle s,t:\prod _{i\in \operatorname {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \operatorname {Hom} (J)}F(\operatorname {cod} (f))}$

معطى (في شكل مكونات) بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{\operatorname {dom} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{\operatorname {cod} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}.\end{aligned}}}$

توجد نظرية وجود مزدوجة للنهايات المشتركة بدلالة المعادلات المشتركة والمنتجات المشتركة. تقدم كلتا النظريتين شروطًا كافية وضرورية لوجود جميع النهايات (المشتركة) ذات الشكل J.

النهايات والنهايات المشتركة هي حالات خاصة مهمة من الإنشاءات الشاملة .

لتكن C فئة، ولتكن J فئة فهرس صغيرة. يمكن اعتبار فئة الدوال C ^J فئة جميع المخططات ذات الشكل J في C. الدالة القطرية

${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}

الدالة التي تربط كل كائن N في C بالدالة الثابتة Δ( N )  : J → C إلى N. أي أن Δ( N )( X ) = N لكل كائن X في J و Δ( N )( f ) = id _N لكل تشاكل f في J.

بالنظر إلى مخطط F : J → C (يُعتبر كائنًا في C ^J )، فإن التحويل الطبيعي ψ  : Δ( N ) → F (وهو مجرد تشاكل في الفئة C ^J ) هو نفسه مخروط من N إلى F. ولتوضيح ذلك، لاحظ أولًا أن Δ( N )( X ) = N لجميع X، مما يعني أن مكونات ψ هي تشاكلات ψ _X  : N → F ( X )، والتي تشترك جميعها في المجال N. علاوة على ذلك، فإن شرط تبادل مخططات المخروط صحيح ببساطة لأن ψ هذا تحويل طبيعي. (وبالمقابل، فإن التحويل الطبيعي ψ  : F → Δ( N ) هو نفسه مخروط مشترك من F إلى N ).

وبالتالي، يمكن إعادة صياغة تعريفات النهايات والنهايات المشتركة بالشكل التالي:

• نهاية F هي تشاكل شامل من Δ إلى F.
• النهاية المشتركة لـ F هي تشاكل شامل من F إلى Δ.

كما هو الحال مع جميع البنى الشاملة، فإن تكوين النهايات والنهايات المشتركة هو تكوين دالي بطبيعته. بعبارة أخرى، إذا كان لكل مخطط من الشكل J نهاية في C (عندما يكون J صغيرًا)، فإنه يوجد دالة نهاية

${\displaystyle \lim$ :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}

يُحدد هذا المؤثر نهاية كل مخطط، ويُحدد لكل تحويل طبيعي η  : F → G التشكل الوحيد lim η  : lim F → lim G الذي يتبادل مع المخاريط الشاملة المناظرة. هذا المؤثر مُرافق أيمن للمؤثر القطري Δ  : C → C ^J. يُعطي هذا الاقتران تقابلًا بين مجموعة جميع التشكلات من N إلى lim F ومجموعة جميع المخاريط من N إلى F.

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \operatorname {Cone} (N,F)}$

وهذا طبيعي في المتغيرين N و F. الوحدة المرافقة لهذا الاقتران هي ببساطة المخروط الشامل من نهاية F إلى F. إذا كانت فئة المؤشر J متصلة (وغير فارغة)، فإن وحدة الاقتران هي تماثل بحيث تكون النهاية معكوسًا يساريًا لـ Δ. لا يتحقق هذا إذا لم تكن J متصلة. على سبيل المثال، إذا كانت J فئة منفصلة، ​​فإن مكونات الوحدة هي التشكلات القطرية δ  : N → N ^J.

وبالمثل، إذا كان لكل مخطط من الشكل J نهاية مشتركة في C (عندما يكون J صغيرًا)، فإنه يوجد دالة نهاية مشتركة

${\displaystyle \operatorname {colim}$ :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}

والذي يُعيّن لكل مخطط نهايته المشتركة. هذا المؤثر هو المؤثر المرافق الأيسر للمؤثر القطري Δ  : C → C ^J ، ويكون لدينا تماثل طبيعي

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \operatorname {Cocone} (F,N).}$

وحدة هذا الاقتران هي المخروط المشترك الشامل من F إلى نهاية F. إذا كانت J متصلة (وغير فارغة)، فإن الوحدة المشتركة تكون تماثلًا، بحيث تكون النهاية معكوسًا يساريًا لـ Δ.

لاحظ أن كلاً من دالة النهاية ودالة النهاية المشتركة هما دالتان متغايرتان .

يمكن استخدام دوال Hom لربط النهايات والنهايات المشتركة في فئة C بالنهايات في فئة المجموعات Set . وينتج هذا جزئيًا عن حقيقة أن دالة Hom المتغيرة Hom( N , – ) : C → Set تحافظ على جميع النهايات في C. وبحسب الازدواجية، يجب أن تأخذ دالة Hom المتغيرة عكسيًا النهايات المشتركة إلى نهايات. 

إذا كان للمخطط F  : J → C نهاية في C ، يُرمز لها بـ lim F ، فإنه يوجد تماثل قانوني

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \lim \operatorname {Hom} (N,F-)}$

وهو أمر طبيعي في المتغير N. هنا، الدالة Hom( N , F- ) هي تركيب الدالة Hom( N , - ) مع F. هذا التشاكل هو التشاكل الوحيد الذي يحترم المخاريط الحدية.

يمكن استخدام العلاقة المذكورة أعلاه لتحديد نهاية F في C. الخطوة الأولى هي ملاحظة أن نهاية الدالة Hom( N , F- ) يمكن تحديدها بمجموعة جميع المخاريط من N إلى F :

${\displaystyle \lim \operatorname {Hom} (N,F-)=\operatorname {Cone} (N,F).}$

يُعطى المخروط النهائي بواسطة عائلة التطبيقات πX _:  Cone( N , F ) → Hom( _{N, FX) حيث πX} ( ψ ) = ψX . إذا أُعطيَ كائن L من C مع تماثل طبيعي Φ : Hom( L , – ) → Cone( – , F )، فسيكون الكائن L نهايةً لـ F مع مخروط نهائي مُعطى بواسطة ΦL (idL _{) .} بعبارة أخرى ، هذا يعني أن نهاية F هي تمثيل للدالة Cone( – , _F ) : C → Set .  

وبالمثل، إذا كان للمخطط F  : J → C نهاية مشتركة في C ، يُرمز لها بـ colim F ، فإنه يوجد تماثل قانوني وحيد

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \lim \operatorname {Hom} (F-,N)}$

وهو أمر طبيعي في المتغير N ويحترم المخاريط المحددة. بتحديد نهاية Hom( F- , N ) مع المجموعة Cocone( F , N )، يمكن استخدام هذه العلاقة لتعريف النهاية المشتركة للمخطط F كتمثيل للدالة Cocone( F , - ) .

لتكن I فئة منتهية و J فئة صغيرة مُفلترة . لأي دالة ثنائية

${\displaystyle F:I\times J\to \mathbf {Set} ,}$

يوجد تماثل طبيعي

${\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{J}\lim _{I}F(i,j)\rightarrow \lim _{I}\operatorname {colim} \limits _{J}F(i,j).}$

بمعنى آخر، تتبادل النهايات المشتركة المُصفّاة في المجموعة مع النهايات المحدودة. وينطبق الأمر نفسه على النهايات المشتركة الصغيرة التي تتبادل مع النهايات الصغيرة. ^{[ 2 ]}

الدالة G  : C → D تُنشئ تطبيقًا من Cone( F ) إلى Cone( GF ): إذا كان Ψ مخروطًا من N إلى F، فإن GΨ مخروط من GN إلى GF . يُقال إن الدالة G تحافظ على نهايات F إذا كانت ( GL , Gφ ) نهايةً لـ GF كلما كانت ( L , φ ) نهايةً لـ F. (لاحظ أنه إذا لم تكن نهاية F موجودة، فإن G تحافظ على نهايات F بشكل تلقائي ).

يُقال إن الدالة G تحافظ على جميع نهايات الشكل J إذا حافظت على نهايات جميع المخططات F  : J → C. على سبيل المثال، يمكن القول إن G تحافظ على الضرب، والمعادلات، والسحب العكسي، وما إلى ذلك. الدالة المتصلة هي التي تحافظ على جميع النهايات الصغيرة .

يمكن وضع تعريفات مماثلة للنهايات المشتركة. على سبيل المثال، يحافظ المؤثر G على النهايات المشتركة لـ F إذا كانت G ( L , φ ) نهاية مشتركة لـ GF كلما كانت ( L , φ ) نهاية مشتركة لـ F. المؤثر المتصل هو الذي يحافظ على جميع النهايات المشتركة الصغيرة .

إذا كانت C فئة كاملة ، فبحسب نظرية الوجود المذكورة أعلاه للنهايات، يكون المؤثر G  : C → D متصلاً إذا وفقط إذا حافظ على الضربات (الصغيرة) والمعادلات. وبالمثل، يكون G متصلاً مشتركاً إذا وفقط إذا حافظ على الضربات المشتركة (الصغيرة) والمعادلات المشتركة.

من الخصائص المهمة للدوال المرافقة أن كل دالة مرافقة يمنى متصلة، وكل دالة مرافقة يسرى متصلة مع الدوال الأخرى. ونظرًا لوجود الدوال المرافقة بكثرة، فإن هذا يوفر أمثلة عديدة على الدوال المتصلة والمتصلة مع الدوال الأخرى.

بالنسبة لمخطط معين F  : J → C ودالة G  : C → D ، إذا كان لكل من F و GF حدود محددة، فهناك تشاكل قانوني وحيد

${\displaystyle \tau _{F}:G\lim F\to \lim GF}$

الذي يحترم المخاريط الحدية المناظرة. يحافظ المؤثر G على نهايات F إذا وفقط إذا كان هذا التطبيق تماثلًا. إذا كانت جميع نهايات الفئتين C و D من الشكل J، فإن lim يكون مؤثرًا، وتشكل التشكلات τ _F مكونات تحويل طبيعي.

${\displaystyle \tau :G\lim \to \lim G^{J}.}$

يحافظ المؤثر G على جميع النهايات ذات الشكل J إذا وفقط إذا كان τ تماثلاً طبيعياً. وبهذا المعنى، يمكن القول إن المؤثر G يتبادل مع النهايات ( حتى تماثل طبيعي معياري).

يُعدّ مفهوم الحفاظ على النهايات والنهايات المشتركة خاصًا بالدوال المتغيرة . أما بالنسبة للدوال المتغيرة عكسيًا، فإنّ المفهوم المقابل هو دالة تأخذ النهايات المشتركة إلى نهايات، أو دالة تأخذ النهايات إلى نهايات مشتركة.

يُقال إن الدالة G  : C → D ترفع النهايات للمخطط F  : J → C إذا كان لكل نهاية ( L , φ ) في GF نهاية ( L ′ , φ ′ ) للمخطط F بحيث يكون G ( L ′ , φ ′ ) = ( L , φ ). ترفع الدالة G النهايات ذات الشكل J إذا رفعت النهايات لجميع المخططات ذات الشكل J. وبالتالي، يمكن الحديث عن رفع النواتج، والمعادلات، والسحب العكسي، وما إلى ذلك. وأخيرًا، يُقال إن G ترفع النهايات إذا رفعت جميع النهايات. يوجد تعريفان لرفع النهايات المشتركة.

يرفع المؤثر G النهايات بشكل فريد للمخطط F إذا وُجد مخروط صورة عكسية وحيد ( L ′ , φ ′ ) بحيث يكون ( L ′ , φ ′ ) نهايةً لـ F و G ( L ′ , φ ′ ) = ( L , φ ). ويمكن إثبات أن G يرفع النهايات بشكل فريد إذا وفقط إذا كان يرفع النهايات وكان نسيانيًا .

من الواضح أن رفع الحدود يرتبط بالحفاظ عليها. فإذا رفعت G الحدود لمخطط F وكان لـ GF حد، فإن F أيضاً له حد، و G تحافظ على حدود F. ويترتب على ذلك ما يلي:

• إذا كان G يرفع حدود جميع الأشكال J وكان D يحتوي على جميع حدود الشكل J ، فإن C يحتوي أيضًا على جميع حدود الشكل J و G يحافظ على هذه الحدود.
• إذا رفعت G جميع الحدود الصغيرة وكانت D كاملة، فإن C كاملة أيضًا و G متصلة.

العبارات المزدوجة للنهايات المشتركة صحيحة بنفس القدر.

ليكن F  : J → C مخططًا. يُقال عن الدالة G  : C → D أنها

• إنشاء حدود لـ F إذا كان ( L ، φ ) حدًا لـ GF يوجد مخروط فريد ( L ′ ، φ ′ ) لـ F بحيث يكون G ( L ′ ، φ ′ ) = ( L ، φ )، وعلاوة على ذلك ، فإن هذا المخروط هو حد لـ F.
• تعكس الحدود لـ F إذا كان كل مخروط لـ F الذي صورته تحت G هو حد لـ GF هو بالفعل حد لـ F.

وبالمثل، يمكن للمرء أن يحدد إنشاء وانعكاس الحدود المشتركة.

من السهل ملاحظة أن العبارات التالية متكافئة:

• الدالة G تُنشئ النهايات.
• الدالة G ترفع الحدود بشكل فريد وتعكس الحدود.

هناك أمثلة على الدوال التي ترفع الحدود بشكل فريد ولكنها لا تقوم بإنشائها ولا تعكسها.

• كل دالة قابلة للتمثيل C → Set تحافظ على النهايات (ولكن ليس بالضرورة النهايات المشتركة). على وجه الخصوص، بالنسبة لأي كائن A من C ، فإن هذا ينطبق على الدالة المتغيرة Hom( A , – )  : C → Set .
• الدالة النسيانية U  : Grp → Set تُنشئ (وتحفظ) جميع النهايات الصغيرة والنهايات المشتركة المُصفّاة ؛ ومع ذلك، فإن U لا تحفظ الضرب المشترك. هذا الوضع نموذجي للدوال النسيانية الجبرية.
• الدالة الحرة F  : Set → Grp (التي تُسند لكل مجموعة S المجموعة الحرة فوق S ) هي دالة مرافقة يسارية للدالة النسيانية U ، وبالتالي فهي متصلة معها. وهذا يُفسر لماذا يكون حاصل الضرب الحر لمجموعتين حرتين G و H هو المجموعة الحرة المولدة من الاتحاد المنفصل لمولدات G و H.
• الدالة المضمنة Ab → Grp تنشئ حدودًا ولكنها لا تحافظ على المنتجات المشتركة (المنتج المشترك لمجموعتين أبيلية هو المجموع المباشر ).
• الدالة النسيانية Top → Set ترفع الحدود والحدود المشتركة بشكل فريد ولكنها لا تنشئ أيًا منهما.
• ليكن Met _c فئة الفضاءات المترية ذات الدوال المتصلة للتشاكلات. الدالة المنسية Met _c → Set ترفع النهايات المنتهية ولكنها لا ترفعها بشكل فريد.