رقم الربط

في الرياضيات ، يُعدّ عدد الربط ثابتًا عدديًا يصف ربط منحنيين مغلقين في الفضاء ثلاثي الأبعاد . وبشكلٍ بديهي، يُمثّل عدد الربط عدد مرات التفاف كل منحنى حول الآخر. في الفضاء الإقليدي ، يكون عدد الربط دائمًا عددًا صحيحًا ، ولكنه قد يكون موجبًا أو سالبًا تبعًا لاتجاه المنحنيين (لا ينطبق هذا على المنحنيات في معظم الفضاءات ثلاثية الأبعاد ، حيث يمكن أن تكون أعداد الربط كسورًا أو قد لا تكون موجودة أصلًا).

تم تقديم رقم الربط بواسطة جاوس في شكل تكامل الربط . وهو موضوع دراسة مهم في نظرية العقد ، والطوبولوجيا الجبرية ، والهندسة التفاضلية ، وله تطبيقات عديدة في الرياضيات والعلوم ، بما في ذلك ميكانيكا الكم ، والكهرومغناطيسية ، ودراسة الالتفاف الفائق للحمض النووي .

يمكن نقل أي منحنيين مغلقين في الفضاء، إذا سُمح لهما بالمرور عبر بعضهما البعض دون المرور عبر بعضهما، إلى أحد المواضع القياسية التالية فقط. وهذا ما يحدد رقم الربط:

⋯
	رقم الربط -2	رقم الربط -1	رقم الربط 0
					⋯
		رقم الربط 1	رقم الربط 2	رقم الربط 3

قد يمر كل منحنى عبر نفسه أثناء هذه الحركة، لكن يجب أن يظل المنحنيان منفصلين طوال الوقت. يُصاغ هذا رسميًا على أنه تماثل منتظم ، والذي يشترط أيضًا أن يكون كل منحنى غمرًا ، وليس مجرد أي دالة. مع ذلك، لا يُغير هذا الشرط الإضافي تعريف عدد الربط (لا يهم ما إذا كان يُشترط أن تكون المنحنيات غمرًا دائمًا أم لا)، وهو مثال على مبدأ h ( مبدأ التماثل)، مما يعني أن الهندسة تُختزل إلى طوبولوجيا.

توجد خوارزمية لحساب رقم الربط بين منحنيين من مخطط الربط . قم بتصنيف كل تقاطع على أنه موجب أو سالب ، وفقًا للقاعدة التالية: ^{[ 1 ]}

عدد التقاطعات الإيجابية مطروحًا منه عدد التقاطعات السلبية يساوي ضعف عدد الوصلات. أي:

${\displaystyle {\text{رقم الربط}}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}}}$

حيث تمثل n1 _و n2 _و n3 و n4 عدد _مرات عبور كل نوع _من الأنواع الأربعة . المجموعان${\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}$و${\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}$تكون متساوية دائمًا، ^{[ 2 ]} مما يؤدي إلى الصيغة البديلة التالية

${\displaystyle {\text{رقم الربط}}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.}$

الصيغة${\displaystyle n_{1}-n_{4}}$لا يشمل ذلك سوى تقاطعات المنحنى الأزرق مع المنحنى الأحمر، بينما${\displaystyle n_{2}-n_{3}}$لا يشمل ذلك سوى التقاطعات العلوية.

• أي منحنيين غير مرتبطين يكون لهما رقم ربط صفر. ومع ذلك، قد يكون منحنيان لهما رقم ربط صفر مرتبطين (مثل رابط وايتهيد ).
• يؤدي عكس اتجاه أي من المنحنيين إلى إلغاء رقم الربط، بينما يؤدي عكس اتجاه كلا المنحنيين إلى تركه دون تغيير.
• رقم الربط كيرالي : فأخذ صورة معكوسة للرابط ينفي رقم الربط. ويستند اصطلاح رقم الربط الموجب إلى قاعدة اليد اليمنى .
• عدد اللفات لمنحنى موجه في المستوى x - y يساوي عدد الربط الخاص به مع المحور z (باعتبار المحور z منحنى مغلق في الكرة ثلاثية الأبعاد ).
• وبشكل أعم، إذا كان أي من المنحنيين بسيطًا ، فإن مجموعة التماثل الأولى لمكمله تكون متماثلة مع Z. في هذه الحالة، يتم تحديد عدد الربط بواسطة فئة التماثل للمنحنى الآخر.
• في الفيزياء ، يعتبر رقم الربط مثالاً على رقم الكم الطوبولوجي .

بفرض وجود منحنيين قابلين للتفاضل غير متقاطعين${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$، تعريف خريطة غاوس${\displaystyle \Gamma }$من الطارة إلى الكرة بواسطة

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}}$

اختر نقطة v على الكرة الوحدة بحيث يُعطي الإسقاط المتعامد للوصلة على المستوى العمودي على v مخططًا للوصلات. لاحظ أن النقطة ( s , t ) التي تصل إلى v تحت خريطة جاوس تُقابل تقاطعًا في مخطط الوصلات حيث${\displaystyle \gamma _{1}}$انتهى الأمر${\displaystyle \gamma _{2}}$كذلك، تُحوَّل جوار النقطة ( s , t ) تحت خريطة غاوس إلى جوار النقطة v، مع الحفاظ على الاتجاه أو عكسه تبعًا لإشارة التقاطع. لذا، لحساب عدد الربط للمخطط المقابل للنقطة v، يكفي عدّ عدد مرات تغطية خريطة غاوس للنقطة v . وبما أن v قيمة منتظمة ، فإن هذا هو تحديدًا درجة خريطة غاوس (أي عدد مرات تغطية صورة Γ للكرة). ويُستنتج ثبات عدد الربط تلقائيًا، لأن الدرجة ثابتة تحت الخرائط المتماثلة. أي قيمة منتظمة أخرى ستعطي نفس العدد، لذا فإن عدد الربط لا يعتمد على أي مخطط ربط محدد.

يُمكّن هذا الصياغة لعدد الربط بين γ ₁ و γ ₂ من الحصول على صيغة صريحة كتكامل خطي مزدوج ، وهو تكامل الربط لغوس ^{[ 3 ]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\[4pt]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\det \left({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right)}{\left|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right|^{3}}}\,ds\,dt\end{aligned}}}$

يحسب هذا التكامل المساحة الكلية الموقعة لصورة خريطة غاوس (حيث يكون التكامل هو جاكوبيان Γ)، ثم يقسمها على مساحة الكرة (التي تساوي 4π ) . تجدر الإشارة إلى أن بعض المؤلفين يستخدمون اصطلاح إشارة مختلفًا للتكامل. ^{[ 4 ]}

في نظرية الحقل الكمومي ، يظهر تعريف غاوس التكاملي عند حساب القيمة المتوقعة لمتغير حلقة ويلسون القابل للرصد في${\displaystyle U(1)}$نظرية قياس تشيرن-سيمونز . تحديدًا، فعل تشيرن-سيمونز الأبلي لشكل قياس أحادي.${\displaystyle A}$على مشعب ثلاثي${\displaystyle M}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle S_{CS}={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}A\wedge dA}$

نحن مهتمون بإجراء التكامل المساري لفينمان لـ Chern–Simons في${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\int {\mathcal {D}}A_{\mu }\exp \left({\frac {ik}{4\pi }}\int d^{3}x\varepsilon ^{\lambda \mu \nu }A_{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }+i\int _{\gamma _{1}}dx^{\mu }\,A_{\mu }+i\int _{\gamma _{2}}dx^{\mu }\,A_{\mu }\right)}$

هنا،${\displaystyle \epsilon }$هو الرمز المضاد للتناظر. بما أن النظرية غاوسية بحتة، فلا حاجة إلى تنظيم فوق بنفسجي أو إعادة تطبيع . لذلك، يضمن الثبات الطوبولوجي للطرف الأيمن أن تكون نتيجة التكامل المساري ثابتة طوبولوجيًا. كل ما تبقى هو توفير عامل تطبيع شامل، وسيظهر خيار طبيعي. بما أن النظرية غاوسية وأبيلية، يمكن إجراء التكامل المساري ببساطة عن طريق حل النظرية كلاسيكيًا والتعويض عن${\displaystyle A}$.

المعادلات الكلاسيكية للحركة هي

${\displaystyle \varepsilon ^{\lambda \mu \nu }\partial _{\mu }A_{\nu }={\frac {2\pi }{k}}J^{\lambda }}$

هنا، قمنا بربط حقل تشيرن-سيمونز بمصدر ذي مصطلح${\displaystyle -J_{\mu }A^{\mu }}$في لاغرانجيان. من الواضح أنه عن طريق استبدال المناسب${\displaystyle J}$يمكننا استعادة حلقات ويلسون. وبما أننا في ثلاثة أبعاد، يمكننا إعادة كتابة معادلات الحركة بصيغة أكثر شيوعًا:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\frac {2\pi }{k}}{\vec {J}}}$

أخذ تجعيد كلا الجانبين واختيار مقياس لورنز${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$تصبح المعادلات

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {2\pi }{k}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}}$

من منظور الكهروستاتيكا، يكون الحل هو

${\displaystyle A_{\lambda }({\vec {x}})={\frac {1}{2k}}\int d^{3}{\vec {y}}\,{\frac {\varepsilon _{\lambda \mu \nu }\partial ^{\mu }J^{\nu }({\vec {y}})}{|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}}$

التكامل المساري لـ${\displaystyle J}$أصبح من السهل الآن القيام بذلك عن طريق استبدال هذا في فعل تشيرن-سيمونز للحصول على فعل فعال لـ${\displaystyle J}$للحصول على التكامل المساري لحلقات ويلسون، نستبدل مصدرًا يصف جسيمين يتحركان في حلقات مغلقة، أي${\displaystyle J=J_{1}+J_{2}}$، مع

${\displaystyle J_{i}^{\mu }(x)=\int _{\gamma _{i}}dx_{i}^{\mu }\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}$

بما أن الفعل الفعال هو دالة تربيعية في${\displaystyle J}$من الواضح أنه ستكون هناك حدود تصف التفاعل الذاتي للجسيمات، وهذه الحدود غير مهمة لأنها ستكون موجودة حتى في وجود حلقة واحدة فقط. لذلك، نقوم بتطبيع التكامل المساري بمعامل يلغي هذه الحدود تمامًا. وبإجراء العمليات الجبرية، نحصل على

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\exp {\left({\frac {2\pi i}{k}}\Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]\right)},}$

أين

${\displaystyle \Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]={\frac {1}{4\pi }}\int _{\gamma _{1}}dx^{\lambda }\int _{\gamma _{2}}dy^{\mu }\,{\frac {(x-y)^{\nu }}{|x-y|^{3}}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu },}$

وهو ببساطة تكامل الربط لغوس. هذا أبسط مثال على نظرية حقل كمومي طوبولوجية ، حيث يحسب تكامل المسار الثوابت الطوبولوجية. وقد مثّل هذا أيضًا تلميحًا إلى أن الصيغة غير التبادلية لنظرية تشيرن-سيمونز تحسب ثوابت عقدية أخرى، وقد بيّن إدوارد ويتن صراحةً أن النظرية غير التبادلية تعطي الثابت المعروف باسم متعددة حدود جونز. ^{[ 5 ]}

توجد نظرية قياس تشيرن-سيمونز في ثلاثة أبعاد مكانية-زمانية. وبشكل أعم، توجد نظريات حقل كمومي طوبولوجية ذات أبعاد أعلى. كما توجد إحصائيات أكثر تعقيدًا للحلقات المتعددة/الضفائر الوترية لنظريات القياس رباعية الأبعاد، والتي تُجسدها ثوابت الربط لنظريات الحقل الكمومي الطوبولوجية الغريبة في أربعة أبعاد مكانية-زمانية. ^{[ 6 ]}

• كما يمكن ربط المنحنيات المغلقة في ثلاثة أبعاد، يمكن ربط أي مشعبين مغلقين ذوي أبعاد m و n في فضاء إقليدي ذي بُعد${\displaystyle m+n+1}$. أي رابط من هذا القبيل له خريطة غاوس مرتبطة به، ودرجتها هي تعميم لرقم الربط.
• لكل عقدة مؤطرة عدد ربط ذاتي يُحسب بحساب عدد ربط العقدة C بمنحنى جديد ناتج عن تحريك نقاط C قليلاً على طول متجهات التأطير. يُعرف عدد الربط الذاتي الناتج عن التحريك عموديًا (على طول إطار السبورة) باسم عدد الربط الذاتي لكوفمان .
• يتم تعريف رقم الربط لدائرتين مرتبطتين؛ وإذا تم إعطاء ثلاث دوائر أو أكثر، فيمكن تعريف ثوابت ميلنور ، وهي عبارة عن ثابت عددي يعمم رقم الربط.
• في الطوبولوجيا الجبرية ، يعتبر حاصل الضرب الكأسي تعميمًا جبريًا بعيد المدى لعدد الربط، حيث تعتبر منتجات ماسي هي النظائر الجبرية لثوابت ميلنور .
• التمثيل غير المرتبط لرسم بياني غير موجه هو تمثيل في فضاء ثلاثي الأبعاد بحيث يكون عدد الروابط بين كل دورتين صفرًا. تتميز الرسوم البيانية التي لها تمثيل غير مرتبط بخاصية القاصر المحظور، وهي الرسوم البيانية التي لا تحتوي على قاصر من عائلة بيترسن .

• المنحنى القابل للتفاضل – دراسة المنحنيات من منظور تفاضلي 
• ثابت هوبف – ثابت التماثل للتطبيقات بين الكرات ذات البعد n 
• عدد التقبيل – مفهوم هندسي 
• التواء – ثابت في مخطط العقدة 

• أ. ف. تشيرنافسكي (2001) [1994]، "معامل الربط" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• AV Chernavskii (2001) [1994]، “الرقم المتلوي” ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS