حلقة λ

الموسوعة الحرة

في الجبر ، تُعرف حلقة لامدا بأنها حلقة تبديلية مع بعض العمليات λn عليها ، والتي تعمل كقوى خارجية للفضاءات المتجهة . العديد من الحلقات التي تُدرس في نظرية K تحمل بنية حلقة لامدا طبيعية. كما توفر حلقات لامدا شكلاً رياضياً قوياً لدراسة تأثير الدوال المتناظرة على حلقة كثيرات الحدود ، مما يُعيد ويُعمم العديد من النتائج الكلاسيكية ( لاسكو، 2003) .

تم تقديم حلقات لامدا بواسطة غروتينديك ( 1957 ، 1958 ، ص 148) . لمزيد من المعلومات حول حلقات لامدا، انظر أتيياه وتال (1969) ، كنوتسون (1973) ، هازوينكل (2009) ، وياو (2010) . 

تحفيز

إذا كان V و W فضاءين متجهيين محدودَي الأبعاد على حقل k ، فيمكننا تكوين المجموع المباشر V ⊕ W ، والضرب الموتري V ⊗ W ، والقوة الخارجية من الرتبة n لـ V ، Λ n ( V ). جميع هذه الفضاءات هي أيضًا فضاءات متجهية محدودة الأبعاد على k . تتوفر العمليات الثلاث نفسها - المجموع المباشر، والضرب الموتري، والقوة الخارجية - عند التعامل مع التمثيلات الخطية من الرتبة k لمجموعة منتهية ، وعند التعامل مع حزم متجهية على فضاء طوبولوجي ، وفي حالات أكثر عمومية.

صُممت حلقات لامدا لتجريد الخصائص الجبرية المشتركة لهذه العمليات الثلاث، حيث نسمح أيضًا بوجود معكوسات شكلية بالنسبة لعملية الجمع المباشر. (تظهر هذه المعكوسات الشكلية أيضًا في زمر غروتينديك ، ولهذا السبب فإن الزمر الجمعية الأساسية لمعظم حلقات لامدا هي زمر غروتينديك). يتوافق الجمع في الحلقة مع الجمع المباشر، ويتوافق الضرب في الحلقة مع جداء الموتر، وتتوافق عمليات لامدا مع القوى الخارجية. على سبيل المثال، التشاكل

Λ2(V⊕دبليو)≅Λ2(V)⊕(Λ1(V)⊗Λ1(دبليو))⊕Λ2(دبليو){\displaystyle \Lambda ^{2}(V\oplus W)\cong \Lambda ^{2}(V)\oplus \left(\Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)\right)\oplus \Lambda ^{2}(W)}

يتوافق مع الصيغة

λ2(x+y)=λ2(x)+λ1(x)λ1(y)+λ2(y){\displaystyle \lambda ^{2}(x+y)=\lambda ^{2}(x)+\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)+\lambda ^{2}(y)}

صالحة في جميع حلقات λ، والتماثل

Λ1(V⊗دبليو)≅Λ1(V)⊗Λ1(دبليو){\displaystyle \Lambda ^{1}(V\otimes W)\cong \Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)}

يتوافق مع الصيغة

λ1(xy)=λ1(x)λ1(y){\displaystyle \lambda ^{1}(xy)=\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)}

صالحة في جميع حلقات λ. صيغ مماثلة ولكنها (أكثر) تعقيدًا تحكم عوامل λ ذات الرتبة الأعلى.

التحفيز باستخدام حزم المتجهات

إذا كان لدينا متتالية تامة قصيرة من حزم المتجهات على مخطط سلسX{\displaystyle X}

0→هـ"→هـ→هـ′→0،{\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}''\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}'\to 0,}

ثم محلياً، بالنسبة لحي صغير مفتوح بما فيه الكفايةيو{\displaystyle U}لدينا التشاكل

⋀نهـ|يو≅⨁أنا+ج=ن⋀أناهـ′|يو⊗⋀جهـ"|يو{\displaystyle \bigwedge ^{n}{\mathcal {E}}|_{U}\cong \bigoplus _{i+j=n}\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'|_{U}\otimes \bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''|_{U}}

الآن، في مجموعة غروتينديكك(X){\displaystyle K(X)}لX{\displaystyle X}(وهي في الواقع حلقة)، نحصل على هذه المعادلة المحلية بشكل عام مجاناً، من علاقات التكافؤ المحددة . لذا

[⋀نهـ]=[⨁أنا+ج=ن⋀أناهـ′⊗⋀جهـ"]=∑أنا+ج=ن[⋀أناهـ′]⋅[⋀جهـ"]{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\bigwedge ^{n}{\mathcal {E}}\right]&=\left[\bigoplus _{i+j=n}\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'\otimes \bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''\right]\\&=\sum _{i+j=n}\left[\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'\right]\cdot \left[\bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''\right]\end{aligned}}}

[ 1 ] مما يوضح العلاقة الأساسية في حلقة λ، والتي

λن(x+y)=∑أنا+ج=نλأنا(x)λج(y).{\displaystyle \lambda ^{n}(x+y)=\sum _{i+j=n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{j}(y).}

تعريف

الحلقة λ هي حلقة تبديلية R مع العمليات λ n  : R → R لكل عدد صحيح غير سالب n . يجب أن تتمتع هذه العمليات بالخصائص التالية الصحيحة لجميع x و y في R وجميع n و m ≥ 0:    

  • λ 0 ( x )  =  1
  • λ 1 ( x )  =  x
  • λ n (1)  =  0 إذا كان n  ≥  2
  • Σ n ( x  + y ) = Σ i + j = n π i ( x )ω j ( y )  
  • lect n ( xy ) = P n ( lect 1 ( x ) , ..., lect n ( x ) , lect 1 ( y ), ..., lect n ( y ))
  • χ n (π m ( x )) = P n , m (δ 1 ( x ), ..., δ mn ( x ))

حيث أن P <sub>n</sub> و P <sub>n,m</sub> هما كثيرتا حدود عامتان بمعاملات صحيحة تصفان سلوك القوى الخارجية على جداءات الموترات وتحت التركيب. ويمكن تعريف هاتين كثيرتي الحدود كما يلي.

لتكن e₁ , ..., eₙ كثيرات الحدود المتناظرة الأولية في المتغيرات X₁ , ..., Xₙ . عندئذٍ ، Pₙ , ₘ هي كثيرة الحدود الوحيدة في nm متغيرًا بمعاملات صحيحة بحيث يكون Pₙ ,ₘ ( e₁ , ..., eₙₘ ) هو معامل tₙ في التعبير .

∏1≤أنا1<أنا2<⋯<أنام≤من(1+تXأنا1Xأنا2⋯Xأنام){\displaystyle \prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq mn}(1+tX_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}})} 

(توجد مثل هذه متعددة الحدود، لأن التعبير متناظر في X i ومتعددات الحدود المتناظرة الأولية تولد جميع متعددات الحدود المتناظرة.)

لنفترض الآن أن e₁ , ..., eₙ هي كثيرات الحدود المتناظرة الأولية في المتغيرات X₁ , ..., Xₙ ، وأن f₁ , ..., fₙ هي كثيرات الحدود المتناظرة الأولية في المتغيرات Y₁ , ..., Yₙ . عندئذٍ ، Pₙ هي كثيرة الحدود الوحيدة في 2ⁿ متغيرًا ذات معاملات صحيحة بحيث يكون Pₙ ( e₁ , ... , eₙ , f₁ , ... , fₙ ) هو معامل tₙ في التعبير .

∏أنا،ج=1ن(1+تXأناYج){\displaystyle \prod _{i,j=1}^{n}(1+tX_{i}Y_{j})}

تركيبة علاجية للضخامة

الحلقة λ هي حلقة تبديليةR{\displaystyle R}مزود بخريطة ( جيتزلر (1995) )

Λ×R→R،(و،x)↦و∘x=و[x]،{\displaystyle \Lambda \times R\to R,\qquad (f,x)\mapsto f\circ x=f[x],}

يُطلق عليه اسم البليثيزم ، ويحقق البديهيات التالية لجميعx،y∈R{\displaystyle x,y\in R}:

  1. الخريطةΛ→R،و↦و[x]{\displaystyle \Lambda \to R,\,f\mapsto f[x]}، هو تماثل حلقي.
  2. هـ1[x]=x{\displaystyle e_{1}[x]=x}.
  3. هـن[x+y]=∑أنا+ج=نهـأنا[x]⋅هـج[y]{\displaystyle e_{n}[x+y]=\sum \nolimits _{i+j=n}e_{i}[x]\cdot e_{j}[y]}لن≥0{\displaystyle n\geq 0}.
  4. هـن[1]=0{\displaystyle e_{n}[1]=0}لن≥2{\displaystyle n\geq 2}.
  5. و∘(ز∘x)=(و∘ز)∘x{\displaystyle f\circ (g\circ x)=(f\circ g)\circ x}لو،ز∈Λ{\displaystyle f,g\in \Lambda }.

هناΛ{\displaystyle \Lambda }هي حلقة الدوال المتناظرة ، هـن∈Λ{\displaystyle e_{n}\in \Lambda }هي الدوال المتناظرة الأولية ، و plethysm علىΛ{\displaystyle \Lambda }يتم تعريفها بواسطة صن∘و=و(x1ن،x2ن،...){\displaystyle p_{n}\circ f=f(x_{1}^{n},x_{2}^{n},\dots )}لو∈Λ{\displaystyle f\in \Lambda } ومجموع القوى للدوال المتناظرةصن=∑أنا≥1xأنان{\displaystyle p_{n}=\sum \nolimits _{i\geq 1}x_{i}^{n}}يتم الحصول على التعريف الأصلي لحلقة λ عن طريق وضع λن=هـن[-]:R→R{\displaystyle \lambda ^{n}=e_{n}[-]:R\to R}الخرائطψن=صن[-]:R→R{\displaystyle \psi ^{n}=p_{n}[-]:R\to R}هي عمليات تماثل حلقي، وتسمى عمليات آدمز. تحدد البديهيات الثلاث الأولى حلقة ما قبل λ.

الاختلافات

تُسمى حلقات λ المحددة أعلاه "حلقات λ خاصة" من قبل بعض المؤلفين، الذين يستخدمون مصطلح "حلقة λ" لمفهوم أكثر عمومية حيث يتم إسقاط الشروط على λ n (1) و λ n ( xy ) و λ n (λ m ( x )).

أمثلة

  • الحلقة Z للأعداد الصحيحة ، بمعاملات ذات الحدينλن(x)=(xن){\displaystyle \lambda ^{n}(x)={x \choose n}}بما أن العمليات (المُعرّفة أيضًا لقيم x السالبة ) تُشكّل حلقة λ. في الواقع، هذه هي بنية λ الوحيدة على Z. يرتبط هذا المثال ارتباطًا وثيقًا بحالة فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة المذكورة في قسم الدافع أعلاه، حيث يتم تحديد كل فضاء متجه ببعده، مع الأخذ في الاعتبار أنخافت⁡(Λن(كx))=(xن){\displaystyle \dim(\Lambda ^{n}(k^{x}))={x \choose n}}.
  • بشكل أعم، تصبح أي حلقة ذات حدين حلقة λ إذا عرّفنا عمليات λ على أنها معاملات ذات الحدين، λ n ( x ) = ( x n ). في حلقات λ هذه، تكون جميع عمليات آدمز هي عمليات الوحدة.
  • إن نظرية K ( X ) للفضاء الطوبولوجي X هي حلقة λ، مع عمليات لامدا المستحثة عن طريق أخذ القوى الخارجية لحزمة متجهة.
  • بالنظر إلى مجموعة G وحقل أساسي k ، فإن حلقة التمثيل R ( G ) هي حلقة λ؛ يتم استحثاث عمليات λ بواسطة القوى الخارجية للتمثيلات الخطية k للمجموعة G.
  • الحلقة ΛZ للدوال المتناظرة هي حلقة λ. تُعرَّف عمليات λ على المعاملات الصحيحة بمعاملات ذات الحدين كما سبق، وإذا كانت e₁ , e₂ , ... تُمثل الدوال المتناظرة الأولية، فإننا نضع λₙ(e₁) = eₙ. باستخدام بديهيات عمليات λ، وحقيقة أن الدوال eᵏ مستقلة جبريًا وتُولد الحلقة ΛZ ، يمكن توسيع هذا التعريف بطريقة فريدة لتحويل ΛZ إلى حلقة λ . في الواقع، هذه هي حلقة λ الحرة على مولد واحد، وهو المولد e₁ . ( ياو ( 2010 ، ص 14) ) . 
  • تُعدّ زمرة غروتينديك لأي فئة خطية كاملة من الرتبة k (حيث k ذات خاصية صفرية) حلقة λ، مما يُعمّم العديد من الأمثلة المذكورة أعلاه. في الواقع، هذا المثال شامل بمعنى دقيق. [ 2 ]

خصائص وتعريفات إضافية

كل حلقة λ لها خاصية 0 وتحتوي على حلقة λ- Z كحلقة فرعية λ.

يمكن تعميم العديد من مفاهيم الجبر التبادلي على حلقات لامدا. على سبيل المثال، التشاكل لامدا بين حلقتي لامدا R و S هو تشاكل حلقي f  : R → S بحيث يكون f (λ n ( x )) = λ n ( f ( x )) لكل x في R ولكل n ≥ 0. والمثالي لامدا في حلقة لامدا R هو مثالي I في R بحيث يكون λ n ( x ) ϵ I لكل x في R ولكل n ≥ 1.

إذا كان x عنصرًا من حلقة λ، و m عددًا صحيحًا غير سالب بحيث λm ( x ) ≠ 0 و λn ( x ) = 0 لجميع n > m ، فإننا نكتب dim( x ) = m ونُطلق على العنصر x اسم عنصر محدود الأبعاد. ليس بالضرورة أن تكون جميع العناصر محدودة الأبعاد. لدينا dim( x + y ) ≤ dim( x ) + dim( y )، وحاصل ضرب العناصر أحادية البعد هو عنصر أحادي البعد .

تعمل الدوال المتناظرة على حلقات λ، على النحو التالي: بالنظر إلى متعدد الحدود المتناظر p في عدد عشوائي من المتغيرات ذات المعاملات الصحيحة، وعنصر x من حلقة λ R، يوجد تماثل λ فريد f  : Λ Z → R مع f ( e 1 )=x، ونضع px  := f(p).

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيتر بيلمانز (23 أكتوبر 2014). "ثلاث عمليات ترشيح على حلقة غروتينديك لمخطط" .
  2. ↑ بايز، جون سي؛ مولر، جو؛ تريمبل، تود (30-06-2023). "دوال شور والتضخم المصنف". arXiv : 2106.00190 [ math.RT ].